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Full text of "Cours de philosophie positive"

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aV£iâ'^i/r,i'iu ■ÀVli'.-y.b^J'JJ.iiJL^ 




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COURS 



DE 



PHILOSOPHIE POSITIVE 



A. Comte. Tome L 




OUVRAGE DE M. COMTE. 



Principes de Philosophie positl¥e, précédés de la préface d*un 
disciple par É. Lirrn^. Paris, 1868, 1 yol. in- 18 jésus^ de 208 pages. 

2 fr. 50 

Lcf Principe» de Philoiophie positive sont la rfproduction de la prérace «l'un 
disciple par M. Limi, et des deui premières leçons du Court de Philosophie posi- 
tiMt par Aug. Covra. Cet ouvrage peut servir d'introduction à l'étude flu Cours de 
Philosophie positive. 6 vol. iu-8. 



OUVRAGE DE M. LITTRÉ. 

jA«ir*«^® Conte et la Philosophie positive. Deuxième édition, 
Paris, 1864, 1 vol. io-8 de 688 pages. ^ 



CoRDEiLf typ. et itér. de Cbété. 



COURS 



DE 



PHILOSOPHIE POSITIVE 



PAR 



COMTE 



Répétiteur d'Analyse tranicendante et de Mécanique rationnelle à l'École polytecbniqtMi 
et Eiâmiuateur des CAndidâts qui se destinent à cette École. 

TROISIÈME ÉDITION 

AUGMENTÉE D*UNE PRÉFACE 

PAR 

É. LITTRÉ 

et d'une Table alphabétique des matières. 



TOME PREMIER 

contenant 

LES PRELIMINAIRES GÉNÉRAUX ET LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE 



PARIS 



J. B. BAILLIÈRE et FILS 

LIBRAIRES DE l'aCADÉMIE IMPÉRIALE DE MÉDECINE, 
Rue Hautefenille, 19, près le boulevard Stint-Germain 

iHadrtd | McwTork 

G. BAïUT-BAiLLiiai I BAiLLiiai BaoTHaas 

1869 
Toui droits réierTés. 



B 




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V 



PRÉFACE D'UN DISCIPLE 



Pendant que la philosophie et la littérature qui régnent 
dans renseignement et dans les académies, et qui, en con- 
séquence^ ont dans le monde la grande place et la haute 
main, ignoraient M. Comte, ou, recevant par ouï-dire 
nouvelles de ses travaux, ne se croyaient pas, pour les dé- 
daigner, obligées de les connaître, une partie du public, 
ouverte par des dispositions spontanées aux doctrines po- 
sitives, achetait son livre, le lisait et avait fini par en épui- 
ser la première édition. Aussi l'ouvrage était- il devenu 
rare ; on ne le trouvait plus dans la librairie ; et, quand 
il se rencontrait dans quelque vente, il fallait le payer un 
prix exorbitant. C'était par la seule force de la doctrine 
et des choses qu'il avait ainsi cheminé; car, à la fois, rien 
n'avait été fait pour le propager, et rien n'avait été con- 
cédé aux faiblesses de l'esprit contemporain; et, comme 
cet ancien maître qui écartait de son école les esprits étran- 
gers à la géométrie, l'auteur écartait de la sienne tous 
ceux qui auraient voulu arriver à la philosophie sans 
passer par la science. 

Il était donc devenu utile, je dirai même, il était de- 
venu urgent de rendre accessible à une nouvelle généra- 
tion le livre qui nous a formés et qui demeurera le fon- 
dement delà philosophie positive. On ne peut méconnaître 
que cette nouvelle génération est mieux préparée que 
nous ne l'étions ; que l'atmosphère ambiante s'est chargée 
de quelques éléments intellectuels qui alors lui étaient 
étrangers ; et que des notions inconnues, il y a ime tren- 



VI PREFACE D UN DTSCTPLE. 

taine d'années, sont devenues familières et servent de 
germes à une évolution ultérieure. C est ainsi que s'effec- 
tuent les mutations de Tesprit humain. En cet état, on ne 
s'étonnera pas que de divers côtés soit née la pensée de 
réimprimer le Cours de philosophie positive. Un jeune 
Russe, possédé de Tamour de la science, M. G. Wyrouboff , 
songea à s'en charger et à faire ce cadeau au monde stu- 
dieux ; des motifs indépendants de sa volonté Ten empo- 
chèrent. Madame Comte voulut alors se mettre en son 
lieu et place, dévouer à cette œuvre non pas son superflu, 
mais son nécessaire, et, la publiant volume par volume, 
subvenir, de l'un sur Tautre, aux frais de Tentreprise. 
Pendant qu'elle s'efforçait, l'attention d'un éditeur, qui 
depuis longtemps jouit de la confiance du public, fut atti- 
rée ; et dès lors une prompte exécution fut assurée. 

Le texte a été exactement reproduit sans modification, 
sans addition, sans retranchement. Seuls, les titres cou- 
rants, chose tout extrinsèque, ont été changés : dans 
l'ancienne édition, la page gauche portait philosophie 
positive^ et la page droite le nom de la science dont il 
s'agissait ; dans la nouvelle édition, la page gauche, pour 
la plus grande commodité du lecteur, porte le nom de la 
science dont il s'agit, et la page droite l'objet de la leçon 
courante (1). Quelques personnes avaient désiré qu'on an- 
notât l'ouvrage à cause des différences qui se sont produi- 
tes dans l'état scientifique depuis le moment où M. Comte 
composa son livre. Mais cela n'a paru aucunement né- 
cessaire. Sans doute, la philosophie positive est fondée 
sur la science; et une science mal faite et insuffisante la 
rendrait ruineuse comme elle le serait elle-même ; sans 



(1) Les éditeurs, MM. Baillière, ont fait les titres conranls des deux pre- 
miers volumes; je me suis charge de ceux des quatre derniers. U a été plus 
d'une fois impossible d'exprimer en une seule ligne le sujet d*une leçon 
complexe. Le leoteur excusera ce que quelques-uns de ces titres courants 
oot d'imparfait ; c'est une cbose faite dans son intérêt. 



PRÉFACE d'un disciple. • VU 

doute aussi, les quarante ans environ qui se sont écoulés 
depuis que M. Comte fit sa provision encyclopédique 
ont amené, dans les diflërentes branches, de notables 
extensions, d'importantes découvertes et de fécondes théo- 
ries. Cependant rien de tout cela n'a touché au fondement 
de la philosophie positive. Le livre de M. Comte est un 
livre, non de science spéciale, mais de science générale. 
Si, durant ces quarante années, il était survenu quelque 
chose qui, changeant l'esprit de la science, la forçât de 
renoncer, en un point ou en l'autre, à sa méthode, il s'en- 
suivrait que la philosophie positive, dont le titre et la 
gloire est de tfansporter cette méthode de Tordre spécial 
dans Tordre général , perdrait sa raison d'être et s'écro\ile- 
rait avec tant d'autres conceptions systématiques qui sont 
des accidents du développement de la pensée collective. 
Mais cela n'est pas; les accroissements contemporains 
n'infirment rien, et par conséquent confirment tout. 

Ce fut en 1 826 que M. Comte publia le plan de son 
grand traité, et en 1842 qu'il en écrivit les dernières li- 
gnes. Seize ans s'écoulèrent donc entre la conception et 
l'achèvement ; mais la conception avait eu tant de sûreté^ 
que, malgré ce long espace de temps, l'achèvement y ré- 
pondit de tout point; et tel le plan avait été tracé, tel il fut 
rempli. Le premier volume, renfermant les préliminaires 
généraux et la philosophie mathématique, parut en 1830 . 
La crise survenue dans la librairie à la suite des événe- 
ments politiques interrompit cette publication qui fut re- 
prise en 1835, année où parut le. second volume compre- 
nant la philosophie astronomique et la philosophie de la 
physique proprement dite. A l'origine, M. Comte avait 
entendu renfermer toute la matière en quatre volumes; 
d'abord la chose alla selon son dessein, et le troisième, qui 
fut publié en 1838, ne dépassa pas l'étendue projetée : la 
philosophie chimique et la philosophie biologique le rem- 
plirent. C'est à la philosophie sociale que .devait être con- 



Vîll PRÉFACE d'un disciple. 

sacré le quatrième et dernier volume ; là, dans celle 
sixième partie, qui est entièrement de la création de 
M. Comte, tout était nouveau, tout était à faire, et tout 
fut fait. Mais les prévisions d'étendue ne suftîrent plus, la 
matière s'allongea, elle quatrième volume (1839) ne com- 
prit que la portion dogmatique de la philosophie sociale, 
c'est-à-dire l'exposition de la destination politique qui lui 
est propre, de l'esprit scientifique qui la caractérise, et de 
ses théories générales sur l'existence et le mouvement des 
sociétés humaines. Le reste devait tenir dans un cinquième 
volume; à son tour, ce cinquième volume (1841) se trouva 
trop étroit pour ce reste qui n'était rien de moindre que 
l'appréciation fondamentale de l'ensemble du passé hu- 
main; l'auteur^ s'en excusant, fait valoir la nouveauté, la 
grandeur, la difficulté du sujet. L'excuse est légitime ; et, 
en le lisant, chacun y reconnaît toute la concentration d'i- 
dées compatible avec une suffisante clarté d'exposition, 
se sentant conduit dans le labyrinthe des faits et des révo- 
lutions par un guide à qui l'histoire a remis son peloton. 
Enfin le sixième et dernier volume fit son apparition 
(1842). Ainsi fut accompli ce qu'on doit appeler l'œuvre 
philosophique du dix-neuvième siècle : donner à la phi- 
losophie la méthode positive des sciences, aux sciences 
l'idée d'ensemble de la philosophie. 

Cette brève formule a besoin d'être développée. Ceux 
qui se représenteront la suite des spéculations philoso[)hi- 
ques, sauf la philosophie positive, depuis Platon et Âris- 
tote jusqu'à nos jours, reconnaîtront qu'elles forment, 
quelque mérite relatif qu'elles aient d'ailleurs suivant les 
temps, une masse confuse où l'on ne distingue les rap- 
ports de la philosophie, ni avec la nature, ni avec l'his- 
toire, ni avec l'enseignement. Cela tient à la source sub- 
jective dont elles émanent. Dominées par des conceptions 
à priorij leur ordre n'est ni celui de la conception cosmi- 
que, ni celui du développement historique, ni celui de la 




PRÉFACE l>'rN DISCIPLE. IX 

graduation didactique; Je les comparerais volontiers à ce 
que sont dans la botanique et dans la zoologie les systèmes 
ai-tificiels à Tégard des méthodes naturelles. Les systèmes 
sont souvent fort ingénieux, et, dans tous les cas, furent 

provisoirement utiles, fournissant un lien aux faits isolés; 
mais que de défauts dans leur simplicité apparente et dans 
leur coordination factice ! Ils conjoignent ce qui s'écarte, 
ils écartent ce qui est conjoint, et ne sonf avec la nature 
dans aucune connexion essentielle. Ils ne soupçonnent 
pas l'ordre réel ; ce point capital est pour eux lettre close. 
L'esprit, tant qu'il reste borné aux notions subjectives, 
est satisfait s'il trouve une exacte conformité entre les pré- 
misses et les conséquences; mais l'esprit, alors qu'il passe 
aux notions objectives, rejette comme une vaine pâture 
celte conformité entre les prémisses et les conséquences, 
si les prémisses ne sont pas les faits fournis par l'observa- 
tion et l'expérience. 

L^ordre conforme à la constitution du monde, au déve- 
loppementde l'histoire età la gradation de l'enseignement, 
ordre qui a toujours échappé à la philosophie métaphysi- 
que, a été établi dans sa triplicité connexe par la philoso- 
phie positive. 

Le monde est constitué par la matière et par les forces 
de la matière : la matière dont l'origine et l'essence nous 
sont inaccessibles ; les forces qui sont immanentes à la ma- 
tière. Au delà de ces deux termes, matière et force, la 
science positive ne connaît rien. D'anciennes théologies 
ont supposé un état chaotique où, comme dit le poëte in- 
terprète des notions traditionnelles, les choses molles 
étaient avec les choses dures, les choses sans poids avec 
les choses pesantes. Un tel chaos est une imagination; il 
est incompatible avec ce que nous savons des forces imma- 
nentes, et toujours notre esprit voit les substances arran- 
gées suivant la pesanteur, l'électricité, le magnétisme, la 
lumière, réiasticité, les affinités chimiques, et, quand il y 



X PRÉFACE d'un DISCIPLE. 

a lieu, les combiaaisoDs vitales. Mais voici ce que Tétude 
de ce monde, que rimmanence rend étranger au chaos 
théologique, a montré : les propriétés physiques sont ma- 
nifestes en toute substance, dans quelque état qu'elle soit^ 
isolée ou non isolée, et s'exercent sur les masses ; les pro- 
priétés chimiques n'apparaissentqu'enlre deux substances, 
ont besoin de la binarité et s'exercent sur les molécules; 
enfin les propriétés vitales, dépassant la binarité, ne sont 
compatibles qu'avec un état moléculaire plus composé. 
Telle est la gradation réelle qu'on observe dans Tordre du 
monde ; et avec cet ordre doit concorder toute philosophie. 
Tel est le premier et essentiel fondement de la philoso- 
phie positive. 

Ce n'est pas tout. Si la philosophie métaphysique a man- 
qué cet ordre réel, la philosophie inconsciente, ou, autre- 
ment dit, le développement naturel a dû le suivre, guidé 
par la nécessité des choses qui ne permettait qu'au fur et 
à mesure l'accès de ces trois complications ou échelons. 
Cela, en effet, est arrivé. Dès que le génie de M. Comte 
eut pénétré dans les obscurités de l'histoire, il reconnut 
que, dans leur constitution successive, les science^avaient 
suivi l'ordre naturel et ne s'étaient échelonnées que selon 
les échelons de complication que les choses mêmes pré- 
sentaient (1). C'est là le second fondement de la philoso- 
phie positive. 

Enfin un enseignement encyclopédique est obligé de se 
conformer, comme a fait l'histoire, à l'ordre réel, naturel, 
des choses. En effet, prenez les six sciences dont on va 
voir se dérouler les philosophies dans cet ouvrage, et sui- 
vez-les en partant de la dernière qui est aussi la plus com- 
pliquée et la plus difficile. La sociologie ne peut être étu- 
diée avec sûreté, si Ton n'a pas des notions précises sur la 

(1) Voyez, touchant la distinction entre la constitution des sciences et 
leor évolution, mon livre sur Auguste Comte et la Philosophie positive, 
p. 285, 2« édition. 



PRÉFACE d'un disciple. XI 

biologie, qui est la doctrine des corps vivants. A son tour, 
la biologie, à cause de la grande fonction de la nutrition, 
est fermée à qui ne possède pas les théories chimiques. 
Celles-ci, à leur point hiérarchique, supposent toutes les 
actions physiques, pesanteur, calorique, électricité, ma- 
gnétisme, lumière. Enfin la physique elle-même, tant 
céleste que terrestre, est un domaine où Ton ne peut pé- 
nétrer, si Ton n'est pas muni de cet instrument puissant 
nommé la mathématique. De la sorte, en reprenant l'ar- 
rangement naturel, ascensionnel, didactique des sciences, 
on étudie la mathématique pour aller à la [)hysique, de là 
à la chimie, à la biologie, à la sociologie. C est là le troi- 
sième fondement de la philosophie positive. 

Ainsi la philosophie positive est la seule qui fasse con- 
naître comment sont connexes ces trois choses. Tordre des 
propriétés immanentes, l'ordre de la constitution succes- 
sive des sciences, et l'ordre de leur enseignement hiérar- 
chique. 

M. Comte fut un novateur. C'est une qualité toujours 
dangereuse à celui qui la porte ; et Ton peut dire de ce 
genre d*hommes ce que Bossuet a dit des ambitieux qui 
semblent nés pour changer le monde ; que le sort de tels 
esprits est hasardeux, et qu'il en parait bon nombre dans 
rhistoire à qui leur audace a été funeste. Le prudent Fon- 
tenelle conseillait aux imprudents qui ont la main pleine 
de vérités de la tenir bien fermée. Le monde n'aime pas 
à être dérangé des idées reçues, et il ne manque guère de 
faire payer leur bienvenue aux idées nouvelles ; plus tard 
il élève des statues à ceux qu'il a laissés mourir dans l'oubli 

ou fait mourir de désespoir. Plus tard mais laissons 

ce que ce mot a de triste pour ne considérer que ce qu'il a 
de glorieux. L'esprit que la grandeur et la beauté des 
conceptions ont saisi est jeté par un généreux et sublime 
besoin dans les labeurs ardus et dans les entreprises pé- 
rilleuses ; la vocation commande, et il obéit. 



XII PRÉFACE d'un DISCIPLE. 

Mais qu'est-ce qu'un novateur? Quand on considère 
d'une part la marche de l'esprit humain, de l'autre le 
monde tel qu'il est constitué^ on voit bien maintenant que 
cette marche consiste justement à connaître cette constitu- 
tion. L'esprit humain n'a point un développement qui soit 
indépendant, c'cbt-à-dire un développement tel que, ren- 
fermé en lui-même et restant dans l'ignorance de la con- 
stitution du monde, il s'élève, par une élaboration interne, 
dans les suprêmes régions du vrai et du bon. Par une né- 
cessité très-curieuse à constater, ces suprêmes régions ne 
s'ouvrent pour lui (ju'à la condition de labourer avec un 
effort infini le champ cosmique, comme le corps est obligé 
d'arroser de sueurs les guérets pour en retirer le pain qui 
le nourrit. Ainsi ce qui porte le monde intellectuel et mo- 
ral est tout entier dans la cx)nnaissance de l'ordonnance 
générale des choses. Pline a une phrase peu remarquée où 
il dit : tt Ira-t-on prétendre qu'il y a un Jupiter ou un 
a Mercure, des dieux désignés par des noms à eux et une 
a liste de personnages célestes ? Qui ne voit que l'inter- 
« prétation de la nature rend digne de risée une pareille 
tt imagination (t) 7 » Le trait de cette phrase est dans l'in- 
terprétation de la nature qui condamne le polythéisme. 
L'interprétation de la nature est ce que je viens de nom- 
mer connaissance de l'ordonnance générale du monde. 
Celui qui modifie cette connaissance est un novateur. 

Celui qui la modifie beaucoup est un novateur puissant. 
Cette connaissance, l'histoire le montre, se divise en deux 
catégories, la connaissance imaginée et la connaissance vé- 
rifiée. Plus le domaine de la connaissance vérifiée est pe- 
tit, plus celui de la connaissance imaginée est grand ; et, 
réciproquement, plus le domaine de la connaissance véri- 



(1) Jovem quidem, nut Merciiriam, alitenre alios inter se vocari, et esse 
cœlestem nomenclatnram. quia non interpretatione natune futeatur irri- 
deudum? {Hist, nat,. II, 6.) 



l'KÉFACli: d'un disciple. XIII 



fiée est grand, plus celui de la connaissance imaginée est 
petit; jusqu'à ce qu'enfin la connaissance imaginée, chassée 
de position en position, se réfugie dans Tabsolu, dans la 
recherche des causes premières et finales. Ce partage, 
comme tout ce qui est le produit du progrès des choses, 
fut accepté et fait encore loi pour beaucoup d*esprits. Il 
semblait même impossible qu'une telle situation put chan- 
ger ; car où prendre les idées générales, sinon dans cet 
antique arsenal où se conservaient toutes celles qu'avait 
enfantées le passé? Pourtant ce terrain même était pré« 
caire. Fontenelle, avec sa profondeur qu'il voilait sous 
l'agrément, avait dit : <c Jusqu'à présent, l'Académie des 
c( sciences ne prend la nature que par petites parcelles ; 
« nul système général, de peur de tomber dans Tincon- 
(( vénient des systèmes précipités, dont l'impatience de 
(( l'esprit humain ne s'accommode que trop bien. » Il avait 
vu du même coup d'œll et le vice actuel des sciences posi- 
tives, et la possibilité qu'un jour il en disparût. Ce jour 
est arrivé. La grande innovation quia donné un système 
général anx sciences positives est l'œuvre de M. Comte ; 
et aussitôt s'est ouverte une immense source d'une géné- 
ralité nouvelle qui n'a rien de commun avec la généralité 
ancienne, la frappe de désuétude et la met hors d'usage. 
Au moment où M. Comte expiait le plus duremeut 
d avoir mis dans le monde de hautes vérités que l'on mé- 
connaissait sans doute, mais que l'on ne méconnaissait pas 
assez pour ne pas lui en porter envie^ comme à ce person- 
nage que Dante a célébré (1), il a plus d'une fois amère- 
ment regretté de n'avoir pas le modeste patrimoine qui 
permit à Descartes d'échapper aux persécutions et de d'at- 
tacher en paix à ses immortelles méditations. On peut, 
sans blesser l'analogie, comparer à l'opération de M. Comte 
l'opération de Descartes ; semblables par leur nature, elles 

(1) Invidiou veri. 



XIV PBÊPACE D'UN DISCIPLE. 

sont dissemblables par le degré d'évolution mentale où 
elles furent exécutées. M. Comte trouva la philosophie 
occuper par la métaphysique ; il la rendit positive. Des- 
cartc^ trouva la philosophie occupée par les entités scolas- 
tiques ; il la rendit purement rationnelle, donnant pour 
loi au monde extérieur le mécanisme, et au monde inté- 
rieur la raison subjective. Ce mot de raison subjective, 
qui, employé comme il Test ici, a une suffisante clarté, 
suggère aussitôt, par correspondance et par balancement, 
celui de raison positive qu'il faut expliquer. La raison sub- 
jective, outre la condition commune d'observer la loi de la 
conséquence entre les prémisses et les conclusions, n'est 
tenue dans la formation de ses principes qu'à n'y rien met- 
tre qui soit contradictoire. Autre est l'obligation imposée à 
la raison positive; il faut que ses principes non-seulement 
ne soient pas contradictoires, mais encore soient l'expres- 
sion d'un fait général. 

Quand Descartes eut remis à ses successeurs le dépôt 
de la philosophie, le thème, tel qu'il l'avait fondé, fut 
d'interpréter le monde extérieur par le mécanisme, et le 
monde intérieur par les idées, ou, pour me servir de ses 
propres expressions, par ce qui se préseiiterait si claire* 
ment à l'esprit qu'on n'etit occasion de le mettre en 
doute. Ce thème demeura celui de toute la philosophie 
subséquente. C'est par les sciences spéciales qu'il devait 
d'abord être attaqué ; et Newton lui porta un coup irré- 
parable en substituant à Thypothèse mécanique des tour- 
billons le fait réel d'une propriété de la matière, la gravi- 
tation. Dès lors la doctrine mécanique alla de chute en 
chute. Celle qui confiait aux idées la formation des prin- 
cipes généraux dura plus longtemps ; et les plus grands 
philosophes du dix-septième siècle et du dix-huitième, 
Spinoza, Leibnitz, Locke et Kant, n'en connurent pas 
d autre. Elle ne tomba que devant Auguste Comte. Résu- 
mant d'une part les déterminations partielles des sciences 



PRÉFACE d'un disciple. XV 

en rimmanence des propriétés de la matière, de l'autre 
substituant aux idées qui ne dépassent jamais le caractère 
logique, des faits généraux qui ont le caractère réel, il 
accomplit une grande rénovation mentale, et acheva ce 
que Descartes avait commencé. 

A le bien prendre, ce fut une rude défaite pour la mé- 
taphysique, de perdre tout le domaine des entités. Les 
scolastiques ne s'y méprirent pas, et virent en Descartes 
un ennemi à poursuivre. Descartes ne s'y méprit pas non 
plus ; aussi prudent, et pouvant obéir aux suggestions de 
la prudence (car, comme il le dit lui-même, il ne se sen- 
tait point, grâces à Dieu, de condition qui l'obligeât à 
faire un métier de la science pour le soulagement de sa 
fortune), il se retira dans un coin de la Hollande, pays 
qui avait alors, par-dessus tous les autres, le privilège 
d'une tolérance relative, et là il accomplit sans encombre 
sa destinée philosophique. Il n'osa pas philosopher à Paris; 
et, quand il eut rendu le dernier soupir, cette ville, qu'il 
n'avait pas jugée un lieu sur pour l'indépendance de sa 
pensée, ne réclama pas ses ossements, et laissa sans un 
souvenir et sans un monument la dépouille d'un des plus 
grands génies qu'ait produits l'humanité. 

Les temps avaient changé, et M. Comte put philoso- 
pher à Paris. Mais il y vécut pauvre, inconnu, méconnu, 
et finalement menacé dans ses moyens d'existence. Il 
s'enveloppa d'une insouciance pour le lendemain que son 
irrésistible vocation lui rendait moins difficile qu'à un au- 
tre ; et il acheva héroïquement ce qu'il avait héroïque- 
ment commencé. 

Même en Hollande, Descartes n'osa pas publier un 
livre où il admettait, d'après Galilée, le mouvement de 
la terre : a II serait besoin, dit-il, que je parlasse de pla- 
ce sieurs questions qui sont en controverse entre les doc- 
c( tes, avec lesquels je ne désire point me brouiller; Je 
Cl crois qu'il sera mieux que je m'en abstienne. ••• 




XV( PREFACE D UN DISCIPLE. 

« pour ce que j*ai tâché d'en expliquer les principales 
a dans un traité de quelques considérations m'empêchent 
ic de publier... » Il s'agit de Traité du monde ^ qui ne 
parut que dix-sept ans après sa mort. Dans ce traité, il ad- 
mettait le mouvement de la terre^ et Galilée venait d'ê- 
tre condamné à Rome pour cette opioion ; telles sont les 
quelques considérations dont Descartes veut parler. Déjà 
Copernic, qui, démontrant, dans son ouvrage sur les Ré- 
volutionSy le mouvement de la terre, établit, indé|)en- 
damment de la gravitation réservée à Newton, le vrai 
système du monde, avait gardé entre ses mains le livre 
dangereux, et il était sur son lit de mort quand on le lui 
apporta imprimé. Galilée, moins retenu, reprit le thème 
de Copernic, et, le fortifiant de tout ce que les instru- 
ments et son génie lui fournirent, rendit la démonstra- 
tion invincible et la condamnation inévitable. Ordinaire- 
ment les découvertes dans les sciences partielles passaient 
sans exciter l'animadversion des pouvoirs ; mais celle-ci, 
portant sur la conception même du monde, troubla l'É- 
glise. Si la terre, avec son humanité, cessait d'être le cen- 
tre de l'univers, et s'il avait au-dessus de nos têtes et au- 
dessous de nos pieds qu'un espace sans limite sillonné par 
des globes sans nombre, où placer le ciel, séjour des bien- 
heureux, et l'abîme, séjour des damnés? il fallait refaire 
en ces points essentiels la théologie. Il fut plus aisé de 
condamner l'homme et so proposition. Certes ^inquisition 
a de plus sanglants méfaits ; mais cette honte d^avoir, en 
plein dix-septième siècle, arraché à un vieillard, par la me- 
nace d'un supplice présent, une rétractation qu'il fallut 
rétracter, lui demeure ineiïacablement. 

Grâce à la tolérance, de pareils attentats ne sont plus 
possibles. La tolérance est une des plus belles vertus so- 
ciales ciue la civilisation croissante ait produites ; et, mo- 
ralement, elle met l'âge moderne bien au-dessus des âges 
anciens. Ceux qui pourraient penser que raccroissement 



PRÉFACE d'un disciple. XYII 

des lumières n'a pas eu un accroissement parallèle de 
moralité, n'ont qu'à considérer la tolérance, et combien 
de souffrances, de crimes, de bourreaux et de victimes 
elle épargne aux sociétés présentes. On a dit que l'anti- 
quité n'avait pas été persécutrice ; c'est une erreur. Il est 
vrai que le paganisme, avec ses dieux multiples, sans 
dogmes précis, rencontrait moins de causes de conflits 
religieux qu'il ne s'en est trouvé depuis. Mais sa nature 
n'était pas moins féroce; on n'a qu'à lire dans les livres 
des Machabées les atroces supplices que les rois grecs in- 
fligèrent au peuple juif pour le forcer à quitter son culte. 
Au nom du polythéisme, Athènes empoisonna Soorate ; 
au nom du monothéisme, Jérusalem crucifia Jésus. Puis, 
quand les chrétiens commencèrent à croître en nombre, 
on vit pendant plus de deux siècles l'intolérance païenne, 
présentant les tortures et la mort, s'exercer contre la 
constance chrétienne. L'intolérance devient non pas plus 
aiguë; mais plus systématique, quand le monothéisme 
s'élève sur les ruines du paganisme. Le christianisme et 
le musulmanisme, acharnés l'un contre l'autre, ne se las- 
sent pas, l'un à l'orient d'exterminer les adorateurs du 
feu, l'autre à l'occident de combattre par le fer et parle 
bûcher des hérésies toujours renaissantes. Et cela durerait 
encore si un tiers parti qui s'appelle la tolérance, deve- 
nant suffisamment fort, n'avait séparé les bourreaux et 
les victimes et imposé la paix. 

M. Comte a dit plusieurs fois que la persécution philo- 
sophique ne pouvait plus ni tuer ni emprisonner, mais 
qu'elle pouvait encore faire mourir de faim. Ce genre de 
persécution, il le ressentit dans toute son angoisse. 11 
avait obtenu honorablement des places modestes et labo- 
rieuses, et il en accomplissait honorablement les fonctions. 
Mais, quand sa philosophie se fut assez montrée pour dé- 
plaire, on entra en conflit avec lui, et on lui disputa ce 
qui faisait son unique revenu. Il lutta, se (^fendit, 

A. CoMTB. Tome I. i 



XVIII PBÉFACE D'UN DISCIPLE. 

espéra, s'affligea ; mais son sort dépendait de volontés 
bien décidées à le briser ; et, s'il échappa à la fâcheuse 
position où on le jetait, il le dut à des circonstances parti- 
culières. 

Je me laisse aller à mon sujet. Je ne veux pas seule- 
ment qu'on admire M. Comte ; je veux aussi qu'on le 
plaigne ; car c'est justice de payer ce tribut à ceux qui, 
souffrant pour la vérité eti>ourune juste vocation, ont, 
comme dit le grand poète, rendu légers les travaux de 
notre vie mortelle {l). Donc, j'entre en plein moyen <^ge ; 
d'autres diraient dans les ténèbres de cette époque bar- 
bare ; mais M. Comte m'a appris dogmatiquement, et je 
me suis convaincu empiriquement que cette époque ne 
fut ni barbare ni ténébreuse. On appelle barbares, par 
exemple, les Germains avant l'invasion qu'ils firent dans 
Tempire romain: ils n'avaient point d'alphabet; îles 
chants guerriers composaient toute leur littérature ; le po- 
lythéisme était leur religion ; point de villes, pctint de 
science; une morale rudimentaire, surtout guerrière ; un 
gouvernement à peine ébauché. Je ne ferai pas Tinjureau 
moyen âge de le comparera ce tableau; lils de la latinité, 
il en conserva les traditions ; il fut chrétien et chevaleres- 
que, consacra la division des deux pouvoirs temporel vX 
spirituel, civilisa l'Angleterre et la Germanie, ])répnra 
l'émancipation des classes laborieuses, se y>assionna pf»nr 
la philosophie et pour les sciences, créa, afin de répondre 
au sentiment de la spiritualité nouvelle, rarcbilectnre si 
improprement appelée gothique, et mit dans le monde ces 
excellents instruments de beauté et de lumière (ju'on 
nomme les langues espagnole, française et italienne. C'est 
en raison de tous ces caractères que l'on comprend com- 
ment la riche et puissante civilisation de l'ère moJerne a 
pu naître de ce moyen âge. 

(1;... Tliosc wlio madc our niortal labours llglit. 



PREFACE DUN DISCIPLE. XIX 

Donc j'entre en plein moyen âge, et j'y trouve un phi- 
losophe victime de sa philosophie, Roger Bacon. Déjà si- 
gnalé pour son ardeur à Tétude et pour ses succès dans l'é- 
cole, il eut la malheureuse idée de se faire moine. Devenu 
frère mineur, loin d'être encouragé par ses supérieurs à 
rien écrire, il reçut la défense, sous les peines les plus sé- 
vères, de communiquera personne aucune composition 
qui vint de lui : a Si j'avais pu le faire librement, dit-il au 
pape, j'aurais beaucoup écrit, et pour mon frère, qui étu- 
diait alors, et pour mes plus chers amis. Désespérant de 
communiquer mes ouvrages, j'ai négligé d'en composer. 
Quand j'ai dit à Votre Gloire que j'étais prêt, je voulais 
parler d'ouvrages à faire, et non d'écxits déjà faits. » 

Sa philosophie, ses hardiesses contre Âristote, je veux 
dire le mauvais Aristote qui avait envahi la soolastique, 
ses travaux scientifiques, tout devint danger pour Roger 
Bacon au milieu des franciscains du treizième siècle; et 
une longue prison le punit d'avoir voulu acquérir des 
lumières, et les répandre, quand il était sous la main de 
frères et de supérieurs peu disposés à tolérer de tels élans. 
La légende s'est emparée de ce moine savant et frappé 
pour sa science, et lui a attribué des merveilles d'un savoir 
surhumain ; mais la vraie et belle légende serait celle qui, 
symboliquement, nous aurait représenté les angoisses 
d'un puissant esprit pour qui les heures passent oisives 
dans les ténèbres d'une prison. 

Et vraiment, quand on voit Roger Bacon puni par ses 
confrères qui ne veulent pas qu'on s'attaque à la science 
scolaslique et que l'on critique l'enseignement, n'est-on 
pas tenté de mettre en regard Auguste, Comte qui, lui 
aussi, critiqua l'enseignement, et que menacèrent dans ses 
moyens d'existence les géomètres ses confrères, ne voulant 
pas d'une philosophie qui les régente, qui leur ôte une 
prépondérance mentale,, légitime au début, illégitime à la 
lin, et qui soumet toute science au sévère régime de la gé- 




XX PRÉFACE D'UN DISCIPLE. 

néralité ? Aussi j'en reviens à mon dire, et, s*il faut re- 
mercier Auguste Ck)mte de son œuvre, il faut le plaindre 
de ses souffrances qui furent longues et aiguës. 

Dans le tome III de ses Mémoires^ M. Guizot, parlant 
de M. Comte, disait : a J'eus quelques rapports (1) avec 
c un homme qui a fait, je ne dirai pas quelque bruit, car 
« rien n'a été moins bruyant, mais quelque effet, même 
a hors de France, parmi les esprits méditatifs, et dont les 
<c idées sont devenues le credo d'une petite secte pbiloso- 
c( phique. x> Il a fallu bien peu d'années pour ôter leur 
vérité à ces paroles, où il ne reste plus qu'un dédain pré- 
maturé. Si peu de bruit s'est fait autour de M. Comte vi- 
vant, du bruit commence à se faire autour de M. Comte 
mort. Son œuvre est demeurée debout sur le bord de sa 
tombe ; l'effet qu^elle produisit sur les esprits méditatifs 
n'a été ni fugace ni stérile; un progrès latent s'est accom- 
pli ; et voilà que de bien des côtés s'anime cette doctrine 
qui u*a point courtisé la popularité, qui s'est confiée à ses 
analogies fondamentales avec l'esprit de la science et de 
la société moderne, et qui présente ce signe digne d'at- 
tention, de passer non pas d'un grand bruit fait lors de sa 
naissance à une décadence hâtive, mais d*un faible com- 
mencement à une croissance spontanée, régulière, gra- 
duelle. 

Et cependant sa doctrine n'est pas de celles qui puis- 
sent se glisser commodément dans le vague de certaines 

(I) Dans mon Visre sur Auguste Comte et la Philosophie positive y p. 213, 
2* édition, j*a?ais signalé une erreur involontaire commise par M. Guizot, 
aa sujet de ses relations avec M. Comte. Cette erreur, M. Guizot vient de 
la rectifier dans le tome VI de ses Mémoires, cb. xiiviii, en des termes 
dont je ne puis trop le remercier quant à la forme. Quant au fond, j'au- 
rais souhaité que Thistorien ne méconnût pas la loi de changement et de 
développement des sociétés, loi dont rébranleroont des croyances théolo- 
giques et la philosophie positive sont des manifestations, et que Thomme 
d*État ne méconnût pas, de son côté, l'opportunité des tentatives philoso- 
phiques d'organisation dans un milieu troublé, et les sacrifices qu'elles 
impotent. 



PRÉFACE d'un DISGIPLB. XXI 

tendances contemporaines, se laisser aller aux ondula- 
tions du flot religieux, se pencher sur les abtmes du pan- 
théisme, entrer complaisamment dans les voies que la mé- 
taphysique reprend sans cesse avec une constance de moins 
eu moins méritoire, ou égarer la science en des compromis 
où elle ne donne ni ne reçoit rien. Non, elle est sérieuse- 
ment résolue à mettre l'homme à sa place dans le monde 
intellectuel et moral, comme Tastronomiery a mis dans le 
monde matériel. Entre les instincts nouveaux créés par 
la science et par Tindustrie, et les habitudes anciennes 
créées par la théologie et par la métaphysique, se meut 
la philosophie positive s'appuyant sur les uns pour écarter 
les autres. Les transactions ne sont pas à son usage ; elle 
ne peut attribuer un semblant de réalité à ce qui pour 
elle est dénué de réalité; elle prêche aux hommes la rési- 
gnation devant ce qui est immuable, le savoir pour dis- 
cerner ce qui peut être changé, et la force morale ponr 
faire servir les propriétés des choses à améliorer leur 
condition matérielle et à s'améliorer eux-mêmes; et elle 
compte qu'en leur demandant résignation, savoir et force 
morale, elle triomphera par le seul ascendant d'une civi- 
lisation dont elle est l'expression la plus haute. 

Aussi la polémique contemporaine ne la laisse pas 
inaperçue. On lui fait sa place; et, par cela seul, le ni- 
veau de la discussion change; on s*écarte de la route 
battue en ceci que Ton reconnaît la nécessité pour la mé- 
taphysique de donner aux sciences positives au moins 
voix consultative dans les questions qu'elle agite. Écou- 
tons-la en effet (1) : « Le fait qui a servi de point de 
départ au système de M. Darwin est un fait si prosaïque 
et si vulgaire, qu'un métaphysicien n'eût jamais daigné 
y jeter les yeux. 11 faut pourtant que la métaphysique 
s'habitue à regarder, non pas seulement au-dessus de 

(1) M. Paul Janet. Revue des deux mondes. !•' décembre et 15 tioùt tMÊàm 




XXII rUÉFACE D'UN DISCIPLE. 

nos tètes, mais à nos côtés et à nos pieds... Ne dédai- 
gnons pas d'entrer avec M. Darwin dans les étahles des 
éleveurs, de chercher avec lui les secrets de Tindustrie 
chevaline, bovine, porcine, et, dans ces productions de 
Tart humain, de découvrir, s'il est possible, les artiOces 
de la nature. Sans doute, lorsqu'il y a plusieurs années, 
une exposition universelle rassemblait à Paris les plus 
beaux échantillons de ces diverses industries, lorsque, 
chaque année encore, dans les concours de départements, 
on voit décerner des prix aux plus beaux produits de 
rélevage, qui eût cru, qui pourrait croire que, dans ces 
expositions et ces concours, la tbéodicée fût intéressée ? 
Et cependant les faits de la nature se lient les uns aux 
autres par un lien si subtil et si continu, et les accidents 
les plus insigniGants en apparence sont tellement gou- 
vernés par des raisons générales et permanentes, que rien 
ne peut être indifférent aux méditations du penseur, 
surtout des faits qui touchent de si près au mystère de 
la vie. » 

La métaphysique» sans faire attention k l'incompati- 
bilité entre la méthode à posteriori^ ({ui est celle des 
sciences positives, et la méthode à priori^ qui est la sienne, 
se demande d*où vient Taversion non déguisée des sa- 
vants pour les causes finales et pour tout ce qui y res- 
semble, et en quoi Thypothèse d'un plan et d'un dessein 
dans la nature est contraire à l'esprit scientifique. 

La science positive, qui s'attache à ce qui la sert et 
qui laisse tomber ce qui lui est inutile, n'a pas toujours 
eu de l'aversion pour les causes finales, ni jugé con- 
traire à son esprit l'hypothèse d'un plan et d'un dessein 
dans la nature. 11 fut un temps où; comme la métaphy- 
sique, elle fit intervenir ces causes et cette hypothèse dans 
ses recherches ; mais, entre une cause première dont elle 
n'a aucun moyen de déterminer la nature, et un but 
qu'elle n'a aucun moyen de saisir, elle s'aperçut que 



PRÉFACE d'un disciple. XXIII 

cette doctrine ne lui était (l*aucun secours ; et la force des 
clioses la rejeta dans la féconde doctrine des conditions 
d'existence, féconde parce qu'elle est relative et expé- 
rimentale. Dans les travaux spéciaux, tous, croyants ou 
non croyants, renoncent à la première, se conforment à 
la seconde. En bonne logique, la doctrine des causes 
finales aurait dû être un résultat, non un principe ; mais, 
au rebours, elle s'établit comme principe, alors que la 
constitution du monde était la moins connue ; et main- 
tenant que cette constitution est beaucoup mieux connue» 
nlle demande avec inquiétude à la science de la consacrer 
comme résultat. Evidemment, cette conception est sub- 
jective, ou, ce qui est la même chose, métaphysique, et, 
partant, précaire jusqu'à vérification. 

En ceci , la vérification consiste à reconnaître si la finalité 
s'étend à l'ensemble des phénomènes, ou si elle en laisse 
échapper certaines catégories. Dans le premier cas, Tbypo- 
tliè>e, je me sers du mot qui m'est fourni, et il est bon, 
devient un fait général ; dans le second cas, la contra* 
diction entre les différentes catégories de phénomènes de- 
vient insoluble, l'hypothèse invérifiable, et la poursuite 
stérile. 

Un des exemples qu'on prend le plus volontiers en fa- 
veur de la finalité est celui de l'œil ; il est excellent ; l'œil 
est un instrument, et un opticien, dans son atelier, dispose- 
rait de la sorte les divers milieux, la courbure du cristallin, 
l'ouverture de la pupille, pour qu'une image nette vînt 
se projeter sur la rétine. Par conséquent, il est naturel de 
conclure « qu'une cause intelligente a eu devant soi l'effet 
c( particulier que chacune des parties devait produire, et 
(( l'effet commun qu'elles devaient produire toutes en- 
te semble, » en d'autres termes, que cette cause a eu un 
plan et s'est proposé un but qu'elle a atteint. Soit : voilà 
l'hypothèse vérifiée pour ce cas et pour tous les cas analo- 
gues ; mais il ne s'agit pas de faire un choix, et il importe 



XXIV PRÉFACE d'un DISCIPUS. 

d'examiner comment la doctrine se comporte à Tégard 
d*autres conditions. De ces autres conditions, en voici une 
entre mille : ce chien qui vous lèche la main a la salive 
inoffensive ; mais, par un procédéchimico-vilal quijusqu'à 
présent dépasse la subtilité de l'art humain, il va se for- 
mer dans cette salive un principe délétère^ qui donnera la 
mort à l'animal et à ceux en cjui les morsures l'inocule- 
ront. Ce n'est pas tout ; ce nouvel état, dans lequel il est 
mis, lui inspire un funeste désir de mordre, de sorte que 
la cause qui a combiné le virus a en même temps tout 
disposé pour qu'il ne se perdit pas inoffensif. Que dire de 
cette singulière cause finale? et comment accorder la 
finalité qui parait régir ce cas-ci avec la finalité qui parait 
régir le cas de l'œil? 

Autre exemple. La cause, quelle qu'elle soit, d'où pro- 
YÎennent les êtres organisés, a créé, à côté des espèces 
vivant par elles-mêmes, des espèces parasites qu'elle a 
jetées par tribus innombrables dans le sein de tous les 
animaux. Elle loge ces entozoaires chez les insectes, chez 
les poissons, chez les oiseaux, chez les mammifères, chez 
l'homme, dans l'œil, dans le sang, dans l'intestin^ dans 
le foie, dans le cerveau, dans les muscles ; les germes en 
sont partout ; ils se glissent dans les organes, et, pour 
peu que le sol soit propice, ils s'y greffent et prospèrent 
aux dépens de l'organisme qu'ils condamnent à la souf- 
france et à la destruction. De ces entozoaires, quelques- 
uns offrent les plus singulières complications de trans- 
formation ; vous les voyez hors de l'animal sans les 
reconnaître; ils passent par deux ou trob générations 
pour accomplir leur évolution, et représentent certaine- 
ment un admirable artifice pour désoler les pauvres vic- 
times auxquelles ils sont vi^iblement destinés. 

Aux arguments de la finalité, qui n'ont pas été renou- 
velés, je n'ai pas la prétention d'opposer une argumen- 
tation qui soit nouvelle ; et, au siècle dernier, un per- 



PRÉFACE d'un disciple. XXY 

sonnage d'un roman de Voltaire demandait ce que 
signifiait faire des araignées pour éventrer des mouches. 
Mais ce qui est nouveau en ceci, c'est qu'alors une telle 
argumentation prenait sa source dans une métaphysique 
seulement négative et dissolvante, et qu'aujourd'hui elle 
la prend dans une philosophie qui, fille des sciences po- 
sitives, organise le savoir général comme elles ont orga- 
nisé le savoir spécial. 

Transporté dans Tordre de la finalité, nécessairement 
Tesprit se trouble et chancelle. Le problème, duquel on ne 
sait même pas s'il est bien posé, puisqu'il n'est posé que sub- 
jectivement, est hors de sa portée. La science, qui n'est 
devenue positive que depuis qu'elle expérimente et vé- 
rifie, ne veut plus d'une finalité qui ne se vérifie ni ne 
s'expérimente. Elle ne s'obstine pas vainement devant 
des issues qui lui sont fermées, et se porte 'avec d'autant 
plus de force vers les issues qui lui sont ouvertes. Jadis 
elle reçut de la métaphysique la doctrine des causes 
finales ; aujourd'hui elle la lui laisse comme un instru- 
ment sans vertu. Cette doctrine, qui n'a aucun usage 
entre les mains de la science positive, n'a qu'un usage 
nominal entre les mains de la métaphysique; c'est un 
mot qui ne peut devenir une chose, c'est une idée subjec- 
tive qui ne peut devenir objective. Tandis que la science 
positive, ainsi allégée, marche et s'empare de l'esprit 
humain, ce même esprit se détourne de la métaphysique 
éternellement arrêtée devant des questions sans réponse. 
Tout se juge par les faits et par les fruits. 

Le physicien, sagement convaincu désormais que Tin- 
timité des choses lui est fermée, ne se laisse pas dbtraire 
par qui lui demande pourquoi les corps sont chauds ou 
pesants ; il le chercherait en vain, et il ne le cherche plus. 
De même, dans le domaine biologique, il n'y a pas lieu 
de demander pourquoi la substance vivante se constitue 
en des formes où les appareils sont, avec plus ou moins 



XXVI PRÉFACE d'un DISCIPLE. 



d'exactitude, ajustés au but, à la fonction. S'ajuster ainsi 
est une des propriétés immanentes de cette substance, 
comme se nourrir, se contracter, sentir, penser. Cette 
vue, étendue aux perturbations , les embrasse sans diffi- 
culté ; et l'esprit, qui cesse d'être tenu à chercher l'impos- 
sible conciliation des fatalités avec les finalités, ne trouve 
plus rien qui soit inintelligible, c'est-à-dire contradictoire, 
dans ce qui lui est départi du monde. 

Ce qui lui est départi du monde ! La terre qui nourrit 
l'homme et qui reçoit ses ossements ; le soleil qui épanche 
lumière et chaleur dans l'espace planétaire; par delà cet 
espace, l'univers, si vaste et si reculé que les soleils ne nous 
paraissent plus que des étoiles dont se parent nos nuits ; 
la faible mais pensante humanité jetée dans cette immen- 
sité ! certes, la grandeur, la beauté, la contemplation, sont 
là comme elles* n'ont jamais été. Quand T homme s'engagea 
dans la recherche laborieuse de la réalité des choses, il 
lui fut promis par un secret instinct que la réalité, la vé- 
rité ne laisserait ni son imagination sans merveille, ni 
son cœur sans chaleur. La promesse a été tenue : le monde 
s'est ouvert avec une grandeur qui est une souveraine 
beauté; et le souci de l'humanité est venu allumer en 
8on cœur la flamme précieuse des sentiments imper- 
sonnels. 

C'est une opinion généralement accréditée parmi les 
métaphysiciens et même parmi quelques-uns de ceux qui 
cultivent les sciences spéciales, qu'en combattant le ma- 
térialisme on combat du même coup la philosophie posi- 
tive. L'erreur est grande et mérite d'être refutée. Aucun 
des coups portés au matérialisme n'atteint cette philoso- 
phie ; et j'avertis ses adversaires de ne pas tomber en cette 
méprise, qui rend leur polémique illusoire. On objecte 
au matérialisme de ne pouvoir dire ce qu'est en soi la 
matière. Qu'importe à la philosophie positive, elle qui 
prend la matière comme les sciences la prennent, et qui 



PRÉFACE d'un disciple. XXYII 

use de ces notions comme les sciences en usent elles- 
mêmes? On reproche au matérialisme de ne pouvoir expli- 
(|uer ni de quelle façon leâ changements de la pensée sont 
proportionnels aux changements du cerveau, ni com- 
ment, dans le tourbillon vital ou échange perpétuel de 
matière qui s'opère entre le corps vivant et le monde 
extérieur, le cerveau, qui participe à cet échange, garde 
néanmoins le sentiment constant de l'identité. Qu'im- 
porte à la philosophie positive, elle qui, partant du fait 
indéniable qu'on ne connaît point de pensée sans cerveau, 
repousse comme vaines toutes les hypothèses, soit ma- 
térialistes, soit spiritualistes, sur les conditions qui font 
<]ii'à la substance nerveuse sont attachées la sensibilité et 
Tintelligence ? La métaphysique accule à des impossibi- 
lités promptement visibles le matérialisme essayait 
d'expliquer par les conditions delà matière la production 
f»remière des êtres vivants. Qu'importe à la philosophie 
positive, elle qui professe qu*on ne peut atteindre aucune 
production première, et qui ne se croirait pas plus solide 
quand bien même on démontrerait que les générations 
spontanées sont réelles ? L'hétérogénie, biologiquement, 
est un très-important problème ; mais, philosophique- 
ment, elle ne change pas la position de l'esprit humain en 
face de Torigine ou de la fin des choses. Si elle est fausse, 
le matérialisme n'en niera pas moins le spiritualisme ; si 
elle est vraie, le spiritualisme n*en niera pas moins le ma- 
térialisme ; car la possibilité ou Timpossibilitè de faire, 
sans parents ni germes, des êtres végétaux ou ani- 
maux de Tordre infime, laisse toujours les voies ouvertes 
à riutervention des forces inconnues de la matière sui- 
vant le matérialisme, ou à l'intervention de l'esprit suivant 
le spiritualisme. Ni spiritualisme ni matérialiste, la phi- 
losophie positive écarte de la science générale les débats 
que la science particulière a depuis longtemps et à soU' 
grand profit rejetés. 




XXVIIT PAÉFACE D'UN DISCIPLE. 

La métaphysique, quand elle se sent trop pressée par 
le matérialisme, lui tient ce langage en lui reprochant de 
confondre la matière et Tesprit : « Sur quoi nous fondons- 
<ï nous pour forcer la nature à n'être autre chose que Té- 
ii ternelle répétition de soi-même, et, comme le dit Di- 
« derot, un même phénomène indéfiniment diversifié? 
« Illusion et orgueil ! Les choses ont de plus grandes pro- 
« fondeurs que n'en a notre esprit. Sans doute, la matière 
a et l'esprit doivent avoir une raison commune dans la 
a pensée de Dieu ; c'est là qu'il faudrait chercher leurder* 
(( nière unité ; mais quel œil a pénétré jusque-là ? Qui 
a pourra croire avoir expliqué cette origine commune à 
« toute créature ? Qui le pourrait, sinon celui qui est la 
a raison de tout ? Mais surtout quelle faiblesse et quelle 
«ignorance de limiter l'être réel des choses à ces fugi- 
a tives apparences que nos sens en saisissent, et de faire 
«c de notre imagination la mesure de toutes choses ? d A 
cela, la philosophie positive répond, non pas au nom du 
matérialisme, mais au sien : Celui qui déclare qu'il faut 
chercher la raison commune des choses dans la pensée de 
Dieu, .et en même temps qu'aucun œil n'a pénétré jusque- 
là, se propose de la chercher dans un lieu inaccessible. 
Se proposer un lieu inaccessible où Ton cherchera est 
toute l'histoire de la métaphysique. 

Cette raison commune des choses, c^est dans un lieu 
accessible que la philosophie positive la cherche, lieu 
qui est celui des sciences positives. Elle leur a demandé à 
quoi leur servaientles causes premières et les causes fina- 
les ; et, ayant appris qu'elles avaient abandonné comme 
stérile toute spéculation sur ces causes, elle a fait dans 
son département ce qu'elles avaient fait dans le leur ; 
elle a lié sa méthode à leur méthode, son scM't à leur 
sort. Le trait de génie est d'avoir trouvé entre les scien- 
ces un lien substantiel, et tiré de ces positivités spé- 
ciales une positivité générale qui est désormais une phi- 



PBÉFACE D'UN DISCIPLE. XXTX 

losophie capable de teoir la direction de Tesprit nouveau. 

Dans ce que le lecteur vient de parcourir, la science po- 
sitive n^est point appelée comme un auxiliaire ; elle de- 
meure suspecte et redoutée ; seulement Timportance 
qu'elle a conquise contraint de ne pas la négliger complè- 
tement. Mais il est des métaphysiciens qui, loin de la 
traiter en suspecte, cherchent à appuyer sur elle leurs 
systèmes (1). 

Ici c'est d'une cosmogonie qu'il s'agit. On admet qu'à 
l'origine il n'y a que l'atome flottant isolé dans l'espace et 
ne possédant, en son isolement, que les propriétés méca- 
niques de la matière. On admet ensuite que ces atomes se 
conjoi^nent et forment la molécule où interviennent les 
propriétés chimiques ; enfin on admet que les molécules 
viennent se condenser en soleils. Une fois qu'on a ainsi 
conçu la formation de ces astres, on se trouve en un do- 
maine plus rapproché de l'expérience, et, à Taide de 
l'hypothèse de Laplace, on se figure des anneaux de ma- 
tière solaire se détachant de la masse totale et constituant 
les planètes. La terre ainsi détachée à son tour, la géologie 
suggère les antitiues périodes de la végétalité et de Tafii- 
malité commençantes ; et, finalement, l'histoire divise 
rhumanité en époque inconsciente qui s'étend de l'ori- 
gine aux temps historiques, et en époque consciente qui 
point en Egypte et qui comprend environ cinq mille ans. 

Avant d aller plus loin, il n'est pas inutile d'intercalé 
une remarque. Les idées qui viennent d'être énoncées pré- 
sentent la molécule chimique comme postérieure à l'atome 
mécanique, et la mécanique ou physique comme anté- 
rieure à la chimie, de même que la vie est postérieure à 
l'un et à Tautre. Ceux qui ne sont pas sans familiarité avec 
les livres d'Auguste Comte savent que, justement, il a 
rangé en cet ordre la physique, la chimie et la biologie, 

(1) M. r%enan. Revue des deux mondes, 15 octobre 1863. 



XXX rnÉFACE d'un disciple. 

se fondant sur ce que ces sciences s'occupent de phénomè- 
nes de plus en plus compliqués. Moi-même, cherchant h 
défendre la classification d'Auguste Comte contre des ob- 
jectionsy et essayant de distinguer la constitution des scien- 
ces de leur évolution, j'ai fait voir qu'en effet la nature 
nous offre trois degrés de complexité : le degré physique 
où la substance, présentant une seule matière élémen- 
taire, n'a que des propriétés de gravitation, de chaleur, 
d'électricité, etc., le degré chimique ou deux molécules 
élémentaires se combinent pour former un composé ; enfin 
le degré vital où la combinaison des molécules devient 
ternaire et quaternaire. J'ai dit plus d'une fois que, de 
la philosophie positive, il flotte dans l'air des lambeaux 
que chacun s'approprie et tourne à son gré : voilà un de 
ces lambeaux que je signale. 

Pourtant, entre la conception positive que je viens de 
rappeler et la forme métaphysique qui lui a été donnée, 
il y a toute la distance qui sépare un résultat de l'observa- 
tion d'avec une hypothèse invéri6able. Tandis que le de- 
gré de complexité constaté dans la nature explicjue com- 
ment les sciences se sont constituées l'une après l'autre, et 
pourquoi il faut, dans une éducation encyclopédiciue, les 
apprendre conformément à un tel ordre, Timagination 
qui s'est jetée dans l'hypothèse invérifiable n'en rapporte 
que cequ'elle y à mis. Nous ne savons rien sur une période 
moléculaire ou chimique qui aurait précédé les soleils : 
xien sur une période atomique qui aurait précédé la pé- 
riode moléculaire. L'hypothèse cosmogonique de Laplace 
reste ouverte comme satisfaisant à quelques-unes des con- 
ditions astronomiques du problème. Sans doute l'étude 
prolongée des comètes, des astéroïdes et des aréolithes 
permettra d'étendre nos connaissances sur la constitution 
des espaces cosmiques ; mais il est impossible d'anticiper «^r 
de dire quelles conjectures ultérieures elle autorisera. Je 
n'inherdis point à l'esprit de se perdre, avec ^indéfiIii^^a- 



PR^-FACE, d'cN disciple. AXAI 

ble frémissement que cause Tabime, dans Tespace et dans 
le temps sans borne; mais cela est la satisfaction indivi- 
duelle de la contemplation, qui donne essor à des élans de 
sentiment et de poésie ; et Ton confond deux domaines, 
quand on reporte en la science ce que la contemplation 
poursuit en ses lointains voyages. 

On ne peut trop répéter Tanathème prononcé par 
M. Comte contre les hypothèses invérifiables. La grandeur 
de la science n'est pas dans Teffort impuissant et subjectif 
de connaître ce qu'elle ne peut connaître; elle est dans ce 
labeur, bien récompensé jusqu'à présent, qui interroge 
objectivement la nature, et qui en retire des notions rela- 
tives sans doute, mais du moins portions certaines et ac- 
quises d'une vérité croissante et enchaînement méthodique 
de conceptions de plus en plus compliquées. 

Il est vrai que de telles conceptions ne comportent pas 
de métafdiysique, au lieu que la métaphysique est l'abou- 
tissant inévitable de tout ce qui s'engage, même sous des 
prétextes scientifiques, dans les considérations d'origine et 
de fin. La forme que prend ici la métaphysique est le 
panthéisme. La thèse fondamentale de cette théologie (c'est 
Texpression) est que Dieu est immanent et dans l'ensem- 
ble de Tunivers et dans chacun des êtres qui le compo- 
.^ent; mais il ne se connaît pas également dans tous : il 
se connaît plus dans la plante que dans le rocher, plus 
dans l'animal que dans la plante, plus dans l'homme 
que dans l'animal, dans Thomme intelligent que dans 
l'homme borné, dans l'homme de génie que dans l'homme 
intelligent, dans Socrate que dans l'homme de génie, dans 
Bouddha que dans Socrate, dans le Christ que dans Boud- 
dha. Cette conscience divine croissant et se développant 
avec la croissance et le développement des êtres, il de- 
vient convenable qu'on puisse dire que Dieu sera plutôt 
qu'il n'est, qu'il est in fieri et en voie de se faire ; et qu'au 
bout du développemejit complet, il sera complet si l'on 



XXXII PRÉFACE d'un DISCIPLB. 

fait (lu mot Dieu le synonyme de la totale existence. C*est 
là la pure doctrine de Thégélianisme. Mais Ton ajoute que 
s'arrêter là serait une théologie fort incomplète; que Dieu 
est plus que la totale existence ; il est en même temps l'ab- 
solu ; il est le lieu de Tidéal, le principe vivant du bien, 
du beau et du vrai ; euvisagé de la sorte. Dieu est pleine- 
ment et sans réserve; il est éternel et immuable, sans pro- 
grès ni devenir. 

Je ne suis pas panthéiste, et par conséquent n*ai point à 
examiner comment Dieu peut être à la fois personnel et 
impersonnel, dans le devenir et dans l'absolu. Rejetant le 
principe, je nuirai pas chicaner les conséquences. Tout ce 
que je remarquerai au nom de la philosophie positive, c'est 
que, de quelque manière que Ton conçoive, avec le pan- 
théisme, un dieu immanent au monde, c'est une idée pu- 
rement subjective ; une idée qu'aucune science ne fournit ; 
une idée qui ne prendrait de réalité que si quelque confir- 
mation à posteriori lui venait en aide ; une idée qui , recon- 
nue invérifiable, perd Tintérêt qu'elle excita quand, dans 
un état de raison moins mûre, on pensa qu'elle était véri- 
table. 

Si l'on se croit en droit de concevoir d'une certaine fa- 
^n l'origine des choses, par une conséquence inévitable 
on se croira en droit de concevoir aussi d'une certaine fa- 
çon la fin des choses, et de construire de toutes pièces ce 
((u'en termes d*école on nomme une eschatologie. Ici, dans 
l'espèce de panthéisme dont je m'occupe, cette consomma- 
tion finale, cette palingénésie dernière sera l'œuvre de la 
science ; et l'on affirme que la résurrection finale se fera 
par la science, soit de Thomme, soit de tout autre être in- 
telligent ; on espère qu'une science infinie amènera un pou- 
voir infini, et que Têtre en possession d'une telle science et 
d'un tel pouvoir sera vraiment maître de l'univers, ne 
connaîtra plus les bornes de Tespace, et franchira les limi- 
tes de sa planète ; de sorte qu'un seul pouvoir gouvernera 



PnÉFACE d'un disciple. XXXIII 

réellement le inonde, et ce sera la science, ce sera l'esprit. 
Tel est l'avenir promis à rhumanité qui est le principal ins- 
trument de cette œuvre sacrée, ou, si l'humanité s'annule 
elle-même pour les grandes choses, à quelqu'une des 
antres intelligences disséminées dans l'univers. En même 
temps qu'on présente l'esprit universel se dégageant par 
le travail des intelligences incorporées, on présente aussi 
un Dieu en qui Thomme est immortel, en qui vivent 
toutes les âmes qui ont vécu, en qui sera la résurrection de 
toutes les consciences ; un monde que nous aurons contri- 
bué à faire, où nous ressusciterons et où la religion se trou- 
vera vraie; une vie infinie dont notre vie aura été une 
portion et où nous aurons notre place marquée pour l'éter- 
nité. Je l'ai dit tout à Thcure, je ne suis pas panthéiste, et 
ne me prévaudrai pas des difficultés que susciterait la con- 
ciliation de propositions qui semblent si diverses ; et je me 
borne à remarquer que, si rien, dans l'ordre positif, n'au- 
torise la conception panlhéistique du monde, à plus forte 
raison est-il interdit d'en tirer, par voie de déduction, des 
conséquences nécessairement plus fragiles encore que leur 
fragile fondement. 

D'un philosophe nourri essentiellement dans les lettres 
et dans l'érudition, je passe à un philosophe nourri es- 
sentiellement dans la science positive (1). Ces deux esprits, 
bien que congénères, puisqu'ils concourent dans une méta- 
physique finale, ont pourtant des dissemblances dans leur 
manière de procéder ; et Téminent chimiste ne quitte pas 
sans quelque regret un terrain dont il connaît si bien la so- 
lidité, et dont il trace les caractères de la main la plus ferme. 

La science positive est tout d'abord excellemment défi- 
nie : elle ne poursuit ni les causes premières ni la fin des 
choses ; mais elle procède en établissant des faits et en les 
rattachant les uns aux autres par des relations immé- 

(1) M. Bertlivlot, Hcvue des Deuc Mondes, 15 noîenibre I8c3. 
A. ( OMTE. Tumc I. c 



XXXIY PRÉFACE D*[JN DISCIPLE. 

diates. C'est la chaîne de ces relations, chaque jour éten- 
due plus loin par les efforts de Tintelligence humaine, 
qui constitue la science positive. 

Le principe essentiel de la science positive est reconnu, 
à savoir, qu'aucune réalité ne peut être établie par le rai- 
sonnement. Le monde ne saurait être deviné. Toutes les 
fois que nous raisonnons sur des existences, les prémisses 
doivent être tirées de l'expérience et non de notre propre 
conception ; de plus la conclusion que Ton tire de telles 
prémisses' n'est que probable et jamais certaine : elle ne 
devient certaine que si elle est trouvée, à l'aide d'une ob- 
servation directe, conforme à la réalité. 

Sans hésitation, l'ordre moral est rangé sous la catégorie 
de la science positive. Il s'y agit d'abord d'établir les faits 
et de les contrôler par l'observation, puis de les enchaî- 
ner en s'appuyant sans cesse sur cette même observation. 
Tout raisonnement qui tend à les déduire à priori de 
quelque axiome abstrait est chimérique ; tout raisonne- 
ment qui tend à opposer les unes aux autres des vérités 
de fait, et à en détruire quelques-unes en vertu du principe 
logique de contradiction, est également chimérique. C'est 
l'observation des phénomènes du monde moral, révélés 
soit par la psychologie, soit par Thistoire et l'économie 
politique, c'est l'étude de leurs relations graduellement 
généralisées et incessamment vériflées, qui servent de 
fondement à la connaissance scientifique de la nature hu- 
mcdne. La méthode qui résout chaque Jour les problèmes 
du monde matériel et industriel est la seule qui puisse 
résoudre et qui résoudra tôt ou tard les problèmes fonda- 
mentaux relatifs à l'organisation des sociétés. 

Enfin, le tableau s'achève, en signalant la position pré- 
sente de la science positive, qui a conquis peu à peu dans 
l'humanité une autorité fondée, non sur le raisonnement 
abstrait, mais sur la conformité nécessaire de ses résultats 
avec la nature même des choses. L'enfant se plaît dans le 



PRÉFACE d'un DISCIPLB. XXX Y 

rêve, et il en est de même des peuples qui eommencent ; 
mais rien ne sert de rêver, si ce n'est à se faire illusion à 
soi-même... Les anciennes opinions, nées trop souvent de 
rignorance et de la fantaisie, disparaissent peu à peu pour 
faire place à des convictions nouvelles, fondées sur Tobser- 
vation de la nature, c'est-à-dire de la nature morale aussi 
bien que de la nature physique. Les premières opinions 
avaient sans cesse varié, parce qu'elles étaient arbitraires ; 
les nouvelles subsisteront, parce que la réalité en devient 
de plus en plus manifeste, à mesure qu'elles trouvent leur 
application dans la société humaine, depuis Tordre maté- 
riel et industriel jusqu'à Tordre moral et intellectuel le plus 
élevé... Tous les esprits réfléchis sont ainsi gagnés sans 
retour, à mesure que s'efface la trace des vieux préjugés, 
et il se constitue dans les régions les plus hautes de Tbu- 
manité tout un ensemble de convictions qui ne seront plus 
jamais renversées. 

Tout cela, la philosophie positive Ta dit ou le dirait. 
Jusque-là, l'accord est complet; mais, quand il s'agit de 
passer des sciences spéciales à la science générale ou phi- 
losophie, Taccord cesse ; et, tandis que la philosophie po- 
sitive soutient qu'il n'y a de science générale que dans la 
considération hiérarchique des sciences particulières, ou, 
en d'autres termes, de tout le savoir humain, Tesprit mi- 
métaphysique, et mi-positif, partagé entre des tendances 
contraires, échappe en jetant en avant Tespérance d'une 
science idéale à laquelle il attribue une méthode positive 
et des conclusions métaphysiques. 

Mais n'antidpons pas. Cette science idéale a un objet, 
une méthode et un résultat, 

\J objet en est de satisfaire à un besoin de Tesprit hu- 
main porté par une impérieuse nécessité à affirmer le der- 
nier mot des choses, Ou, tout au moins, à le chercher; en 
deçà comme au delà de la chaîne scientifique, il conçoit 
sans cesse de nouveaux anneaux ; où il ignore, il est con- 



XXXVI PBêFACB d'un DISCIPLE. 

duit par une force invincible à construire et à imaginer, 
jusqu'à cequ*il soit remonté aux causes premières; ce 
procédé représente un fait d*observation prouvé par l'é- 
tude de chaque époque, de chaque peuple, de chaque in- 
dividu ; il n*est pas permis de refuser de Tapercevoir ; 
c*est ici un fait comme tant d'autres, son existence néces- 
saire dispense d*en discuter la légitinfiité. — Oui, sans 
doute, mais cette existence nécessaire ne dispense pas de 
l'analyser. Or, à le présenter ainsi, il y a confusion entre 
ce qu'il contient de permanent et ce qu'il contient de tran- 
sitoire. Ce qui est permanent, c'est la présence perpétuelle 
de Tesprit humain devant Tinfinité et Téternité des choses ; 
ce sentiment, il ne le perdra jamais; et c'est un des plus 
salutaires et des plus grandioses qu'il puisse éprouver et 
cultiver. Mais ce qui est transitoire, c'est d'essayer inuti- 
lement de résoudre d'insolubles problèmes ; tant qu'il y 
eut le moindre espoir d'obtenir une réponse des abîmes 
muets, l'esprit eut raison de s'y employer avec toute son 
énergie ; là est dans le passé et dans l'histoire le champ 
glorieux de la métaphysique. Mais la condition a changé ; 
si l'absolu des métaphysiciens est quelque chose, il est une 
réalité, et la réalité suprême; or, la moindre réalité, cela 
est de notoriété scientifique, ne se connaît que par l'expé- 
rience, laquelle, à son tour^ n'est pas applicable à l'absolu, 
en vertu d^ la définition même de l'absolu; c'est donc un 
cercle sans issue ; et l'on aperçoit que la métaphysique est 
une phase transitoire de l'esprit humain. 

J'ai peu de chose à dire sur la méthode. Elle est, il faut 
le remarquer, celle des sciences positives. Je n'irai point 
argumenter là-dessus contre la science idéale. Je note seu- 
lement que c'est le contre-pied de la méthode métaphysi- 
que, qui est subjective, à priori et hors de l'expérience. 
Tout à rheure on verra quel caractère ce changement total 
de méthode imprime à la science idéale. 

J'arrive aur^^u/^â/. Le voici : élever la science idéale, t|ui 



PRÉFACE d'un disciple. XXXTII 

est tout aussi nécessaire que la science positive, mais dont 
les solutions, au lieu d*ètre imposéeset dogmatiques comme 
aatrefob, ont désormais pour principal fondement les opi- 
nions individuelles et la liberté. 

Ce résultat est donc une opinion individuelle ; mais il 
serait injuste de ne pas dire à quelles conditions elle est 
assujettie: d'abord, qu'il soit question du monde physi- 
que ou du monde moral, il n*y a de probabilité qu'en s'ap- 
puyant sur les mêmes méthodes qui font la force et la cer- 
titude de la science positive ; en second lieu, il ne s*agit 
plus de choisir le système, le point de vue le plus sédui- 
sant par la clarté ou par les espérances qu'il entretient ; 
enfin, rien ne sert de se tromper soi-même ; les choses 
sont d'une manière déterminée, indépendante de notre 
désir et de notre volonté. 

Maintenant , écartant toute ambiguïté , qu'est-ce 
qultine opinion individuelle qui cherche à concevoir 
les causes premières et les causes finales en partant des 
données que fournit chacune des sciences positives? 
Cest quelque chose qui jusqu'à présent n'a pas de nom 
en philosophie, je veux dire une conception à base po- 
sitive et à couronnement métaphysique, un absolu con- 
struit avec des matériaux posilifs. G*est là le vrai sens de 
ce terme : science idéale. On peut encore, pour achever de 
l'éclaircir, la définir de cette façon : tandis que la méta- 
physique fait Tabsolu à Timage du monde intérieur, la 
science idéale le fait à Timage du monde extérieur. A ce 
point, comme la science idéale n'en est encore qu'à son 
programme, on peut lui prédire ce qui lui adviendra : ou 
bien elle construira son absolu, rompra avec la méthode 
positive, et fera retour à la métaphysique ; ou bien elle 
ue construira pas Tabsolu, restera dans le relatif et se con- 
fondra dans la philosophie positive. Entre la philosophie 
positive et la métaphysique, elle ne peut pas avoir d'exis- 
tence indépendante* 



XXXVIII PRÉFACE D'UN DISCIPLE. 

Ici il importe d'intercaler une remarque sur un emploi 
abusif du mot de métaphysique. On dit fréquemment que 
la métaphysique étudie les conditions logiques de la con- 
naissance, les catégories de l'esprit humain, les moules 
suivant lesquels il est obligé de concevoir.. Sans doute, 
alors que toute philosophie était métaphysique, de pareils 
sujets étaient de son ressort exclusif. Aujourd'hui il n*en 
est plus ainsi. L'étude des conditions et des lois de la 
pensée est désormais assise sur la base de l'observation ; 
elle rentre donc dans Tordre de la science positive, et 
cesse d'appartenir en propre à la métaphysique. Celle-ci 
a pour caractère de s'enquérir de l'essence des choses, de 
leur origne et de leur 6n ; on est hors de son empire du 
moment que, n'essayant plus de pénétrer l'essence intime 
de la pensée, on y voit un phénomène à étudier comme 
les autres. Je sais que, abstrayant du sujet pesant les 
formes de la pensée, la métaphysique a voulu voir en ces 
abstractions, par privilège, la science même de l'éternel 
et de l'immuable. Je ne recule pas, autant du moins que 
la faiblesse humaine le comporte, devant cette ambitieuse 
expression ; mais il ne faut pas la borner aux lois de la 
pensée, il faut l'étendre aux lois de ce monde dont notre 
pensée n'est qu'une partie. Jadis la raison humaine, le 
voyant sujet au changement, alla chercher l'éternel, l'im- 
muable par delà l'horizon et dans les archétypes. Main- 
tenant l'éternel, l'immuable, devenant notion positive, 
nous apparaît sous la forme des lois immanentes qui gou- 
vernent tout. 

Les pages de la dicussion contemporaine que je tourne 
à fur et à mesure m'amènent un sujet important pour la 
philosophie positive, et un homme qui ne lui est pas in- 
différent et à qui elle n'est pas indifférente. L'homme est 
un philosophe anglais , M. Herbert Spencer ; le sujet est 
l'immensité inconnue, la manière dont il l'envisage, et le 
rôle qu'il lui attribue dans la philosophie. Ce n'est pas la 



PRÉFACE d'un disciple. XXXIX 

première fois que je rencontre M. Herbert Spencer ; déjà 
j*ai défendu contre lui la série scientifique telle qne 
M. Comte l'a établie, en distiDguant la constitution de 
chaque science de son évolution (1). Ici encore j*ai à dis- 
tinguer ; car, moi aussi, j'ai mb en présence de Tesprit 
humain Timmensité inconnue comme un objet dont il ne 
peut détacher son regard ; et il y a lieu à discuter ses 
vues par les miennes, mes vues par les siennes. 

C'est un homme bien connu dans les sciences physi- 
ques (2) qui s'est chargé de rendre compte des derniers 
travaux philosophiques de M . Herbert Spencer. Et tout 
d'abord ce qui Fa frappé^ c'est l'affaiblissement de la mé- 
taphysique en Angleterre. A- la vérité, il confond méta- 
physique et philosophie, ce qui, depuis M. Comte, est 
devenu tout à fait distinct. Avec cette remarque, rien 
n'arrêtera dans le passage qui suit : a Partout où Ton 
regarde en Angleterre, on observe une tendance ma- 
nifeste à ne saisir que le relatif, le concret, à écarter 
ce qui est général, systématique, absolu. Or quelle ten- 
dance pourrait être plus contraire au développement 
de la philosophie? L'absolu est l'objet de toute doctrine 
métaphysique : une telle doctrine est tenue de résumer 
en formules abstraites tout ce que la pensée est capable 
d*embrasser, de poser, sinon de résoudre, — des problè- 
mes qui sont de tous les temps, de tous les âges, et qui 
s'agitent confusément depuis des siècles dans la con- 
science de rhumanité. Ces problèmes cependant, Tes- 
prit anglais les repousse. Une conviction secrète et pro- 
fonde lui fait croire que le souci des questions insolubles 
est la marque des époques de décadence. » 

Il faut féliciter l'Anglerre, si le tableau est exact. Ce 
qui me porte à croire qu'il l'est, c'est qu'un affaiblisse- 

(1) Voy. Auguste Comte et la Philosophie positive^ 2* partie, ch. vi. 

(2) M. Lêugfi], Revue des Deux Mondes^ 15 février 18G4. 



XI l'UÉFACE D'UN DlbCJPLE. 

ment de la métaphysique se montre aussi ailleurs. Nous 
avons vu s'écrouler la méta|ifaysique allemande, et sur ses 
débris il ne se développe avec quelque vigueur qu'un 
matérialisme énergique, mais insuffisant. En France, sa 
situation nVst guère meilleure ; établie sur un éclectisme 
qui, comme force, est bien au-dessous de Hegel, la mé- 
taphysique, sans initiative et sans vue, sVst concentrée 
dans la défense du spiritualisme. Tout annonce qu^on ne 
verra plus aucune grande éruption métaphysique, com- 
}>arable à celles qui ont si|4:nalé 1 ère moderne depuis 
Descartes, et qui ont abouli à Hegel. Désormais la méta- 
physique se bornera à nous redire qu'il faut poser les 
queslioiis qui sont insolubles, et sonder fubsolu qui est 
insondable. En cet état, il y a lieu à répétitions, non à 
créations. 

M. Laugel, après avoir noté que le chef du positivisme 
français, Auguste Comte, a en Angleterre peut-être autant 
d'adeptes que dans le pays même où il est né, et que Tin- 
iluence de sa grande élaboration est visible dans plusieurs 
écrits anglais, se retrouve chez M. Mill et se trahit dans 
rhistoire de la civilisation de M. Buckle, ajoute que, bien 
que non avouée, elle se reconnaît aussi dans un important 
ouvrage que vient de publier M. Herbert Spencer. Il 
rattache donc Tauteur, malgré son silence, à l'école positi- 
viste, mais en même temps il le nomme le dernier des mé- 
taphysiciens anglais. Ces deux qualifications sont incom- 
patibles. Qui est métaphysicien n'est pas positiviste ; qui 
est positiviste n'est pas métaphysicien. Puisqu'un homme 
aussi éclairé que M. Lâugel a pu hésiter là-dessus, il im- 
porte de rappeler ici en deux mots la distinction fonda- 
mentale qui sépare, sans transaction possible, les deux 
écoles. L'oeuvre de M. Comte, sa découverte capitale, celle 
qui est la mère de toutes les autres, est d'avoir saisi com- 
ment la philosophie pouvait être soumise à la méthode 
4]ue suivent les sciences positives ; ce qui, avant lui, avait 



PUEFACE DUM DlbClPLL. XLl 

été impossible à tout le monde. Quiconque applique cette 
méthode à la philosophie est positiviste, et, qu'il le dise ou 
non, disciple de M. Comte ; quiconque en applique une 
autre est métaphysicien. Yoilà le caractère certain auquel 
un esprit attentif discernera qui appartient à la philoso- 
phie positive et qui lui est étranger. 

II y aurait témérité à juger un grand ouvrage sur un 
compte rendu, quelque bien fait qu'il soit. Pourtant il est 
un point im|>ortant assez déterminé pour qu'on en puisse 
discuter ; M. Laugel Texpose ainsi : «M. Spencer divise les 
objets dont la pensée humaine s'occupe en deux ciitégories: 
ce qui peut être connu et ce qui ne peut pas être connu, 
le cogjiosdble et Yincognoscible, Vmcognoscible^ c'est 
l'objet de toutes les religions ; c'est en même temps le der- 
nier terme de toutes les sciences. Les religions s*y placent 
d'elles-mêmes et volontairement ; les sciences y sont ame- 
nées par la loi de leur propre développement. Ainsi l'an- 
tagonisme entre la science et la foi est-il tout à fait illu- 
soire, et ne repose-t-il que sur une conception imparfaite 
de l'une et de Tautre. Pour en opérer la réconciliation, 
il suffit de définir ce que M. Spencer nomme les idées re- 
ligieuses dernières et les idées scientifiques dernières^ 
c'est-à-dire les idées maîtresses qui dominent et envelop- 
pent en quelque sorte la foi et la science. Cette analyse, 
non-seulement renferme toute l'œuvre critique du philo- 
sophe anglais, mais elle montre aussi sur quels points l'es- 
prit positiviste peut confiner à l'esprit religieux ; elle nous 
révèle les termes, les articles du traité de paix que le 
premier propose au second. » 

D'après M. Spencer, la religion, ayant pour fonction 
essentielle d'empêcher l'homme d'être entièrement absorbé 
dans ce qui est relatif et immédiat, et d'éveiller en lui la 
conscience de quelque chose de plus élevé, a pour objet 
Ymcognoscible. De son côté, la science arrive à YincognO'' 
sable. La religion et la science se confondent en ce point, 




XUI PRÉFACE d'un DISCIPLE. 

OÙ elles ne sont plus que deux faces différentes d'une 
même doctrine. 

Il y a là une confusion qui, je le crcdns, ne tient parole 
ni à la foi ni à la science. Elle git dans Tassimilatiou faite 
entre Tobjet de la foi et le résultat de la science. 

Avant d'essayer de Téclaircir, je remarque que cette no- 
tion de Yincognoscible (je me sers du mot de M. Spencer] 
est due à la philosophie positive, et que jusque-là elle 
n'existait pas philosophiquement. Antérieurement à la 
ferme discussion de M. Comte, il y avait deux domaines 
très-distincts : celui de la foi et de la métaphysique (en 
ceci ils se confondent) ; là, Yincognoscible^ loin d'être Tin- 
connu, avait trouvé des déterminations très-précises sur 
Dieu, sur ses attributs, sur sa personnalité, sur sa provi- 
dence, sur l'origine du monde, sur l'état après la mort et 
après la consommation des siècles. L*autre domaine était 
celui des sciences positives ; mais elles ne s'élevaient point 
à ridée de Yincognoscible^ acceptant ce (ju'en enseignaient 
la foi et la métaphysique, ou du moins ne croyant pas 
qu'en leur propre nom on put établir un incognoscible. 
Le premier, M. Comte, en étendant la méthode positive à 
la philosophie, a mis dans la conscience philosophique la 
notion de Y incognoscible ^ la soustrayant du même coup à 
la compétence provisoire de la métaphysique et à Tincom- 
pétence provisoire aussi de la science. 

Si je comprends bien M. S[)encer, il pense que le senti- 
ment de Yincognoscible et le sentiment religieux sont une 
seule et même chose ; qu'à l'origine, l'esprit humain 
donna subjectivement, sous la forme de religion, un 
corps à ce sentiment ; que, beaucoup plus tard, la science 
arriva objectivement à reconnaître Yincognoscible ; et 
qu'ainsi la foi et la science concourent en un point com- 
mun qui réunit le point de départ et le point d'arrivée. 
A cela, j'ai une objection préjudicielle, c'est qu'on donne 
une hypothèse pour un fait quand on assure que le sen- 



PRÉFACE d'un disciple. XLIII 

liment de Vmcognoscible et le sentiment religieux sont 
identiques. Pour Taffirmer, on connaît trop imparfaite- 
ment l'histoire primitive des religions ; et il serait loisible 
de trouver, par voie hypothétique aussi, d*autres inter- 
prétations de la naissance des théologies, par exemple 
le penchant de Thomme à supposer en toute cause une 
vdonté analogue à la sienne. 

Hais j'abandonne un pareil examen trop conjectural en 
on sens ou en l'autre, et j'en viens au point tel que le 
pose M. Spencer. A mon sens, la réunion qu'il fait son» 
un même chef des deux incognoscibles est plutôt nomi- 
nale que réelle, Vincognoscible de la foi étant l'objet 
même de la foi, et Vincognoscible de la science étant une 
limite à laquelle elle s'arrête. Ltre objet ou être limite 
sont deux notions très-distinctes. 

Ce qui Test aussi beaucoup, c'est l'emploi des deux 
incognoscibles. \Sincognoscible de la foi servit à orga- 
niser les sociétés, tant que le progrès appartint aux 
doctrines théologiques ; car il avait reçu des détermina- 
tions précises, et il n'est l'inconnu que dans l'hypothèse 
de M. Spencer. Au contraire, à Vincognoscible de la 
science est impossible toute immixtion dans le gouverne- 
ment du monde social ; et cela se comprend, car cet inco- 
gnoscible est vraiment l'inconnu ; et sur l'inconnu nul 
ne peut rien fonder. C'est du côté du cognoscible (on me 
laissera me servir de cette expression, qui, ici, se définit 
d'elle-même), c'est du côté du cognoscible qu'ont passé 
le progrès et par conséquent le régime social. Avec de 
telles oppositions, l'hypothèse de l'identité des deux inco* 
gnoscibles devient bien douteuse. 

Enfin, pour dernier argument, admettonsle principe de 
M. Spencer et voyons ce qui en adviendra ; s'il est vrai, les 
ocmséquences doivent concorder entre la foi et la science ; 
mais, si elles ne concordent pas, le principe porte en soi 
quelque défaut que ce genre d'épreuve rendra manifeste. 




XUV PRÉFACE D*UN DISCIPLE. 

De tout temps la foi a déterminé Yincognoscible^ c'est- 
à-dire a enseigné les choses d'origine et de fin. Cet en- 
seignement doit garder son caractère, on le perdre. 

S'il le garde, comme la science déclare Vincognoscible 
indéterminable, il y aura, ce qui est l'état actuel, scission 
et conflit ; la conciliation que M. Spencer suppose dans le 
sein de Vincognoscible ne se sera pas faite. 

Si, au contraire, la foi renonce à ses déterminations, son 
enseignement perd son caractère, il se confond avec celui 
de la science ; il y a,non conciliation, mais absorption. Alors 
elle pourra se plaindre qu'on lui a donné un mot vide en 
place de ses réalités, et qu'elle ne retrouve pas une lueur 
de ce qu'elle croit et espère, en celte limite variable que 
la science nomme Vincognoscible. 

M. Spencer Ta bien senti, et il s'est vu conduit à déter- 
miner Vincognoscible^ le nommant cette puissance dont 
l'univers est la manifestation^ tout en déclarant incon- 
séquences et contradictions les assertions quelconques 
relatives à sa nature, à ses actes, à ses motifs. Rien ne 
montre mieux que ceci l'impossibilité de la conciliation 
tentée. S'il insiste sur cette détermination, il rompt avec 
la définition scientifii|ue de Vincognoscible ; s'il se désiste, 
il rompt avec la foi qui exige au moins cette détermi- 
nation. 

La tentative de confondre Vincognoscible de la science 
avec celui de la foi a donc échoué. Ils appartiennent à 
deux notions du monde très- différentes, et représentent 
deux régimes de Tesprit. Moi aussi, j'ai essayé de tracer, 
sous le nom d'immensité^ le caractère philosophique de 
ce que M. S[>encer appelle Vincognoscible : « Ce qui est 
au delà du savoir positif, soit, matériellement, le fond de 
l'espace sans borne, soit, intellectuellement, Tenchaine- 
ment des causes sans terme, est inaccesi>ible à l'esprit 
humain. Mais inaccessible ne veut pas dire nul ou non 
existant. L'immensité tant matérielle qu'intellectuelle 



PBÉFACB d'un disciple. XLV 

tient par un lien étroit à nos connaissances et devient par 
cette alliance une idée positive et du même ordre ; je veux 
dire que, en les touchant et en les abordant, cette immen- 
sité apparaît sous son double caractère, la réalité et Ti- 
naccessibilité. C'est un océan qui vient battre notre 
rive, et pour lequel nous n'avons ni barque ni voile, 
mais dont la claire vision est aussi salutaire que formida- 
ble (1). » 

Après avoir parlé de Tamour de l'humanité qui, né 
parmi les générations modernes, n'a pu naître que parmi 
elles, j'ajoutai : a Le sentiment d'une immensité où tout 
flotte s'est emparé graduellement des esprits depuis que 
l'astronomie a marqué cet infini d'une forme réelle, chan- 
geant le ciel en un espace sans borne, peuplé de mondes 
sans nombre. C'est lui qui, depuis lors, a donné le ton à 
l'àme humaine, a inspiré l'imagination et s'est fait jour 
dans ce que la poésie moderne a de plus éclatant. Lia 
situation est nouvelle pour Thomme de se voir, dans 
l'immensité de Tespace, du temps et des causes, sans 
autres maîtres, sans autres garanties, sans autres forces 
que les lois mêmes qui régissent Tunivers ; car elles sont 
pour lui ces trois choses : ses forces, ses garanties, ses 
maîtres. Rien n'élève plus Tàme que cette contemplation : 
par un concours qui ne s'était pas encore produit, elle 
excite dans l'esprit le besoin de comprendre et de se sou- 
mettre, de se résigner et d*agir. Tout ce qui s'est fait et se 
fait de grand et de bon dans l'ère moderne, a sa racine 
dans Tamour croissant de Thumanité et dans la croissante 
notion que Thomme prend de sa situation dans Tunivers. 
C'est la preuve que Tapplication morale de la conception 
positive du monde n'est point une illusion ; car cette appli- 
cation est déjà commencée, en vertu des tendances spon- 
tanées de lasociété {Ib. , p. 525). » Cette page, que j ai relue 

(I) Augusle Comte et la Philosophie positive, p. 529, 2* édition. 



XLYI PRiFACE D'UN DISCIPLE. 

et transcrite, je n*ai rien à y changer; elle demeure Tex- 
pression de ma pensée. 

Ici se trouve clos, provisoirement du moins, le tour- 
noi que vient de soutenir la philosophie positive. Le temps 
marche vite ; et, dans un délai qui, sans doute, ne sera pas 
très-long, d'autres luttes s'engageront sur un terrain plus 
préparé et mieux déterminé. Vingt-deux ans seulement 
se sont écoulés depuis la publication du dernier volume 
du cours de Philosophie positive ^ cette œuvre qui, disait 
son auteur, n'était pleinement jugeable que finie et dans 
son ensemble. A l'opposé d'autres systèmes qui ont fait 
grand bruit et qui depuis ne se sont guère recrutés, la phi- 
losophie positive^ qui fit peu de bruit, n'a pas néanmoins 
cessé de se fortifier par un recrutement latent et dû à la 
force des choses, non à la propagande. Aussi la lutte com- 
mence active et sérieuse ; Auguste Comte y préside, tou- 
jours vivant dans ce livre qu'il a légué à ses disciples 
connus et inconnus. 

Il y préside, eneflFet : je m*y suis constamment servi des 
principales théories de la philosophie positive; elles y 
apparaissent non pas à Tétat dogmatique, mais à l'état de 
controverse. Aussi le lecteur y Irouvera-t-il, tout en assis- 
tant à un débat, une préparation à l'étude du Système de 
la philosophie positive. Ce n'est point une impulsion po- 
lémique qui m*a conduit ; mais j'ai cherché à faire que 
celui qui aura parcouru cette préface ait quelque facilité 
de plus à suivre une philosophie qu'il aura vue mêlée 
aux débats actuels, à lire un livre dont les idées essen- 
tielles ont été mises à l'épreuve sous ses yeux. 

Ce qui vient d'être discuté n'a montré, chez des esprits 
éminents et divers, aucun principe de doctrine et d'orga- 
nisation. La critique y abonde et la métaphysique ; on y 
trouve le reflet d'un temps fort troublé. Le mérite de 
la philosophie positive est, en ce trouble que la théologie 
déplore, mais qu'elle n'a pas empêché de naître et qu^elle 



PBiFACE d'un disciple. XLYII 

n empêche pas de s^augmenter, non d'avoir proposé un 
principe de doctrine et d'organisation (beaucoup Vont iait 
avant elle], mais d'en avoir proposé un qui concentre en 
soi toute la vertu de la science positive, seule inattaquée 
et croissante. 

Elle porte partout avec elle la cohérence et la consé- 
quence. L*esprit qui la suit comme un guide n'entre 
jamais en conflit avec lui-même. Il n'a, si je puis ainsi 
parler, qu'une seule conscience ; au lieu que Tesprit mé- 
taphysique en a nécessairement deux, Tune lorsqu'il rai- 
sonne à priori^ et l'autre lorsqu'il raisonne à posteriori; 
Tune dans les conceptions objectives, Tautre dans les con- 
ceptions subjectives. Quel trouble est jeté dans les notions 
positives par la méthode métaphysique! En revanche, 
quel trouble est jeté dans les notions métaphysiques par 
la méthode positive ! Mais je ne veux pas pousser cela, ni 
adjuger à la cause que je défends un triomphe qui n'est 
pas entre mes mains. Je suis bien décidé à ne pas m'eni- 
vrer de mon propre vin, et j'ai le ferme propos de tenir 
toujours mon esprit sinon maître, du moins averti des 
préoccupations. II faut donc s'élever plus haut. Je sais fort 
bien que des hommes en qui je reconnaîtrai toutes sortes 
de supériorités ne sont aucunement touchés de ce qui, 
pour moi, est l'évidence ; et, réciproquement, les raisons 
qui leur semblent décisives demeurent pour moi sans 
force et sans vertu. Quand deux personnes, venant l'une 
d'un air très- froid, l'autre d'un air très<chaud, se rencon- 
trent dans un lieu intermédiaire^ l'une le trouve chaud, 
l'autre le trouve froid. Entre ces deux sensations aussi 
vraiesl'une que l'autre, qui décidera,si ce n'est l'imperson- 
nel thermomètre ? J'ai donc depuis longtemps cherché un 
thermomètre que je pusse, lisant les degrés, consulter sur 
les opinions que j'ai embrassées. A mon sens, je l'ai trouvé 
en cette double échelle qui montre^ dans l'histoire de l'hu- 
manité, la décroissance du surnaturel et la croissance du 



XLYIII PhÉFACE D*UN DISCIl'LE. 

naturel, la décroissance des notions subjectives et la crois- 
sance des notions objectives, la décroissance du droit divin 
et la croissance du droit populaire, la décroissance de la 
guerre et la croissance de Tindustrie. Là est la sobrce de 
convictions profondes, obligatoires pour la conscience ; et, 
en attendant que ce thermomètre, accomplissant sa mar- 
che, fixe le destin des opinions, poursuivons loyalement 
et vaillamment ce que, dans la sincérité de notre cœur, 
nous considérons comme le digne objet d'une vie mor- 
telle. 

La philosophie positive est sévère et ardue. Elle range 
ses disciples sous la rude loi d'apprendre, et les conduit, 
comme les initiés de jadis, d*échelon en échelon jusqu'au 
sommet. Par ce développement régulier, elle extirpe de 
l'esprit tout ce qui est à priorij et ne lui ouvre les con- 
ceptions générales que quand elle a corrigé toutes les 
tendances subjectives qui sont à la fois naturelles et com- 
modes. Et pourtant, malgré cet appareil qui est de son 
essence, malgré les rigoureuses conditions qu'elle impose, 
elle n'a pas laissé de s'implanter et de fructifier. Quand 
Bossuet, tonnant contre l'incrédulité de son temps, dit 
que l'homme n'est pas seulement emporté par l'intempé- 
rance des sens, que l'intempérance de l'esprit n'est pas 
moins flatteuse, et que, comme l'autre, elle se fait des 
plaisirs secrets et s'irrite par la défense, celte grave parole 
du dix-septième siècle ne tombe pas sur la philosophie 
positive, qui a si austèrement dompté l'intempérance de 
l'esprit. 

On peut concevoir que les choses se sont passées et se 
passent ainsi : dans l'enseignement scientifique tel qu'il se 
pratique chez nous, il se forme deux groupes, l'un repré- 
senté par l'École polytechnique, l'autre par les Ecoles de 
médecine. Le premier excelle dans les sciences inorgani- 
ques, mais est étrangère la science des corps vivants; 
importante lacune et obstacle considérable à l'achemine- 



FIléFACE d'un disciple. XLIX 

meiit vers la philosophie positive. L*autre groupe entre au 
cœur de la conuaissauce de la vie ; mais son éducation est 
faible quant à ces sciences inorganiques qui sont le pié* 
dcstal de la biologie ; et la philosophie positive ne cesse de 
lui recommander de prolonger ses études de ce côté-là, 
comptant sur la l(^que naturelle des choses pour décider 
les convictions. Et, en effet, malgré toutes les imperfec- 
tions manifestes, c'est dans ces deux groupes qu'est le 
principal noyau de recrutement. La philosophie positive 
y rencontre quelques esprits dans lesquels elle entre tout 
entière, un plus grand nombre joù elle entre par frag- 
ments ; et il n*est pas rare de trouver telle personne qui, 
tout en lui restant étrangère, n*en admet pas moins, comme 
notion évidente et grandement utile, la série scientifique 
telle que M. Comte Ta constituée. Ces fragments se multi- 
plient et préparent l'avenir. 

Sur ces deux groupes la philosophie positive a prise par 
la science positive. Mais il en reste deux autres sur lesquels, 
à ce titre, son action ne peut s'étendre : ceux qui ont reçu 
seulement l'éducation littéraire de nos collèges, et ceux 
qui sont attachés aux ateliers et aux champs. Pourtant 
telle est sa généralité, telle est son opportunité que, là 
même, l'influence ne lui est pas retirée. Dans ces deux 
groupes, il est beaucoup d'esprits qui sont demeurés dans 
les croyances théologiques; à ceux-là la philosophie n'a 
rien à dire, elle ne s'adresse pas à eux, et, s'ils ouvrent 
ses livres, elle le met sur leur conscience. Mais il en 
est plusieurs aussi qui, spontanément, c'est-à-dire sous 
l'action dissolvante du milieu social, ont abandonné la 
foi traditionnelle. A ceux-là la philosophie positive a 
beaucoup à dire; elle s'adresse à eux, et ce sont ces con- 
sciences qu'elle sera glorieuse de rallier, car elle aura rendu 
un grand service social. Pour eux se trouve à point la 
partie historique du livre de M. Comte. Tous les esprits 

à. Cornn. Tome I. ^ 



L PRÉFACE d'un DISCIPLB. 

méditatifs y ont accès; là, dans cette vue générale de 
rbistoire qui n'a pas encore été égalée, ils apprendront 
par quelle nécessité d'évolution les croyances des pères 
n'ont point passé à tous les enfants, quel est le danger des 
opinions vagues, métaphysiques, révolutionnaires, qui 
servent d'intermède, et quelles sont les conditions d'une 
doctrine qui, faisant son dogme intellectuel de la connais- 
sance réelle du monde, fasse son dofi;me moral du 
service de Thumanité. L'histoire philosophique est le vé- 
ritable enseignement de tous ceux qui veulent comprendre 
leur situation mentale et la développer. 

La consistance de la philosophie positive est due au 
livre de M. Comte. SU n'avait fait que des cours, s'il n'a- 
vait donné que des fragments, l'efficacité en serait très- 
hornée. Mais le livre la maintient, cette efficacité, com- 
plète et permanente. Il n'est point de grande doctrine sans 
grand Uvre. 

La philosophie positive est à la fois le produit et le 
remède d'une époque troublée. Les terreurs ne sont pas 
sans fondement qui assaillent parfois l'homme réfléchi et 
les foules irréfléchies. En effet, que voit-on? des ébranle- 
ments prolongés, des espérances déçues, des fluctuations 
sans arrêt, la crainte du retour d'un passé qu'on repousse, 
et l'incertitude d'un avenir qu'on ne peut définir. En cette 
instabilité, la philosophie rattache toute la stabilité men- 
tale et sociale à la stabilité de la science, qui est le point 
fixe donné par la civilisation antécédente. Quand je dis la 
philosophie positive, j'entends Auguste Comte et ce livre 
auquel je mets une préface ; il ne serait pas juste de voiler 
sous un terme impersonnel la louange due à un grand 
nom et à un suprême service. 

E. LiTTRÉ. 

Mars iS64. 

Table alphabétique : 



TABLE ALPHABÉTIQUE 



DES MATIÈHES CONTENUES DANS LES SIX VOLUMES. 



AberratioD. Théorie de V ^ u, 

no. 

Académies. Du remplacement des 
— scîeolifiques par des ^ phi- 
losophiques (note) 9 Yi, 395. Des 
lihres réunions scientifiques 
témoignant de l'insuffisance 
des — officielles (note), ti, 
398. 

Académie des sciences. Spéciali- 
sation eiagérée des membres 
de r — (note)y ti, 380 (autre 
noie), vj, 385. Du choix des 
professeurs par 1' — vi, 389. 
Récit de la lecture d'une let- 
tre de M. Comte, adressée à l* 
— (note), TJ, 390 et seq. Des 
Jugements technologiques de 
1* — VI, 394 (note). Réflexion 
sur la suppression de 1' — par 
la Convention, vi, 301. 

Académie des sciences morales 
et politiques. Observation sur 
Y -. VI, 404. 

Acoustique. Rang de 1* ^ dans 
Tétude des branches delà phy- 



sique, ]i, 316. Considérations 
générales sur 1* — ii, 409. 
AciioD. Base rationnelle de l'ac- 
tion humaine sur la nature, 



I, 51. 



— Ce que doit être 1' — pour la 
masse des hommes, iv, 48. 

— De la continuité et de la va- 
riété d' — chez l^omme, iv, 
387. 

Affections. Des — personnelles 
en opposition aux — sociales, 
IV, 393. Voy. Égolsme. 

Affinité. L' — ne s'explique pas 
par l'électricité, m, 147, 151. 

Affranchissement. De 1' — des 
serfs, VI, 70. De V — des com- 
munes, VI, 76. 

Ages. De la subordination des 
— IV, 402, 409. 

— critique, v, 346. 

— du fétichisme, v, 5. 

— de la généralité, vi, 277. 

— du monothéisme, v, 211. 

— du polythéisme, v, 84. 

— de la spécialité, vi, 39. 
Agriculture. Ce qu'exige une vé- 
ritable théoiie-de 1' — i, 55. 



i 



UI 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



Développement de la vie agri- 
cole par le fétichisme, v, 61. 

Air. Influence physiologique de 
r - III, 444. 

Alchimie. Utilité temporaire de 
r — I, 14. Appréciation de 1' 
— VI, 209. 

Alexandre III. Do la bulle d' — 
sur Tabolition de Tesclavage, 
VI, 70. 

Alexandrie (École d'). Progres- 
sion des sciences naturelles 
depuis elle, i^ 19. 

Algèbre. Est une des deux bran- 
ches pdncipales du calcul, i, 
132. Définition de V — i, 134. 
Se compose de deux branches 
fondamentales distinctes^ i, 
145. 

Aliénés. Influence de la fréquen- 
tation des — sur l'étal mental 
des médecins, vi, 631 . 

Alimentation .Tendance de Thom- 
me civilisé par rapport à 1' — 
IV, 332. 

Allemagne. Génie généralisateur 
et systématique de V — opposé 
au génie clair et positif de la 
France,iii, 60 (note). 

— Disposition de V — au positi- 
visme, VI, 539. 

Ampère. Hecherches de — sur 
les phénomènes électro-ma- 
gnétiques, II, 471, 484. 

— De la classification des corps 
par — m, 65. 

— cité pour son idée de division 
du règne animal (note), m, 387. 

Analyse chimique. Les deux gen- 
res d' — III, 24. 

Analyse infinitésimale. Contro- 
verseentre l'Allemagne etTAn- 
gleterrc sur la priorité de l'in- 
vention de V — (note), vj, 231. 



Analyse mathématique— base du 
système entier des connais- 
sances positives, i, 109. Vue gé- 
nérale de r — i, 123. Moyen 
possible de perfectionner l'en- 
semble de r — 1, 143. Applica- 
tion de r — à la physique, ii, 
280. 

Analyse ordinaire, i, 145. 

Analyse transcendante, i, 142. 
Coup d'œil historique sur 1* — 
1, 168. Exposition des concep- 
tions principales touchant!' — 
1, 170. Appréciation de ces mé- 
thodes, i, 191. Trois classes de 
questions mathématiques exi- 
gent remploi de 1' — i, 205. 

Anarchie intellectuelle. Considé- 
rations sur r — actuelle, iv, 
90. 

Anatomie. Connexion de 1' — 
avec la physiologie, m, 213. 
Considérations, philosophiques 
sur r— m, 339. Étude des tis- 
sus par Bichat et ses succes- 
seurs, m, 340. De la vita- 
lité des fluides organiques, m, 
354. 

Anatomie transcendante. Remar- 
que sur cette qualification, m, 
372. 

Anciens. De la controverse sur la 
comparaison des anciens et 
des modernes, vi, 189, 262. 

Angleterre. Comparaison de la 
situation sociale de la France 
et de r — v, 424 et note 425. 

— De la monarchie parlemen- 
taire en — IV, 85. 

— Du caractère de la constitu- 
tion parlementaire, V, 292. 

— Causes de l'isolement de la po- 
litique anglaise, v, 407. 

Angleterre. Du développement 



TABLE ÀLPHABÉTIOUE. 



ini 



industriel moderne de V — iv^ 

i36. 
Angleterre. Influence du prêtes* 

tanlisme sur la culture des 

beaux-arts en — yi, 179. 
~ Influence de la politique sur 

la culture des sciences en — 

Ti,231. 

— Tendances positivistes de ï* — 
peu développées, vi, 540. 

Animaux. Des — considérés au 
point de vue de la psycholo- 
gie, III, 539. 

^ de l'idée du moi ches les — 
m, 545. 

— > De la locomotion chex les — 
(note), m, 408. 

— Du remplacement d'un sens 
par un autre chex les — (note), 
m, 5i4« 

— Ëtude des fonctions intellec- 
tuelles et morales de l'homme 
par celle des — m, 579. 

~ Etat social des — comparé à 
celui -de rhomme, iv, 313. 

— Observation sur l'intelligence 
des — V, 30. 

— De l'adoration des — dans 
l'antiquité, v, 34. 

— Préservation des — utiles par 
le fétichisme, v, 66. 

— Du fétichisme des — (note), 
v,91. 

Antiquité. Universalité des étu- 
des dans!' — 1,25. Les philo- 
sophes de r — n'avaient pas 
l'idée du progrès social, iv, 
170. Influence des œuvres de 
r — sur la renaissance, vi, 
i73. 

Apollonius (de Perge) cité, i, 53. 

Apothéose. Caractère de V — 
chex les anciens, v, 132. 

Arabes. Introduction des scien- 



ces naturelles par les -* dans 

l'Europe occidentale,!, i9. 
AacHiMÈDB. Utilité des traraux 

spéculatifs pour la pratique, i, 

53. 
-* Ses découvertes en statique^ i, 

426. 

— Esprit géométrique d' — r, 
181. 

Architecture. Supériorité de 1'^ 
moderne sur l'ancienne pour 
la partie industrielle, v, ii4. 

— Progrès de 1' — au moyen 
âge, V, 327. 

— De r — en Italie au moyen 
âge, vi^ 15?. 

Aristote. Acception du mot phi- 
losophie dans — 1, 5. Progres- 
sion des sciences naturelles de- 
puis — i, 19. 

— Hypothèse d' — sur la chute 
des corps pesants, ii, 339. 

— De la doctrine des quatre élé« 
ments par — iii^ 59. 

— cité pour sa classiQcation zoo- 
logique, ]ii, 375. 

— croyait à la nécessité de l'es- 
clavage, IV, 37. 

— (Caractère de la Politique à* — 
iv, 176, 181. 

— Opinion d' — sur les hommes 
nés pour la servitude, v, 137. 

— Conception encyclopédique d' 

— V, 184. 

» De l'accueil fait à la doctrine 
d' — par le moyen âge, v, 323. 

— Appréciation de la doctrine d' 

— y, 389. 
Arithmétique. Est une des deux 

branches principales du calcul, 
i, 132. Définition de 1'— i, 134. 

Arithmétique trancendante, i, 
137. 

Aaïus. De l'hérésie d' — v, 270. 



â 



UT 



TABUB ALPHABÉTIQUE. 



Armée. Du caractère de riostitu- 
tioD des armées permanentes, 
y, 405. 

Armes à feu. .De l'introduclion 
des — vr,m. 

.ArU Relation générale de la 
science et de 1' — i, 51 • . 

— Développement des sciences 
par les arts« m, 194. 

•F^ Des lacunes de .1* — dans la 
dernière phase moderne, vi, 

. 365. Voy. Beaux-arts, 

Aruspices. Utilité pour Tanalo- 
mie de l'art des — v^ 96. 

Assem][)lée constituante. Carac- 
tère de r — VI, 289. Voy. Cou- 
ventiorif révolution française, 

Association. Conditions d*une — 
quelconque, iv, 50. Voy. sty- 
ciélé. 

Astres. Moyens mathématiques de 
connaître la grandeur, la fi- 

. gure, la masse, etc., des — i, 
97. Étude de la Qgure et de la 

. grandeur des — u, 65. Éten- 
due et intensité de l*atmo- 

. sphère des — ii, 78. Du mou- 
vement des — II, 86. Plans des 

. orbites et durée des révolu- 
tions des — II, 91. Figure des 
— déduite de la théorie géné- 
rale de leur équilibre, n, 189. 

AstroUtrie. Est un perfectionne- 
ment du fétichisme» v^ 44, 65, 
77. 

Astrologie. Convenance de 1* — 
à l'époque où on la cultivait, 
I, 14. 

*- Considérations 9ur V — an- 

, donne, m, 280. 

r* Caractère de V — au moyen 
Age» ^h ^07. 

Astronomie. Est redevable ^ Tas- 

. trologie, i^ iZ. Quand a-rt-elle 



été ramenée à des théories po- 
sitives ? 1, 19. Rang de Y — dans 
• la classification des sciences, 

I, 66. L' — est une section de 
la physique inorganique, i, 71. 
Considérations philosophiques 
sar r — II, 5. Définition de Y 

— Il, 9. Distinction de 1* — 
solaire et de 1* — sidérale,-», 
iO.. Suprématie de Y — entre 
les sciences naturelles, ii, 16. 
Caractère essentiel de Y — n> 
19. Subordination des autres 

. sciences fondamentales & 1* — 

II, 23. L' — devant la philo- 
sophie théologique et la doc- 
trine des causes finales, ii, 25. 
Division de 1' — u, 28. Des mé- 
thodes d'observation en — li, 
33. État de 1' — avant Kepler, 
u, 123. Subordination indi* 
recte de la biologie à 1' — lu, 
272. . Relations nécessaires de 
la sociologie avec Y — iv, 354. 
De la culture religieuse de Y 

— au moyen ftge (note), vi, 199. 
Note sur le cours populaire d' 

— fait par M. Comte, vi, 508. 
Des résultats obtenus en — 
VI, 688. 

Astronomie sidérale. Considéra- 
tions suri* — II, 241. 

Athènes. Situation politique de- 
dans l'antiquité, v, 476. Con- 
ditions de la destinée d' — v, 
190 (note). Voy. Grecs. 

Atmosphère. Mesure de la pres- 
sion de r — II, 320. 

Attraction. Impossibilité de défi- 
nir r — I, 17. Usage irration- 

. nel du mot — en mécanique 
céleste, u, 169. 

Audition. Élude de l'acoustique 
par rappport à T — u, 411. 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LY 



Aagures. UUlité de l'art des — 

dans rantiquitéi y, 97« 
AuGOSTiN (saint) combat la sphé- 

ricilé de la terre, v, 336. 
Automatisme. De V — animal de 

Oescartes (note), m, 531. 
Aatorilé.Conditionsder — iv,244. 

— Considérations sur 1' — sa- 
cerdotale, V, 41 . 

— De r — dans les sociétiîs pri- 
mitives, v, 122. 

» Confusion de V — spirituelle 
et temporelle dans l'antiquité, 
v. 139, 150. 

— Etablissement an moyen âge 
et lutte de 1' — spirituelle 
contre 1' — temporelle, v, 
22. 

— Des attributions de V — spi- 
rituelle dans le nouvel ordre 
social, Ti, 447. 

Avocats. Influence politique des 
— en France, iv, 124. 

— Influence des — au dix-hui- 
tième siècle, ▼!, 287. 

Azote. L' — est-il un corps sim- 
ple ou composé? J, 39. 



Bacon (Francis) cité, i. 12. Mou- 
vement imprimé à 1 esprit bu- 
main par les préceptes de — 
I, 20, 30, 43, 51. Tentative en- 
cyclopédique de — I, 47. Sens 
probable du terme philosophie 
première employé par — i, 50, 
60. Appréciation des travaux 
philosophiques de — vi, 247. 

Bacon (Roger). Variété des vues 
de — vj, 206. 

Barologie. Rang de la — dans l'é- 
tude des branches de la physi- 



que, II, 314. Examen philoso- 
phique de la — u, 320. Partie 
statique de la — ii, 321 . Théo- 
rie de la capillarité, ii, 336. 
Partie dynamique de la — 
II, 338. 
Barthez. Du principe de -^ m, 
451. 

— Distinction des sympathies et 
des synergies dans les fonc- 
tions animales, ni, 526. 

Batle. Influence philosophique 
de — V, 499, 

Béatification. De la — dans le sys- 
tème catholique, v, 315. 

Beaux-arts. Exigences d'une vé- 
ritable théorie des — i, 56. 

— Influence du fétichisme sur la 
culture des — v, 51. 

— Influence du polythéisme sur 
les — v, 98. 

— Ordre de naissance des — v, 
111. 

— Développement des — au 
moyen fige, vi, 146. Influence 
de l'industrie sur le dévelop^ 
pement des — vi, 160. 

— Action finale de la philosophie 
positive sur les — vi, 756. 

Becquerel. Travaux électro-chi- 
miques de — m, 128. 

Bernouilli (Daniel). Théorie des 
marées de Descartes approfon* 
die par — 196. Hypothèse du 
parallélisme des tranches par 

— I, 498. Extension donnée 
par — au théorème des forces 
vives, I, 520. Théorie sur la 
coexistence des petites oscilla- 
tions, I, 530. 

Bbrnouilu (Jacques). Tendance de 

— & appliquer la géométrie 
aux sciences sociales, iv,' 366. 

Bkrnouiixi (Jean). Procédé de 



LYI 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



l'intégration par parties, i, 222. 
Du problème de la brachyslo- 
cbrone, i, 233. 
BaiTHOLLET cité, I, 15, cité pour 
8on Essai de statique chimique, 
III, 36 (note). 

— De la loi des doubles décom- 
positions salines, m, 83. 

— Rectifications faites par ^ h la 
théorie de Lavoisier sur la com- 
bustion, m, i36. 

Bkrzélius. Opinion de — sur la 
simplicité de l'azote, i^ 39. 

— De la classification des corps 
par — m, 66. 

»- Étude numérique des compo- 
sés chimiques, m, 102. 

— Théorie électro-chimique sys- 
tématisée par — m, 127. 

BicHAT. Définition erronée de la 
vie par — m, 200. 

— cité pour sa définition des tis- 
sus par leurs propriétés phy- 
siologiques (note), m, 221 . 

— cité pour sa découverte de Ta- 
nalogie entre le système mu- 
queux et le système cutané, m, 
250. 

— cité pour sa réprobation de 
l'application des théories ma- 
thématiques à la physiologie, 
m, 286. 

— cité pour la décomposition do 
l'organisme en ses divers lis- 
sus, m, 339. 

— cité pour sa distinction entre 
la vie végétative et animale, 
iiî, 429. 

— - De la théorie physiologique 
de — m, 452. 

— Doctrine de — sur Tirri- 
tabilité et la sensibilité, ni, 
498. 

Du caractère d*intermit(ence 



propre à toute faculté animale, 
iif, 5i9. 
BicHAT. Théorie du sommeil, iii^ 
521. 

— Théorie de l'habitude, m, 523. 

— Observation sur sa non-admis- 
sion par l'Académie des scien- 
ces, VI, 383 (note). 

Biologie, m, 187. Objet essentiel 
de la— m, i93, 21ô. Relation 
de la — avec la médecine, m, 
196. Définition, m, 2 1 1. Moyens 
d'investigation propres à la — 
III, 217. De l'observation en — 
m, 218. De rexpérimentation 
en — m, 222. De la méthode 
comparative en »iii , 239. Rang 
de la — dans la hiérarchie des 
sciences, m, 258. Perfection- 
nement dont la — est suscep- 
tible, III, 302. InQuence de la 
— ' sur le développement de la 
raison, lu, 306. Division des 
parties essentielles delà — m, 
325. Delà bîotaxie, m, 374. De 
la — dynamique, iii, 424. De 
la vie animale, m, 483. Des 
fonctions intellectuelles et mo- 
rales ou cérébrales, m, 530. 

— Spécialisation du terme, — m, 
329. 

— Subordination de la sociolo- 
gie a la — IV, 341 • 

— Derniers progrès de la— vi,370. 

— Elle a été plus entravée que 
secondée par les corporations 
savantes, vi, 383. 

— Des résultats obtenus en — vi, 
699. 

Bionomie. Sens de ce mot, m, 
331. 

Biotaxie. Considérations philoso- 
phiques sur la — m, 374. De la 
formation des groupes naturels 



TABLB ALPHABÉTIQUE. 



LVII 



eo zoologie, m, 38i . De leur I 
hiérarchie, m, 385. Suhordi- 
nation des caraclères taxono- 
Biiquefl^ m, 398. Traduction 
des caractères zoologiques in- 
térieuns en caractères exté- 
rieurs, m, 404. Coordination 
rationnelle du règne animal, 
m, 407» 
Blainvilli (de) cité à propos de 
l'introduction des principes gé- 
néraux d'analomie comparée, 
I, 29. 

— Remarque sur le cours de phy- 
siologie de — (note), m, 187. 

-- Définition de la vie par — m, 

205. 
^ Conception des milieux par 

— m, 214. 

— Considération sur les variétés 
par — m, 247. 

— Sur l'analogie entre la struc- 
ture de Toeil et celle de IV 
reille imaginée par — m, 269. 

<— cité pour sa distinction des 
vrais éléments anatomiques et 
des simples produits de l'prga- 
nisme, m, 348; pour sa théorie 
du phanère, m, 350. 

— Notion du parenchyme par — 
(note)y ni, 345. 

— Classification des animaux en 
artioxoaires et actinozoaires, 
ra, 402. 

— Théorie physiologique de — 
m, 460. 

-* cité pour sa division des phé- 
nomènes ph^fsiologiques^ iii, 
462. 

<- cité pour un aphorisme, m, 

349. 

BouHAAvi. École physiologique 
de — m, 450. 

BoKAPAETz. Son opposition au dé- 



veloppement du système de 
Gall (note), m, 533. 
BoNAPARTB. Tentatives de — pour 
rétablir Fancien système poli- 
tique, IV, 30. 

— Comparaison de — et de Crom- 
weli (note), v, 469. 

— Appréciation du caractùre po- 
litique de — IV, 315. 

BoNiFACE VIII. Des luttes contre 

la papauté, v, 358. 
BosscBT. Caractère de l'histoire 

chez — IV, 204. 

— cité pour l'unité de composi- 
tion de son histoire univer- 
selle, V, 8, 187. 

— Remarque de — sur l'escla- 
vage antique, v, d34. 

— Appréciation de la vie de — 

V, 418. 

— Participation de — Â la réno- 
vation de la philosophie poli- 
tique, VI, 257. 

Botanique. Sa dépendance de la 

physiologie, i, 57. 
Brachystochrone (problème de 

la), I, 233. 
Bbadlet. Constatation de l'aherra- 

tion delà lumière par — ii, 110. 
Broussais cité pour sa remarque 

sur l'état pathologique et l'état 

physiologique comparés, m, 

•223. 

— Cité pour sa localisation des 
fièvres essentielles, m, 285. 

— Remarque de — sur la mé- 
thode psychologique, m, 539. 

— cité à propos de la folie, m, 
578 et note. 

BuFFon. Appréciation du carac- 
tère des œuvres de — vi, 237. 
Byron. Du génie nouveau de — 

VI, 762. 



LYIII 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



Cabanis cité pour sa tendance à 
faire abstraction en sociologie 
de toute observation histori- 
que, IV, 345. Témoignage de 
— sur Franklin (note), y, 131. 

<:alcul. Objet du — i, 108. Dîtî- 
flion du — en deux branches, 
I, 132. Différence du — algé- 
brique et du » arithmétique^ 
ly 133. Comparaison de ces 
deux — I, 1 35. Du — des fonc- 
tions, I, 140. Du — des fonc- 
tions directes, i, 147. 

— « aux diflérences finies, i, 247. 

-— différentiel, i, 201. Division 
Ibndamentale du — i, 207. So- 
lutions singulières des équa- 
tions différentielles, i, 224. 

— des fluxions et des fluentes 
par Newton, i, 187, 200. 

— des fonctions dérivées et des 
fonctions primitives, i, 201. 

— infinitésimal, i, 145. 

— intégrai, i, 214. Du — aux 
différences partielles, i, 216. 
Détermination des intégrales 
définies, i, 226. 

— des probabilités, n,255. 

— des variations, i, 230. 
Calorimètre. Invention du — par 

Lavoisier et Laplace, ii, 363. 
Calvin. Caractère de la réforme 

de — V, 465. 
Calvinisme. Pourquoi le — a été 

mal accueilli en France, v. 

Capillarité. Théorie de la » u, 
336. 

Garnot cité pour son ouvrage : 
Réflexions sur la métaphysique 
du calcul infinitésimal, i, 181. 



Castes. Du système théocratique 
des — V, 161. 

Catholicisme. Dénomination pré- 
férable à celle de christianisme 
(uote), ▼,212. Rôle du — au 
moyen âge, v, 228. De la hié- 
rarchie dans le — v, 243. Du 
célibat ecclésiastique, v, 252. 
De l'éducation donnée par le 

— V, 258. De la confession, ▼, 
263. Conditions dogmatiques 
du — V, 265. Du culte, v, 271. 
Intervention du — dans la féo- 
dalité, V, 282. Influence du — 
sur la transformation de l'es- 
clavage en servage, v, 287 ] sur 
l'institution de la chevalerie, 
V, 288; sur la morale univer- 
selle, V, 291. Action intellec- 
tuelle du — V, 316. Principe de 
décadence du — v, 331. De la 
décomposition de la hiérarchie 
catholique, ▼, 367. 

Catoptrique. Loi fondamentale 
de »- u, 455. 

Célibat. Du — ecclésiastique, ▼, 
252. 

Centralisation politique. Consi- 
dérations sur la — IV, 67. 

Cerveau considéré comme appa- 
reil, m, 556. 

Chaleur. Recherches de Fourier 
sur la — I, 18. 

— Théorie sur la — qui se dé- 
gage dans la combustion, ni, 
133. 

-— Influence physiologique de la 

— m, 438. 

— animale. Des analyses de 
la — faites par les chimistes, 
111,169. 

-— spécifique. Évaluation de la 

— des corps, ii, 362. 

— vitale. Notions sur la — m, 473. 



TABLE ALPflABÉTIQUE. 



UX 



GharHé» Da seotiment de la — 
Tulgarité par le catholicisme, 
▼, 313. 

Cmàmlemlaghe. Respect de — pour 
riodépeDdance pontificale, v, 
255. But des guerres de — v, 
285. 

Cbailbs-Qoimt. Caractère des lut- 
tes de la France contre — v, 
4i0. 

GiABLBs. Sur le progrès de l'a- 
lithmétique au moyen fige 
(note), V, 326. 

Ghiinie. Émancipation de la — ! 
1, 19. I 

—Considérations sur la doctrine 
des proportions définies, i^ 38. 

— considérée comme base de la 
minéralogie, i, 57. 

-— Est une subdivision de la phy- 
sique terrestre, ï, 72. 

•* Extension possible de l'analyse 
mathématique aux phénom(>- 
nés si ?ariables de la — i, il 5. 

— Distinction de la — et de la 
physique, ii, 269. 

» Considérations philosophiques 
sur Tensemble de la — m, 5. 
Définition de la — m, 9, 13, 
18. Des moyens d'exploration 
en — 111, 19, et de leur vérifi- 
cafion, in, 23. Rang de la ~ 
dans la hiérarchie des sciences, 
m, 27. I>e la doctrine des afli- 
nités, III, 35. De la nomencla- 
ture en — III, 42. De la divi- 
âon de la — en inorganique et 
organique, m, 51. 

— Subordination de la biologie à 
la — III, 259. 

— Pouvoir de l'homme sur la 
nature da a la — iv, 360. 

— Des résultats obtenus en — vi, 
697. 



Chimie inorganique, ni, 51 . Delà 
façon d'étudier et d'envisager 
les corps simples, m, 55. De leur 
classification, m, 65 ; celle de 
Berzélius, m, 66. lies condi- 
tions d'une classification scien- 
tifique en — m, 68. Du dua- 
lisme chimique, in, 80. Loi 
des doubles décompositions sa- 
lines, III, 83. Influence de l'air 
et de l'eau sur les phénomènes 
chimiques, m, 85. De la doc- 
trine chimique des proportions 
définies, m, 93, Loi de Richter, 
ni, 96. Doctrine de Dalton, m, 
90. Objections, m, iii. Exa- 
men de la théorie électro-chi- 
mique, m, 124. 

— organique, m, 51, 157. Incon- 
vénients des analyses de — fai- 
tes par des chimistes, m, 160. 
Comment on doit répartir les 
portions de la -* entre la chi- 
mie et la physiologie, m, 175. 

Chinois. Du caractère social attri- 
bué à l'écriture hiéroglyphi- 
que des — v, 168 (note). 

Cbaussibb. Tentative de classifi- 
cation anatomique par — « m, 
264. 

» cité pour avoir fait de la cha- 
leur vitale une propriété di- 
recte, III, 463. 

Chevalerie. De l'institution de la 

— V, 288. 

Chevreul. Plan adopté par — 
pour l'étude des corps simples, 
m, 55. 

Chladni. Expériences sur l'acous- 
tique de — II, 420, 430. 

Christianisme. On doit au — le 
sentiment du progrès de l'hu- 
manité, IV, 170. Voy. Catkolw 
cisme. 




LX 



TABLE ALl*nABÉTiQUE» 



Cbronomètres^ ii, 36. 
Civilisation. L'organisation so- 
ciale doit être corrélative à la 

— IV, 238. 

— Analyse de la progression so- 
ciale, IV, 442. 

I>u régime des Castes dans 
l'ancienne — v, 161. 

-*Oes conditions de séparation 
des pouvoirs spirituel et tem- 
porel, VI, 437. De la régénéra- 
tion préalable de TOccident 
européen, vi, 468. 

Clairaut cité pour son traité de 
la figure de la terre, i, 461. 

Classes. De la subordination des 

— dans le nouvel ordre social, 
VI, 490. 

Classitication. De la théorie des 

— à propos de la biologie, m, 

— 310. 

— Des — végétales et zoologi- 
ques, m, 375. 

Clergé. Forte éducation du — au 
moyen âge, v, 247. 

— Tendance de la nationalisa- 
tion du — au seizième siècle 
(note), v, 41 K 

— De ia dégénération du — ca- 
tholique (noie), VI, 348. 

Climat. Considérations sur l'in- 
fluence du — & propos des ou- 
vrages d'Hippocrate et de Mon- 
tesquieu, IV, 182. 

Cohésion. La — s'explique-t-elle 
par l'électricité 7 m, 147. 

CoLBERT. Mesures favorables à 
l'industrie prises par — vi, 
124. 

CoLLARD (de Martignt). Des obser- 
vations de — sur les fonctions 
organiques, m, 474. 

Colomb (Christophe). Des décou- 
vertes de — VT, M9. 



Colonies. Influence des — sur 
l'évolution sociale, vi, 127. 

Colonisation. Influence intellec- 
tuelle de la — par la Grèce, v, 
175 (note). 

Combustion. Théories relatives à 
la — m, 131. 

Comètes. Problème des »- n, 
i 40. Opinion de Lagrange sur 
l'existence des — ii, 210. 

— Perturbations du mouvement 
des — causées par leur rap- 
prochement des planètes, ii, 
220. 

Comité positif occidental. Desti- 
nation d'une association dé- 
nommée — VI, 544. 

CoNDiLLAC cité & propos de la sen- 
sation (ransformée,iii, 550. 

CoNDORCBT cité pour son ou- 
vrage : l'esquisse d'un tableau 
historique des progrès de l'es- 
prit humain, IX, 185. 

— cité pour sa conception fon- 
damentale des sciences socia- 
les, IV, 367. 

— Du duel au moyen fige, v,. 
298. 

Confession. Remarques sur la 

— catholique, v, 263. 

Convention nalionale.Caractère 

de la — VI, 298. 
Corneille. Caractère de la poésie 

dramatique chez — vi, I8f. 
Corps. Division en corps bruts 

et corps organisés, i, 69. 

— Division de l'étude des — 
bruts, i, 71. 

— Rang et complication de l'é* 
tude des — organisés, i, 69. 

Corruption politique. La — éri- 
gée en moyen de gouverne- 
ment, IV, 104. 

Cosmogonie. Notions de — po- 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LXI 



sjti?e, 11, 249. Vérification de 
la *- de Laplace, ii, 258. 

Couleurs. De la théorie de la co- 
loration des corps, u, 450. 

Coulomb. Ezpérieuces de — sur 
la statique électrique, ii, 480. 

Cours publics de philosophie po- 
fitite, professés en 1826 et 
1829,1,3. 

Crédit public. Développement 
du — moderne en Europe, vi, 
139. 

Croisades. Répression du prosé- 
lytisme musulman par les — 
V, 360. 

— Influence intellectuelle et so- 
ciale des — VI, 149. 

Cromwell. Appréciation de — 
comme politique (note), v, 469. 

— Direction industrielle donnée 
à l'Angleterre par — vi, 124. 

CuviEA cité & propos d*écrits psy- 
chologiques, I, 33. 

— Opinion de — « sur les corps 
simples, m, 61. 

— cité pour son élude exclusive 
des appareils en anatomie 
comparée, m, 346. 

— Lutte de — contre Lamarck, 
au sujet de la permanence des 
espèces, m, 389. 



D^Alembest. De la classification 
des sciences par — i, 47. 

— Calcul intégral aux différen- 
ces partielles, créé par — i 
216. 

— Du principe de — i, 491. 
Daltoji. Loide— surles tensions 

des vapeurs, n, 373. 

— De la doctrine des proportions 
définies, m, 99. 



Dante. Éclat Jeté par — sur la 
poésie, V, 328. 

D'Arct, cité pour le théorème 
général des aires, i, 511. 

Dknina. Observation de — sur 
Tagriculture et la population 
de ritalie aux vi*' et vu** siècles 
(note), VI, 66. 

Dbscahtes. Mouvement imprimé 
à l'esprit humain par les con- 
ceptions de — I, 20, 43. Con- 
ception de »- relative à la 
géométrie analytique, i, 38, 
312; VI, 221. 

— Tentative d*un système com- 
plet de philosophie positive, 
III, 530. 

— Hypothèse de rautomatlsme, 
VI, 225. 

— Appréciation des travaux phi- 
losophiques de — VI, 247 . 

Desfontaimes. Sur l'examen des 
organes de la nutrition dans 
les végétaux, par — m, 419. 

Devoirs. Théorie des — dans le 
nouvel ordre social, vi, 454. 

Différentiation. Voy. Calcul dif- 
férentiel^ i, 201. 

Diffraction, m, 462. 

Digestion. Imperfection des no- 
tions sur la — m, 470. 

Dilatation. Lois de la — des corps, 
II, 366. 

Dioptrique, ii, 458. 

Diplomatie. Importance de la — 
moderne, v, 442. 

Divorce. Dangers du — v, 3H. 

— Du — autorisé par le protes- 
tantisme, v, 481 . 

— Réflexions sur le — (note), v, 
482. 

Dominicains. Influence de l'in- 
stitution des— V, 358. 
Donné, cité pour ses recherches 



I 



LXII 



TABLE ALPHABÉTIQUX. 



sur Télectricité de l'enveloppe 
aaimale (note), m, 475. 

Droit. Influence de renseigne- 
ment du — & la fin du moyen 
fige, V, 391. 

Duel. Remarque sur le — au 
moyen âge et dans les temps 
modernes, y, 298. 

Ddbamel. Conception de — sur 
la perméabilité, ii, 404. 

DuNoTBB. Sur la condition des 
esclaves, v, 280. 

Dynamique, i, 419. Objet essen- 
tiel de la — i^ 427. Deux cas 
généraux de la — i, 468. Du 
principe de d'Alembert, i, 491. 
Théorèmes généraux de — • 
Du principe de la conservation 
du mouvement du centre de 
gravité, i, 507. Du principe des 
aires, i, 510. Du plan invaria- 
ble, I, 514. Des moments d'i- 
nertie et des axes principaux 
de rotation, i, 547. De la con- 
servation des forces vives, i, 
519. Du principe de la moindre 
action, i, 525. De la coexis- 
tence des petites oscillations, 

I, 530. 

— céleste, u, 206. Modifications 
des mouvements résultant de 
chocs ou d'explosions d'astres, 

II, 208. Des gravitations per- 
turbatrices, II, 2il. Détermi- 
nation d'un plan invariable au- 
quel se rapportent tous ces 
mouvements, ii, 228. 

— électrique, ii, 483. 

— sociale. Première idée de la 
— IV, 230. Esprit général de 
la — IV, 26t. Direction néces- 
saire de l'évolution sociale, vi, 
442. Conditions de la vitesse 
de cette évolution, iv, 448. 



Subordination des éléments 
qui It développent, IV, 458. Loi 
de la succession des trois états 
théologique, métaphysique et 
positif, iv, 463. Corrélation de 
l'évolution tnatérielle avec l'é- 
volution intellectuelle, iv, 503. 



Eau. Influence physiologique de 

r — 111,444. . 
Écho. Théorie de 1' — ii, 425. 
Iticlipses. De la prévision des — 

II, 444. 
École. Des résultats obtenus par 

les — philosophiqu es française, 

allemande et écossaise, m, 

549. 

— Rivalité des *- de Voltaire et 
de Rousseau dans la révolu-* 
lion française, vi, 308. 

— normale. Réflexion sur la 
justesse de cette épithète, vi, 
'633. 

— «polytechnique. Positivité de 
r — iv, 463. 

Économie politique. Nature et 
objet del'— IV, 493. 

Économistes. Influence sociale 
des — au xvHi* siècle, v, 530. 

Ecosse. Différence de l'évolution 
politique en — et en Angle- 
terre, X, 407 et note. 

Éducation. Ce que doit être i' — 
actuelle des savants, i, 28, 35« 

— Nécessité d'adopter la marche 
dogmatique dans l'étude des 
sciences, i, 62. 

—Importance de la classification 
des sciences pour 1' — i, 80. 
Nécessité de réformer 1' — ac- 
tuelle, i, 84. . 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LXIIf 



Éducation. Nécesiité de com- 
meDcer 1' — par la mathéma- 
tique, I, lOOu 

— lie r — mathématique néces- 
saire aux biologistes, m, 296. 

— L' — doit toujours être diri- 
gée par la physique sociale 
(note) iiiy 326. 

— Objections à la doctrine de 
Gai], au point de vue de V — 

llly 566. 

» Expériences d' — faites sur de 
jeunes sauvages, iv, 276 (note). 

— De r — générale dans le sys* 
tème catholique au moyeu 
âge, Y, 258,321. 

— Système d' — positive, attri- 
bution du pouvoir spirituel 
moderne, vi, 457. Développe- 
ment de r — dans le nouveau 
système social, vi, 508. 

— Réflexions sur 1' — mathé- 
matique, VI, 657. 

Égalité. Du dogme de 1' — iv, 52. 
» avenir de Y — fraternelle, iv, 

415. 
Égolsme. Des penchants égoïstes, 

IV, 392. 

— De la théorie de V — v, 503. 
Egypte. Du polythéisme théo- 

cratique en » v, i60. 

Élection. Caractère de r — dans la 
constitution catholique, v, 244. 

Électricité. Dénominations im- 
propres d' — vitrée et rési- 
neuse, II, 479. 

— Influence physiologique de 
r -.,!,, 441. 

Électrisation. Causes principales 

d' — II, 473 . 

— De r — organique perma- 
nente, III, 475. 

Électro-chimie. Importance et 
progrès de V — m, 124. 



Électrologle. Rang de V — dans 
l'étude des branches de la 
physique, ii, 315. Historique 
de r — u, 365. Stérilité des 
hypothèses en — n, 467. Divi- 
sion de r — et production des 
phénomènes électriques , ii, 
473. Statique électrique , n, 
480. Dynamique électrique, 
II, 483. Électro-magnétisme, 
II, 488. 

Électro-magnétisme. De la dé- 
couverte d'Œrsted, ii, 488. 

Éleetromètres, ii, 478. 

Électroscopes, ii, 478. 

Endosmose. Phénomènes d* -— 
rattachés à la capillarité, ii, 
338. 

Ennui. Influence de 1' — sur le 
développement humain, m , 
526,548; iv, 449. 

Épopées. Appréciation sommaire 
des — modernes, vi, 184. 

Équation. Véritable dé&nition de 
r — 1, 124. — Classification des 
— i, 148. De la résolution nu- 
mérique des — I, 153. Théorie 
des — 1, 157. 

•— aux limites de Lagrange, i, 
239. 

Esclavage. Destination de V — 
ancien, iv, 508; v, 133. 

— Comparaison de 1* — antique 
et colonial, v, 135. 

— Influence de i* — sur la morale 
dans l'antiquité, v, 148. 

— Transfomialion de 1' — en 
servage par le catholicisme, v, 
287. 

— Double but de V — antique, 
vi,67. 

— Honte de V — colonial, vi, 
131. 

Espace. Notion de V — J, 258. 



LXIV 



TABLE ALPOABÉTIQDE. 



Espagne. Du système colonial de 
r — VI, 129, 

— Influence du catholicisme sur 
Tart dramatique en ~- vi, 182. 

— Aptitude de V — au posili- 
visme, vi, 542. 

Espôce. Remarque sur la notion 
d* — m, 390. 

Esprit. Coup d*œil sur la marche 
progressive de Y — i, 8. 11 passe 
par l'état théologique, méta- 
physique et positif, I, 9. Mou- 
vement imprimé à l* — par 
les préceptes de Bacon, les 
conceptions de Descartes et les 
découvertes de Galilée, i, 20. 
Inconvénients pour V — de 
la spécialisation des études 
scientifiques, i, 26. Étude de 
r — au point de vue statique 
et dynamique, i, 30. Observa- 
tion des phénomènes pyscho- 
logiques par V — i, 31. Rôle 
social del' — v, 215. 

Esthétique. De l'évolution — mo- 
derne, vi^ t45. Voy. Beaux- 
arts. 

États-Unis. Des sectes religieuses 
aux —IV, 51, 94. 

Étoiles. Ce qu'on nomme un ca- 
talogue d' — II, 69. 

— Mouvements relatifs des — 
multiples, ii, 241. 

EuLER. Nouvelle forme donnée 
par — au principe de d'Alem- 
bert, I, 493. Théorèmes sur les 
moments d'inertie et les axes 
principaux de rotation décou- 
verts par — I, 517. 

— Extension de l'analyse mathé- 
matique par — VI, 233. 

Europe. Condition favorable de 
r — au développement social, 
y, 20. 



Ëvaporation. Théorie de V 

372. 
Exosmose. Effets & — rati 

à It capillarité, ii, 338. 
Expérimentation .^ L'art de 

est dû au développement 

physique» ii, 279, 295. 

— De l'emploi de 1* — en 
gie, m, 222. 

— De r — appliquée à la- 
logie, IV, 307. 



Famille. Considérations sui 
IV, 398. 

— Du perfectionnement de 
par l'influence du ca 
cisme» v, 309. 

Femmes. De l'autorité sac 
taie des — dans l'antiqu 
l.->7. 

— De Tamélioralion socia 

— par le catholicisme» v 
Féodalité. Origine de la 

204. Son caractère, v, 27 

tervention du catholi 

dans la — v, 282. 
Fermât. Conception de l'ai 

transcendante par — i^ 
Fehgcsson cité pour ses obi 

lions politiques» iv, 289. 

— Classiflcation des animai 

— IV. 422. 
Fétichisme, premier état il 

gique» V, 25. Hypothèse 
état de l'homme plus gr 
que le — v, 27. Influence 
sur l'ensemble de l'évo) 
humaine, v, 39. Transita 

— au polythéisme, v, 70. 
ment le — est contrai 
Tcsclavagc, V, 138. 



TJkBLE ALPHABÉTIQUE. 



LXV 



Feu. TentatiTes pour expliquer le 
^ m» 138. 

Fluides. De l'étude des — en mé- 
canique, I, 420. Des » impar- 
faits, I, 424. 

» Considérations sur les — en 
physique, ir, 306. 

— De la vitalité des — organi- 
ques, m, 354. 

Folie. De l'étude des facultés de 
l'homme par Texamen des di- 
vers genres de — m, 578. 

^ L'idée de — correspond à 
celle d'organe, ni, 458. 

Fonctions (Emplois). Suppres- 
sion de la distinction entre 
les — publiques et privées, iv, 
482. 

— (géométrie). Qu'est-ce qu'une 

— dans le langage de la géo- 
métrie 7 1, 94. Des deux sortes 
de ^ I, 425. Des — élémen- 
taires,!, 428. Difficulté de créer 
de nouvelles — élémentaires 
abstraites, i, 440. 

— directes, i, 445. Du calcul des 

— 1, 447. Il se divise en deux 
parties distinctes, i, 455. De la 
méthode des coefficients indé- 
terminés, I, 458. Théorie des 
quantités négatives, i, i6J. 
Principe de l'homogénéité, i, 
163. 

— indirectes, i, 445. Considéra- 
tions générales et historiques 
sur le progrès du calcul des — 
I, 467. Systèmes de Leibnitz, 
Newton et Lagrange, i, 170. 
Division en deux parties du 
calcul des — ), 200. 

— périodiques ou discontinues, 
1, 253. 

— intellectuelles et morales. 
Étude positive' des — m, 530. I 

A. CoiiTi. Tome I. 



Historique du progrès de l'es- 
prit positif, III, 530. Addition 
provisoire de la physiologie 
pbrénologique à la physiologie 
organique et animale, m, 535. 
Vices de la méthode psycho- 
logique,iu , 538. Examen de la 
doctrine de Gall, m, 554. Per- 
fectionnements dont elle est 
susceptible, m, 574. 

Fonction (physiologie). Défini- 
tion du mot — en physiologie, 
111,240. 

FoNTENELLE cité à propos de 
ses considérations sur les car- 
rières scientifiques (note), iv , 
459. 

— Pénétration philosophique de 

— v, 547. 

— Part de — dans la querelle 
des anciens et des modernes, 
VI, 262. 

Forces. Définition des — en mé- 
canique, I, 394. Loi de la com- 
position des — i, 409. 

— centrifuge, i, 484. 

FoDBiER cité à propos de la théo- 
rie de la chaleur, i, 48. 

— Analyse mathématique de la 
propagation de la chaleur, par 

— 11,379. 

— Doctrine des températures 
terrestres, par — ii , 398. 

— Appréciation des travaux ma- 
thématiques de — VI, 368. 

FoviLLE. Du siège distinct des 
saveurs principales, m , 5f8é 

France. Situation de la — relati- 
vement à l'esclavage colonial, 
VI, 132. 

— Tendance de la république 
européenne et surtout de la — 
vers l'étal positif, vi, 277. 

— considérée comme siège né- 

6 




LXTl 



TABLE ALrBABÉTIOCB. 



cesttire de l'élaboralioo so- 
ciale, VI, 536. 

FranciicaiDs. Influence de Tins- 
litotion des — ▼, 358. 

FtLAtnun. Crédulité de — à re- 
gard des songes (note), ▼, 131 . 

FftiDiRIC LE Gra5D. SOU IDOt SUF 

rincapacité politique des phi- 
losophes, ▼, 22 i . 
— Prévision philosophique de 
— V, 524. 



Gauléb. Mouvement imprimé à 
Tesprit humain par les décou- 
vertes de — 1,20, 43. 

— Loi de la composition des 
forces, 1, 409. 

»- Découverte de li rotation du 
soleil, par — ii, 87. 

— Loi de la pesanteur, trouvée 
par — II, 339. 

— Effet de la persécution de — 
V, 493. 

Gaix. Analyse des fonctions phré- 
nologiques, par — in, 550. 

— Appréciation de la doctrine de 
— III, ook, 

— Des indications fournies par 
les gestes (note), m, 585. 

— Opinion de — sur la perpé- 
tuité de la guerre, iv, 3i9. 

— De la théorie cérébrale de — 
relativement û la sociabilité, 
IV, 384. 

— cité à propos de la préten- 
due égalité des deux sexes, iv, 
405. 

Gat-Ldssac. Analjrses numéri- 
ques des composés gazeux, par 

— m, i03. 

Gaz. De l'équilibre des — - ii, 329. 
Dilatation des — ji, 368. 



Génération. Des recherches sur 
la — in, 475. 

Géométrie. Considérations géné- 
rales sur la — i, 86. La — est 
une partie de la mathématique 
concrète, i, 106. Supériorité 
scientifique de la — i, 257. 
Définition de la — j, 258, 
272. Division de la — en 
spéciale et générale, i, 281. 

— céleste, ii, 29. Des procédés 
gnomoniques , ii , 34 . Des 
moyens de mesurer le temps, 
n, 36 ; de mesurer les angles, 
u, 43. Théorie des corrections 
à faire aux indications des 
instruments, ii, 47. Théorie 
des réfractions astronomiques, 
II, 48. Théorie des parallaxes, 
II, 55. Examen philosophique 
de la — II, 64. Division de la 
— eu deux ordres de phéno- 
mènes : \^ statiques, ii, 63; 
2<> dynamiques, ii, 86. Lois de 
Kepler, ii, 126. Loi de la gra- 
vitation, u, 150. 

— descriptive. Son caractère phi- 
losophique, I, 300. 

— générale ou analytique, i,290, 
304. Principaux aspects élé- 

^mentaires que présente la con- 
ception delà—- 1, 312. Ses im- 
perfections générales relative- 
ment à la géométrie et à 
l'analyse, i, 337. 

— générale à deux dimensions, 
i,dH. 

— générale à trois dimensions, 
1,371. 

•— de situation, i, 524. 

— spéciale,!, 281,290. 

Gerbert. Établissement de la no- 
tation arithmétique secondé 
par — VI, 201. 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LXVII 



Gestes. De la signification des 

— (note), m, 585. 
Goufernemcnt. Tendance élé- 
mentaire de toute société hu- 
maine à un — spontané, iv, 
430. 

» Nécessité du — militaire dans 
l'origine, iv, 507. 

Gravitation. De la — newto- 
nienne, i, i7. La — est la loi 
positive la plus générale à la- 
quelle on puisse rattacher 
tous les phénomènes naturels, 
1,44. 

« Loi de la — ii, ioO. 

Grecs. Importance des fêles du 
cotte chez les — v, 125, 15i. 

— Du polythéisme militaire chez 
les — V, 174. 

Grégoire vu. Prépondérance de 
TÉglise au temps de — v, 
247. 

Guerre. Répugnance croissante 
pour la — IV, 504. 

— Caractère de la — chez les 
peuples pasteurs, v, 62. 

— Prépondérance de la — chez 
les anciens, v, H 9. 

— Comparaison d u rôle de la — 
dans les premiers âges et dans 
les temps modernes, v, 126. 

— Remarque sur les — moder- 
nes, V, 437, 439. 

— Du caractère des — de Napo- 
léon !•% VI, 318. 

^ Décadence du régime mili- 
taire dans la première moitié 
do dix-neuvième siècle, vi, 
349. 

GuizbT. Mot de IL — (note), iv, 
122. 

— Opioion émise en 1831 par M. 
— sur l'hérédité de la pairie 
(note), IV, 338. 



fiLizoT. Restauration de l'Aca- 
démie des sciences morales et 
politiques par M. — vi, 404. 

H 

Habitude. Théorie de Y ^ par 

Bichaf, III, 523. 
Hallam. Remarque de — sur les 

salaires des ouvriers actueb', 

VI, 271. 
Hallucinations. Des — dans l'âge 

du fétichisme, v, 50. 
Helvêtios cité pour son ouvrage 

r Esprit, m, 55 1 . 

— De l'égalité des intelligences 
humaines selon — v, 522. 

Hérédité. De 1' — profession- 
nelle dans l'antiquité et les 
temps modernes, v, 163. 

Hérésies. Des — primitives et mo- 
dernes, V, 463 . 

HippARQUE, fondateur de la trigo- 
nométrie, V, 182. 

HippocRATE cité pour son Traité 
des eaux, des airs et des lieux, 

IV, 182. 
Histoire. Tendance des esprits 

versl' —IV, 204. 

— De la spécialité en — iv, 325. 

— Conception fondamentale de 
l'analyse historique de l'évo- 
lution sociale, iv,458. 

— Condition de l' — par rapport 
à la sociologie, v, \ 6. 

HoBBEs. Influence philosophique 
de — V, 499. Tentative pour 
réhabiliter — en Angleterre, 

V, 499 (note). Caractère de la 
conception de — v, 506. 

Homère cité pour ses peintures 
des dieux du polvthcisme, v, 
86. 

— Caractère poétique d' — v, 09. 



i 



UtIII 



TASLK ALPHABETIOUE. 



BoiisE. Ues théories do poly- 
théisme dans — sur les pehies 
et les récompenses résertées 
i la vie future, t, i24. 

Horloges astronomiqaesy u, 39. 

Hamanité. Théorie do perfec- 
tionnement de r — 1V9 261, 
Î72, 275, 278. 

— Conditions d'one Téritahle his- 
toire de r — • T, 15. 

— Résumé des grandes phases 
de r — ▼!, 409. 

— Du système de commémora- 
tion destiné à glorifier les di- 
verses phases de V — vi, 472. 
Voy. Civilisation, 

fluME. De sa théorie de la causa- 
lité, Ti, 259. 

fluTGHETvs. Théorème de la con- 
servation des forces vives dé- 
couvert par — 1, 519. 

»- Du principe des forces vives 
inventé par — pour la réduc- 
tion du pendule composé au 
pendule simple, n, 42. 

Hydrodynamique. Imperfection 
de r — vu sa difficulté, 11, 
345. 

Hydrostatique. Deux méthodes 
distinctes d' — i, 459. 

— Questions d' — à propos de la 
partie statique ou dynamique 
de la barologie, 11, 323. 

Hygiène. Utilité des pratiques d' 
— imposées par le catholi- 
cisme, V, 307 et note. 

Hygrométrie. Théorie de 1* — - 11, 
372. 

Hypothèses. De la construction 
rationnelle et de Tusage scien- 
tifique des — dans Tétudede la 

' nature, 11, 296. Théorie fonda- 
mentale des — il, 298. 



Imprimerie. InOoence de 1' — vi, 

114. 
Industrie. Serrices rendus à 1' — 

par la science, i, 51. 

— Caractère de i* — dans l'âge do 
fétichisme, v, 5t. 

— Influence do polythéisme sor 
r — V, 116. 

— Influence de l'esclavage sur 
r — dans les temps anciens, v, 
135. 

— Caractère de V — soos le ré- 
gime des castes, v, 165. 

— Essor de V — au moyen âge, 
V, 329. 

— De l'évolution de 1* — mo- 
derne, VI, 63. 

— Influence du développement 
de l' — sur l'essor esthétique à 
la fin du moyen âge, vi, 160. 

— Entraves de i' — moderne, vi, 
266. 

— Consolidation de la prépondé- 
rance de r — par la crise ré- 
volutionnaire, VI, 361 . 

— De la hiérarchie de i' — vi, 
495. 

— Rapports de V — avec les ou- 
vriers dans le nouvel ordre so- 
cial, vi, 511. 

— Du perfectionnement de V -* 
en présence de Tavénement de 
l'esprit sociologique, vi, 582. 

Ingénieurs. Classe intermédiaire 
entre les savants et les produc- 
teurs, 1, 54. 

— Du développement de la classe 
des — VI, 140. 

Innovation. D'où naît l'esprit d- 

— IV, 397 (note). 
Instinct. Sens du mot — m, 546. 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LXIX 



Inslincts. Des — personnels et so- 
ciaux, iv, 392. 

Institutions monastiques. Rôle 
des — dans le catholicisme, v, 
245. 

Intégration. Yoy. Calcul inté- 
ffralj ly 214. 

Intelligence. Caractérisation de 
r — m, 546. 

Irritabilité. Emploi du mot — de- 
puis Haller (note), lu, 461. 

Isopérimètres. Problèmes des ~- 
I, 231. 

Italie. Rapports de Y — avec la 
papauté, V, 257. 

— Supériorité en tout genre de 
r — au onxième siècle, v, 318. 

— Des beaux-arts en — au moyen 
Age, vi, 150, 153. 

— Tendances positives de V — vi, 
537. 



Jansénisme. Aclion et tendance 

du — V, 457. 
Jésuites. De l'influence des — v, 

413. 

— Efforts des — pour diriger le 
mouvement scientifique (note), 
VI, 228. 

^ Signification deTabolition des 

— VI, 282. 
J£sus-Chbist. Du caractère divin 

attribué à — v, 270. 
Journaux. Influence de Tinstitu- 

tion des— VI, 188. 

— Domination spirituelle des — 
sous le régime constitutionnel, 
VI, 337. 

Judée, patrie naturelle du mo- 
nothéisme, V, 205. 

Joirs. Résultat d'un monothéisme 
prématuré chez les— v, 130. 



JossiEu (de). Sur la classification 
du règne végétal par — m, 419. 



Kant. De la distinction erronée 
des catégories de la quantité 
et de la qualité de — f, 1 12. 

— Tentative de — pour échap- 
per à l'absolu philosophique, 
VI, 619. 

KépLER cité, I, 15. 

— Loi d'inertie découverte par 
— I, 403. 

— I^is de — II, 126, 

— Remarque de — sur les chi- 
mères astrologiques, v, 96. 

Knigbt cité pour ses expériences 
sur les modifications de la 
germination par l'accéléra- 
tion de la rotation, m, 434« 



Lagbangb. Conception de — re- 
lative à l'analyse transcen- 
dante, I, 143, 167, 170, 180. 
Méthode de la dérivation suc- 
cessive, I, 188. 

— Conception de la méthode des 
variations, i, 220, 236. Des 
équations aux limites, i, 239. 

— Application du principe des 
vitesses virtuelles par — i, 
436. 

— Application de l'histoire aux 
sciences comprise par — rv, 
373. 

— cité pour l'exposition de la 
Mécanique analytique, iv, 379. 

— Du génie philosophique de »- 
VI, 369. 

Lamabck. Hypothèse de — sur la 
variation des espèces organi- 



LXX 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



ques, iir, 388, 430. Héfulalion 
de cette hypothèse, m, 391. 
Lamarce. Des hypothèses de — 
sur la seDsibilité, m, 489. 

— cité pour son principe du per- 
fectionnement organique, iv^ 
276. 

Lamennais (de). Remarque de- 
sur l'exclusion du pape dans le 
concert de la Sainte-Alliance, 
IV, 30. 

Langage. De la formation d*un 

— spécial pour la combinai- 
son des idées scientifiques, ii, 
468. 

— Idée d'un travail sur la philo- 
sophie du — IV, 3oi (note). 

— De la constitution métapho- 
rique du — V, 37. 

— Ordre du — mimique dans la 
série des arts, v, i i 1 (note). 

Langues. De l'élaboration des — 
modernes, VI, 150. 

Laplace. Conception de — pour 
expliquer les phénomènes chi- 
miques, I, 45. 

— Du plan invariable découvert 
par — I, 514. 

— Théorie cosmogonique de — 
II, 253. 

Laurent. Dénomination de sclé- 
reux et kvsteux donnée à cer- 

m 

tains tissus par — m, 364. 
Lavoisif.b. Théorie de — sur la 

combustion, m, 131. 
Lavater. DéTaut de doctrine de 

— (note), III, 585. 

Law. Mouvement causé en France 
par la banque de — vi, 137. 

Legallois. Recherches sur Tin- 
nervation du cœur, m, 502. 

Légistes. De l'existence politique 
des — V, 391. Voy. Avocats. 

Leibnitz. Conception de — rela- 



tive à Tanalvse transcendante, 
i, 143, 167, 170. 
Leibnitz, cité pour son axiome : 
le présent est gros de l'ave- 
nir, IV, 263. 

— Accord de — avec Bossuet dans 
leur appréciation du quiétisme 
(note), V, 458. 

Leroy (Georges). Influence de 
l'ennui sur le développement 
humain, d'après — m, 526, 
548; IV, 449. 

Liberté. Origine de la — mo- 
derne, VI, 94. 

Ligne. Himploi géométrique du 
mot, I, 260. 

Liquides. Équilibre des — ii, 
323. 

— Dilatation des — ir, 367. 
Littérateurs. Rôle politique des 

— en France, iv, 124. 

— De l'avènement social de la 
classe des — v, 512. 

— Direction spirituelle du xvni'* 
siècle par les — vi, 192. 

— Influence des — au xvnio siè- 
cle, VI, 287. 

Logarithmes. Influence de la 
théorie des — i, 307. 

Logique (science). Considérations 
relatives à la — i, 33. 

Lois. De la découverte des — 
naturelles, i, 16. Des — de la 
chaleur, trouvées par Fourier, 

— i, 18. Études des — logi- 
ques de l'esprit humain, i, 29. 

— d'inertie, i, 397, 403. 

— du repos, trouvée par Mau- 
pertuis, i, 503. 

— de Kepler, ii, 126. 

— de la gravitation, ii, 150. 
Louis XI. Politique de — v, 434. 
Louis XIV. Accord de la royauté 

et delà noblesse sous — v, 432. 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LXXI 



Locfs XIV. Sur l'encourogemcot 
donné aux beaux-arts par — 
VI, i 78. 

Lumière. Mesure de la vitesse de 
la — par rastronomic, ir, ilO. 
Aberration de la — produite 
par le mouvemeut de la terre 
dans les planètes et les étoiles, 
II, 112. 

Lune. Évalualion de la hauteur 
des montagnes de la — ii, 78. 

Lunettes. Usage des — en astro- 
nomie, [I, 44. De la — méri- 
dienne, n, 46. 

Luther. Action de — v, 410. 

— Caractère de la réforme de — 
V, 464. 

— A propos de la bigamie d*un 
prince allemand autorisée par 
— V, 482. 



Mablt apprécié comme écrivain 
politique, v, 527. 

Uachuvel. Opinion de — sur la 
dépendance des chofs militai- 
res modernes, y, 438. 

Uaclaurin. Problème de — sur 
la figure des planètes, ii, 102. 

Magnétisme animal, ii, 469. 

Hahombt. Organisation du mo- 
nothéisme par — V, 320. 

Hahométisme. Réflexion sur le 
— IV, 171 (note). 

Maistrk (de) cité à propos de 
son ouvrage sur le Pape, iv, 
28, 135 (note), 138 (note); de 
ses reproches à Bossuet con- 
cernant l'Église gallicane, iv, 
34; de son aphorisme : Tout 
ce qui est nécessaire existe, 
\r, 352; cité pour son paral- 
lèle de la science antique el 



de la science moderne, v^ 05. 
Maistrk (de). Effet de l'esclavage 
sur la morale domestique se- 
lon — v, 149. 

— Opinion de — sur l'influence 
catholique, v , 241; sur Tin- 
faillibilité du pape, v, 250; sur 
la translation de l'empire & 
Byzance par Constantin, v, 256. 

— Observation de — sur la colo- 
nisation de l'Espagne et du 
Portugal (noie), VI, 129. 

Malebranche cité pour la Recher^ 
che de la vérité, m, 531. 

— A propos de son explication 
du choc élémentaire des corps 
solides, IV, 470. 

Malthus. Exagérations écono- 
miques de — IV, 457. 

Manzoni. Appréciation littéraire 
de — VI, 367. 

Marées. Question des — ii, 195. 

— La théorie des — est un ap- 
pendice naturel de la partie 
statique de la barologie, ii, 
329. 

Mariage. De l'institution du — 
IV, 402. 

— Indissolubilité du — catholi- 
que, V, 310. 

— Question du — des prêtres au 
concile de Trente, v, 41 1 (note). 

Mariotte. Loi de — ii, 332. 

Mathématique (science). Rang 
de la — dans la classification 
positive, I, 85. Elle forme deux 
sections, i, 86. Définition or- 
dinaire de la — I, 00. Difficulté 
de mesurer directement les 
grandeurs, i, 92. Définition 
exacte de la — i, 08. Division 
fondamentale de la — en — 
abstraite et — concrète, exem- 
ples, I, 101. Circonscription de 



LXXII 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



chacune de ces sections^ i, 106. 
Étendue réelle du domaine de 
la — I, 111. Subordination de 
la biologie à la — m, 286. De 
l'étude de la — dans la Grèce 
ancienne, v, 179. Titres phi- 
losophiques de la — considé- 
rée comme source de la po- 
sitivité rationnelle, vi, 155. 
Derniers progrès de la — vj, 
368. Résultats obtenus en — 
VI, 681. 
Malhématique abstraite. Est une 
division de la mathématique, 
I, 101. Nature delà — i, 107. 
Véritable objet de la — i, 125. 
Division de la — i, 132. 

— concrète. Est une division de 
la mathématique, i, 101. Elle 
comprend la géométrie et la 
mécanique, i, 105. Dut des re- 
cherches de la — I, 124. 

Maupertuis. Loi du repos trou- 
vée par — I, 503. 

— Théorème du principe de la 
moindre action découverte par 

— 1,525. 

Mécanique animale. Imperfec- 
tion des notions de — m, 
506. 

— céleste, II, 29. Loi de la gra- 
vitation, II, 150. 

— industrielle. Application à la 

— du théorème des forces vi- 
ves, I, 521. Théorie de la — i, 
524. 

— rationnelle, branche de la 
mathématique concrète, i, 86, 
106. Véritable caractère phi- 
losophique de la — i, 391. 
Divisions principales de la — 
I, 419. Considérations sur les 
théorèmes généraux de la — 
I, 500. 



Médecine. Connexion de la bio- 
logie et de la — m, 196. 

— De l'emploi des spécifiques en 
— lu, 448. 

— De la statistique appliquée & 
la— m, 291. 

Médicaments. De Tusage des — 
en thérapeutique, m, 448. 

Méditerranée. Situation propice 
de la — au développement de 
la civilisation (note), v, 20. 

Métaphysique (état). Apprécia- 
tion générale de 1' — v, 346. 
Décomposition de l'ancien état 
social, V, 346 ; au quatorzième 
et au quinzième siècle, v, 362; 
dans les siècles suivants, v, 
381 ; organes du mouvement 
révolutionnaire, v, 386. Dé- 
sorganisation spirituelle, v, 
398; temporelle, v, 403. In- 
fluence intellectuelle de la pé- 
riode protestante, v, 447. 
Transport en France de l'é- 
branlement intellectuel, v, 
509. 

— (méthode) suivie par l'esprit 
humain, i, 9. 

Météorologie. Cause de la diffi- 
culté d'étude des phénomènes 
de la — I, 118. 

— Inutilité des recueils actuels 
d'observations sur la — iv, 
471. 

— De l'inefficacité des observa- 
tions actuelles de la — v, 97. 

Méthode. Elle vient des mathé- 
matiques, I, 122. Des — d'ob- 
servation en astronomie, ii, 33. 

— comparative. Emploi de la — 
en biologie, jn, 240. De la — 
appliquée & la sociologie, iv, 
312. 

— d'exhaustion, i^ 168. 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LXXIII 



Méthode hlitorique. De la -» en 
lodologie, iv^ 322. Nouveau 
mode d'exploration constitué 
par la — ivy 376. De l'utilité 
sdeutifique de la — (note), iv, 
378. 

— métaphysique, i, 9. 

— psychologique. Inanité de la 

— 1,32. 

» théologique. Heureux résul- 
tats de la — i, 13. 

— des fariations. Voy. Calcul des 
variations, i, 230. Voy. Posi- 
tive (méthode). 

Microscope. De Tusage du — 

ea biologie, m, 219. 
Milieux* Des — par rapport aux 

corps organisés, m, 203. 

— Définition et usage du terme 

— (note)^ iiiy 209. 

— > De la modiflcation des — 
coomie mode d'expérimenta- 
tion physiologique, m, 227. 

•^ organiques. Théorie des — m, 
430. Des milieux physiques, 
m, 433. Des milieux chimi- 
qnes, ui, 444. 

MiLL. Adhésion de M. Mill à la 
noofelle philosophie politique 
(note), vi, 448. 

MiLTOR. Du supplice des damnés 
dans le Paradis perdu^ y, 299. 

IGnéralogie. Sa dépendance de 
la chimie, i, 57. 

Miracle. De la notion du — iv, 
477. 

MoLiÈRi. Appréciation du génie 
social de — vi, 186. 

Monde. Séparation tranchée en- 
tre la notion de — et celle 
d'anivers en mécanique cé- 
leste, u, 175. 

— Distinction de l'idée de — et 
d'anlFem, ii| 120. 



Monde. Étude sur la formation 

de notre — ii, 252. 
MoNGK. Conception de — relative 

à la géométrie descriptive, i, 

55. 

— Perfectionnement de la géo- 
métrie descriptive par — i, 300. 

Monogamie. Établissement de la 

— sous le polythéisme, v, 1 56. 
Monomanies. Direction des mé- 
decins dans l'étude des — m, 
578. 

lionothéisme. Nécessité d'une 
révélation dans le système 
d'un — primtif (note), v, 26. 

— Destination politique du — v, 
129. 

— Pourquoi le — est contraire à 
l'esclavage, v, 138. 

— Notion du — dans l'antiquité, 
V, 198. Attributs politiques du 

— V, 211. Organisation spiri- 
tuelle du — au moyen flge, v, 
213. Organisation temporelle 
du — V, 274. Influence mo- 
rale du — V, 291. Influence 
intellectuelle du v, 316. In- 
fluence scientiflque du — vi, 
198. 

MoNTESQuiBu. Caractère de VEs- 
prit des lois de — iv, 1 78. 

— considéré comme prOncur 
de la constitution anglaise^ v, 
528. 

— Appréciation de la Grandeur 
et décadence des Romains, v, 
187. 

MoNTcftRV. Opinion du capitaine 

— sur l'imperfection de l'art 
militaire chez les modernes, 
V, 120. 

Morale. Imperfection de la — 
domestique dans l'antiquité, v, 
448, 156. Influence du catho- 



LXXIV 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



licisme sur la — universelle^ 
V, 291. Observations sur la — 
professée par les déistes, vi, 
466. De la — personnelle, do- 
mestique et sociale dans le 
nouvel ordre social, vi, 739. 
Morale privée. Conditions de la 

— autres que celles de la mo- 
rulû publique, iv, 100. 

— publique. L'annrchie intel- 
lectuelle a confondu la — iv, 
97. 

Moraux (pliénomèncs). Observa- 
lion des — î, 31. 

MoBGAGNi cité pour son étude 
générale de l'unatomie patho- 
logique> m, 34t. 

Mort. Sur la théoiie générale de 
la — m, 480. 

Mouvement. Lois physiques du 

— I, 403. Théorie du — recli- 
ligne produit par une seule 
force continue, agissant indé- 
finiment selon la même direc- 
tion, I, 469. InQuence physio- 
logique du — m, 436. 

— des astres, ii , 86. 
Musique. Ordre de la — dans la 

série des beaux-arts, v, Itl. 
Prééminence de la — moderne 
sur l'ancienne, v, 113. Des pro- 
grès de la — au moyen âge, v, 
327. 
Musulmans. Résultat d'un mo- 
nothéisme prématuré chez les 

— V, 130. 



N 



Naturistes. De Técole des — en 

Allemagne, m, 57. 
Nègres. Réflexion sur la traite 

des — (note), vi, 132. 



Newton. Définition de l'algèbre 
par — I, 133. 

— Conception de — relative à 
l'analyse transcendante, i, 144, 
167. De la méthode des limites 
par — I, 184. Du calcul des 
fluxions et des fluentes par — 
1,187. 

— Question du solide de moin- 
dre résistance, i, 233. 

— Théorèmes primitifs de — sur 
l'attraction des corps sphéri- 
ques, I, 458. 

Nombres. Théorie des — i, 137. 

Numérisme. Du — en phy- 
siologie et en pathologie, i, 
117. 

— De l'emploi du — en biologie, 
III, 222, 290. 

Nutation. De la — de l'axe ter- 
restre constatée par Bradley, 
II, 106. 



Observation. De l'emploi de 1* — 
en biologie, m , 2i8. 

— De r — appliquée à la socio- 
logie, IV, 296. 

Océanie. Institution du Tabou 
chez des peuples de 1' — v, 56. 

OsnsTED. Découverte de l'élec- 
tro-magnétisme par — ii, 488. 

Offices. Appréciation de la véna- 
lité des — v, 394. 

Oeen, chef de l'école des natu- 
ristes en Allemagne, m , 57. 

Olbers. Conjecture d' — sur 
l'explosion d'une planète si- 
tuée entre Mars et Jupiter, ii, 
209. 

Optique. Rang de 1' — dans l'é- 
tude des branches de la physi- 
que, II, 3t6. Considérations 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LXXV 



les sur r — H, 436. Hy- 
st de NewtoD, Descar- 
iDyghens, Euler sur la 
•, II, 438. Théorie de la 
e, II, 447. De la photo- 
, II, 452. De la catoptri- 
, 455. De la dioptrique, 
L De là diffraction, ii, 
B la polarisation, u, 464. 



me. Du — en AÎIema- 
, 33. Du — métaphysi- 
>le),v, 379. 

) riuraillibilité du ^ v, 
)e la nécessité d'une 
Niaté temporelle pour 
Ty 254. Transformation 
Dfoir politique du — 
lonième siècle, v, 400. 
u Théorie des — ii, 55, 
He, II, {'22. 

me. Notion du — sui- 
6 Blainville (note), m, 

aiation de — iv, t72. 
flexions de — sur le 
lent social, v, 220. 
aot le danger des dé- 
Ations théologiques, v, 

Obserfation interne et 

I des — I, 32. Du ca- 

de la — (note), m, 

B. Haute destination 
[que de Texploration en 
30. 

lét de Famour de la — 
i anciens, v, 1 55. 
atie. De l'emploi non- 
ce nom (note), vi, 448. 
Prééminence de la — 



moderne sur Tancienne, v, 

i13. 
Pendule. Observations sur le — 

II, 40. Théorie du — par Huy- 

ghens, 11, 342. 
Pesanteur. On ne peut définir la 

— I, 17. Influence physiolo- 
gique de la — III, 453. 

— terrestre. Manière de tenir 
compte de la — - dans les ap- 
plications de la statique abs- 
traite, 1, 452. 

Phanère. Théorie du — par de 

Blainville, m, 350. 
Philosophie biologique. De la 

méthode positive en — iv, 259. 

— mathématique. Relations né- 
cessaires de la sociologie avec 
la — IV, 365. 

— métaphysique. Rôle actuel de 
la — I, 42, Orfice Iransiloiro de 
la — IV, 497. Influence de la 

— sur la transition du féti- 
chisme au polythéisme, v, 78. 
Revue historique de la — vi, 
241. De révolu lion de la — 
dans le dernier demi-siècle, 
V, 400. 

— naturelle. Pourquoi l'auteur 
n'a pas adopté ce terme, i; r>. 
Sens de ce mot en Angleterre, 
III, iO (note). 

— politique. Imperfection ac- 
tuelle de la — V, 65. De la ré- 
novation de la — par Hobbes 
et Bossuct, VI, 257. 

— première suivant Bacon, vi, 
648. 

— des sciences. Pourquoi l'au- 
teur n'a pas choisi cette expres- 
sion, I, 6. Méthode historique 
appliquée à la — ii, 312. 

— théologique. Rôle de la — 
dans les sociétés modernes, i, 



LXXVI 



TABLE ALPHABÊTIQUB. 



42. Caractère fondamental de 
la — II, 293. Origine sponta- 
née de la — IV, 467. Destina- 
tion de la — pour présider à 
Torganisation de la société, iv, 
480 ; pour y constituer une 
classe spéculatiTe, ii, 482. De 
la — sous le polythéisme, v, 
i05, 123. Voy. Sociologique 
(philosophie). 

Phonation. Étude de Tacousti- 
que pour la — n,4H. 

Phonation. Application des lois 
de l'acoustique à l'étude de 
la — lîi, 511. 

Photométrie, ii, 452. 

Phrénologie. Emploi de ce terme 
par Spurzheim (note), m, 535. 

Physiologie. Émancipation de la 

— 1,19. 

— Est une section de la physique 
organique, i,73. 

— DifBculté des expériences en 

— II, 278. 

— L'audition et la phonation sont 
du ressort de la — ii, 412. 

— La théorie de la vision ressort 
de la — II, 449. 

— Comment la chimie a empiété 
sur la — m, 160. 

— L'étude de la — est insépara- 
ble de celle de l'anatomie, m, 
213. 

— Désordre actuel de la — m, 
425. 

— Possibilité du retard dans le 
développement de la — (note), 
m, 456. 

— Sur une chaire de — compa- 
rée (note), III, 426. 

— animale, i, 74 ; m, 483. 

— cérébrale, m, 530. Perfection- 
nements de la — m, 571. 

— organique^ m, 424. 



Physiologie phrénologîque. Em- 
ploi de ce terme, m, 535 (note). 

— végétale, i, 74. 

— Insuffisance des chimistes 
pour des analyses de — m, 467. 

Physionomie. Observation sur la 

— (note), m, 585. 
Physique. Émancipation de la 

— i, 19. Distinction et rap- 
ports de Ja — abstraite et 
concrète, i, 58. 

— Considérations sur Tensem- 
ble de la — ii, 267. Dis- 
tinction de la — et de la chi- 
mie, II, 269. Définition de la 
u, 275. Modes d'observation 
que comporte la — ii, 277. 
Rang de la — dans la hiérar- 
chie scientifique, ii, 285. In- 
fluence de la — sur le déve- 
loppement de Tintelligence 
humaine, ii, 291 . Fonction des 
hypothèses en — ii, 297. Plan 
d'étude de la— ii, 313. 

— Subordination indirecte de la 
biologie à la — m, 265. 

— Pouvoir de l'homme sur la 
nature dû à la — iv, 360. 

— Derniers progrès de la — vi, 
370. 

— Des résultats obtenus en — 
VI, 692. 

— inorganique. Sa division en 
physique céleste et physique 
terrestre, i, 61. Est susceptible 
de perreclion scientifique, i, 
114. 

— organique. L'étude de la — 
doit suivre celle de la physique 
inorganique, i, 71. Se subdi- 
vise en physiologie et en phy- 
sique sociale, i, 73. Est inac- 
cessible à l'analyse mathéma- 
tique, i, 114. 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LXXVII 



Physique sociale. Lacune à com- 
bler, I, 22. Est une section de la 
physique organique, i, 73. État 
actuel de la science sociale, 
iT, il. Des idées d'ordre et 
de progrès dans le temps pré- 
sent, iT, 17. Tendances des 
écoles politique, rétrograde 
et révolutionnaire^ iv, 21. An- 
tagonisme de ces écoles, iv, 
69. De l'école stationnaire, iv, 
%i. Conséquences de ces luttes, 
IT, 90. Vains efforts de rt^or- 
gaoisation sociale, iv, 114. Cu- 
ractère intellectuel de la phi- 
losophie politique nouvelle, 
IV, 130. Tentatives faites Jus- 
qu'Ici pour constituer la — iv, 
Itj6. Caractères de la méthode 
positive en l'étude de la — iv, 
206. Distinction de l'état stati- 
que et de l'état dynamique de 
la — IV, 230. Ressources scien- 
tifiques de la — IV, 294. De la 
méthode historique en — iv, 
322. Relations nécessaires de 
la ~~ avec les autres sciences, 
IV, 337. Réaction nécessaire de 
la — sur ces sciences, quant à 
la doctrine et à la méthode, 
iTy 370. De la statique sociale, 
IV, 383. De la dynamique so- 
ciale, IV, 442. Appréciation 
historique, v,5. Age du féti- 
chisme, V, 25. Age du poly- 
théisme, V, 84. Age du mono- 
théisme, V, 2i 1. Age de transi- 
tion révolutionnaire, v, 346. 
Age delà spécialité, vi, 39. Age 

. de la généralité, vi, 277. Con- 
clusions générales, vi, 548. 
— terrestre. Section de la — 
inorganique, i, 74. Elle se 
subdivise en physique pro- 



prement dite et chimie, i, 72. 

Pinel-Grandchamp. Du siège dis- 
tinct des saveurs principales, 
111,518. 

Planèles. Du mouvement des — 
II, 86. Rétrogradations et sta- 
tions des — II, 108. Problème 
des — II, 135. Action des — 
sur leurs s.iteliiti>s, ii, 164. Fi- 
gure des — 11^ 189. Influence 
perturbatrice de l'action des 
satellites sur leurs — ii, 216. 

Platon. Sur l'exclusion des poè- 
tes de la république de — v, 
100. 

— Appréciation de la doctrine 
de — v, 388. 

Poésie. Culture de la — dans 
l'flge du polythéisme, v, 99. 

— Elle est représentée au moyen 
flge par Dante, v, 328. 

— Opposition des formes de la 

— dramatique et épique au 
catholicis^me (note), vi, 168. 

— Nature différente de la poésie 
dramatique grecque et mo- 
derne, yi, 180. 

Poids et mesures. De la propaga- 
tion du nouveau système de 

— VI. 374 et note. 

PoiNsoT. Théorie des couples, 
créée par — i, 442. 

— Méthode de — pour détermi- 
ner les masses des astres, ii, 
180. 

Politique. Incapacité des philo- 
sophes et des spéculatifs en 
fait de — v, 215. Des rapports 
de la science et de la — (note), 
VI, 228. 

— métaphysique. Influence de 
la — sur les progrés Faits dans 
les trois derniers siècles, iv, 
34. 



LXXVl 



42. Caractère <■ 
la — n, 2î»:*. 
née de la — 
lion de la — 
rorganîsalioii 
480 ; pour ^ 
classe spOcu' 
la — sous 1 
lO.i, 123. 
{philosophi* . 

Phonalio[i. i 

que pour 1 
Phonation. 

de racoii- 

la — i:i, 
Pliotométri 
Phrénologi* 

parSpui. 
Phyaiologi. 

— I, lît. 

— Est un» 
organiq 

— DilliiM 

- n, 1' 

— L'au'i 
du tvt 

— un 

de lu 

— Com 
sur 1 

blo 

211' 

— h 

— 1 
(1 



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I 



SS 



.i«M 



. -i-*. Appri^ciatio: 

iiMiions des deu\ as- 

.;..*i latioaales en Fr.ince. 

?'(. Oes régimes 8ui\a^l^. 

. ;. La crise n'îvolutioc- 

..- .-juiplcle la dt''cadence 

^jnme théologique, v., 

elle du régi m f militaire. 

«■*. Kêsumé de l'évolution 

...«.•sophique, vi, 400. Vue 

..cuu.sation de 1" — vi, 43S. 

..r^cution du principe nou- 

ii. ie coordinaliun sociale, 

. -S!. 

>..i«e (Économie). Esquisse 

— vu iSl. 
>..ive (.Méthode), adoptée ea 
viuier lieu par l'esprit hu- 
:.din, 1, 9. Comment elle doit 
..rîger la spécialisatiuo des 
...;Jes scientifique:*, i, 2^. 
sAge de la — r, 34. Inipor- 
j.'.ve de la classification scier.- 
;:dque pour la connaissance 
iv.' li— I, 80. Caractères delà 
— dans l'étude de lii {ibysiqce 
s^viale, IV, 20î). I*rincipe de la 
urt\isiun rationnelle, iv, 2*26. 
Appréciation de l'ensemble île 
.^ — VI, 54S. Véritable caractère 
•e la — VI, H02. l!:volutioa 
fondamentale de la — vi, 63i. 
.Vs^iti\e (l'hilosophie). Sens de 
^•05 deux terme?, i, -H. But spé- 
vTial du cours de — i, 22. Avé- 
i!omonl définitif de la — i, 
Ui. .\ quel point de sa forma- 
tion la — est parvenu (», i, 10. 
Ascension de la — i]«\; uis Ba- 
con, Galilée et Desc-îes, i, 
20. Les résultats de la — doi- 
\o:Uéue: la manifestation par 
expérience des lois de Tin- 
U'IIivt et la refonte du svstème 



TABLE ALPUADÉTIQUE. 



LXXIX 



d'éducation, i, 35 ; Textension 
des progrès particuliers des 
diverses sciences, i, 37 ; la base 
de la réorganisation sociale^ i, 
40. Le cours de— ne porte que 
snr les généralitt^s théoriques, 
I, 34; et seulement sur les 
icîeoces naturelles abstraites, 
I, 56. De l'exposition historique 
et dogmatique des sciences, i. 
00. Difficulté de leur classifi- 
cation, I, 65. Division en deux 
classes des phénomènes natu- 
rels, if 69. Partage de la — en 
six sciences fondamentales, i, 
75. Quatre caractères essen- 
tiels de cette classification, i. 
76-8o. Caractère de la méthode 
et des conceptions scientifi- 
ques de la — IV, 214. Essai cl 
progrès de la — iv, 489. Ten- 
dance dès le moyen âge vers 
la — VI, i9i. Apparition de la 
— au xvn® siècle, vi, 247. Ac- 
cueil que la — doit attendre des 
diverses classes sociales, vi,520. 
L'étude des lois invariables 
des divers ordres de phéno- 
mènes est l'objet de la — vi^ 
598. Destination de la — par 
rapport à l'individu, vi, 620 ; 
i l'espèce, vi, 630. Institution 
de la — VI, 642. Formation 
graduelle de la — vi, 651. Ré- 
sultats de l'élaboration préli- 
minaire de la — VI, 675. Action 
ultérieure de la — vi, 725. 

Pteitive (Politique). Vrai carac- 
tère de la — vi, 281. Voy. So- 
ciale (Physique). 

Positives (Sciences). Ordre ency- 
clopédique dans lequel doivent 
être étudiées les — i, 22. Divi- 
non nécessaire de l'étude des 



— dans les temps modernes, 
I, 26. Remède contre la spé- 
cialisation des recherches indi- 
viduelles, I, 27. Vice des clas- 
sifications modernes, i, 47. 
Conditions d'une classification 
rationnelle, i, 48. But pratique 
et spéculatif de l'étude des — 
I, 5t. De la marche historique 
et dogmatique des — i, 60. 
Hiérarchie des — i, 66. Divi- 
sion en cinq branches des — 
1, 75. De la précision et de la 
certitude dans l'étude des — 
I, 7i'. 

Positivité dont les sciences sont 

8usceptil)les, ii, 208. 
Poudre. Hypothèse sur l'usage 

ancieu de la — (uoîe), vi, 

tll. 
Préface personnelle, vr, 5. 
Pression atmosphérique. In 

fluence physiologique de la 

— m, 435. 

Prière. Sur les effets de la — iv, 
477. 

Probabilités. Du calcul des — n, 
255. 

Producteur (/e). Titre d'un journal 
ren Fermant divers articles de 
l'auteur, i, 10. 

— cité pour les travaux sur le 
pouvoir spirituel (note),* v, 
232. 

Progrès. Du — dans les temps 
modernes, iv, 17. Vains ef- 
forts pour fonder le — iv, 
114. Qualification de la philo- 
sophie positive à cet égard, iv, 
145. Ébauche du — due au 
christianisme, iv, 170. 

Prolétaires. De la condition des 

— dans le nouvel ordre social| 
VI, 506. 




Politique slationnaire. Pn'por.di!" 
Tunrnacluclle de la — iv, sr. 

— llitologique. InflueQCc de l;i 

— sur In développement di-.- 
ïocidi'd uiodernei, it, 'i>3, 

l'olyguniJe. Hemarque sur la - 
dans rniiljquflt^ v, lalî. 

— De la — sous le régime V\\{. ■ 
rxatiqup, V, <GT. 

l'olj théisme, V, 84. Le — 
rive du ftUichisme, v. 
l^vûliilioD tociale par I' 
BU polul de vue suiouli'l, - 
V, !IU ; su point de vun 
llquo, T, DR ; «u point di 
induMriel, v, MA. Ap' 
Mcinlo du — au point i!. 
politique, V, 130; au p ■* 
vue moral, v, (47, Moilr 
tioii du — V, 10O. Moi . 
du — V, 174, Mode roi- . -'^■" 

— ï, mT, Tranaitioit 
au monolliéitme ilu 
ilge. V, (iHi. 

ropulalioQ, Influenr.- 

cmiifoiiiout et de ' -m* 

«atioii de la — lu 

l'acoi'U>raiion iJe |,. ^^mg^ 

•ion tofiale, iv, -«^™'~ 

tious d'une utile i. '^ 

ai:pri^de# — arri> < 
Poïilif ,Elïl). ÊWi 

.1 r — VI, 31U Oii, 

temont de 



. ^SBÉrcfilé de • 

iSB peîntrei, 




. Loi du — caloTi> 

^-1 ;iiMfUBti dn — d'aprèi u 
.mw. :1.39e. 
^^^ma. OtMemtion sut le 

.j*K. «I, 3S3, 
.tf^K aemaïqiifl sur U— du 
^m» âède, V, 409. 
' ^BiHimaHrODOniiques. ThJo- 
\.»-n,48, 
''".^■Mk. De qDi on doit Blleo- 
»uM hUtoireratioanelle de 
.— T. 40 (note). 
. :«iurrile. Ce que lei méli- 
làjMEÏnu ont qualiOé de — 
.13. 
,. «pnlioo. AnaljMi insuffliao- 
,^ »ile la — Tallet par les ehi- 
EMitac, ni, 168. 
. ptonnce, actuelle su injet 

.e !> — m. 4<0. 
lAUimtioD. Appréciation poli- 
1^* de la — Ti, 325. 
*■ -toMlvlioD. Efprit de la — an- 
^;ww, T, 4<;9 ; de la — améri- 
^ nùat, T, 470; de la — dei 
n;9-Bai, T, 408. Du reieotis- 
wtBMil de la — américaîoe en 
Fnnce, n, 283. 
— tsitcane. Tendance, dëi wo 
i«b«il. de la — n, SS4. De 
TiruTre des deai atsemblée*. 
«t. i$9. Rt^actioD rétrograde 
M ippr^ciilion delà dictature 
:>t<pi'riile, VI 313; de U Ret- 
aurilioD, VI. 333, 
lihHTn. Onîidéraliona sur la 
" 'vi de — m, 9*. 
Ht.'MmTMv't. ÛbKrvatjon de — lur 
, VtU*. *ocial Aes femmes dan 
1 aatiiiuiii'. v. C- 
HiTswi Fiwêdé Je — pour me- 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LXXXI 



alv la vitesse de la lumière, 
^^ .lit. 

^Mom<iiiir. Destination des fêtes 
V tliez les — y , 151. 
Hklioinain. Remarque sur ce genre, 
P^ ^:, 154. Des — modernes, vj^ 

ht Hoinaniisme. Du — introduit en 
^ France par Técole catholico- 
féodale (note), iv, 33. 
H'.iUE. Évolution politique, mo- 
rale et intellectuelle à — v, 
187. 

— Conditions de la destinée de 
— V, 190 (note). 

— Du caractère des invasions 
BOUS l'empire, v, 275. 

RocssEAU (Jean-Jacques). A pro- 
pos de ses opinions religieuses 
(note), y, 421. 

— considéré comme chef d'é- 
cole politique, v^ 525. 

— A propos de ses Confessions, 
v,541. 



S 



Satellites. Problème des — ii, 
«38. 

— Tendance des — vers leurs 
planètes, ii, 164. 

^ influence des perturbations 
d'une planète sur ses — ii^ 
217. 

Sauvages. Résultat de l'éducation 
de jeunes — iv, 276 (note). 

— Des instincts de la conserva- 
tion chez les — rv, 444 et note. 

Sauvecr. Expériences sur l'acous- 
tique de — II, 420, 432. 

Savants. Indifférence politique 
dos — IV, 157. 

— Penchant des — pour une spé- 
cialii>ation routinière, iv^ 432. 

A. Comte. Tome I. 



Savants. Tendances anti-positi- 
vistes des — V], 374. 

— Des différents modes d'en- 
courager les — yi, 387. 

— Dédain des — pour toute phi- 
losophie générale (note), vi, 
4!»1. 

Savart. Expériences sur l'acous- 
tique de — II, 434. 

Science. En quoi consiste toute — 
I, 99. Caractère dos — en gé- 
néral^ II, 18. Du domaine res- 
pectif des — et des arts, m, 
194. Origine de révolution mo- 
derne cherchée dans le moyen 
^S^9 ^h 1^3* Marche des — 
dans les temps modernes, vi^ 
212. De la culture comparée 
des — en France et en Angle- 
terre, VI, 218. Revue des noms 
modernes marquants dans les 

— VI, 232. Derniers progrès 
des — VI, 368. De la hiérarchie 
sociale des — vi, 486. Voy. Po- 
sitives sciences. 

Scolaslique. Syslémalisalion 

scientifique par la — vi, 206. 

Scott (Walter). Appréciation lit- 
téraire de — VI, 306. 

Sensations. De l'analyse des — 
suivant leur spécialité crois- 
sante, m, 515. 

Sensibilité animale. Imperfec- 
tions des connaissances sur la 

— m, 512. 

Sexes. De la subordination des 

— IV, 402. 

Shakspeare. Caractère des œu- 
vres de— VI, 182. 
Signes. Influence des — sur les 

conceptions analytiques, i 
iiO. 
Smith (Adam}. Caractère des tra- 
vaux d' — VI, 195. 



ÉÈ 



ixxxn 



TABLE ALPBABÉTfQUB. 



Smitv, cite pour sa remarque 
qu'on n'a jamais trou Té un dieu 
pour la pesanteur, rr, 4^1. 

Sociabilité humaine. De la — iv, 
380. Considérations sur les vé- 
ritables lois de la — v, 12. 

Société. Anarchie intellectuelle 
régnant dans les — modernes 
et moyen de la guérir, i, 41. 

— Considérations sur la — eirvi- 
sagée comme formée de famil- 
les, Ti, 417. Organisation de la 

— par la philosophie théolo- 
fique, iT, 480. Aperçu de réor- 
ganisation des — modernes, 
VI, 437. Voy. physique sociale, 
sociologie f statique sociale, 

SociN. Caractère de la réforme 
de — V, 466. 

Sociologie, catégorie distincte 
mais peu avancée de la phy- 
siologie, 1, 21. Utilité de la 
classification des sciences pour 
les progrès de la — i, 84, In- 
troduction de ce terme, iv^ 
185. 

Sociologique (philosophie). Pré- 
pondérance rationnelle de la 

— VI, 553. Rapports futurs de 
la — avec les diverses bran- 
ches des sciences, vi, 593. — 
considérée comme science fi- 
nale, VI, 712. yo^.pfiysique «o- 
ciale, 

SocHATE. Opinion de — sur la sé- 
paration de la philosophie d'a- 
vec la science, v, 1 86. 

Soleil. De la rotation du — h, 
87. 

— Éclipses de — servant à me- 
surer la distance de cet astre à 
la terre, ii, 145. 

— Action du — sur les planètes^ 
11, 152. 



Solidaiftlé* De la — sociale, iv, 
252, 270. Développement de la 

— sociale par le catholicisme, 
V, 315. 

Solides. De l'étude des — en mé- 
canique, 1, 420. Équilibre des 

— II, 321. Lois des mouve- 
ments des — il, 338. D&lata- 
tion des — n, 367. Propaga- 
tion de la dialeor dans les — 
D, 386. 

Sommeil. Théorie dn — par Bi- 
chat, ni, 521. 

Son. Conditions de la production 
du — II, 413. Mode de pn^- 
gadondu— ii, 421. Intensité 
du — II, 426. Nature musicale 
dn — II, 429. Théorie éban- 
diée de la eomposilion des — 

II, 433. 

Songes. Du diagnostic par les — 

III, 522. 

Souvenineté. Du dogOK de k — 
du peuple, iv, 54. 

Spabte. Du génie spécial de — 
(note), V, 175. 

Spécialisation. Dangers de la — 
exelunve des savants, yi, 384w 

Spécialité. De l'esprit de — con- 
temporain, IV, 325. 

Spéculation. Distinction des con- 
naissances spéculatives et pra- 
tiques, 1, 50. 

Spinosa. Influence philosophique 
de — V, 499. 

SpiritueL De l'usage de ce terme 
(note), nr, S04. Voy. autêriU. 

Spurzhb». a propos du nom de 
phrénologie einployé par — 
m, 534 (note). Perfectionoe- 
ment de la doctrine de Gall 
par — (note), lU, 55S. 

Stâil. De la théorie de — lu» 
450. 



^ 



tàmjr alfsabétioue. 



UXXIH 



StatîçQe, I, 419, O^ ApfOksa- 
tioQ de la dynaiiiîfiie à fai — 
abstraite, i, 437. Théorie des 
moments, i, 430. Application 
du principe des vitesses yir- 
tuelles, I, 430. Théorèmes gé- 
néraux relatif à la — i, 501 . 

— céleste, ii, 178. Méthodes di- 
Terses de détermination des 
masses des astres, ii, 180. 
Étude de la figure des astres, 
n^ 189. Question des marées, 
n, 195. 

— électrique, ii, 480. 

— sociale. Première idée de la 
— IV, 230. Objet de la — iv, 
235, 283. Ascendant de la vie 
affective sur la vie intellec- 
tuelle, IV, 389. Des instincts 
persennels et sodaux, iv, 392. 
fie la famille, iv, 398. De la 
perpétuité sociale, iv, 413. 

Statistique. De la — appliquée à 

la médecine, lu, 29j. 
Stêviu. Conception de — idative 

à la statique, i, 426. 

— Problèmes d'kydrostalique 
résolus par — n, 32ft. 

Smcide. De la réprobation du — 

par le catholicisme, v, 308i. 
Surface. Sens du mot — en gée- 

métrie, i, 260. 
Syoïpatliîe. Bdatioii de la — 

avec le développement de l'in- 

telligencay iv, 395. 



UniMi.. Calcul auK différences 
iaîea créé par — i» 247. 

Température lenEastie. Théorie 
de la — par Foorier^ n, 398. 

Tea^KMrel. Sur l'emploi, de ce 



terme (neie), iv, 504» Voy Axh 
torité. 

Tératologie. Examen des cas de 
— comme mode d'expérimen- 
tation physiologique, m, 236. 

Terre. Moyens d'évaluer la dis- 
tance de la — aux astres de 
notre système, u, 65. Étude 
de la figure et de la grandeur 
de la — II, 80. De la rotation 
de la — H, 95. Translation de 
la — n, 103. Évaluation du 
poids de la — u, 186. Ganses 
des altérations de la rotation 
de la — n, 224. Des tempéra- 
tures de la — II, 398. Condi- 
tions d'une véritable histoire 
de la — V, 15. 

Thalès. De la géométrie cultivée 
par — V, 180. 

Théocratie. Remarque sur la — 
égyptienne et juive, v, 33. 

Théologie naturelle. De la doc- 
trine qualifiée — vi, 243. 

— fétichiste, v, 5. Voy. FélkkùtM. 
Théologique (méthode) suivie 

par l'esprit humain, i, 9. Ses 
hoBS effetsdans l'origioe, i, 13. 
Théorie. Distinction des connais- 
sances théoriques et pratiques, 
I, 50. Rapports entre la — et 
la pratique en politique, iv, 
164 ;note). 

— des couples créée par Poinsot, 
I, 442. 

— des équations, j, 157. 

— des moments^ i, 430. 

— des nombres, i, 137. 

Thérapeutique. Objet des ques- 
tions de la— I, 112. Indépen- 
dance de la biologjie vis-4-fis 
de la — m, 326. 

Thermologie. Progrès de la — 
dus à Fourier, i, 197. 



à 



LXXXIV 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



Thermologie mathématique. 
Considérations sur la — ii, 
378. Lois de la propagation 
de la chaleur dans tes solides, 
II, 380. -Idée de l'application du 
calcul des variations à la ther- 
mologie, II, 395. Théorie des 
températures terrestres, u, 398. 

^ physique. Rang de la — dans 
l'étude des branches de la phy- 
sique, II, 316. Historique delà 

— II. 349. Théorie de réchauf- 
fement et du refroidissement, 
II, 353. Remarques sur la con- 
ductibilité, la pénétrabilité et 
la perméabilité, ii, 359. Cha- 
leur spécifique, u, 362. Des 
changements de volume des 
corps produits par la chaleur, 
II, 366. Changements produits 
dans leur état d'agrégation, 
u, 369. 

Thiers. Sur la maxime de M. 

— : Le roi règne et ne gou- 
verne pas (note), iv, 88. 

Timbre (acoustique), ii, 421. 
Tissus. De Tétude des — par 

Bichat et depuis Bichat, m, 

339. Voy. Bichat. 

— Du — cellulaire et de ses 
modifications, m, 362. 

— L'idée de propriété corres- 
pond à celle de tissu, m, 448. 
Voy. Biologie, 

ToRRicELLi. Propriété relative à 
l'équilibre des corps pesants 
découverte par — i^ sot. 

Tourbillons. Considérations sur 
l'hypothèse des — de Descar- 
tes, n, 309. 

Tract (de). Appréciation des tra- 
vaux de — m, 541. 

— cité à propos de son éco- 
nomie poliiique, IV, 196. 



Travail. Réflexion sur la théorie 
du — attrayant, iv, 423. Dan- 
ger de la spécialisation du — 
IV, 428. 

Trigonométrie rectiligne. Aperçu 
philosophique de la — i, 305. 

TcRPiN. Études de physiologie vé- 
gétale par — (note), m, .468. 



Univers. Distinction de l'idée de 
monde et d' — ii, 120. 



Van Helmont. De TArchée de — 

m, 451. 
Vapeurs. Dilatation des — ii, 

368. Théorie de la formation 

et de la tension des — ii, 

372. 
Végétal (règne). Difficultés de 

classification du — m, 417. 
Venise. Caractère comparé de 

l'aristocratie à — et eu Angle- 
^ terre, vi, 293. 
Vernier. Emploi du — en astrO' 

nomie, ii, 44. 
Vibrations sonores. Étude des — 

II, 4t0. Analyse des — ii, 413. 
Expériences de Sauveur et de 
Chladni, ii, 420, 430, 432. 

Vie. L'analyse mathématique 
est inapplicable aux phénomè- 
nes physiologiques de la — i, 
1 1 6. Définition de la — par Bi- 
chat, HT, 200 ; par Blainville, 

III, 205. Distinction entre la — 
organique et la — animale^ 
m, 206. Distinction de la ^ 
en organique et animale, m, 
215. Influence de la durée 



TABLE ALPHABÉTIQUE. 



LXXXY 



de la — humaine sur la pro- 
greidoQ sociale, iv^ 450. 
Vie animale. Considérations phi- 
losophiques sur rétude génc- 
rale de la — m, 483. Des éco- 
les physico-chimique et mé- 
taphysique, m, 486. Théorie 
positiTe de rirritabilité et de 
la sensibilité, m, 492. Mode 
d'action des phénomènes de 
l'une et de l'autre, ui, 518. De 
Tassociation des fonctions ani- 
males, III, o26. 

— végétative ou organique. 
Étude générale sur la — m, 
424. Des milieux organiques, 
m, 430. Des fonctions de la — 
III, 464. 

— future. De la croyance à là — 
dans le premier âge de Tbu- 
manité, iv^ 482. Influence de 
la croyance à la — v, 123. 
Opinion des déistes sur la — 
(note), VI, 465. 

VoET, cité pour sa tentative de 
daisiûcation du règne animal 
par le système nerveux (note), 
01,411. 



Vision. Explication prétendue de 

la — I, 31. 
^ La théorie de la — appartient 

à la physiologie, ii, .449, 455. 

— Conditions mal connues de la 

— iiF, 514. 

Vivisection. Des expériences de 

— III, 226 . 

Voltaire. Sagacité révolution- 
naire de — V, 507. 

— A propos de la Pucellej v, 
540. 

■ Volume. Explication sur le terme 
' géométrique — i, 260. 

W'œhler. Reproduction de l'urée 
par — m, 76. 

WoLLASTON. Théorie des équiva- 
lents chimiques par — m, 104. 



Zoologie. Sa dépendance de la 

physiologie, i, 57. 
Zootaxie, zootomie. Sens de ces 

mots, m, 33 t. 



FIN DE LA TABLE ALPHABKTIQUE. 



ERRATUM 



Tome III, page 195, ligne 33, au lieu de due lisez daet. 



i 



%. 



MES ILLUSTRES AMIS 



M. LE BARON FOURIER 

SECRÉTAIRE PERPÉTUEL DE l' ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, 



M. LE PROFESSEUR 

H. M. D. DE BLAINVILLE 

MEMBRE DE l'aCADÉMIE ROYALE DBS SCIENCES. 



En témoignage de ma respectueuse aflcction, 

Auguste COMTE. 



A. GoMTi. Tome I. 



AVERTISSEMENT DE L'AUTEUR 



Ce cours^ résultat général de tous mes travaux depuis 
ma sortie de I* École polytechnique en 1816, fut ouvert pour 
la première fois en avril 1826. Après un petit nombre de 
séances, une maladie grave m'empêcha, à cette époque, de 
poursuivre une entreprise encouragée, dès sa naissance, 
par les suffrages de plusieurs savants du premier ordre, 
parmi lesquels je pouvais citer dès lors MM. Alexandre de 
Humboldt, de Blainville et Poinsot, membres de l'Acadé- 
mie des sciences, qui voulurent bien suivre avec un intérêt 
soutenu l'exposition de mes idées. J'ai refait ce cours en 
entier l'hiver dernier, à partir du 4 janvier 1829, devant 
un auditoire dont avaient bien voulu faire partie M. Fou- 
rier, secrétaire perpétuel de l'Académie des sciences, 
MM. de Blainville, Poinsot, Navier, membres de la même 
académie, MM. les professeurs Broussais, Esquirol, Binet, 
etc., auxquels je dois ici témoigner publiquement ma re- 
connaissance pour la manière dont ils ont accueilli cette 
nouvelle tentative philosophique. 

Après m'être assuré par de tels suffrages que ce cours 
pouvait utilement recevoir une plus grande publicité, j'ai 
cru devoir, à cette intention, l'exposer cet hiver à l'Athé- 
née royal de Paris, où il vient d'être ouvert le 9 décembre. 



4 AVERTISSEMENT DE L*AUTEUR. 

Le plan est demeuré complètement le môme; seulemeni 
les convenances de cet établissement m'obligent à restrein- 
dre un peu les développements de mon cours. Ils se trou- 
vent tout entiers dans la publication que je fais aujourd'hui 
de mes leçons, telles qu'elles ont eu lieu Tannée dernière. 

Pour compléter cette notice historique, il est convena- 
ble de faire observer, relativement à quelques-unes des 
idées fondamentales exposées dans ce cours, que je les 
avais présentées antérieurement dans la première partie 
d'un ouvrage intitulé : Système de politique positive^ impri- 
mée à cent exemplaires en mai 18221, et réimprimée ensuite 
en avril 1824, à un nombre d'exemplaires plus consi- 
dérable. Cette première partie n'a point encore été formel- 
lement publiée, mais seulement communiquée, par la voie 
de l'impression, à un grand nombre de savants et de phi- 
losophes européens. Elle ne sera mise définitivement ttt 
circulation qu'avec la seconde partie, que j'espère pouvoir 
faire paraître à la fin de l'année 1830. 

J*ai cru nécessaire de constater ici la publicité efi'ective 
de ce premier travail, parce que quelques idées, offrant une 
certaine analogie avec une partie des miennes, se trouvent 
exposées, sans aucune mention de mes recherches, dans 
divers ouvrages publiés postérieurement, surtout en ce qui 
concerne la rénovation des théories sociales. Quoique des 
esprits différents aient pu, sans aucune communication,, 
comme le montre souvent l'histoire de l'esprit humain, 
arriver séparément à des conceptions analogues en s'occu- 
pant d'une même classe de travaux, je devais néanmoins 
insister sur l'antériorité réelle d'un ouvrage peu connu du 
public, afin qu'on ne suppose pas que j'ai puisé le germe 



AVERTISSEMENT DE L'aUTBUR. 5 

de certaines idées dans des écrits qui sont, au contraire, 
plus récents. 

Plusieurs personnes m'ayant déjà demandé quelques 

éclaircissennents relativement au titre de ce cours, je crois 

, utile d'indiquer ici, à ce sujet, une explication sommaire. 

L'expression philosophie positive étant constamment em- 
ployée, dans toute l'étendue de ce cours, suivant une accep- 
tion rigoureusement invariable, il m'a paru superflu de la 
définir autrement que par l'usage uniforme que j'en ai tou- 
jours fait. La première leçon, en particulier, peut être re- 
gardée tout entière comme le développement de la défini- 
tion exacte de ce que j'appelle la philosophie positive. 

Je regrette néanmoins d'avoir été obligé d'adopter, à dé- 
faut de tout autre, un terme comme celui ùq philosophie^ 
qui a été si abusivement employé dans une multitude d'ac- 
ceptions diverses. Mais l'adjectif positive^ par lequel j'en 
modifie le sens, me paraît suffire pour faire disparaître, 
même au premier abord, toute équivoque essentielle, chez 
ceux, du moins, qui en connaissent bien la valeur. Je me 
bornerai donc, dans cet Avertissement^ à déclarer que j'em- 
ploie le mot philosophie dans l'acception que lui donnaient 
les anciens, et particulièrement Âristote, comme désignant 
le système général des conceptions humaines ; et, en ajou- 
tant le mot positive, j'annonce que je considère celte ma- 
tière spéciale de philosophie qui consiste à envisager les 
théories, dans quelque ordre d'idées que ce soit, comme 
ayant pour objet la coordination des faits observés, ce qui 
constitue le troisième et dernier état de la philosophie gé- 
nérale, primitivement théologiqueet ensuite métaphysique, 
ainsi que je l'explique dès la première leçon. 



« AVERTISSEMENT DE l'AUTBUR. 

Il y a, sans doute, beaucoup d'analogie entre ma philo- 
sophie positive et ce que les savants anglais entendent, de- 
puis Newton surtout, par philosophie naturelle. Mais je 
n'ai pas dû choisir cette dernière dénomination, non plus 
que celle de philosophie des sciences, qui serait peut-être 
encore plus précise, parce que l'une et l'autre ne s'enten- 
dent pas encore de tous les ordres de phénomènes, tandis 
que Ici philosophie positive, dans laquelle je comprends 
l'étude des phénomènes sociaux aussi bien que de tous les 
autres, désigne une manière uniforme de raisonner appli- 
cable à tous les sujets sur lesquels l'esprit humain peut 
s'exercer. £n outre, l'expression philosophie naturelle est 
usitée^ en Angleterre, pour désigner l'ensemble des diver- 
ses sciences d'observation, considérées jusque dans leurs 
spécialités les plus détaillées; au lieu que, par philosophie 
positive, comparé à sciences positives, j'entends seulement 
Tétudepropre des généralités des différentes sciences, con- 
çues comme soumises à une méthode unique, et comme 
formant les différentes parties d'un plan général de recher- 
ches. Le terme que j'ai été conduit à construire est donc, 
à la fois, plus étendu et plus restreint que les dénomina* 
tions, d'ailleurs analogues, quant au caractère fondamental 
des idées, qu'on pourrait, de prime abord, regarder comme 
équivalentes. 

Paris, le 18 décembre 1829. 



A. COUTB, t. I, p. 7. 



E 



COMTE» ANCIEN ÉLÈVE DE L*i:COLE POLTTECnNIQl E (l^. 



J 

lOtitive. 



•on». 
1 



M 



lo Vue générale de l'analys*» mathématique, 

io I)u calcul (leii roncii>tiis (lirecics 

3° Du calcul des fonctions imlirectes 

4" Du calcul des rariations 

So Du calcul aux difTerenct^s finies 






(1 



1 o Vue générale de la géométrie 

io De la );eometrie des anciens 

3-^ Conception fondamentale de la géométrie analytique. 

i 40 De Tétude générale des lignes 

\ 50 De l'étude générale des surfaces 



1« Des principes fondamentaui de la mécanique, 

2« Vue générale de la statique 

30 Vue générale de la dynamique 

40 Théorèmes généraux de mécanique 



lo Exposition générale des méthodes d*ohserTation 

tn 1 kcA ) -" (''^ude des phénomènes géométriques élémentaires des corps célestes. 
h* \ AS \ 30 De la théorie du mouvement de la terre 

4» Des lois de Kepler 



^ I > fo De la loi de la gravitation universelle 

S f 3 I 2» A|>prériatioii philosophique de cette loi 

30 Explicatiou dv.'8 phénomènes célestes par cette loi, 




{ 



lo Étu te expérimentale des phénomènes de la chaleur 1 

io Théorie mathématique de ces phénomèues « 1 



lo Tableau général delà chimie inorganique I 

2o D« la doctrine des proportions dèfiiùes 1 

30 De la théorie électro-chimique I 



® 1 ( 1» Examen des anciennes théories : t 



10 



' 2o Exposition des théories positives t 

ortunité de la physique sociale 1 

(qu'ici pour la fonder I 

2 i i l'étude des phénomènes sociaux 2 

Q f es branches de la philosophie naturelle 1 

^''^H humaines 1 

ipèee humaine, considéré dans ton ensemble I 

IPétiehisme I 

Polythéisme 1 

Monothéisme I 

ipoqae méUphysiqot...., • t 

!«,.« ^*l^-f^"' » 

(t) Ce tableau 



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u 



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COURS 



DB 



PHILOSOPHIE POSITIVE 



PREHIËRE LEÇON <» 



Sommaire. — Eipoaition du but de ce court, ou considérations générales 
sur la nature et l'importance de la philosophie positive. 



L'objet de cette première leçon est d'exposer nettement 
le but du cours, c'est-à-dire de déterminer exactement 
l'esprit dans lequel seront considérées les diverses bran- 
ches fondamentales de la philosophie naturelle, indiquées 
par le programme sommaire que je vous ai présenté. 

Sans doute, la nature de ce cours ne saurait être complè- 
tement appréciée, de manière à pouvoir s'en former une 
opinion définitive, que lorsque les diverses parties en au- 
ront été successivement développées. Tel est l'inconvé- 
nient ordinaire des définitions relatives à des systèmes 
d'idées très-élendus, quand elles en précèdent Texposi- 
lion. Mais les généralités peuvent être conçues sous deux 
aspects, ou comme aperçu d'une doctrine à établir, ou 
comme résumé d'une doctrine établie. Si c'est seulement 
sous ce dernier point de vue qu'elles acquièrent toute leur 

(1) IVmt ee premier volume a été écrit dans le premier semestre de 
ISM. 



8 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

valeur, elles n'en ont pas moins déjà, sous le premier, une 
extrême imporlance, en caractérisant dès l'origine le sujet 
à considérer. La circonscription générale du champ de nos 
recherches, tracée avec toute la sévérité possible, est, pour 
notre esprit, un préliminaire particulièrement indispensa- 
ble dans une étude aussi vaste et jusqu'ici aussi peu déter- 
minée que celle dont nous allons nous occuper. C'est afin 
d'obéir à cette nécessité logique, que je crois devoir tous 
indiquer, dès ce moment, la série des considérations fon- 
damentales qui ont donné naissance à ce nouveau cours, 
et qui seront d'ailleurs spécialement développées, dans la 
suite, avec toute l'extension que réclame la haute impor- 
tance de chacune d'elles. 

Pour expliquer convenablement la véritable nature et le 
caractère propre de la philosophie positive, il est indispen- 
sable de jeter d'abord un coup d'œil général sur la marche 
. progressive de l'esprit humain, envisagée dans son ensem- 
ble : car une conception quelconque ne peut être bien con- 
nue que par son histoire. 

En étudiant ainsi le développement total de rintelligence 
humaine dans ses diverses sphères d'activité, depuis son 
premier essor le plus simple jusqu'à nos jours, je crois 
avoir découvert une grande loi fondamentale, à laquelle il 
est assujetti par une nécessité invariable, et qui me semble 
pouvoir Cire solidement établie, soit sur les preuves ra- 
tionnelles fournies par la connaissance de notre organisa- 
lion, soit sur les vérifications historiques résultant d'un 
examen attentif du passé. Celte loi consiste en ce que cha- 
cune de nos conceptions principales, chaque branche de 
DOS connaissances, passe successivement par trois états 
théoriques différents: l'état théologique, ou fictif; l'état 
métaphysique, ou abstrait ; l'état scientifique, ou positif. 
Eu d'autres termes, l'esprit humain, par sa nature, em- 



DE LA PUILOSOPUTE POSITIVE. 9 

ploie successivement dans chacune de ses recherches trois 
méthodes de philosopher, dont le caractère est essentielle- 
ment différent et môme radicalement opposé : d*abord la 
méthode théologique, ensuite la méthode métaphysique 
et enfin la méthode positive. De là, trois sortes de philoso- 
phie, ou de systèmes généraux de conceptions sur Tensem- 
ble des phénomènes, qui s'excluent mutuellement : la pre- 
mière est le point de départ nécessaire de rintelligence 
humaine ; la troisième, son état fixe et définitif; la seconde 
est uniquement destinée à servir de transition. 

Dans l'état théologique, l'esprit humain, dirigeant essen- 
tiellement ses recherches vers la nature intime des êtres, 
les causes premières et finales de tous les effets qui le 
frappent, en un mol, vers les connaissances absolues, se 
représente les phénomènes comme produits par l'action di- 
recte et continue d'agents surnaturels plus ou moins nom- 
breux, dont l'intervention arbitraire explique toutes les 
anomalies apparentes de l'univers. 

Dans l'état métaphysique, qui n'est au fond qu'une sim- 
ple modification générale du premier, les agents surnatu- 
rels sont remplacés par des forces abstraites, véritables 
entités (abstractions personnifiées) inhérentes aux divers 
êtres du monde, et conçues comme capables d'engendrer 
par elles-mêmes tous les phénomènes observés, dont l'ex- 
plication consiste alors à assigner pour chacun l'entité 
correspondante. 

Enfin, dans l'état positif, l'esprit humain, reconnaissant 
l'impossibilité d'obtenir des notions absolues, renonce à 
chercher l'origine et la destination de l'univers, et à con- 
Diltre les causes intimes des phénomènes, pour s'attacher 
uniquement à découvrir, par l'usage bien combiné du 
raisonnement et del'obbervation, leurs lois effectives, c'est- 
à-dire leurs relations invariables de succession et de simi- 



10 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

litude. L'explicalion des faits, réduite alors à ses termes- 
réels, n'est plus désormais que la liaison établie entre les 
divers phénomènes particuliers et quelques faits généraux 
dont les progrès de la science tendent de plus en plus à 
diminuer le nombre. 

Le système théologique est parvenu à la plus haute per- 
fection dont il soit susceptible, quand il a substitué l'ac- 
tion providentielle d'un être unique au jeu varié des nom- 
breuses divinités indépendantes qui avaient été imaginées 
primitivement. De môme, le dernier terme du système 
métaphysique consiste à concevoir, au lieu des différentes 
entités particulières, une seule grande entité générale^ la 
nature, envisagée comme la source unique de tous les phé- 
nomènes. Pareillement, la perfection du système positif, 
vers laquelle il tend sans cesse, quoiqu'il soit très-probable 
qu'il ne doive jamuis l'atteindre, serait de pouvoir se repré- 
senter tous les divers phénomènes observables comme des 
cas particuliers d'un seul fait général, tel que celui de la 
gravitation, par exemple. 

Ce n'est pas ici le lieu de démontrer spécialement cette 
loi fondamentale du développement de l'esprit humain, et 
d'en déduire les conséquences les plus importantes. Nous 
en traiterons directement, avec toute l'extension conve- 
nable, dans la partie de ce cours relative à l'étude des 
phénomènes sociaux (i). Je ne la considère maintenant 
que pour déterminer avec précision le véritable caractère 
de la philosophie positive, par opposition aux deux autres 

(t) Les personnes qui désireraient immédiatement à ce sujet des éclair- 
cissements plus étendus pourront consulter utilement trois articles de 
Considératiofis philosophiques sur les sciences et les savants quey ai publiées, 
en novembre 1825, dans un recueil intitulé le Producteur (qo« 7, 8 et 10), 
et surtout la première partie de mon Système de politique positive , adres- 
sée, en avril 1824, à l'Académie des sciences, et où j'ai consigné, pour la 
première fois, la découverte de cette loi. 



OB LA PUILOSOPUIB POSITIVE. It 

2^ilosophîe8 qui ont successivement dominé, jusqu'à ces 
derniers siècles, «tout notre système inlellecluel. Quant à 
présent, afin de ne pas laisser enliôrement sans démons- 
t.ralion une loi de cette importance, dont les applications 
se présenteront fréquemment dans toute l'étendue de ce 
CM>urs, je dois me borner à une indication rapide des mo- 
fpifs généraux les plus sensibles qui peuvent en constater 
l 'exactitude. 

£n premier lieu, il suffit, ce me semble, d'énoncer une 
telle loi, pour que la justesse en soit immédiatement véri- 
fiée par tous ceux qui ont quelque connaissance approfon- 
die de l'histoire générale des sciences. Il n'en est pas une 
seule, en efifet, parvenue aujourd'hui à l'état positif, que 
chacun ne puisse aisément se représenter, dans le passé, 
sssenlielleroent composée d'abstractions métaphysiques, 
et, en remontant encore davantage, tout à fait dominée 
par les conceptions théologiques. Nous aurons môme mal- 
heureusement plus d'une occasion formelle de reconnaître 
dans les diverses parties de ce cours, que les sciences les 
plus perfectionnées conservent encore aujourd'hui quelques 
traces très-sensibles de ces deux états primitifs. 

Cette révolution générale de l'esprit humain peut d'ail- 
leurs être aisément constatée aujourd'hui, d'une manière 
très -sensible, quoique indirecte, en considérant le déve- 
loppement de l'intelligence individuelle. Le point de départ 
étant nécessairement le môme dans l'éducation de l'individu 
que dans celle de l'espèce, les diverses phases princi- 
pales de la première doivent représenter les époques fon- 
damentales de la seconde. Or, chacun de nous, eu contem- 
plant sa propre histoire, ne se souvient-il pas qu'il a été 
successivement, quant à ses notions les plus importantes, 
théologien dans son enfance, métaphysicien dans sa jeunesse, 
et physicien dans sa virilité ? Cette vérification est facile au- 



It BUT DU COUBS. — NATURE ET IMPORTANCE 

jourd'hui pour tous les hommes au niveau de leur siècle. 

Mais, outre l'observation directe, générale ou indivi- 
duelle, qui prouve Texaclitude de cette loi, je dois surtout, 
dans cette indication sommaire, mentionner les considéra- 
tions théoriques qui en font sentir la nécessité. 

La plus importante de ces considérations, puisée dans la 
nature même du sujet, consiste dans le besoin^ à toute épo- 
que, d'une théorie quelconque pour lier les faits, combiné 
avec rimpossibilité évidente, pour l'esprit humain à son 
origine, de se former des théories d*aprèsles observations. 

Tous les bons esprits répètent, depuis Bacon, qu'il n*y a 
de connaissances réelles que celles qui reposent sur des 
faits observés. Cette maxime fondamentale est évidemment 
incontestable, si on l'applique, comme il convient, à l'état 
viril de notre intelligence. Mais, en se reportant à la forma- 
tion de nos connaissances, il n'en est pas moins certain 
que l'esprit humain, dans son état primitif, no pouvait ni 
ne devait penser ainsi. Car si^ d'un côté, toute théorie po- 
sitive doit nécessairement être fondée sur des observations, 
il est également sensible, d'un autre côté, que, pour se li- 
vrer à l'observation, notre esprit a besoin d'une théorie 
quelconque. Si, en contemplant les phénomènes, nous ne 
les rattachions point immédiatement à quelques principes, 
non-seulement il nous serait impossible de combiner ces 
observations isolées, et, par conséquent, d'en tirer aucun 
fruit, mais nous serions même entièrement incapables de 
les retenir; et, le plus souvent, les faits resteraient inaper- 
çus sous nos yeux. 

Ainsi, pressé entre la nécessité d'observer pour se for- 
mer des théories réelles, et la nécessité non moins impé- 
rieuse de se créer des théories quelconques pour se livrer 
à des observations suivies, l'esprit humain, à sa naissance, 
se trouverait enfermé dans un cercle vicieux dont il n'aurait 



DE LA PHILOSOPBIE POSITIVE. 13 

jamais ea aucun moyen de sortir, s'il ne se fût heureuse- 
naeat ouvert une issue naturelle par le développement 
spontané des conceptions théologiques, qui ont présenté 
un point de ralliement à ses efforts, et fourni un aliment à 
son activité. Telle est, indépendamment des hautes consi- 
dérations sociales qui s'y rattachent et que je ne dois pas 
même indiquer en ce moment, le motif fondamental qui 
démontre la nécessité logique du caractère purement thco- 
logique de la philosophie primitive. 

Celte nécessité devient encore plus sensible en ayant 
égard à la parfaite convenance de la philosophie théologi* 
que avec la nature propre des recherches sur lesquelles^ 
Tesprit humain dans son enfance concentres! éminemment 
toute son activité. Il est bien remarquable, en effet, que- 
les questions les plus radicalement inaccessibles à nos 
moyens, la nature intime des êtres, Torigine et la fin de 
tous les phénomènes, soient précisément celles que notre 
intelligence se propose par-dessus tout dans cet état pri* 
mitif, tous les problèmes vraiment solubles étant presque 
envisagés comme indignes de méditations sérieuses. On en 
conçoit aisément la raison ; car c'est Texpérience seule qui 
a pu nous fournir la mesure de nos forces ; et, si Thomme 
n'avait d'abord commencé par en avoir une opinion exagérée,. 
elles n'eussent jamais pu acquérir tout le développement 
dont elles sont susceptibles. Ainsi Texige notre organisa- 
tion. Mais, quoi qu'il/n soit, représentons-nous, autant 
que possible, cette disposition si universelle et si pronon- 
cée, et demandons-nous quel accueil aurait reçu à une telle- 
époque, en la supposant formée, la philosophie positive, 
dont la plus haute ambition est de découvrir les lois des 
phénomènes, et dont le premier caractère propre est pré- 
cisément de regarder comme nécessairement interdits à la 
raison humaine tous ces sublimes mystères, que la philoso- 



14 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

phie tbéologique explique^ au contraire^ avec une si admi- 
rable facilité jusque dans leurs moindres détails. 

Il en est de même en considérant sous le point de v«e 
pratique la nature des recherches qui occupent primîlive- 
ment Tesprit humain. Sous ce rapport, elles offrenl à 
rhomme l'attrait si énergique d'un empire illimité à exer^ 
€er sur le monde extérieur, envisagé comme entièrement 
destiné à notre usage, et comme présentant dans tous ses 
phénomènes des relations intimes et continues avec notre 
existence. Or, ces espérances chimériques, ces idées exa- 
gérées de l'importance de lliomme dans l'univers, que fait 
naître la philosophie théologique, et que détruit sans re- 
tour la première influence de la philosophie positive, sont, 
i l'origine, un stimulant indispensable, sans lequel on ne 
pourrait certainement concevoir que l'esprit humain se 
fût déterminé primitivement à de pénibles travaux. 

Nous sommes aujourd'hui tellement éloignés de ces 
dispositions premières, du moins quant à la plupart des 
phénomènes, que nous avons peine à nous représenter 
exactement la puissance et la nécessité de considérations 
semblables. La raison humaine est maintenant assez mûre 
pour que nous entreprenions de laborieuses recherches 
scientifiques, sans avoir en vue aucun but étranger capa- 
ble d'agir fortement sur l'imagination, comme celui que 
se proposaient les astrologues ou les alchimistes. Notre 
activité intellectuelle est sufûsamm<ipt excitée par le pur 
espoir de découvrir les lois des phénomènes, parle simple 
désir de confirmer ou d'infirmer une théorie. Mais il ne 
pouvait en être ainsi dans l'enfance de l'esprit humain. 
Sans les attrayantes chimères de l'astrologie, sans les 
énergiques déceptions de l'alchimie, par exemple, où au- 
rions-nous puisé la constance et l'ardeur nécessaires pour 
recueillir les longues suites d'observations et d'expériences 



DE LA PHILOSOPHIE POSITIVE. 1& 

qui ont, plus tard, servi de fondement aux premières théo- 
ries positives de l'une et l'autre classe de phénomènes ? 

Celle condition de noire développement intellectuel a 
élé vivement sentie depuis longtemps par Képler« pour 
Tastronomie, et justement appréciée de nos jours par 
Bertholiet, pour la chimie. 

On voit donc, par cet ensemble de considérations, que, 
si la philosophie positive est le véritable état définitif de 
l'intelligence humaine, celui vers lequel elle a toujours 
tendu de plus en plus, elle n'en a pas moins dû nécessaire- 
ment employer d'abord, et pendant une longue suite de 
siècles, soit comme méthode, soit comme doctrine pro- 
visoires, la philosophie théologique ; philosophie dont le 
caractère est d'être spontanée, et, par cela môme, la seule 
possible à l'origine, la seule aussi qui pût offrir à notre 
esprit naissant un intérêt suffisant. Il est maintenant très- 
facile de sentir que, pour passer de celte philosophie pro- 
visoire à la philosophie définitive, l'esprit humain a dû 
naturellement adopter, comme philosophie transitoire, 
les méthodes et les doctrines métaphysiques. Cette der- 
nière considération est indispensable pour compléter Ta- 
perçu général de la grande loi que j'ai indiquée. 

On conçoit sans peine, en effet, que notre entendement, 
contraint à ne marcher que par degrés presque insensibles, 
ne pouvait passer brusquement, et sans intermédiaires, de 
la philosophie théologique à la philosophie positive. La 
théologie et la physique sont si profondément incompati- 
bles, leurs conceptions ont un caractère si radicalement 
opposé, qu'avant de renoncer aux unes pour employer 
exclusivement les autres, l'intelligence humaine a dû se 
servir de conceptions intermédiaires, d'un caractère bâ- 
tard, propres, par cela même, à opérer graduellement la 
transition. Telle est la destination naturelle des concep-. 



16 BUT DU COURS. — NATUBE ET IMPOBTANCC 

lions métaphysiques : elles n*ont pas d'autre utilité réelle. 
En substituant, dans Télude des phénomènes, à raction 
surnaturelle directrice une entité correspondante et insé- 
parable, quoique celle-ci ne fût d'abord conçue que comme 
une émanation de la première, l'homme s'est habitué peu 
à peu à ne considérer que les faits eux-mêmes, les notions 
de ces agents métaphysiques ayant été graduellement sub- 
tilisées au point de n'être plus, aiix yeux de tout espril 
droit, que les noms abstraits des phénomènes. Il est im- 
possible d'imaginer par quel autre procédé notre enten- 
dement aurait pu passer des considérations franchemeni 
surnaturelles aux considérations purement naturelles, do 
régime théologique au régime positif. 

Après avoir ainsi établi, autant que je puis le faire sans 
entrer dans une discussion spéciale qui serait déplacée en 
ce moment, la loi générale du développement de l'esprit 
humain, tel que je le conçois, il nous sera maintenant aisé 
de déterminer avec précision la nature propre de la philo- 
sophie positive ; ce qui est l'objet essentiel de ce^iscoan. 

Nous voyons, par ce qui précède, que le caractère fon- 
damental de la philosophie positive est de regarder tous 
les phénomènes comme assujettis à des lois naturelles in- 
variables, dont la découverte précise et la réduction au 
moindre nombre possible sont le but de tous nos efforts, 
en considérant comme absolument inaccessible et vide de 
sens pour nous la recherche de ce qu'on appelle les causef, 
soit premières, soit finales. Il est inutile d'insister beau- 
coup sur un principe devenu maintenant aussi familière 
tous ceux qui ont fait une étude un peu approfondie des 
sciences d'observation. Chacun sait, en effet, que, dans 
nos explications positives, môme les plus parfaites, nous 
n'avons nullement la prétention d'exposer les causes gêné*- 
ratrices des phénomènes, puisque nous ne ferions jamais 



DE LA PHILOSOPHIE POSITIVE. 17 

^lors que recaler la difficulté, mais seulement d'analyser 
^vec exactitude les circonstances de leur production, et 
^e les rattacher les unes aux autres par des relations nor- 
males de succession et de similitude. 

Ainsi, pour en citer l'exemple le plus admirable, nous 
disons que les phénomènes généraux de l'univers sont 
expliquéSy autant qu'ils puissent Têtre, par la loi de la gra- 
vitation newlonienne, parce que, d'un côté, cette belle 
théorie nous montre toute l'immense variété des faits as- 
tronomiques, comme n'étant qu'un seul et même fait en- 
visagé sous divers points de vue ; la tendance constante de 
toutes les molécules les unes vers les autres en raison di- 
recte de leurs masses, et en raison inverse des carrés de 
leurs distances; tandis que, d'un autre cdté, ce fait général 
nous est présenté comme une simple extension d'un phé- 
nomène qui nous est éminemment familier, et que, par 
cela seul, nous regardons comme parfaitement connu, la 
pesanteur des corps à la surface de la terre. Quant à déter- 
miner ce que sont en elles-mêmes cette attraction et cette 
pesanteur, quelles en sont les causes, ce sont des questions 
que nous regardons tous comme insolubles, qui ne sont 
plus do domaine de la philosophie positive, et que nous 
abandonnons avec raison à l'imagination des théologiens, 
ou aux subtilités des métaphysiciens. La preuve manifeste 
de l'impossibilité d'obtenir de telles solutions, c'est que, 
toutes les fois qu'on a cherché à dire à ce sujet quelque 
chose de vraiment rationnel, les plus grands esprits n'ont 
pu que définir ces deux principes l'un par l'autre, en di- 
sant, pour l'attraction, qu'elle n'est autre chose qu'une 
pesanteur universelle, et ensuite, pour la pesanteur, qu'elle 
consiste simplement dans l'attraction terrestre. De telles 
explications^ qui font sourire quand on prétend à connaî- 
tre la nature intime des choses el le mode de génération des 

A. Covn. Tome I. S 



18 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

phénomènes, sont cependant tout ce que nous pouvons 
obtenir de plus satisfaisant, en nous montrant comme 
identiques deux ordres de phénomènes qui ont é té si 
longtemps regardés comme n'ayant aucun rapport entre 
eux. Aucun esprit juste ne cherche aujourd'hui à aller 
plus loin. 

11 serait aisé de multiplier ces exemples, qui se présen- 
teront en foule dans toute la durée de ce cours, puisque 
tel est maintenant Tesprit qui dirige exclusivement les 
grandes combinaisons intellectuelles. Pour en citer en ce 
moment un seul parmi les travaux contemporains, je choi- 
sirai la belle série de recherches de M. Fourier sur la 
théorie de la chaleur. Elle nous offre la vériQcation très- 
sensible des remarques générales précédentes. En effet, 
dans ce travail, dont le caractère philosophique est si émi- 
nemment positif, les lois les plus importantes et les plus pré- 
cises des phénomènes thermologiques se trouvent dévoi- 
lées, sans que l'auteur se soit enquis une seule fois de la 
nature intime de la chaleur, sans qu'il ait mentionné, au- 
trement que pour en indiquer le vide, la controverse si 
agitée entre les partisans de la matière calorifique et ceux 
qui font consister la chaleur dans les vibrations d'un étber 
universel. Et néanmoins les plus hautes questions, dont 
plusieurs n'avaient môme jamais été posées, sont traitées 
dans cet ouvrage, preuve palpable que l'esprit humain, 
sans se jeter dans des problèmes inabordables, et en se res- 
treignant dans les recherches d'un ordre entièrement posi- 
tif, peut y trouver un aliment inépuisable à son activité la 
pltfs profonde. 

Après avoir caractérisé, aussi exactement qu'il m'est 
permis de le faire dans cet aperçu général, l'esprit de la 
philosophie positive, que ce cours tout entier est destiné à 
développer, je dois maintenant examiner à quelle époque 



DE LA POILOSOPHIE POSITIVE. 19 

de sa formation elle est parvenue aujourd'hui, et ce qui 
reste à faire pour achever delà constituer. 

A cet effet, il faut d'abord considérer que les différentes 
bmnebes de nos connaissances n'ont pas dû parcourir d'une 
fitesse égale les trois grandes phases de leur développe- 
ment indiquées ci-dessus, ni, par conséquent, arriver si- 
multanément à l'état positif. Il existe, sous ce rapport, un 
ordre invariable et'nécessaire, que nos divers genres de 
conceptions ont suivi et dû suivre dans leur progression, et 
dont la considération exacte est le complément indispen- 
sable de la loi fondamentale énoncée précédemment. Cet 
ordre sera le sujet spécial de la prochaine leçon. Qu'il nous 
suffise, quant à présent, de savoir qu'il est conforme à la 
oature diverse des phénomènes, et qu'il est déterminé par 
leur degré de généralité, de simplicité et d'indépendance 
réciproque, trois considérations qui, bien que distinctes, 
concourent au même but. Ainsi, les phénomènes astrono- 
miques d'abord, comme étant les plus généraux, les plus 
simples et les plus indépendants de tous les autres, et 
successivement, par les mômes raisons^ les phénomènes de 
la physique terrestre proprement dite, ceux de la chimie, 
et enfin les phénomènes physiologiques, ont été ramenés 
k des théories positives. 

Il est impossible d'assigner l'origine précise de cette ré- 
voiation ; car on n'en peut dire avec exactitude, comme de 
tous les autres grands événements humains, qu'elle s'est 
accomplie constamment et de plus en plus, partrculiërement 
depuis les travaux d'Aristote et de l'école d'Alexandrie, et 
ensuite depuis l'introduction des sciences naturelles dans 
l'Europe occidentale par les Arabes. Cependant, vu qu'il 
convient de fixer une époque pour empêcher la divagation 
des idées, j'indiquerai celle du grand mouvement imprimé 
à l'esprit humain, il y a deux siècles, par l'action combi- 



20 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

née des préceptes de Bacon, des conceptions de Descaries, 
et des découvertes de Galilée, conome le moment où l'ei- 
prit de la philosophie positive a commencé à se prononcer 
dans le monde en opposition évidente avecTesprit théolo- 
gique et métaphysique. C'est alors, en effet, que les con- 
ceptions positives se sont dégagées nettement de l'alliage 
superstitieux et scolastique qui déguisait plus ou moins le 
véritable caractère de tous les travaux antérieurs. 

Depuis cette mémorable époque, le mouvement d'ascen- 
sion de la philosophie positive,* et le mouvement de déca- 
dence de la philosophie théologique et métaphysique, ont 
été extrêmement marqués. Ils se sont enfin tellement pro* 
nonces, qu'il est devenu impossible aujourd'hui, à tous 
les observateurs ayant conscience de leur siècle, de mé- 
connaître la destination finale de Tintelligence humaine 
pour les études positives, ainsi que son éloignement désor- 
mais irrévocable pour ces vaines doctrines et pour ces 
méthodes provisoires qui ne pouvaient convenir qu'à son 
premier essor. Ainsi, cette révolution fondamentale s'ac- 
complira nécessairement dans toute son étendue. Si donc 
il lui reste encore quelque grande conquête à faire, quel- 
que branche principale du domaine intellectuel à envahir, 
on peut être certain que la transformation s'y opérera, 
comme elle s'est eff'ectuée dans toutes les autres. Car il 
serait évidemment contradictoire de supposer que l'esprit 
humain, si disposé à l'unité de méthode, conservât indéfi- 
niment, pour une seule classe de phénomènes, sa manière 
primitive de philosopher, lorsqu'une fois il est arrivé à 
adopter pour tout le reste une nouvelle marche philoso- 
phique, d'un caractère absolument opposé. 

Tout se réduit donc à une simple question de fait : la 
philosophie positive, qui, dans les deux derniers siècles, a 
pris graduellement une si grande extension, embrasse-t-elle 



DE LA PHII.OSOPHIE POSITIVE. 21 

aujourd'hui tous les ordres de phénomènes ? 11 est évident 
que cela n*est point, et que, par conséquent, il reste 
encore une grande opération scientifique à exécuter pour 
donner à la philosophie positive ce caractère d'universa- 
lité indispensable à sa constitution définitive. 

En effet, dans les quatre catégories principales de phé- 
nomènes naturels énumérées tout à l'heure, les phéno- 
mènes astronomiques, physiques, chimiques et physiolo- 
giques, on remarque une lacune essentielle, relative aux 
phénomènes sociaux, qui, bien que compris implicite- 
ment parmi les phénomènes physiologiques, méritent, 
soit par leur importance, soit par les difficultés propres à 
leur étude, de former une catégorie distincte. Ce dernier 
ordre de conceptions, qui se rapporte aux phénomènes les 
plus particuliers, les plus compliqués et les plus dépen- 
dants de tous les autres, a dû nécessairement, par cela seul, 
se perfectionner plus lentement que tous les précédents, 
même sans avoir égard aux obstacles plus spéciaux que 
nous considérerons plus tard. Quoi qu'il en soit, il est 
évident qu'il n'est point encore entré dans le domaine de 
la philosophie positive. Les méthodes théologiques et mé- 
taphysiques qui, relativement à tous les autres genres de 
phénomènes, ne sont plus maintenant employées par per- 
sonne, soit comme moyen d'investigation, soit môme seu- 
lement comme moyen d'argumentation, sont encore, au 
contraire, exclusivement usitées, sous l'un et l'autre rap- 
port, pour tout ce qui concerne les phénomènes sociaux, 
quoique leur insuffisance à cet égard soit déjà pleinement 
sentie par tous les bons esprits, lassés de ces vaines con- 
testations interminables entre le droit divin et la souverai- 
neté du pei/ple. 

Voilà donc la grande mais évidemment la seule lacune 
qu'il s'agit de combler pour achever de constituer la phi- 



Si BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

iosophie positive. Maintenant que l'esprit bumain a fondé 
la physique céleste, la physique terrestre, soit mécanique, 
soit chimique ; la physique organique, soit végétale, soit 
animale, il lui reste à terminer le système des sciences 
d'observation en fondant \dL physique sociale. Tel est aujour- 
d'hui, sous plusieurs rapports capitaux, le plus grand et le 
plus pressant besoin de notre intelligence : tel est, j'ose le 
dire, le premier but de ce cours, son but spécial. 

Les conceptions que je tenterai de présenter relativement 
à l'étude des phénomènes sociaux, et dont j'espère que ce 
discours laisse déjà entrevoir le germe, ne sauraient avoir 
pour objet de donner immédiatement à la physique sociale 
le môme degré de perfection qu'aux branches antérieures 
de la philosophie naturelle, ce qui serait évidemment chi- 
mérique, puisque celles-ci offrent déjà entre elles à cet 
égard une extrême inégalité, d'ailleurs inévitable. Mais 
elles seront destinées à imprimera cette dernière classe 
de nos connaissances ce caractère positif déjà pris par 
toutes les autres. Si cette condition est une fois réellement 
remplie, le système philosophique des modernes sera enfin 
fondé dans son ensemble; car aucun phénomène obser- 
vable ne saurait évidemment manquer de rentrer dans 
quelqu'une des cinq grandes catégories dès lors établies 
des phénomènes astronomiques, physiques, chimiques, 
physiologiques et sociaux. Toutes nos conceptions fonda* 
mentales étant devenues homogènes, la philosophie sera 
définitivement constituée à l'état positif ; sans jamais pou- 
voir changer de caractère, il ne lui restera qu'à se dévelop- 
per indéfiniment par les acquisitions toujours croissantes 
qui résulteront inévitablement de nouvelles observations 
ou de méditations plus profondes. Ayant acquis par là le 
caractère d'universalité qui lui manque encore, la philoso- 
phie positive deviendra capable de se substituer entière- 



DE LA PHILOSOPHIE POSITIVE. S S 

rnent, avec toute sa supériorité naturelle, à la philosophie 
théologique et à la philosophie métaphysique, dont celte 
univenaiité est aujourd'hui la seule propriété réelle, et qui, 
privées d'un tel motif de préférence, n'auront plus pour 
nos successeurs qu'une existence historique. 

Le but spécial de ce cours étant ainsi exposé, il est aisé 
de comprendre son second but, son but général, ce qui en 
fait un cours de philosophie positive, et non pas seulement 
UD cours de physique sociale. 

En effet, la fondation de la physique sociale complétant 
enfin le système des sciences naturelles, il devient possible 
et même nécessaire de résumer les diverses connaissances 
acquises, parvenues alors à un état fixe et homogène, pour 
les coordonner en les présentant comme autant de bran- 
ches d*un tronc unique, au lieu de continuer à les conce- 
voir seulement comme autant de corps isolés. C'est à cette 
fin qu'avant de procéder à l'étude des phénomènes sociaux, 
je considérerai successivement, dans l'ordre encyclopé- 
dique annoncé plus haut, les diCTérentes sciences positives 
déjà formées. 

11 est superflu, je pense, d'avertir qu'il ne saurait être 
question ici d'une suite de cours spéciaux sur chacune 
des branches principales de la philosophie naturelle. Sans 
parler de la durée matérielle d'une entreprise semblable, 
il est clair qu'une pareille prétention serait insoutenable 
de ma part, et je crois pouvoir ajouter de la part de qui que 
ce soit, dans l'état actuel de l'éducation humaine. Bien au 
contraire, un cours de la nature de celui-ci exige, pour être 
convenablement entendu, une série préalable d'études 
spéciales sur les diverses sciences qui y seront envisagées. 
Sans cette condition, il est bien difficile de sentir et impos- 
sible de juger les réflexions philosophiques dont ces scien- 
ces seront les sujets. En un mot, c'est un Cours de philoso- 



24 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

phie positive^ et non de sciences positives, que je me pro- 
pose de faire. Il s*agit uniquement ici de considérer chaque 
science fondamentale dans ses relations avec le système 
positif tout entier, et quant à l'esprit qui la caractérise, 
c'est-à-dire sous le double rapport de ses méthodes essen- 
tielles et de ses résultats principaux. Le plus souvent môme 
je devrai me borner à mentionner ces derniers d'après les 
connaissances spéciales pour tâcher d'en apprécier Tim- 
portance. 

Afin de résumer les idées relativement au double but de 
ce cours, je dois faire observer que les deux objets, l'un 
spécial, l'autre général, que je me propose, quoique dis- 
tincts en eux-mêmes, sont nécessairement inséparables. 
Car, d'un côté, il serait impossible de concevoir un cours 
de philosophie positive sans la fondation de la physique so- 
ciale, puisqu'il manquerait alors d'un élément essentiel, 
et que, par cela seul, les conceptions ne sauraient avoir ce 
caractère de généralité qui doit en être le principal attri- 
but, et qui distingue notre étude actuelle de la série des 
études spéciales. D'un autre côté^ comment procéder avec 
sûreté à l'étude positive des phénomènes sociaux, si l'es- 
prit n'est d'abord préparé par la considération approfondie 
des méthodes positives déjà jugées pour les phénomènes 
moins compliqués, et muni, en outre, de la connaissance 
des lois principales des phénomènes antérieurs, qui toutes 
influent, d'une manière plus ou moins directe, sur les faits 
sociaux ? 

Bien que toutes les sciences fondamentales n'inspirent 
pas aux esprits vulgaires un égal intérêt, il n'en est aucune 
qui doive être négligée dans une étude comme celle que 
nous entreprenons. Quant à leur importance pour le bon- 
heur de l'espèce humaine, toutes sont certainement équi- 
valentes, lorsqu'on les envisage d'une manière appro- 



DB LÀ PHILOSOPHIE POSITIVE. 85 

fondie. Celles, d'ailleurs, dont les résultats présentent, au 
premier abord, un moindre intérêt pratique, se recom- 
mandent éminemment, soit par la plus grande perfection 
de leurs méthodes, soit comme étant le fondement indis- 
pensable de toutes les autres. C'est une considération sur 
laquelle j'aurai spécialement occasion de revenir dans la 
prochaine leçon. 

Pour prévenir, autant que possible,- toutes les fausses 
interprétations qu'il est légitime de craindre sur la nature 
d'un cours aussi nouveau que celui-ci, je dois ajouter som- 
mairement aux explications précédentes quelques considé- 
rations directement relatives à cette universalité de con- 
naissances spéciales, que des juges irréfléchis pourraient 
regarder comme la tendance de ce cours, et qui est envi- 
sagée à si juste raison comme tout à fait contraire au véri- 
table esprit de la philosophie positive. Ces considérations 
auront d'ailleurs l'avantage plus important de présenter cet 
esprit sous un nouveau point de vue, propre à achever d'en 
éclaircir la notion générale. 

Dans l'état primitif de nos connaissances il n'existe 
aucune division régulière parmi nos travaux intellectuels ; 
toutes les sciences sont cultivées simultanément par les 
mômes esprits. Ce mode d'organisation des études hu- 
maines, d'abord inévitable et môme indispensable, comme 
nous aurons lieu de le constater plus tard, change peu à 
peu^ à mesure que les divers ordres de conceptions se dé- 
veloppent. Par une loi dont la nécessité est évidente, 
chaque branche du système scientifique se sépare insensi- 
blement du tronc, lorsqu'elle a pris assez d'accroissement 
pour comporter une culture isolée, c'est-à-dire quand elle 
est parvenue à ce point de pouvoir occuper à elle seule l'ac- 
tivité permanente de quelques intelligences. C'est h cette 
répartition des diverses sortes de recherches entre diCfé- 



S6 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

rents ordres de savants, que nous devons évidemment le 
développement si remarquable qu'a pris enfin de nos jours 
chaque classe distincte des connaissances humaines, et qui 
rend manifeste l'impossibilité, chez les modernes, de cette 
tiniversalité de recherches spéciales, si facile et si com- 
mune dans les temps antiques. En un mot, la division du 
travail intellectuel, perfectionnée de plus en plus, est un 
des attributs caractéristiques les plus importants de la 
philosophie positive. 

Mais, tout en reconnaissant les prodigieux résultats de 
cette division, tout en voyant désormais en elle la vél*ita- 
ble base fondamentale de l'organisation générale du monde 
savant, il est impossible, d'un autre côté, de n'être pas 
frappé des inconvénients capitaux qu'elle engendre, dans 
son état actuel, par l'excessive particularité des idées qui 
occupent exclusivement chaque intelligence individuelle. 
Ce fâcheux effet est sans doute inévitable jusqu'à un cer- 
tain point, comme inhérent au principe même de la di- 
vision ; c'est-à-dire que, par aucune mesure quelconque, 
nous ne parviendrons jamais à égaler sous ce rapport les 
anciens, chez lesquels une telle supériorité ne tenait sur- 
tout qu'au peu de développement de leurs connaissances. 
Nous pouvons néanmoins, ce me semble, par des moyens 
convenables, éviter les plus pernicieux effets de la spé- 
cialité exagérée^ sans nuire à l'influence viviûante de la 
séparation des recherches. Il est urgent de s'en occuper 
sérieusement ; car ces inconvénients, qui, par leur nature, 
tendent à s'accroître sans cesse^ commencent à devenir 
très-sensibles. De l'aveu de tous, les divisions, établies 
pour la plus grande perfection de nos travaux, entre les 
diverses branches de la philosophie naturelle, sont finale- 
ment artiQcielles. N'oublions pas que, nonobstant cet 
aveu, il est déjà bien petit dans le monde savant le nombre 



DE LA PQILOSOPniE POSITIVE. 27 

des intelligences embrassant dans leurs conceptions l'en- 
semble môme d'une science unique, qui n'est cependant 
à son tour qu'une partie d'un grand tout. La plupart se 
bornent déjà entièrement à la considération isolée d'une 
seclion plus ou moins étendue d'une science déterminée, 
sans s'occuper beaucoup de la relation de ces travaux par- 
ticuliers avec le système général des connaissances posi- 
tives. Hàtons-nous de remédier au mal, avant qu'il soit 
devenu plus grave. Craignons que l'esprit humain ne 
finisse par se perdre dans^ies travaux de détail. Ne nous 
dissimulons pas que c'est là essentiellement le côté faible 
par lequel les partisans de la philosophie théologique et de 
la philosophie métaphysique peuvent encore attaquer avec 
quelque espoir de succès la philosophie positive. 

Le véritable moyen d'arrêter l'influence délétère dont 
l'avenir intellectuel semble menacé, par suite d'une trop 
grande spécialisation des recherches individuelles^ ne 
saurait être, évidemment, de revenir à cette antique con- 
fusion des travaux, qui tiendrait à faire rétrograder l'esprit 
homaiOy et qui est d'ailleurs, aujourd'hui, heureuseument 
devenue impossible. Il consiste, au contraire, dans le per- 
fectionnement de la division du travail elle-même. Il suffit, 
en effet, de faire de l'étude des généralités scientiflques 
one grande spécialité de plus. Qu'une classe nouvelle de 
savants, préparés pur une éducation convenable, sans se 
livrer à la culture spéciale d'aucune branche particulière 
de la philosophie naturelle, s'occupe uniquement, en con- 
sidérant les diverses sciences positives dans leur état ac- 
tuel, à déterminer exactement l'esprit de chacune d'elles, 
à découvrir leurs relations et leur enchaînement, à ré- 
sumer, s'il est possible, tous leurs principes propres en 
un moindre nombre de principes communs, en se con- 
formant sans cesse aux maximes fondamentales de la mé- 



«8 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

thode positive. Qu'en môme temps, les autres savants, 
avant de se livrer à leurs spécialités respectives, soient 
rendus aptes désormais, par une éducation portant sur 
Tensemblc des connaissances positives, à profiter immé- 
diatement des lumières répandues par ces savants voués à 
l'étude des généralités, et réciproquement à rectifier leurs 
résultats, état de choses dont les savants actuels se rappro- 
chent visiblement de jour en jour. Ces deux grandes con- 
ditions une fois remplies, et il est évident qu'elles peuvent 
l'être, la division du travail dans les sciences sera poussée, 
sans aucun danger, aussi loin que le développement des 
divers ordres de connaissances l'exigera. Une classe dis- 
tincte, incessamment contrôlée par toutes les autres, 
ayant pour fonction propre et permanente de lier chaque 
nouvelle découverte particulière au système général, on 
n'aura plus à craindre qu'une trop grande attention donnée 
aux détails empêche jamais d'apercevoir l'ensemble. £n 
mot, l'organisation moderne du monde savant sera dès 
lors complètement fondée, et n'aura qu'à se développer 
indéfiniment, en conservant toujours le même caractère. 
Former ainsi de l'étude des généralités scientifiques une 
section distincte du grand travail intellectuel, c'est sim- 
plement étendre l'application du même principe de divi- 
sion qui a successivement séparé les diverses spécialités ; 
car, tant que les différentes sciences positives ont été peu 
développées, leurs relations mutuelles ne pouvaient avoir 
assez d'importance pour donner lieu, au moins d'une ma- 
nière permanente, à une classe particulière de travaux, et 
en même temps la nécessité de cette nouvelle étude était 
bien moins urgente. Mais aujourd'hui chacune des sciences 
a pris séparément assez d'extension pour que l'examen de 
leurs rapports mutuels puisse donner lieu à des travaux sui- 
vis, en même temps que ce nouvel ordre d'études devient 



DE lA PHILOSOPHIE POSITIVE. 29 

indispensable pour prévenir la dispersion des conceptions 
humaines. 

Telle est la manière dont je conçois la destination de la 
philosophie positive dans le système général des sciences 
positives proprement dites. Tel est, du moins, le but de ce 
cours. 

Maintenant que j'ai essayé de déterminer aussi exacte- 
ment qu'il m'a été possible de le faire, dans ce premier 
aperçu, l'esprit général d'un cours de philosophie positive, 
je crois devoir, pour imprimer à ce tableau tout son carac- 
tère, signaler rapidement les principaux avantages géné- 
raux que peut avoir un tel travail, si les conditions essen- 
tielles en sont convenablement remplies, relativement aux 
progrès de l'esprit humain. Je réduirai ce dernier ordre de 
considérations à l'indication de quatre propriétés fonda- 
mentales. 

Premièrement l'étude de la philosophie positive, en 
considérant les résultats de l'activité de nos facultés in- 
tellectaelles, nous fournit le seul vrai moyen rationnel de 
mettre en évidence les lois logiques de l'esprit humain, qui 
ont été recherchées jusqu'ici par des voies si peu propres 
à les dévoiler. 

Pour expliquer convenablement ma pensée à cet égard, 
je dois d'abord rappeler une conception philosophique de 
la plos haute importance, exposée par de Blainville dans 
la belle introduction de ses Principes généraux d'anatomie 
comparée. Elle consiste en ce que tout être actif, et spécia- 
lement tout être vivant, peut être étudié, dans tous ses phé- 
nomènes sous deux rapports fondamentaux, sous le rap- 
port statique et sous le rapport dynamique, c'est-à-dire 
comme apte à agir et comme agissant effectivement. II est 
clair, en eCfet, que toutes les considérations qu'on pourra 
présenter rentreront nécessairement dans l'un ou l'autre 



3 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

mode. Appliquons celte lumineuse maxime fondamentale 
à rélude des fonctions intellectuelles. 

Si Ton envisage ces fonctions sous le point de vue stati- 
que, leur étude ne peut consister que dans la détermina- 
tion des conditions organiques dont elles dépendent ; elle 
forme ainsi une partie essentielle de Tanatomie et de h 
physiologie. En le considérant sous le point de vue dyna- 
mique, tout se réduit à étudier la marche effective de l'es- 
prit humain en exercice, par Texamen des procédés réel- 
lement employés pour obtenir les diverses connaissances 
exactes qu'il a déjà acquises, ce qui constitue essentielle- 
ment l'objet général de la philosophie positive, ainsi que je 
Tai définie dans ce discours. En un mot, regardant toutes 
les théories scientifiques comme autant de grands faits lo- 
giques, c'est uniquement par l'observation approfondie de 
ces faits qu'on peut s'élever à la connaissance des lois lo- 
giques. 

Telles sont évidemment les deux seules voies générales, 
complémentaires l'une de l'autre, par lesquelles on paisse 
arriver à quelques notions rationnelles véritables sur les 
phénomènes intellectuels. On voit que, sous aucun rapport, 
il n'y a place pour cette psychologie illusoire, dernière 
transformation de la théologie, qu'on tente si vainement de 
ranimer aujourd'hui, et qui, sans s'inquiéter ni de l'étude 
physiologique de nos organes intellectuels, ni de l'obser- 
vation des procédés rationnels qui dirigent effectivement 
nos diverses recherches scientifiques, prétend arriver à la 
découverte des lois fondamentales de l'esprit humain, en 
le contemplant en lui-môme, c'est-à-dire en faisant com- 
plètement abstraction et des causes et des effets. 

La prépondérance de la philosophie positive est succes- 
sivement devenue telle depuis Bacon; elle a pris aujour«> 
d'hui, indirectement, un si grand ascendant sur les esprits 



DE LA PniLOSOPniE POSITIVE. 31 

même qui sont demeurés le plus étrangers à soq immense 
développement, que les métaphysiciens livrés à l'étude de 
notre intelligence n'ont pu espérer de ralentir la décadence 
de leur prétendue science qu'en se ravisant pour présen- 
ter leurs doctrines comme étant aussi fondées sur l'observa- 
tion des faits. A cette fin, ils ont imaginé, dans ces derniers 
temps, de distinguer, par une subtilité fort singulière, deux 
sortes d'observalions d'égale importance, l'une extérieure, 
l'autre intérieure, et dont la dernière est uniquement desti- 
née à l'étude des phénomènes intellectuels. Ce n'est point 
ici le lieu d'entrer dans la discussion spéciale de ce so- 
phisme fondamental. Je dois me borner à indiquer la con- 
sidération principale qui prouve clairement que cette pré- 
tendue contemplation directe de l'esprit par lui-môme est 
une pure illusion. 

On croyait, il y a encore peu de temps, avoir expliqué la 
vision, en disant que l'action lumineuse des corps déter- 
mine sur la rétine des tableaux représentatifs des formes 
et des couleurs extérieures. A cela les physiologistes ont 
objecté avec raison que, si c'était comme images qu'agis- 
saient les impressions lumineuses, il faudrait un autre œil 
pour les regarder. N'en est-il pas encore plus fortement de 
même dans le cas présent ? 

Il est sensible, en effet, que, par une nécessité invincible, 
l'esprit humain peut observer directement tous les phéno- 
mènes, excepté les siens propres. Car, par qui serait faite 
l'observation? On conçoit, relativement aux phénomènes 
moraux, que l'homme puisse s'observer lui-même sous le 
rapport des passions qui l'animent, par cette raison ana- 
tomique, que les organes qui en sont le siège sont distincts 
de ceux destinés aux fonctions observatrices. Encore même 
que chacun ait eu occasion de faire sur lui de telles re- 
marques^ elles ne sauraient évidemment avoir jamais une 



32 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

grande importance scientifique^ et le meilleur moyen de 
connaître les passions sera-t*il toujours de les observer en 
dehors; car tout état de passion très-prononcé, c'est-à-dire 
précisément celui qu'il serait le plus essentiel d'examiner, 
est nécessairement incompatible avec l'état d'observation. 
Mais, quant à observer de la môme manière les phéno- 
mènes intellectuels pendant qu'ils s'exécutent, il y a im- 
possibilité manifeste. L'individu pensant ne saurait se par- 
tager en deux^ dont l'un raisonnerait, tandis que l'autre 
regarderait raisonner. L'organe observé et l'organe obser- 
vateur étant, dans ce cas, identiques, comment l'observa- 
tion pourrait-elle avoir lieu? 

Cette prétendue méthode psychologique est donc radi- 
calement nulle dans son principe. Aussi, considérons à 
quels procédés profondément contradictoires elle conduit 
immédiatement ! D'un côté, on vous recommande de tous 
isoler, autant que possible, de toute sensation extérieure, 
il faut surtout vous interdire tout travail intellectuel ; car, 
si vous étiez seulement occupés à faire le calcul le plus 
simple, que deviendrait l'observation intérieure? D'un au- 
tre côté, après avoir, enfin, à force de précautions, atteint 
cet état parfait de sommeil intellectuel, vous devez vous 
occuper à contempler les opérations qui s'exécuteront dans 
votre esprit lorsqu'il ne s'y passera plus rien ! Nos descen- 
dants verront sans doute de telles prétentions transportées 
un jour sur la scène. 

Les résultats d'une aussi étrange manière de procéder 
sont parfaitement conformes au principe. Depuis deux 
mille ans que les métaphysiciens cultivent ainsi la psycho- 
logie, ils n'ont pu encore convenir d'une seule proposition 
intelligible et solidement arrêtée. Ils sont, même aujour- 
d'hui, partagés en une multitude d'écoles qui disputent 
sans cesse sur les premiers éléments de leurs doctrines. 



iDE LA PHILOSOPHIE POSITIVE. 38 

Vobservatton intérieure engendre presque autant d'opinions 
divergentes qu'il y a d'individus croyant s'y livrer. 

Les véritables savants, les hommes voués aux études po- 
sitives, en sont encore à demander vainement à ces psycho* 
logaes de citer une seule découverte réelle, grande ou 
petite, qui soit due à cette méthode si vantée. Ce n'est pas 
à dire pour cela que tous leurs travaux aient été absolument 
sans aucun résultat relativement aux progrès généraux de 
nos connaissances, indépendamment du service éminent 
qu'ils ont rendu en soutenant l'activité de notre intelli- 
gence, à l'époque où elle ne pouvait pas avoir d'aliment 
plus substantiel. Mais on peut afflrmer que tout ce qui, 
dans leurs écrits, ne consiste pas, suivant la judicieuse 
expression d'un illustre philosophe positif (M. Cuvier), en 
métaphores prises pour des raisonnements, et présente 
quelque notion véritable, au lieu de provenir de leur pré- 
tendue méthode, a été obtenu par des observations effec- 
tives sur la marche de l'esprit humain, auxquelles a dû 
donner naissance, de temps à autre, le développement des 
sciences. Encore même, ces notions si clair-semées, pro- 
clamées avec tant d'emphase, et qui ne sont dues qu'à l'in- 
fidélité des psychologues à leur prétendue méthode, se 
trouveol-elles le plus souvent ou fort exagérées, ou très- 
incomplètes, et bien inférieures aux remarques déjà faites 
sans ostentation par les savants sur les procédés qu'ils em* 
ploient. 11 serait aisé d'en citer des exemples frappants, si 
je ne craignais d'accorder ici trop d'extension à une telle 
discussion : voyez, entre autres, ce qui est arrivé pour la 
théorie des signes. 

Les considérations que je viens d'indiquer, relativement 
à la science logique, sont encore plus manifestes, quand on 
les transporte à Tart logique. 

En effet, lorsqu'il s'agit, non-seulement de savoir ce que 

A. CoMTB. Tome 1. ^ 



3 4 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

c'est que la méthode positive, mais d'en avoir une con- 
naissance assez nette et assez profonde pour en pouvoir 
faire un usage effectif, c'est en action qu'il faut la considé- 
rer; ce sont les diverses grandes applications déjà vérifiées 
que l'esprit humain en a faites qu'il convient d'étudier. 
En un mot, ce n'est évidemment que par l'examen philo- 
sophique des sciences qu'il est possible d'y parvenir. La 
méthode n'est pas susceptible d'être étudiée séparément des 
recherches où elle est employée ; ou, du moins, ce n'est là 
qu'une étude morte, incapable de féconder l'esprit qui s'y 
livre. Tout ce qu'on e,n peut dire de réel, quand on l'envi- 
sage abstraitement^ se réduit à des généralités tellement 
vagues, qu'elles ne sauraient avoir aucune influence sur 
le régime intellectuel. Lorsqu'on a bien établi, en thèse 
logique, que toutes nos connaissances doivent être fondées 
sur l'observation, que nous devons procéder tantôt des faits 
aux principes, et tantôt des principes aux faits, et quelques 
autres aphorismes semblables, on connaît beaucoup moins 
nettement la méthode que celui qui a étudié, d'une ma- 
nière un peu approfondie, une seule science positive, 
môme sans intention philosophique. C'est pour avoir mé- 
connu ce fait essentiel, que nos psychologues sont conduits 
à prendre leurs rêveries pour de la science, croyant com- 
prendre la méthode positive pour avoir lu les préceptes de . 
Bacon ou le discours de Descartes. 

J'ignore si, plus tard, il deviendra possible de faire è 
priori un véritable cours de méthode tout à fait indépen- 
dant de l'étude philosophique des sciences; mais je suis 
bien convaincu que cela est inexécutable aujourd'hui, les 
grands procédés logiques ne pouvant encore être expliqués 
avec la précision suffisante séparément de leurs applica- 
tions. J'ose ajouter, en outre, que, lors même qu'une telle 
entreprise pourrait être réalisée dans la suite, ce qui, en 



DE LA PUILOSOPniE POSITIVE. 35 

eflel, se laisse concevoir, ce ne serait jamais néanmoins 
que par l'étude des applications régulières des procédés 
scientifiques qu'on pourrait parvenir à se former un bon 
système d'habitudes intellectuelles; ce qui est pourtant le 
but essentiel de l'étude de la méthode. Je n'ai pas besoin 
d'insister davantage en ce moment sur un sujet qui revien- 
dra fréquemment dans toute la durée de ce cours^ et à 
l'égard duquel je présenterai spécialement de nouvelles 
considérations dans la prochaine leçon. 

Tel doit être le premier grand résultat direct de la phi- 
losophie positive, la manifestation par expérience des lois 
que suivent dans leur accomplissement nos fondions intel- 
lectuelles, et, par suite, la connaissance précise des règles 
générales convenables pour procéder sûrement à la recher- 
che de la vérité* 

Une seconde conséquence, non moins importante, et 
d'un intérêt bien plus pressant, qu*est nécessairement des- 
tiné à produire aujourd'hui l'établissement de la philoso- 
phie positive définie dans ce discours, c'est de présider à 
la refonte générale de notre système d'éducation. 

Ed effet, déjà les bons esprits reconnaissent unanime- 
ment la nécessité deremplacer notre éducation européenne, 
encore essentiellement théologique, métaphysique et litté- 
raire, par une éducation positive^ conforme à l'esprit de 
notre époque, et adaptée aux besoins de la civilisation mo- 
derne. Les tentatives variées qui se sont multipliées de 
plus en plus depuis un siècle, particulièrement dans ces 
derniers temps, pour répandre et pour augmenter sans 
cesse l'instruction positive, et auxquelles les divers gou- 
vernements européens se sont toujours associés avec em- 
pressement quand ils n'en ont pas pris Tiniliative, témoi- 
gnent assez que, de toutes parts, se développe le sentiment 
spontané de cette nécessité. Mais, tout en secondant autant 



36 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

que possible ces utiles entreprises, on ne doit pas se dis- 
simuler que, dans l'état présent de nos idées, elles ne sont 
nullement susceptibles d'atteindre leur but principal, la 
régénération fondamentale de l'éducation générale. Car la 
spécialité exclusive, l'isolement trop prononcé, qui carac- 
térisent encore notre manière de concevoir et de cultiver 
les sciences, influent nécessairement à un haut degré sur 
la manière de les exposer dans l'enseignement. Qu'un bon 
esprit veuille aujourd'hui étudier les principales branches 
de la philosophie naturelle, afin de se former un système 
général d'idées positives, il sera obligé d'étudier séparé- 
ment chacune d'elles d'après le môme mode et dans le 
môme détail que s'il voulait devenir spécialement on as- 
tronome, ou chimiste, etc. ; ce qui rend une telle éduca- 
tion presque impossible et nécessairement fort imparfaite, 
môme pour les plus hautes intelligences placées dans les 
circonstances les plus favorables. Une telle manière de 
procéder serait donc tout à fait chimérique, relativement à 
l'éducation générale. Et néanmoins celle-ci exige absolu- 
ment un ensemble de conceptions positives sur toutes les 
grandes classes de phénomènes naturels. C'est un tel en- 
semble qui doit devenir désormais, sur une échelle plus 
ou moins étendue, môme dans les masses populaires, la 
base permanente de toutes les combinaisons humaines; 
qui doit, en un mot, constituer l'esprit général de nos des- 
cendants. Pour que la philosophie naturelle puisse achever 
la régénération, déjà si préparée, de notre système intel- 
lectuel, il est donc indispensable que les différentes sciences 
dont elle se compose, présentées à toutes les intelligences 
comme les diverses branches d'un tronc unique, soient ré- 
duites d'abord à ce qui constitue leur esprit, c'est-à-dire 
à leurs méthodes principales et à leurs résultats les plus 
importants. Ce n'est qu'ainsi que l'enseignement des 



DB LA PHILOSOPHIE POSITIVE. S7 

sciences peut devenir, parmi nous, la base d'une nouvelle 
éducation générale vraiment rationnelle. Qu'ensuite à cette 
instruction fondamentale s'ajoutent les diverses études 
scientifiques spéciales, correspondantes aux diverses édu- 
cations spéciales qui doivent succéder à l'éducation géné- 
rale, cela ne peut évidemment être rois en doute. Mais la 
considération essentielle que j'ai voulu indiquer ici con- 
siste en ce que toutes ces spécialités, môme péniblement 
accamulées, seraient nécessairement insuffisantes pour 
renouveler réellement le système de notre éducation, si 
elles ne reposaient sur la base préalable de cet enseigne- 
ment général, résultat direct de la philosophie positive dé- 
finie dans ce discours. 

Non-seulement l'étude spéciale des généralités scientifi- 
ques est destinée à réorganiser l'éducation, mais elle doit 
, aussi contribuer aux progrès particuliers des diverses 
sciences positives; ce qui constitue la troisième propriété 
fondamentale que je me suis proposé de signaler. 

En effet, les divisions que nous établissons entre nos 
sciences, sans être arbitraires, comme quelques-uns le 
croient, sont essentiellement artificielles. En réalité, le su- 
jet de toutes nos recherches est un; nous ne le partageons 
que dans la vue de séparer les difficultés pour les mieux 
résoudre. Il en résulte plus d'une fois que, contrairement 
à nos répartitions classiques, des questions importantes 
exigeraient une certaine combinaison de plusieurs points 
de vue spéciaux, qui ne peut guère avoir lieu dans la cons^ 
litution actuelle du monde savant; ce qui expose à laisser 
ces problèmes sans solution beaucoup plus longtemps qu'il 
ne serait nécessaire. Un tel inconvénient doit se présenter 
surtout pour les doctrines les plus essentielles de chaque 
science positive en particulier. On en peut citer aisément 
des exemples très-marquants, que je signalerai soigneuse- 



38 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTARCE 

ment, à mesure que le développement naturel de ce cours 
nous les présentera. 

J'en pourrais citer, dans le passé, un exemple émioem- 
ment mémorable, en considérant l'admirable conception 
de Descartes relative à la géométrie analytique. Cette dé- 
couverte fondamentale, qui a cbangé la face de la science 
mathématique, et dans laquelle on doit voir le véritable 
germe de tous les grands progrès ultérieurs, qu'est-elle 
autre chose que le résultat d*un rapprochement établi en- 
tre deux sciences, conçues jusqu'alors d'une manière isolée? 
Mais l'observation sera plus décisive en la faisant porter 
sur des questions encore pendantes. 

Je me bornerai ici à choisir, dans la chimie, la doctrine 
si importante des proportions définies. Certainement, la 
mémorable discussion élevée de nos jours, relativement au 
principe fondamental de cette théorie, ne saurait encore, 
quelles que soient les apparences, être regardée comme 
irrévocablement terminée. Car ce n'est pas la, ce me sem- 
ble, une simple question de chimie. Je crois pouvoir avan- 
cer que, pour obtenir à cet égard une décision vraiment 
définitive, c'est-à-dire pour déterminer si nous devons 
regarder comme une loi de la nature que les molécules se 
combinent nécessairement en nombres fixes, il serait indis- 
pensable de réunir le point de vue chimique avec le point 
de vue physiologique. Ce qui l'indique, c'est que, de l'aveu 
même des illustres chimistes qui ont le plus puissamment 
contribué à la formation de cette doctrine^ on peut dire 
tout au plus qu'elle se vérifie constamment dans la com- 
position des corps inorganiques ; mais elle se trouve au 
moins aussi constamment en défaut dans les composés or- 
ganiques, auxquels il semble jusqu'à présent tout à fait 
impossible de l'étendre. Or, avant d'ériger celte théorie en 
un principe réellement fondamental, ne faudra4-il pas 



DE LA PDILOSOPHIE POSITIVE. 89 

d'abord s'être rendu compte de cette immense exception ? 
Ne tiendrait-elle pas à ce même caractère générai, propre à 
tons les corps organisés, qui fait que, dans aucun de leurs 
phénomènes, il n'y a lieu à concevoir des nombres inva- 
riables? Quoi qu'il en soit, un ordre tout nouveau de con- 
sidérations^ appartenant également à la chimie et h la phy- 
siologie, est évidemmentnécessairepourdécider finalement, 
d'une manière quelconque, cette grande question de phi- 
losophie naturelle. 

Je crois convenable d'indiquer encore ici un second 
exemple de même nature, mais qui, se rapportant à un 
sujet de recherches bien plus particulier, est encore plus 
concluant pour montrer l'importance spéciale de la philo- 
sophie positive dans la solution des questions qui exigent 
la combinaison de plusieurs sciences. Je le prends aussi 
dans la chimie. 11 s'agit de la question, encore indécijse, qui 
consiste à déterminer si l'azote doit être regardé, dans l'état 
présent de nos connaissances, comme un corps simple ou 
comme un corps composé. Vous savez par quelles considé- 
rations purement chimiques l'illustre Berzélius est parvenu 
à balancer l'opinion de presque tous les chimistes actuels, 
relativement à la simplicité de ce gaz. Mais ce que je ne 
dois pas négliger de faire particulièrement remarquer, c'est 
l'influence exercée à ce sujet sur l'esprit de Berzélius, 
comme il en fait lui-même le précieux aveu, par cette 
observation physiologique, que les animaux qui se nour- 
rissent de matières non azotées renferment dans la compo- 
sition de leurs tissus tout autant d'azote que les animaux 
carnivores. 11 est clair, en eifet, d'après cela^ que, pour dé- 
cider réellement si Tazote est ou non un corps simple, il 
laodra nécessairement faire intervenir la physiologie, et 
combiner^ avec les considérations chimiques proprement 
dites, une série de recherches neuves sur la relation entre la 



40 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

composition des corps vivants et leur mode d'alimentation. 

11 serait maintenant superflu de multiplier davantage les 
exemples de ces problèmes de nature multiple, qui ne sau- 
raient être résolus que par Tintime combinaison de plu- 
sieurs sciences cultivées aujourd'hui d'une manière tout à 
fait indépendante. Ceux que je viens de citer suffisent pour 
faire sentir, en général, l'importance de la fonction que 
doit remplir dans le perfectionnement de chaque science 
naturelle en particulier la philosophie positive, immédia- 
tement destinée à organiser d'une manière permanente de 
telles combinaisons, qui ne pourraient se former convena- 
blement sans elle. 

Enfin, une quatrième et dernière propriété fondamentale 
que je dois faire remarquer dès ce moment dans ce que 
j'ai appelé la philosophie positive^ et qui doit sans doute 
lui mériter plus que toute autre l'attention générale, puis- 
qu'elle est aujourd'hui la plus importante pour la pratique, 
c'est qu'elle peut être considérée comme la seule base so- 
lide de la réorganisation sociale qui doit terminer l'état de 
crise dans lequel se trouvent depuis si longtemps les na- 
tions les plus civilisées. La dernière partie de ce cours sera 
spécialement consacrée à établir cette proposition, en la 
développant dans toute son étendue. Mais l'esquisse géné- 
rale du grand tableau que j'ai entrepris d'indiquer dans ce 
discours manquerait d'un de ses éléments les plus caracté- 
ristiques, si je négligeais de signaler ici une considération 
aussi essentielle. 

Quelques réflexions bien simples suffiront pour justifier 
ce qu'une telle qualification parait d'abord présenter de 
trop ambitieux. 

Ce n'est pas aux lecteurs de cet ouvrage que je croirai 
jamais devoir prouver que les idées gouvernent et boule- 
versent le monde, ou, en d'autres termes, que tout le m& 



DE LA PHILOSOPHIE POSITIVE. 41 

canisme social repose finalement sur des opinions. Ils sn- 
\eat surtout que la grande crise politique et morale des 
sociétés actuelles tient, en dernière analyse, à l'anarchie 
intellectuelle. Notre mal le plus grave consiste, en efl'et, 
dans cette profonde divergence qui existe maintenant entre 
tous les esprits relativement à toutes les maximes fonda- 
mentales dont la fixité est la première condition d'un véri- 
table ordre social. Tant que les intelligences individuelles 
n'auront pas adhéré par un assentiment unanime à un 
certain nombre d'idées générales capables de former une 
doctrine sociale commune, on ne peut se dissimuler que 
l'état des nations restera, de toute nécessité, essentielle^ 
ment révolutionnaire, malgré tous les palliatifs politiques 
qui pourront être adoptés, et ne comportera réellement 
que des institutions provisoires. Il est également certain 
que, si cette réunion des esprits dans. une même commu- 
nion de principes peut une fois être obtenue, les institu- 
tions convenables en découleront nécessairement, sans 
donner lieu à aucune secousse grave, le plus grand désor- 
dre étant déjà dissipé par ce seul fait. C'est donc là que doit 
se porter principalement Tatlention de tous ceux qui 
sentent l'importance d'un état de choses vraiment normal. 
Maintenant, du point de vue élevé où nous ont placés 
graduellement les diverses considérations indiquées dans 
ce discours, il est aisé à la fois et de caractériser nettement 
dans son intime profondeur l'état présent des sociétés, 
et d'en déduire par quelle voie on peut le changer essen- 
tiellement. En me rattachant à la loi fondamentale énon- 
cée au commencement de ce discours* je crois pouvoir 
résumer exactement toutes les observations relatives à la 
situation actuelle de la société, en disant simplement que le 
désordre actuel dès intelligences tient^ en dernière analyse, 
à l'emploi simultané des trois philosophies radicalement in- 



42 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

compatibles: la philosophie théologique, la philosophie mé- 
taphysique et la philosophie positive. Il est clair, ea effet, que, 
si l'une quelconque de ces trois philosophiesobtenailen réa- 
lité une prépondérance universelle et complète, il y aurait 
un ordre social déterminé, tandis que le mal consiste surtout 
dans l'absence de toute véritable organisation. C'est la 
coexistence de ces trois philosophies opposées qui em- 
pêche absolument de s'entendre sur aucun point essentiel. 
Or, si cette manière de voir est exacte, il ne s'agit plus que 
de savoir laquelle des trois philosophies peut et doit préva- 
loir par la nature des choses ; tout homme sensé devra en- 
suite, quelles qu'aient pu être, avant l'analyse de la ques- 
tion, ses opinions particulières, s'efforcer de concourir à 
son triomphe. La recherche étant une fois réduite à ces 
termes simples, elle ne parait pas devoir rester long- 
temps incertaine ; car il est évident, par toutes sortes de 
raisons dont j'ai indiqué dans ce discours quelques-unes 
des principales, que la philosophie positive est seule des- 
tinée à prévaloir selon le cours ordinaire des choses. Seule 
elle a été, depuis une longue suite de siècles, constamment 
en progrès, tandis que ses antagonistes ont été constam- 
ment en décadence. Que ce soit à tort ou à raison, peu im- 
porte ; le fait général est incontestable, et il suffit. On peut 
le déplorer, mais non le détruire, ni par conséquent le né- 
gliger, sous peine de ne se livrer qu'à des spéculations illu- 
soires. Cette révolution générale de l'esprit humain est 
aujourd'hui presque entièrement accomplie : il ne reste 
plus, comme je l'ai expliqué, qu'à compléter la philosophie 
positive en y comprenant l'étude des phénomènes sociaux, 
ei ensuite à la résumer en un seul corps de doctrine homo- 
gène. Quand ce double travail sera suffisamment avancé, 
le triomphe définitif de la philosophie positive aura lieu 
spontanément, et rétablira l'ordre dans la société. La pré- 



DE LA PniLOSOPUIE POSITIVE. 43 

férence si prononcée que presque tous les esprits, depuis 
lesplas élevés jusqu'aux plus vulgaires, accordent aujour- 
d'hui aux connaissances positives sur les conceptions vagues 
et mystiques présage assez l'accueil que recevra cette 
philosophie, lorsqu'elle aura acquis la seule qualité qui lui 
manque encore, un caractère de généralité convenable. 

En résumé, la philosophie théologique et la philosophie 
métaphysique se disputent aujourd'hui la tâche, trop 
supérieure aux forces de Tune et de l'autre, de réorganiser 
la société ; c'est entre elles seules que subsiste encore la 
lotte sous ce rapport. La philosophie positive n'est inter- 
venue jusqu'ici dans la contestation que pour les critiquer 
toutes deux, et elle s'en est assez bien acquittée pour les 
discréditer entiëremenU Mettons-la enfln en état de prendre 
an rôle actifs sans nous inquiéter plus longtemps de débats 
devenus inutiles. Complétant la vaste opération intellec- 
toelle commencée par Bacon, par Descartes et par Galilée, 
construisons directement le système d'idées générales que 
cette philosophie est désormais destinée à faire indëflni- 
ment prévaloir dans l'espèce humaine, et la crise révolu- 
tionnaire qui tourmente les peuples civilisés sera essentiel- 
lement terminée. 

Tels sont les quatre points de vue principaux sous lesquels 
j'ai cru devoir indiquer dès ce moment l'inlluence salutaire 
de la philosophie positive, pour servir de complément es- 
sentiel à la définition générale que j'ai essayé d'en exposer. 

Avant de terminer, je désire appeler un instant l'ai ten- 
tion sur une dernière réflexion qui me semble convenable 
pour éviter, autant que possible, qu'on se forme d'avance 
une opinion erronée de la nature de ce cours. 

En assignant pour but à la philosophie positive de ré- 
sumer en un seul corps de doctrine homogène l'ensemble 
des connaissances acquises, relativement aux différents 



4 4 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE 

ordres de phénomènes naturels, il était loin de ma pensée 
de vouloir procéder à l'étude générale de ces phénomènes 
en les considérant tous comme des effets divers d'un prin- 
cipe unique, comme assujettis à une seule et même loi. 
Quoique je doive traiter spécialement cette question dans 
l;i prochaine leçon, je crois devoir, dès à présent, en faire 
la déclaration, afln de prévenir les reproches très-mal 
fondés que pourraient m'adresser ceux qui, sur un faux 
aperçu, classeraient ce cours parmi ces tentatives d'expli- 
cation universelle qu'on voit éclore journellement de la 
part d'esprits entièrement étrangers aux méthodes et aux 
connaissances scientifiques. Il ne s'agit ici de rien de sem- 
blable ; et le développement de ce cours en fournira la 
preuve manifeste à tous ceux chez lesquels les éclarcis- 
semenls contenus dans ce discours auraient pu laisser 
quelques doutes à cet égard. 

Dans ma profonde conviction personnelle, je considère 
ces entreprises d'explication universelle de tous les phéno- 
mènes par une loi unique comme éminemment chiméri- 
ques, môme quand elles sont tentées par les întelligeDces 
les plus compétentes. Je crois que les moyens de l'esprit 
humain sont trop faibles et l'univers trop compliqué pour 
qu'une telle perfection scientifique soit jamais à notre 
portée et je pense^ d^ailieurs, qu'on se forme générale- 
ment une idée très-exagérée des avantages qui en résulte- 
raient nécessairement, si elle était possible. Dans tous les 
cas, il me semble évident que, vu l'état présent de nos con- 
naissances, nous en sommes encore beaucoup trop loin 
pour que de telles tentatives puissent être raisonnables 
avant un laps de temps considérable. Car^ si on pouvait 
espérer d'y parvenir, ce ne pourrait être, suivant moi, qu'en 
rattachant tous les phénomènes naturels à la loi positive la 
plus générale que nous connaissions, la loi de la gravitation, 



DE LA PHILOSOPHIE POSITIVE. 4B 

qui lie déjà tous les phénomènes astronomiques à une partie 
de ceux delà physique terrestre. Laplace a exposé effective- 
ment une conception par laquelle on pourrait ne voir dans 
les phénomènes chimiques que de simples effets molécu- 
laires de Tattracdon newtonienne^ modifiée par la figure et la 
position mutuelle des atomes. Mais^ outre rindétermination 

• 

dans laquelle resterait probablement toujours cette con- 
ception, par l'absence des données essentielles relatives à 
la constitution intime des corps, il est presque certain que 
la difficulté de l'appliquer serait telle, qu'on serait obligée 
de maintenir, comme artificielle, la division aujourd'hui 
établie comme naturelle entre l'astronomie et la chimie. 
Aussi Laplace n'a-t-il présenté cette idée que comme un 
simple jeu philosophique, incapable d'exercer réellement 
aucune influence utile sur les progrès de la science chi- 
mique. Il y a plus, d'ailleurs ; car, môme en supposant 
vaincue cette insurmontable difficulté, on n'aurait pas 
encore atteint à l'unité scientifique, puisqu'il faudrait 
ensuite tenter de rattacher à la même loi l'ensemble des 
phénomènes physiologiques; ce qui, certes, ne serait pas 
la partie la moins difficile de l'entreprise. Et, néanmoins^ 
l'hypothèse que nous venons de parcourir serait, tout bien 
considéré, la plus favorable à celte unité si désirée. 

Je n'ai pas besoin de plus grands détails pour achever 
de convaincre que le but de ce cours n'est nullement de 
présenter tous les phénomènes naturels comme étant au 
fond identiques, sauf la variété des circonstances. La phi- 
losophie positive serait sans doute plus parfaite s'il pouvait 
en être ainsi. Mais cette condition n'est nullement néces- 
saire à sa formation systématique, non plus qu'à la réali- 
sation des grandes et heureuses conséquences que nous 
l'avons vue destinée à produire. 11 n'y a d'unité indispen- 
sable pour cela que l'unité de méthode, laquelle peut et 



46 BUT DU COURS. — NATURE ET IMPORTANCE, ETC. 

doit évidemment' exister, et se trouve déjà établie en ma- 
jeure partie. Quant à la doctrine, il n'est pas nécessaire 
qu'elle soit une; il suffll qu'elle soit homogène. C'est donc 
sous le double point de vue de l'unité des méthodes et de 
l'homogénéité des doctrines que nous considérerons, dans 
ce cours, les différentes classes de théories positives. Tout 
en tendant il diminuer, le plus possible, le nombre des lois 
générales nécessaires à l'explication positive des phéno- 
mènes naturels, ce qui est, en effet, le but philosophique 
de la science, nous regarderons comme téméraire d'aspirer 
jamais, môme pour l'avenir le plus éloigné, à les réduire 
rigoureusement à une seule. 

J'ai tenté, dans ce discours, de déterminer, aussi exacte- 
ment qu'il a été en mon pouvoir, le but, l'esprit et l'in- 
fluence de la philosophie positive. J'ai donc marqué le 
rerme vers lequel ont toujours tendu et tendront sans cesse 
tous mes travaux, soit dans ce cours, soit de toute autre 
manière. Personne n'est plus profondément convaincu 
que moi de l'insuffisance de mes forces intellectuelles, 
fussent-elles môme très-supérieures à leur valeur réelle, 
pour répondre à une tâche aussi vaste et aussi élevée. Mais 
ce qui ne peut être fait ni par un seul esprit ni en une 
seule vie, un seul peut le proposer nettement : telle est 
toute mon ambition. 

Ayant exposé le véritable but de ce cours, c'est-à-dire 
fixé le point de vue sous lequel je considérerai les diverses 
branches principales de la philosophie naturelle, je com- 
pléterai, dans la leçon prochaine, ces prolégomènes géné- 
raux en passant à l'exposition du plan, c'est-à-dire à la 
détermination de l'ordre encyclopédique qu'il convient 
d'établir entre les diverses classes des phénomènes natu- 
rels, et par conséquent entre les sciences positives corres- 
pondantes. 



DEUXIÈME LEÇON 



Sommaire. — Exposition du plan de ce cours, ou considérations 
générales sur la hiérarchie des sciences positives. 



Après avoir caractérisé aussi exactement que possible» 
dans la leçon précédente, les considérations à présenter 
dans ce cours sur toutes les branches principales de la 
philosophie naturelle, il faut déterminer maintenant le 
plan que nous devons suivre, c'esl-à-dire la classiflcation 
rationnelle la plus convenable à établir entre les différentes 
sdences positives fondamentales, pour les étudier succes- 
sivement sous le point de vue que nous avons fixé. Cette 
seconde discussion générale est indispensable pour achever 
de faire connaître dès l'origine le véritable esprit de ce 
cours. 

On conçoit aisément d'abord qu'il ne s'agit pas ici de 
faire la critique, malheureusement trop facile, des nom- 
breuses classifications qui ont été proposées successive- 
ment depuis deux siècles, pour le système général des 
connaissances humaines, envisagé dans toute son étendue. 
On est aujourd'hui bien convaincu que toutes les échelles 
encyclopédiques construites^ comme celles de Bacon et de 
d'Alembert, d'après une distinction quelconque des di- 
verses facultés de l'esprit humain, sont par cela seul radi- 
calement vicieuses, même quand cette distinction n'est 
pas, comme il arrive souvent, plus subtile que réelle ; car, 
dans chacune de ses sphères d'activité, notre entendement 



48 PLAN DU COURS. 

emploie simultanément toutes ses facultés principales. 
Quant à toutes les autres classiflcations proposées, il suf- 
fira d'observer que les différentes discussions élevées à ce 
sujet ont eu pour résultat définitif de montrer dans chacune 
des vices fondamentaux^ tellement qu'aucune n*a pu ob- 
tenir un assentiment unanime, et qu'il existe à cet égard 
presque autant d'opinions que d'individus. Ces diverses 
tentatives ont môme été, en général, si mal conçues, 
qu'il en est résulté involontairement dans la plupart des 
bons esprits une prévention défavorable contre toute en- 
treprise de ce genre. 

Sans nous arrêter davantage sur un fait si bien constaté, 
il est plus essentiel d'en rechercher la cause. Or, on peut 
aisément s'expliquer la profonde imperfection de ces ten* 
tatives encyclopédiques, si souvent renouvelées jusqu'ici. 
Je n'ai pas besoin de faire observer que, depuis le dis- 
crédit général dans lequel sont tombés les travaux de cette 
nature par suite du peu de solidité des premiers projets, 
ces classifications ne sont conçues le plus souvent que par 
des esprits presque entièrement étrangers à la connais- 
sance des objets à classer. Sans avoir égard à cette consi- 
dération personnelle, il en est une beaucoup plus impor- 
tante, puisée dans la nature même du sujet, et qui montre 
clairement pourquoi il n'a pas été possible jusqu'ici de 
s'élever à une conception encyclopédique véritablement 
satisfaisante. Elle consiste dans le défaut d*homogénéité 
qui a toujours existé jusqu'à ces derniers temps entre les 
différentes parties du système intellectuel, les unes étant 
successivement devenues positives, tandis que les autres 
restaient théologiques ou métaphysiques. Dans un état de 
choses aussi incohérent, il était évidemment impossible 
d'établir aucune classification rationnelle. Comment par- 
venir à disposer, dans un système unique, des conceptions 



niÉRARCUIE DES SCIENCES POSITIVES. 49 

aussi profondément contradictoires ? C'est une difficulté 
contre laquelle sont venus échouer nécessairement tous 
les classificateurs, sans qu'aucun Tait aperçue distincte- 
ment. Il était bien sensible néanmoins, pour quiconque 
eût bien connu la véritable situation de Tespril humain, 
qu'une telle entreprise était prématurée, et qu'elle ne pour- 
rait être tentée avec succès que lorsque toutes nos concep- 
tions principales seraient devenues positives. 

Cette condition fondamentale pouvant maintenant ôtre 
regardée comme remplie, d'après les explications données 
dans la leçon précédente, il est dès lors possible de pro- 
céder à une disposition vraiment rationnelle et durable 
d'un système dont toutes les parties sont enfln devenues 
homogènes. 

D'un autre côté, la théorie générale des classifications, 
établie dans ces derniers temps par les travaux philoso- 
phiques des botanistes et des zoologistes, permet d'es- 
pérer un succès réel dans un semblable travail, en nous 
offrant un guide certain par le véritable principe fonda- 
mental de l'art de classer, qui n'avait jamais été conçu 
distinctement jusqu'alors. Ce principe est une conséquence 
nécessaire de la seule application directe de la méthode 
positive à la question môme des classifications, qui, comme 
toute autre, doit être traitée par observation, au lieu d'être 
résolue par des considérations à priori. 11 consiste en ce 
que la classification doit ressortir de l'étude môme des 
objets à classer, et ôtre déterminée par les affinités réelles 
et l'enchaînement naturel qu'ils présentent, de telle sorte 
que cette classification soit elle-môme l'expression du fait 
le plus général, manifesté parla comparaison approfondie 
des objets qu'elle embrasse. 

Appliquant cette règle fondamentale au cas actuel, c'est 
donc d'après la dépendance mutuelle qui a lieu eiTective- 
A. GoMTB. Tome 1. 4 



50 PLAN DU COURS. 

ment entre les diverses sciences positives, que nous devons 
procéder à leur classification ; et cette dépendance, pour 
être réelle, ne peut résulter que de celle des phénomènes 
correspondants. 

Mais, avant d'exécuter, dans un tel esprit d'observation, 
cette importante opération encyclopédique, il est indis- 
pensable, pour ne pas nous égarer dans un travail trop 
étendu, de circonscrire avec plus de précision que nous ne 
l'avons fait jusqu'ici, le sujet propre de la classification 
proposée. 

Tous les travaux humains sont, ou de spéculation, ou 
d'action. Ainsi, la division la plus générale de nos connais- 
sances réelles consiste à les distinguer en théoriques el 
pratiques. Si nous considérons d'abord cette première di- 
vision, il est évident que c'est seulement des connaissances 
théoriques qu'il doit 6tre question dans un cours de la na- 
ture de celui-ci; car il ne s'agit point d'observer le système 
entier des notions humaines, mais uniquement celui des 
conceptions fondamentales sur les divers ordres de phéno- 
mènes, qui fournissent une base solide à toutes nos autres 
combinaisons quelconques, et qui ne sont, à leur tour, 
fondées sur aucun système intellectuel antécédent. Or, 
dans un tel travail, c'est la spéculation qu'il faut considé- 
rer, et non l'application, si ce n'est en tant que celle-ci 
peut éclaircir la première. C'est là probablement ce qu'en-* 
tendait Bacon, quoique fort imparfaitement, par cette phi" 
losophie première qu'il indique comme devant être extraite 
de l'ensemble des sciences, el qui a été si diversement et 
toujours si étrangement conçue par les métaphysiciens qui 
ont entrepris de commenter sa pensée. 

Sans doute, quand on envisnge l'ensemble complet des 
travaux de tout genre de l'espèce humaine, on doit conce- 
voir l'étude de la nature comme destinée à fournir la véri- 



llIÉRARCniE DES SCIENCES POSITIVES. 51 

able base rationuelle de Taclion de Thomme sur la nature, 
puisque la connaissance des lois des phénomènes, donl le 
'éstiltat constant est de nous les faire prévoir, peut seule 
îvîdeniment nous conduiri?, dans la vie active, aies modi- 
ier à notre avantage les uns par les autres. Nos moyens 
naturels et directs pour agir sur les corps qui nous entou- 
rent sont extrêmement faibles, et tout à fait disproportion- 
nés à nos besoins. Toutes les fois que nous parvenons à 
exercer une grande action, c'est seulement parce que la 
connaissance des lois naturelles nous permet d'introduire, 
parmi les circonstances déterminées sous Tinfluence des- 
quelles s'accomplissent les divers phénomènes, quelques 
cléments modificateurs, qui, quelque faibles qu'ils soient 
eu eux-mêmes, suffisent, dans certains cas, pour faire 
tourner à notre satisfaction les résultats définitifs de Ten- 
semble des causes extérieures. En résumé, science y d'où 
frévoyance ; prévoyance^ cToU action: telle est la formule 
très-simple qui exprime, d'une manière exacte, la relation 
générale de la science et de Vart^ en prenant ces deux 
expressions dans leur acception totale. 

Mais, malgré l'importance capitale de celte relation, qui 
ne doit jamais être méconnue, ce serait se former des 
sciences une idée bien imparfaite qqe de les concevoir 
seulement comme les bases des arts, et c'est à quoi mal- 
heureusement on n'est que trop enclin de nos jours. Quels 
que soient les immenses services rendus li Vindustrie par les 
théories scientifiques, quoique, suivant Ténergique expres- 
sion de Bacon, la puissance soit nécessairement propor- 
tionnée à la connaissance, nous ne devons pas oublier que 
les sciences ont, avant tout, une destination plus directe et 
plus élevée, celle de satisfaire au besoin fondamental qu'é- 
prouve notre intelligence de connaître les lois des phéno- 
mènes. Pour sentir combien ce besoin est profond et im- 



5S PLAN DU COURS. 

périeux, il suffit de penser un instant aux effets physiolo- 
giques de Vétonnement, et de considérer que la sensation la 
plus terrible que nous puissions éprouver est celle qui se 
produit toutes les fois qu'un phénomène nous semble s'ac- 
complir contradictoirement aux lois naturelles qui nous 
sont familières. Ce besoin de disposer les faits dans un ordre 
que nous puissions concevoir avec facilité (ce qui est l'objet 
propre de toutes les théories scientifiques) est tellement 
inhérent à notre organisation, que^ si nous ne parvenions 
pas à le satisfaire par des conceptions positives, nous re- 
tournerions inévitablement aux explications théologiques et 
métaphysiques auxquelles il a primitivement donné nais- 
sance, comme je l'ai exposé dans la dernière leçon. 

J'ai cru devoir signaler expressément dès ce moment une 
considération qui se reproduira fréquemment dans toute la 
suite de ce cours, afin d'indiquer la nécessité de se prému- 
nir contre la trop grande influence des habitudes actuelles 
qui tendent à empocher qu'on se forme des idées justes et 
nobles de l'importance et de la destination des sciences. 
Si la puissance prépondérante de notre organisation ne 
corrigeait, môme involontairement, dans l'esprit des sa- 
vants, ce qu'il y sous ce rapport d'incomplet et d'étroit 
dans la tendance générale de notre époque, l'intelligence 
humaine, réduite à ne s'occuper que de recherches suscep- 
tibles d'une utilité pratique immédiate, se trouverait par 
cela seul, comme l'a très-justement remarqué Condorcet, 
tout à fait arrêtée dans ses progrès, môme à l'égard de ces 
applications auxquelles on aurait imprudemment sacriOé 
les travaux purement spéculatifs ; car les applications les 
plus importantes dérivent constamment de théories for- 
mées dans une simple intention scientifique, et qui souvent 
ont été cultivées pendant plusieurs siècles sans produire 
aucun résultat pratique. On en peut citer un exemple bien 



UIÉRARCniE DES SCIENCES POSITHES. 53 

remarquable daos les belles spéculations des géomètres 
grecs sur les sections coniques, qui, après une longue 
suite de générations, ont servi, en déterminant la rénova- 
lion de l'astronomie, à conduire finalement Tart de la na- 
vigation au degré de perfectionnement qu'il a atteint dans 
ces derniers temps, et auquel il ne serait jamais parvenu 
sans les travaux si purement théoriques d'Archimède et 
d'Apollonius ; tellement que Condorcet a pu dire avec 
raison à cet égard : a Le matelot, qu'une exacte observa- 
c tion de la longitude préserve du naufrage, doit la vie à 
une théorie conçue, deux mille ans auparavant, par des 
€ hommes de génie qui avaient en vue de simples spécu- 
« latioDS géométriques.» 

11 est donc évident qu'après avoir conçu, d'une manière 
générale, l'étude de la nature comme servant de base ra- 
tionnelle à l'action sur la nature, Tesprit humain doit pro- 
céder aux recherches théoriques, en faisant complètement 
abstraction detoute considération pratique; car nos moyens 
pour découvrir la vérité sont tellement faibles, que, si nous 
ne les concentrions pas exclusivement vers ce but, et si, en 
cherchant la vérité, nous nous imposions en môme temps 
la condition étrangère d'y trouver une utilité pratique im- 
médiate, il nous serait presque toujours impossible d'y 
parvenir. 

Quoi qu'il en soit, il est certain que l'ensemble de nos 
connaissances sur la nature, et celui des procédés que nous 
en déduisons pour la modifier à notre avantage, fornient 
deux systèmes essentiellement distincts par eux-mêmes, 
qu'il est convenable de concevoir et de cultiver séparé- 
ment En outre, le premier système étant la base du se- 
cond, c'est évidemment celui qu'il convient de considérer 
d'abord dans une étude méthodique, môme quand on se 
proposerait d'embrasser la totalité des connaissances bu- 



5 4 PLAN DU COURS. 

maines, tant d'application que de spéculation. Ce système 
théorique me parait devoir constituer exclusivement au- 
jourd'hui le sujet d'un cours vraiment rationnel de philo- 
sophie positive; c'est ainsi du moins que je le conçois. 
Sans doute, il serait possible d'imaginer un cours plus 
étendu, portant à la fois sur les généralités théoriques et 
sur les généralités pratiques. Mais je ne pense pas qu'une 
telle entreprise, même indépendamment de son étendue, 
puisse être convenablement tentée dans l'état présent de 
l'esprit humain. Elle me semble, en effet, exiger préalable- 
ment un travail très-important et d'une nature toute par- 
ticulière, qui n'a pas encore été fait, celui de former, 
d'après les théories scientifiques proprement dites, les 
conceptions spéciales destinées à servir de bases directes 
aux procédés généraux de la pratique. 

Au degré de développement déjà atteint par notre intel- 
ligence, ce n'est pas immédiatement que les sciences s'ap- 
pliquent aux arts, du moins dans les cas les plus parfaits ; 
il existe entre ces deux ordres d'idées un ordre moyen, qui, 
encore mal déterminé dans son caractère philosophique, 
est déjà plus sensible quand on considère la classe sociale 
qui s'en occupe spécialement. Entre les savants propre- 
ment dits et les directeurs effectifs des travaux productifs, 
il commence à se former de nos jours une classe intermé- 
diaire, celle des ingénieurs, dont la destination spéciale est 
d'organiser les relations de la théorie et de la pratique. 
Sans avoir aucunement en vue le progrès des connaissances 
scientifiques^ elle les considère dans leur état présent pour 
en déduire les applications industrielles dont elles sont 
susceptibles. Telle est du moins la tendance naturelle des 
choses, quoiqu'il y ait encore à cet égard beaucoup de 
confusion. Le corps de doctrine propre à cette classe nou- 
velle, et qui doit constituer les véritables théories directes 



HIÉRARCHIE DES SCIENCES POSITIVES. 55 

des différeols arls, pourrait sans doute donner lieu à des 
considérations philosophiques d'un grand int.érôl et d'une 
importance réelle. Mais un travail qui les embrasserait con- 
jointement avec celles fondées sur les sciences proprement 
dites serait aujourd'hui tout à fait prématuré ; car ces doc- 
trines intermédiaires entre la théorie pure et la pratique 
directe ne sont point encore formées : il n'en existe jus- 
qu'ici que quelques éléments imparfaits relatifs aux scien- 
ces et aux arts les plus avancés, et qui permettent seule- 
ment de concevoir la nature et la possibilité de semblables 
travaux pour l'ensemble des opérations humaines. C'est 
ainsi, pour en citer ici l'exemple le plus important, qu'on 
doit envisager la belle conception de Monge, relativement 
à la géométrie descriptive, qui n'est réellement autre chose 
qu'une théorie générale des arts de construction. J'aurai 
soin d'indiquer successivement le petit nombre d'idées 
analogues déjà formées et d'en faire apprécier l'impor- 
tance, à mesure que le développement naturel de ce cours 
nous les présentera. Mais il est clair que des conceptions 
jusqu'à présent aussi incomplètes ne doivent point entrer, 
comme partie essentielle, dans un cours de philosophie 
positive qui ne doit comprendre, autant que possible, que 
des doctrines ayant un caractère fixe et nettement déter- 
miné. 

On concevra d'autant mieux la difficulté de construire 
ces doctrines intermédiaires que je viens d'indiquer, si l'on 
considère que chaque art dépend non-seulement d'une 
certaine science correspondante, mais à la fois de plusieurs, 
tellement que les arts les plus importants empruntent des 
secours directs à presque toutes les diverses sciences prin- 
cipales. C'est ainsi que la véritable théorie de l'agriculture, 
pour me borner au cas le plus essentiel, exige une intime 
combinaison de connaissances physiologiques, chimiques. 



56 PLAN DU COURS. 

physiques et même astronomiques et mathématiques : il en 
est de môme des beaux-arts. On aperçoit aisément, d'a- 
près cette considération, pourquoi ces théories n'ont pu 
encore être formées, puisqu'elles supposent le développe- 
ment préalable de toutes les différentes sciences fonda- 
mentales. Il en résulte également un nouveau motif de ne 
pas comprendre un tel ordre d'idées dans un cours de phi- 
losophie positive, puisque, loin de pouvoir contribuer à la 
formation systématique de celle philosophie, les théories 
générales propres aux différents arts principaux doivent, 
au contraire, comme nous le voyons, être vraisemblable- 
ment plus tard une des conséquences les plus utiles de sa 
construction. 

En résumé, nous ne devons donc considérer dans ce 
cours que les théories scientifiques et nullement leurs ap- 
plications. Mais, avant de procéder à la classiûcation mé- 
thodiquede ses différentes parties, il me reste à exposer, 
relativement aux sciences proprement dites, une distinc- 
tion importante, qui achèvera de circonscrire nettement le 
sujet propre de l'étude que nous entreprenons. 

11 faut distinguer, par rapport à tous les ordres de phé- 
nomènes, deux genres de sciences naturelles : les unes 
abstraites, générales, ont pour objet la découverte des lois 
qui régissent les diverses classes de phénomènes, en consi- 
dérant tous les cas qu'on peut concevoir; les autres con- 
crètes, particulières, descriptives, et qu'on désigne quel- 
quefois sous le nom de sciences naturelles proprement 
dites, consistent dans l'application de ces lois à l'hilstoire 
effective des différents êtres existants. Les premières sont 
donc fondamentales, c'est sur elles seulement que porte- 
ront nos études dans ce cours ; les autres, quelle que soit 
leur importance propre, ne sont réellement que secon- 
dairesy et ne doivent point, par conséquent, faire partie 



HIÉBARCHIB DES SCIENCES POSITrVES. 57 

d'un travail que son extrême étendue naturelle nous oblige 
à réduire au moindre développement possible. 

La distinction précédente ne peut présenter aucune ob- 
scurité aux esprits qui ont quelque connaissance spéciale 
des différentes sciences positives, puisqu'elle est à peu près 
l'équivalent de celle qu'on énonce ordinairement dans pres- 
que tous les traités scientiûques, en comparant la physi- 
que dogmatique à l'histoire naturelle proprement dite. 
Quelques exemples sufûront d'ailleurs pour rendre sensible 
cette division, dont l'importance n'est pas encore conve- 
nablement appréciée. 

On pourra d'abord l'apercevoir très-nettement en com- 
parant, d'une part, la physiologie générale, et, d'une autre 
part, la zoologie et la botanique proprement dites. Ce sont 
évidemment, en effet, deux travaux d'un caractère fort dis- 
tinct, que d'étudier, en général, les lois de la vie, ou de dé- 
terminer le mode d'exislence de chaque corps vivant, en 
particulier. Cette seconde élude, en outre, est nécessaire- 
ment fondée sur la première. 

Il en est de môme de la chimie, par rapport à la miné- 
ralogie; la première est évidemment la base rationnelle de 
la seconde. Dans la chimie, on considère toutes les com- 
binaisons possibles des molécules, et dans toutes les cir- 
constances imaginables; dans la minéralogie, on considère 
seulement celles de ces combinaisons qui se trouvent réa- 
lisées dans la constitution effective du globe terrestre, et 
sous i'influejice des seules circonstances qui lui sont pro- 
pres. Ce qui montre clairement la différence du point de 
vue chimique et du point de vue minéralogique, quoique 
les deux sciences portent sur les mômes objets, c'est que 
la plupart des faits envisagés dans la première n'ont qu'une 
existence artificielle, de telle manière qu'un corps, comme 
le chlore ou le potassium, pourra avoir une extrême im- 



S8 PLAN DU COURS. 

porlance en chimie par retendue et l'énergie de ses affi- 
nités, tandis qu'il n'en aura presque aucune en minéralo- 
gie; et, réciproquement, un composé, tel que le granit 
ou le quartz, sur lequel porte la majeure partie des con- 
sidérations minéralogiques, n'offrira, sous le rapport chi- 
mique, qu'un intérêt très-médiocre. 

Ce qui rend, en général, plus sensible encore la néces- 
sité logique de cette distinction fondamentale entre les 
deux grandes sections de la philosophie naturelle, c'est 
que non-seulement chaque section de la physique concrète 
suppose la culture préalable de la section correspondante 
de la physique abstraite, mais qu'elle exige même la con- 
naissance des lois générales relatives h tous les ordres de 
phénomènes. Ainsi, par exemple, non-seulement l'étude 
spéciale de la terre, considérée sous tous les points de vue 
qu'elle peut présenter effectivement, exige la connaissance 
préalable de la physique et de la chimie, mais elle ne peut 
être faite convenablement, sans y introduire, d'une part, les 
connaissances astronomiques, et môme, d'une autre part, 
les connaissances physiologiques ; en sorte qu'elle tient au 
système entier des sciences londamentales. Il en est de 
même de chacune des sciences naturelles propreaient 
dites. C'est précisément pour ce motif que la physique con- 
crète a fait jusqu'à présent si peu de progrès réels, car elle 
n'a pu commencer à être étudiée d'une manière vraiment 
rationnelle qu'après la physique abstraite, et lorsque toutes 
les diverses branches principales de celle-ci eurent pris leur 
caractère définitif, ce qui n'a eu lieu que de nos jours. 
Jusqu'alors on n'a pu recueillir à ce sujet que des matériaux 
plus ou moins incohérents, qui sont même encore fort in- 
complets. Les faits connus ne pourront être coordonnés 
de manière à former de véritables théories spéciales des 
différents êtres de l'univers^ que lorsque la distinction fon- 



HIÉBARCniE DBS SCIENCES POSITIVES. 5» 

damenUle rappelée ci-dessus sera plus profondément 
sentie et plus régulièrement organisée, et que» par suite, 
les savants particulièrement livrés à Tétude des sciences 
naturelles proprement dites auront reconnu la nécessité 
de fonder leurs recherches sur une connaissance appro- 
fondie de toutes les sciences fondamentales, condition qui 
est encore aujourd'hui fort loin d'être convenablement 
remplie. 

L'examen de cette condition confirme nettement pour- 
quoi nous devons, dans ce cours de philosophie positive, 
réduire nos considérations à Tétude des sciences générales, 
sans embrasser en même temps les sciences descriptives 
ou particulières. On voit naître ici, en cCTet, une nouvelle 
propriété essentielle de cette étude propre des généralités 
de la physique abstraite ; c*est de fournir la base rationnelle 
d'une physique concrète vraiment systématique. Ainsi, 
dans l'état présent de Tesprit humain, il y aurait ime sorte 
de contradiction à vouloir réunir, dans un seul et même 
cours, les^deux ordres de sciences. On peut dire, de plus, 
que, quand même la physique concrète aurait déjà atteint 
le degré de perfectionnement de la physique abstraite, et 
que, par suite, il serait possible, dans un cours de philo- 
sophie positive, d'embrasser à la fois Tune et l'autre, il 
n'en faudrait pas moins évidemment commencer par la sec- 
tion abstraite, qui restera la base invariable de l'autre. 11 
est clair, d'ailleurs, que la seule étude des généralités des 
sciences fondamentales est assez vaste par elle-même, 
pour qu'il importe d'en écarter, autant que possible, toutes 
les considérations qui ne sont pas indispensables ; or, 
celles relatives aux sciences secondaires seront tou- 
jours, quoi qu'il arrive, d'un genre distinct. La philoso- 
phie des sciences fondamentales, pré'sent.mt un système de 
conceptions positives sur tous nos ordres de connaissances 



60 PLAN DU COURS. 

réelles, sufQt, par cela même, pour constituer cette pAt- 
losophie première que cherchait Bacon, et qui, étant destinée 
à servir désormais de base permanente à toutes les spécula- 
lions humaines, doit être soigneusement réduite à la plus 
simple expression possible. 

Je n'ai pas besoin d'insister davantage en ce moment sur 
une telle discussion, que j'aurai naturellement plusieurs 
occasions de reproduire dans les diverses parties de ce 
cours. L'explication précédente est assez développée pour 
motiver la manière dont j'ai circonscrit le sujet général de 
nos considérations. 

Ainsi, en résultat de tout ce qui vient d*étre exposé dans 
celte leçon, nous voyons : i^ que la science humaine se 
composant, dans son ensemble, de connaissances spécula- 
tives et de connaissances d'application, c'est seulement des 
premières que nous devons nous occuper ici; 2® que les 
connaissances théoriques ou les sciences proprement dites, 
se divisant en sciences générales el sciences particulières, 
nous devons ne considérer ici que le premier ordre, et 
nous borner à la physique abstraite, quelque intérêt que 
puisse nous présenter la physique concrète. 

Le sujet propre de ce cours étant par là exactement cir- 
conscrit, il est facile maintenant de procéder à une classi- 
fication rationnelle vraiment satisfaisante des sciences fon- 
damentales, ce qui constitue la question encyclopédique, 
objet spécial de cette leçon. 

Il faut, avant tout, commencer par reconnaître que, 
quelque naturelle que puisse être une telle classification, 
elle renferme toujours nécessairement quelque chose, si- 
non d'arbitraire, du moins d'artiûciel, de manière à pré- 
senter une imperfection véritable. 

En effet, le but principal que l'on doit avoir en vue dans 
tout travail encyclopédique, c'est de disposer les sciences 



HIÉRARCHIE DES SCIENCES POSITIVES. 61 

dans l'ordre de leur enchaînement nalurel, en suivant leur 
dépendance mutuelle; de telle sorte qu'on puisse les expo- 
ser successivement, sans jamais être entraîné dans le 
moindre cercle vicieux. Or, c'est une condition qu'il me 
parait impossible d'accomplir d'une manière tout à fait ri- 
goureuse. Qu'il me soit permis de donner ici quelque dé- 
veloppement à cette réflexion, que je crois importante pour 
caractériser la véritable difflculté de la recherche qui nous 
occupe actuellement. Cette considération, d'ailleurs, me 
donnera lieu d'établir, relativement à l'exposition de nos 
connaissances, un principe général dont j'aurai plus tarda 
présenter de fréquentes applications. 

Toute science peut être exposée suivant deux marches 
essentiellement distinctes, dont tout autre mode d'exposi- 
tion ne saurait être qu'une combinaison^ la marche histori- 
que^ et la marche dogmatique. 

Par le premier procédé, on expose successivement les 
connaissances dans le môme ordre effectif suivant lequel 
l'esprit humain les a réellement obtenues, et en adoptant, 
autant que possible, les mêmes voies. 

Par le second, on présente le système des idées tel qu'il 
pourrait être conçu aujourd'hui par un seul esprit, qui, 
placé au point de vue convenable, et pourvu des connais- 
sances sufOsantes, s'occuperait à refaire la science dans son 
ensemble. 

Le premier mode est évidemment celui par lequel com- 
mence, de toute' nécessité, Tétude de chaque science nais- 
sante ; car il présente cette propriété, de n'exiger^ pour 
l'exposition des connaissances, aucun nouveau travail dis- 
tinct de celui de leur formation, toute la didactique se 
réduisant alors à étudier successivement, dans l'ordre chro- 
nologique, les divers ouvrages originaux qui ont contribué 
aux progrès de la science. 



62 l'LAN OU COUnS. 

Le mode dogmatique, supposant, au contraire, que tous 
ces travaux particuliers ont été refondus en un système gé- 
néral, pour être présentés suivant un ordre logique plus 
naturel, n est applicable qu'à une science déjà parvenue è 
un assez haut degré de développement. Mais, à mesure que 
la science fait des progrès, Tordre historique d'exposition 
devient de plus en plus impraticable, par la trop longue 
suite d'intermédiaires qu'il obligerait l'esprit à parcourir; 
tandis que Tordre dogmatique devient de plus en plus pos- 
sible, en même temps que nécessaire, parce que de nou- 
velles conceptions permettent de présenter les découvertes 
antérieures sous un point de vue plus direct. 

C'est ainsi, par exemple, que l'éducation d'un géomètre 
de l'antiquité consistait simplement dans Tétude succes- 
sive du très-petit nombre de traités originaux produits jus- 
qu'alors sur les diverses parties de la géométrie, ce qui se 
réduisait essentiellement aux écrits d'Archimède et d'Apol- 
lonius; tandis qu'au contraire, un géomètre moderne a 
communément terminé son éducation, sans avoir lu un seul 
ouvrage original, excepté relativement aux découvertes les 
plus récentes, qu'on ne peut connaître que par ce moyen. 

La tendance constante de l'esprit humain, quant à l'ex- 
position des connaissances, est donc de substituer de plus 
en plus à Tordre historique Tordre dogmatique, qui peut 
seul convenir à Télat perfectionné de notre intelligence. 

Le problème général de Téducation intellectuelle con- 
siste à faire parvenir, en peu d'années, an seul entende- 
ment, le plus souvent médiocre, au môme point de déiue- 
loppemenl qui a été atteint, dans une longue suite de 
siècles^ par un grand nombre de génies supérieurs appli- 
quant successivement, pendant leur vie entière^ toutes 
leurs forces à Tétude d'un môme sujet. Il est clair, d'après 
cela, que, quoiqu'il > soit inliniment plus facile et plas 



BIÉRARCHIE DES SCIENCES POSITIVES. 6S 

coart d'apprendre que d'inventer, il serait certainement 
impossible d'atteindre le but proposé, si Ton voulait assu- 
jettir chaque esprit individuel h passer successivement par 
les mêmes intermédiaires qu'a dû suivre nécessairement le 
génie collectif de l'espèce humaine. De là, l'indispensable 
besoin de l'ordre dogmHtique, qui est surtout si sensible 
aujourd'hui pour les sciences les plus avancées, dont le 
niode ordinaire d'exposition ne présente plus presque au* 
cune trace de la iiliation effective de leurs détails. 

Il faut néanmoins ajouter^ pour prévenir toute exagé- 
ration, que tout mode réel d'exposition est, inévitablement, 
une certaine combinaison de l'ordre dogmatique avec 
l'ordre historique, dans laquelle seulement le premier doit 
dominer constamment et de plus en plus. L'ordre dogma- 
tique ne peut, en effet, être suivi d'une manière tout à fait 
rigoureuse; car, par cela môme qu'il exige une nouvelle 
élaboration des connaissances acquises, il n'est point ap- 
plicable, h chaque époque de la science, aux parties ré- 
cemment formées, dont l'étude ne comporte qu'un ordre 
essentiellement historique, lequel ne présente pas d'ail- 
leurs, dans ce cas, les inconvénients principaux qui le font 
rejeter en général. 

Lia seule imperfection fondamentale qu'on pourrait re- 
procher au mode dogmatique, c'est de laisser ignorer la 
manière dont se sont formées les diverses connaissances 
humaines, ce qui, quoique distinct de l'acquisition môme 
de ces connaissances, est, en soi, du plus haut intérêt pour 
tout esprit philosophique. Cette considération aurait, à 
mes yeux, beaucoup de poids, si elle était réellement un 
motif en faveur de l'ordre historique. Mais il est aisé de 
voir qu'il n'y a qu'une relation apparente entre étudier une 
science eu suivant le mode dit hisionque, et connaître vé- 
ritablement l'histoire effective de cette science. 



64 PLAN DU COURS. 

En effet, noo-seulemeol les diverses parties de chaque 
science, qu'on est conduit à séparer dans l'ordre dogmaii^ 
yue, se sont, en réalité, développées simultanément et sous 
l'influence les unes des autres, ce qui tendrait à faire pré- 
férer l'ordre historique : mais, en considérant, dans son 
ensemble, le développement effectif de l'esprit humain, on 
voit de plus que les différentes sciences ont été, dans le fait, 
perfectionnées en môme temps et mutuellement; on voit 
môme que les progrès des sciences et ceux des arts ont 
dépendu les uns des autres, par d'innombrables influences 
réciproques, et enfln que tous ont été étroitement liés an 
développement général de la société humaine. Ce vaste 
enchaînement est tellement réel, que souvent, pour conce- 
voir la génération effective d'une théorie scientifique, l'es- 
prit est conduit à considérer le perfectionnement de quel- 
que art qui n'a avec elle aucune liaison rationnelle, ou 
inôme quelque progrès particulier dans l'organisation so- 
ciale, sans lequel cette découverte n'eût pu avoir lieu. Nous 
en verrons dans la suite de nombreux exemples. II résuite 
•donc de là que Ton ne peut connaître la véritable histoire 
•de chaque science, c'est-à-dire la formation réelle des dé- 
couvertes dont elle se compose, qu'en étudiant, d'une 
manière générale et directe^ l'histoire de Thumanité. C'est 
pourquoi tous les documents recueillis jusqu'ici sur l'his- 
toire des mathématiques, de l'astronomie, de la méde- 
cine, etc., quelque précieux qu'ils soient, ne peuvent être 
regardés que comme des matériaux. 

Le prétendu ordre historique d'exposition, môme quand 
il pourrait ôtre suivi rigoureusement pour les détails de 
chaque science en particulier, serait déjà purement hypo- 
thétique et abstrait sous le rapport le plus important, en 
ce qu'il considérerait le développement de cette science 
comme isolé. Bien loin démettre en évidence la véritable 



HIÉRARCHIE DES SCIENCES POSITIVES. 65 

histoire de la science, il tiendrait à en faire concevoir une 
opinion trèS'fausse. 

Ainsi, nous sommes certainement convaincus que la 
connaissance de l'histoire des sciences est de la plus haute 
importance. Je pense môme qu'on ne connaît pas complè- 
tement une science tant qu'on n'en sait pas l'histoire. Mais 
cette étude doit être conçue comme entièrement séparée 
de l'étude propre et dogmatique delà science, sans laquelle 
même cette histoire ne serait pas intelligible. Nous consi- 
dérerons donc avec beaucoup de soin l'histoire réelle des 
sciences fondamentales qui vont être le sujet de nos médi- 
tations ; mais ce sera seulement dans la dernière partie de 
ce cours, celle relative à l'étude des phénomènes sociaux, 
en traitant du développement général de l'humanité, dont 
l'histoire des sciences constitue la partie la plus impor- 
tante, quoique jusqu'ici la plus négligée. Dans rélude de 
chaque science, les considérations historiques incidentes 
qui pourront se présenter auront un caractère nettement 
distinct, de manière à ne pas altérer la nature propre de 
notre travail principal. 

La discussion précédente, qui doit d'ailleurs, comme on 
le voit, être spécialement développée plus tard, tend à 
préciser davantage, en le présentant sous un nouveau point 
de vue, le véritable esprit de ce cours. Mais, surtout, il en 
résulte, relativement à la question actuelle, la détermina- 
tion exacte des conditions qu'on doit s'imposer, et qu'on 
peut justement espérer de remplir dans la construction 
d'une échelle encyclopédique des diverses sciences fonda- 
mentales. 

On voit, en effet, que, quelque parfaite qu'on pût la sup- 
poser, cette classification ne saurait jamais être rigoureu- 
sement conforme à l'enchaînement historique des sciences. 
Quoi qu'on fasse, on ne peut éviter entièrement de présen- 

A. Comte. Tome I. 5 



6 G PLAN DU COURS. 

ter comme antérieure telle science qui aura cepeDdan 
besoin, sous quelques rapports particuliers plus ou moins 
importants, d'emprunter des notions à une autre science 
classée dans un rang postérieur. Il faut tâcher seulement 
qu'un tel inconvénient n'ait lieu relativement aux concep 
tions caractéristiques de chaque science, car alors Ja clas- 
sification serait tout à fait vicieuse. 

Ainsi, par exemple, il me semble incontestable que, 
dans le système général des sciences, l'astronomie doil 
être placée avant la physique proprement dite, et néan- 
moins plusieurs branches de celle-ci, surtout l'optique, 
sont indispensables à l'exposition complète de la pre- 
mière . 

De tels défauts secondaires, qui sont strictement iné?i- 
tables, ne sauraient prévaloir contre une classification, qui 
remplirait d'ailleurs convenablement les conditions prin- 
cipales. Ils tiennent à ce qu'il y a nécessairement d'artifi- 
ciel dans notre division du travail intellectuel. 

Néanmoins, quoique, d'après les explications précéden- 
tes, nous ne devions pas prendre l'ordre historique pour 
base de notre classification, je ne dois pas négliger d'indi- 
quer d'avance, comme une propriété essentielle de l'é- 
chelle encyclopédique que je vais proposer, sa conformité 
générale avec l'ensemble de l'histoire scientifique ; en ce 
sens, que, malgré la simultanéité réelle et continue du dé- 
veloppement des différentes sciences, celles qui seront 
classées comme antérieures seront, en effet, plus anciennes 
et constamment plus avancées que celles présentées comme 
postérieures. C'est ce qui doit avoir lieu inévitablement si, 
en réalité, nous prenons, comme cela doit être, pour prin- 
cipe de classification, l'enchaînement logique naturel des 
diverses sciences, le point de départ de l'espèce ayant éù 
nécessairement être le môme que celui de l'individu. 



UIÉRARCHIE DES SCIENCES POSITIVES. 67 

Pour achever de déterminer avec toute la précision pos- 
sible la difficulté exacte de la question encyclopédique que 
nous avons à résoudre, je crois utile d'introduire une con- 
sidération mathématique fort simple qui résumera rigou* 
reusement l'ensemble des raisonnements exposés jusqu'ici 
dans cette leçon. Voici en quoi elle consiste. 

Nous nous proposons de classer les sciences fondamen- 
tales. Or nous verrons bientôt que, tout bien considéré, il 
n'est pas possible d'en distinguer moins de six; laplupartdes 
savants en admettraient même vraisemblablement un plus 
grand nombre. Gela posé, on sait que six objets compor- 
tent 720 dispositions différentes. Les sciences fondamen- 
tales pourraient donc donner lieu à 720 classifications dis- 
tinctes, parmi lesquelles il s'agit de choisir la classification 
nécessairement unique, qui satisfait le mieux aux princi- 
pales conditions du problème. On voit que, malgré le 
grand nombre d'échelles encyclopédiques successivement 
proposées jusqu'à présent, la discussion n'a porté encore 
que sur une bien faible partie des dispositions possibles ; 
et, néanmoins, je crois pouvoir dire, sans exagération, qu'en 
examinant chacune de ces 720 classifications, il n'en serait 
peut-être pas une seule en faveur delaquelle on ne pût faire 
valoir quelques motifs plausibles ; car, en observant les 
diverses dispositions qui ont été effectivement proposées, 
on remarque entre elles les plus extrêmes différences ; les 
sciences, qui sont placées par les uns à la tête du système 
encyclopédique, étant renvoyées par d'autres à l'extrémité 
opposée, et réciproquement. C'est donc dans ce choix d'un 
senl ordre vraiment rationnel, parmi le nombre très-con- 
sidérable des systèmes possibles, que consiste la difficulté 
précise de la question que nous avons posée. 

Abordant maintenant d'une manière directe cette grande 
question, rappelons-nous d'abord que, pour obtenir une 



68 PLAN DU COURS. 

classification naturelle et positive des sciences fondamen- 
tales, c'est dans la comparaison des divers ordres de phéno- 
mènes dont elles ont pour objet de découvrir les lois que 
nous devons en chercher le principe. Ce que nous voulons 
déterminer, c'est la dépendance réelle des diverses études 
scientifiques. Or cette dépendance ne peut résulter que de 
celle des phénomènes correspondants. 

En considérant sous ce point de vue tous les phéno- 
mènes observables, nous allons voir qu'il est possible de les 
classer en un petit nombre de catégories naturelles, dispo- 
sées d'une telle manière, que l'étude rationnelle de chaque 
catégorie soit fondée sur la connaissance des lois prin- 
cipales de la catégorie précédente, et devienne le fonde- 
ment de l'étude de la suivante. Cet ordre est déterminé par 
le degré de simplicité, ou, ce qui revient au môrae, par le 
degré de généralité des phénomènes, d'où résulte leur dé- 
pendance successive, et, en conséquence, la facilité plus 
ou moins grande de leur étude. 

Il est clair, en effet, à priori^ que les phénomènes les 
plus simples, ceux qui se compliquent le moins des autres, 
sont nécessairement aussi les plus généraux ; car ce qui 
s'observe' dans le plus grand nombre de cas est, par cela 
même, dégagé le plus possible des circonstances propres à 
chaque cas séparé. C'est donc par l'étude des phénomènes 
les plus généraux ou les plus simples qu'il faut commencer, 
en procédant ensuite successivement jusqu'aux phénomè- 
nes les plus particuliers ou les plus compliqués, si l'on 
veut concevoir la philosophie naturelle d'une manière vrai- 
ment méthodique ; car cet ordre de généralité oo de sim- 
plicité, déterminant nécessairement l'enchaînement ration- 
nel des diverses sciences fondamentales par la dépendance 
successive de leurs phénomènes, fixe ainsi leur degré de 
facilité. 



BIÉRARCniB DES SCIENCES POSITIVES. 69 

En même temps, par une considéralion auxiliaire que 
je croîs important de noter ici, et qui converge exactement 
avec toutes les précédentes, les phénomènes les plus géné- 
raux ou les plus simples, se trouvant nécessairement les 
plus étrangers à l'homme, doivent, par cela même, être 
étudiés dans une disposition d'esprit plus calme, plus ra- 
tionnelle, ce qui constitue un nouveau motif pour que les 
sciences correspondantes se développent plus rapidement. 

Ayant ainsi indiqué la règle fondamentale qui doit pré- 
sider à la classification des sciences, je puis passer immé- 
diatement à la construction de'I'échelle encyclopédique 
d'après laquelle le plan de ce cours doit être déterminé, et 
que chacun pourra aisément appréciera l'aide des consi* 
dérations précédentes. 

Une première contemplation de l'ensemble des phéno- 
mènes naturels nous porte à les diviser d'abord, conrormé- 
ment au principe que nous venons d'établir, en deux 
grandes classes principales» la première comprenant tous 
les phénomènes des corps bruts, la seconde tous ceux 
des corps organisés. 

Ces derniers sont évidemment, en effet, plus compli- 
qués et plus particuliers que les autres; ils dépendent des 
précédents, qui, au contraire, n'en dépendent nullement. 
De là la nécessité de n'étudier les phénomènes physiologi- 
ques qu'après ceux des corps inorganiques. De quelque 
manière qu'on explique les différences de ces deux sortes 
d'êtres, il est certain qu'on observe dans les corps vivants 
tous les phénomènes, soit mécaniques, soit chimiques, qui 
ont lieu dans les corps bruts^ plus un ordre tout spécial de 
phénomènes, les phénomènes vitaux proprement dits^ ceux 
qui tiennent kVorgantsatùm. II ne s'agit pas ici d'examiner 
si les deux classes de corps sont ou ne sont pas de la môme 
mture^' question insoluble qu'on agite encore beaucoup 



70 PLAN DU COURS. 

trop de nos jours, par un reste d'influence des habitudes 
théologiques et métaphysiques; une telle question n'est pas 
du domaine de la philosophie positive, qui fait formelle- 
ment profession d'ignorer absolument la nature intime 
d'un corps quelconque. Mais il n'est nullement indispen- 
sable de considérer les corps bruts et les corps vivants 
comme étant d'une nature essentiellement différente pour 
reconnaître la nécessité de la séparation de leurs études. 

Sans doute, les idées ne sont pas encore suffisamment 
fixées sur la manière générale de concevoir les phénomè- 
nes des corps vivants. Mais, quelque parti qu'on puisse 
prendre à cet égard par suite des progrès ultérieurs de la 
philosophie naturelle, la classification que nous établis- 
sons n'en saurait être aucunement affectée. En effet, regar- 
dàt-on comme démontré, ce que permet à peine d'entre- 
voir l'état présent de la physiologie, que les phénomènes 
physiologiques sont toujours de simples phénomènes mé- 
caniques, électriques et chimiques, modifiés par la struc- 
ture et la composition propres aux corps organisés, notre 
division fondamentale n'en subsisterait pas moins. Car il 
reste toujours vrai, même dans cette hypothèse, que les 
phénomènes généraux doivent être étudiés avant de procé- 
cédera l'examen des modifications spéciales qu'ils éprouvent 
dans certains êtres de l'univers, par suite d'une disposition 
particulière des molécules. Ainsi, la division, qui est au- 
jourd'hui fondée dans la plupart des esprits éclairés sur la 
diversité des lois, est de nature à se maintenir indéfini- 
ment à cause de la subordination des phénomènes et par 
suite des études, quelque rapprochement qu'on puisse ja- 
mais établir solidement entre les deux classes de corps. 

Ce n'est pas ici le lieu de développer, dans ses diverses 
parties essentielles, la comparaison générale entre les 
corps bruts et les corps vivants, qui sera le sujet spécial 



niÉRARCHIE DES SCIENCES POSITIVES. 71 

d'un examen approfondi dans la section physiologique de ce 
cours. Il suffit, quant à présent, d'avoir reconnu, en prin- 
cipe, la nécessité logique de séparer la science relative aux 
prendiers de celle relative aux seconds, et de ne procéder 
à l'étude de \9l physique organique qu'après avoir établi les 
lois générales de la physique inorganique. 

Passons maintenant à la détermination de la sous-divi- 
sion principale dont est susceptible, d'après la môme règle, 
chacune de ces deux grandes moitiés de la philosophie na- 
turelle. 

Pour la physique inorganique^ nous voyons d'abord, en 
nous conformant toujours à l'ordre de généralité el de dé- 
pendance des phénomènes, qu'elle doit être partagée en 
deux sections distinctes suivant qu'elle considère les phé- 
nomènes généraux de l'univers, ou, en particulier, ceux 
que présentent les corps terrestres. D'où la physique cé- 
leste, ou l'astronomie^ soit géométrique, soit mécanique ; 
et la physique terrestre. La nécessité de cette division est 
exactement semblable à celle de la précédente. 

Les phénomènes astronomiques étant les plus généraux, 
les plus simples, les plus abstraits de tous, c'est évidem- 
ment par leur étude que doit commencer la philosophie 
naturelle, puisque les lois auxquelles ils sont assujettis in- 
fluent sur celles de tous les autres phénomènes^ dont elles- 
mêmes sont, au contraire, essentiellement indépendantes. 
Dans tous les phénomènes de la physique terrestre, on 
observe d'abord les effets généraux de la gravitation uni- 
verselle, plus quelques autres effets qui leur sont propres, 
et qui modifient les premiers. Il s'ensuit que, lorsqu'on 
analyse le phénomène terrestre le plus simple, non-seule- 
ment en prenant un phénomène chimique, mais en choi- 
sissant même un phénomène purement mécanique, on le 
trouve constamment plus composé que le phénomène ce- 



72 PLAN DU COURS. 

leste le plus compliqué. C'est ainsi^ par exemple, que le 
simple mouvement d'un corps pesant, môme quand il ne 
s'agit que d'un solide, présente réellement, lorsqu'on veut 
tenir compte de toutes les circonstances déterminantes^ un 
sujet de recherches plus compliqué que la question astro- 
nomique la plus difficile. Une telle considération montre 
clairement combien il est indispensable de séparer nette- 
ment la physique céleste et la physique terrestre, et de ne 
procéder à l'étude de la seconde qu'après celle de la pre» 
miére, qui en est la base rationnelle. 

La physique terrestre, à son tour, se sous-divise, d'après' 
le môme principe, en deux portions très-distinctes, selon 
qu'elle envisage les corps sous le'point de vue mécanique, 
ou sous le point de vue chimique. D'où la physique pro* 
prementdite, et la chimie. Celle-ci, pour ôtre conçue d'une 
manière vraiment méthodique, suppose évidemment la 
connaissance préalable de l'autre. Car tous les phéno* 
mènes chimiques sont nécessairement plus compliqués que 
les phénomènes physiques; ils en dépendent sans influer sur 
eux. Chacun sait, en effet, que toute action chimique est sou- 
mise d'abord à l'influence de la pesanteur, de la chaleur, 
de l'électricité, etc., et présente, en outre, quelque chose 
de propre qui modifie l'action des agents précédents. Cette 
considération, qui montre évidemment la chimie comme 
ne pouvant marcher qu'après la physique, la présente en 
môme temps comme une science distincte. Car, quelque 
opinion qu'on adopte relativement aux affinités chimiques» 
et quand môme on ne verrait en, elles, ainsi qu'on peut le 
concevoir, que des modifications de la gravitation générale 
produites par la figure et par la disposition mutuelle des 
atomes, il demeurerait incontestable que la nécessité d'a- 
voir continuellement égard à ces conditions spéciales ne 
permettrait point de traiter la chimie comme un simple 



il 



HIÉRARCHIE DES SCIENCES POSITIVES. 73 

appendice de la physique. On serait donc obligé, dans tous 
les cas, ne fût-ce que pour la facilité de l'étude, de main- 
tenir la division et l'enchaînement que l'on regarde aujour- 
d'hui comme tenant à l'hétérogénéité des phénomènes. 

Telle est donc la distribution rationnelle des principales 
branches de la science générale des corps bruts. Une di- 
vision analogue s'établit, de la môme manière, dans la 
science générale des corps organisés. 

Tous les êtres vivants présentent deux ordres de phéno- 
mènes essentiellement distincts, ceux relatifs à l'individu, 
et ceux qui concernent l'espèce, surtout quand elle est so- 
ciable. C'est principalement par rapport à l'homme, que 
cette distinction est fondamentale. Le dernier ordre de 
phénomènes est évidemment plus compliqué et plus parti- 
culier que le premier; il en dépend sans influer sur lui. De 
là, deux grandes sections dans la physique organique^ la 
physiologie proprement dite, et la physique sociale, qui 
est fondée sur la première. 

Dans tous les phénomènes sociaux, on observe d'abord 
l'influence des lois physiologiques de l'individu, et, en 
outre, quelque chose de particulier qui en modifie les ef- 
fets, et qui tient à l'action des individus les uns sur les 
autres, singulièrement compliquée, dans l'espèce humaine, 
par l'action de chaque génération sur celle qui la suit. Il 
est donc évident que, pour étudier convenablement les 
phénomènes sociaux, il faut d'abord partir d'une connais- 
sance approfondie des lois relatives à la vie individuelle. 
D'un autre côté, cette subordination nécessaire entre les 
deux études ne prescrit nullement, comme quelques phy- 
siologistes du premier ordre ont élé portés à le croire, de 
voir dans la physique sociale un simple appendice de la 
physiologie. Quoique les phénomènes soient certainement 
homogènes, ils ne sont point identiques, et la séparation 



7 4 PLAN DU COURS. 

des deux sciences est d'une importance vraiment fonda- 
mentale. Car il serait impossible de traiter l'étude collec- 
tive de l'espèce comme une pure déduction de Tétnde de 
l'individu, puisque les conditions sociales, qui modifient 
Taclion des lois physiologiques, sont précisément alors la 
considération la plus essentielle. Ainsi, la physique sociale 
doit être fondée sur un corps d'observations directes qui lui 
soit propre, tout en ayant égard, comme il convient, à son in- 
time relation nécessaire avec la physiologie proprementdite. 

On pourrait aisément établir une symétrie parfaite entre 
la division de la physique organique et celle ci-dessus 
exposée pour la physique inorganique, en rappelant la dis- 
tinction vulgaire de la physiologie proprement dite en vé- 
gétale et animale. Il serait facile, en effet, de rattacher 
cette sous-division au principe de classification que nous 
avons constamment suivi, puisque les phénomènes delà 
vie animale se présentent, en général du moins, comme 
plus compliqués et plus spéciaux que ceux de la vie vé- 
gétale. Mais la recherche de cette symétrie précise aurait 
quelque chose de puéril^ si elle entraînait à méconnaître 
ou à exagérer les analogies réelles ou les différences affec- 
tives des phénomènes. Or il est certain que la distinction 
entre la physiologie végétale et la physiologie animale, qui 
a une grande importance dans ce que j'ai appelé la physique 
concrète, n'en a presque aucune dans la physique abstraite, 
la seule dont il s'agisse ici. La connaissance des lois géné- 
rales de la vie, qui doit être à nos yeux le véritable objet 
de la physiologie, exige la considération simultanée de 
toute la série organique sans distinction de végétaux et 
d'animaux, distinction qui, d'ailleurs, s'efiace de jour eu 
jour, à mesure que les phénomènes sont étudiés d'une 
manière approfondie. 

Nous persisterons donc à ne considérer qu'une seule di- 



HIÉBARCHIE DES SCIENCES POSITIVES. 7 5 

rision dans la physique organique, quoique nous ayons 
;ru devoir en établir deux successives dans la physique 
Dorganique. 

En résultat de cette discussion, la philosophie positive 
le trouve donc naturellement partagée en cinq sciences 
fondamentales, dont la succession est détern^inée par une 
subordination nécessaire et- invariable, fondée, indépen- 
damment de toute opinion hypothétique, sur la simple 
comparaison approfondie des phénomènes correspondants : 
c'est l'astronomie, la physique, la chimie, la physiologie 
et enfin la physique sociale. La première considère les 
phénomènes les plus généraux, les plus simples, les 
plus abstraits et les plus éloignés de Thumanité; ils 
influent sur tous les autres, sans être influencés par 
eux. Les phénomènes considérés par la dernière sont, 
au contraire, les plus particuliers, les plus compliqués, 
les plus concrets et les plus directement intéressants pour 
l'homme; ils dépendent, plus ou moins, de tous les pré- 
cédents, sans exercer sur eux aucune influence. Entre ces 
deux extrêmes, les degrés de spécialité, de complication 
et de personnalité des phénomènes vont graduellement en 
augmentant, ainsi que leur dépendance successive. Telle 
est l'intime relation générale que la véritable observation 
philosophique, convenablement employée, et non de vaines 
distinctions arbitraires, nous conduit à établir entre les 
diverses sciences fondamentales. Tel doit donc être le plan 
de ce cours. 

Je n'ai pu ici qu'esquisser l'exposition des considérations 
principales sur lesquelles repose cette classitication. Pour 
la concevoir complètement, il faudrait maintenant, après 
l'avoir envisagée d'un point de vue général, l'examiner re- 
lativement à chaque science fondamentale en particulier. 
C'est ce que nous ferons soigneusement en commençant 



7C PLAN DU COURS. 

réiude spéciale de chaque parlie de ce cours. La cooslruc- 
tion de cette échelle encyclopédique, reprise ainsi succe^ 
sivement en partant de chacune des cinq grandes sciences, 
lui fera acquérir plus d'exactitude, et surtout mettra plei- 
nement en évidence sa solidité. Ces avantages seront d'au- 
tant plus sensibles, que nous verrons alors la distributioa 
intérieure de chaque science s'établir nalurelleroenld'apris 
le môme principe, ce qui présentera tout le système des 
connaissances humaines décomposé, jusque dans ses dé- 
tails secondaires, d'après une considération unique con- 
stamment suivie, celle du degré d'abstraction plus ou 
moins grand des conceptions correspondantes. Mais des 
travaux de ce genre, outre qu'ils nous entraîneraient main- 
tenant beaucoup trop loin, seraient certainement déplacés 
dans cette leçon, oîi notre esprit doit se maintenir au point 
de vue le plus général de la philosophie positive. 

Néanmoins^ pour faire apprécier aussi complètement 
que possible, dès ce moment, l'importance de cette biéraf* 
chie fondamentale, dont je ferai, dans toute la suite de ce 
cours, des applications continuelles, je dois signaler rapi- 
dement ici ses propriétés générales les plus essentielles. 

Il faut d'abord remarquer, comme une vérification très- 
décisive de l'exactitude de cette classification, sa confor- 
mité essentielle avec la coordination, en quelque sorte 
spontanée, qui se trouve en effet implicitement admise par 
les savants livrés à l'étude des diverses branches de la phi- 
losophie naturelle. 

C'est une condition ordinairement fort négligée par les 
constructeurs d'échelles encyclopédiques, que de pré- 
senter comme distinctes les sciences que la marche effec- 
tive de l'esprit humain a conduit, sans dessein prémédité, 
à cultiver séparément, et d'établir entre elles une subor- 
dination conforme aux relations positives que manifeste 



HliaARGHIB DES SCIENCES POSITIVES. 77 

leur développement journalier. Un tel accord est néan- 
moins éyidemment le plus sûr indice d'une bonne classi- 
fication ; car les divisions qui se sont introduites spon- 
tanément dans le système scientifique n'ont pu être 
déterminées que par le sentiment longtemps éprouvé des 
véritables besoins de Tesprit humain, sans qu'on ait pu 
être égaré par des généralités vicieuses. 

Mais, quoique la classification ci-dessus proposée rem- 
plisse entièrement cette condition, ce qu'il serait superflu 
de prouver, il n'en faudrait pas conclure que les habitudes 
généralement établies aujourd'hui par expérience chez les 
savants rendraient inutile le travail encyclopédique que 
nous venons d'exécuter. Elles ont seulement rendu pos- 
sible une telle opération, qui présente la difi'érence fon- 
damentale d'une conception rationnelle à une classification 
purement empirique, il s'en faut d'ailleurs que cette clas- 
sification soit ordinairement conçue et surtout suivie avec 
toute la précision nécessaire, et que son importance soit 
convenablement appréciée ; il suffirait, pour s'en con- 
vaincre, de considérer les graves infractions qui sont com- 
mises tous les jours contre cette loi encyclopédique, au 
grand préjudice de l'esprit humain. 

On second caractère très-essentiel de notre classifica- 
tion, c'est d'être nécessairement conforme à l'ordre ef- 
fectif du développement de la philosophie naturelle. C'est 
ce que vérifie tout ce qu'on sait de l'histoire des sciences, 
particulièrement dans les deux derniers siècles, où nous 
pouvons suivre leur marche avec plus d'exactitude. 

On conçoit, en effet, que l'étude rationnelle de chaque 
science fondamentale, exigeant la culture préalable de 
tontes celles qui la précèdent dans notre hiérarchie en- 
cyclopédique, n'a pu faire de progrès réels et prendre son 
véritable caractère, qu'après un grand développement des 



78 PLAN DU COURS. 

sciences antérieures relatives à des phénomènes plus gé- 
néraux, plus abstraits, moins compliqués et indépendants 
des autres. C*est donc dans cet ordre que la progression, 
quoique simultanée, a dû avoir lieu. 

Celte considération me semble d'une telle importance, 
que je ne crois pas possible de comprendre réellement, 
sans y avoir égard, Thistoire de Tesprit humain. La loi gé- 
nérale qui domine toute cette histoire, et que j'ai exposée 
dans la leçon précédente, ne peut être convenablement 
entendue, si on ne la combine point dans Tapplication 
avec la formule encyclopédique que nous venons d'établir. 
Car, c'est suivant Tordre énoncé par cette formule que les 
différentes théories humaines ont atteint successivement, 
d'abord Télat théologique, ensuite l'état métaphysique, et 
enfin l'état positif. Si l'on ne tient pas compte dans l'usage 
de la loi de cette progression nécessaire, on rencontrera 
souvent des difficultés qui paraîtront insurmontables, car 
il est clair que l'état théologique ou métaphysique de cer- 
taines théories fondamentales a dû temporairement coïn- 
cider et a quelquefois coïncidé en effet avec l'état postif de 
celles qui leur sont antérieures dans notre système encyclo- 
pédique, ce qui tend à jeter sur la vérification de la loi 
générale une obscurité qu'on ne peut dissiper que par la 
classification précédente. 

En troisième lieu, cette classification présente la pro- 
priété très-remarquable de marquer exactement la perfec- 
tion relative des différentes sciences, laquelle consiste es- 
sentiellement dans le degré de précision des connaissances, 
et dans leur coordination plus ou moins intime. 

Il est aisé de sentir, en effet, que plus des phénomènes 
sont généraux, simples et abstraits, moins ils dépendent 
des autres, et plus les connaissances qui s'y rapportent 
peuvent être précises, en môme temps que leur coordina^ 



HIÉBARCHIE DBS SCIENCES POSITIVES. 79 

tion peat être plus complète. Ainsi les phénomènes orga- 
niques ne comportent qu'une étude à la fois moins exacte et 
moins systématique que les phénomènes des corps bruts. 
De môme, dans la physique inorganique, les phénomènes 
célestes, vu leur plus grande généralité et leur indépen- 
dance de tous les autres, ont donné lieu à une science bien 
plus précise et beaucoup plus liée que celle des phéno- 
mènes terrestres. 

Cette observation, qui est si frappante dans Tétude effec- 
tive des sciences, et qui a souvent donné lien à des espé- 
rances chimériques ou à d'injustes comparaisons, se trouve 
donc complètement expliquée par l'ordre encyclopédique 
que j'ai établi. J'aurai naturellement occasion de lui donner 
toute son extension dans la leçon prochaine, en montrant 
que la possibilité d'appliquer à l'étude des divers phéno- 
mènes l'analyse mathématique, ce qui est le moyen de 
procurer à cette étude le plus haut degré possible de pré- 
cision et de coordination, se trouve exactement détermi- 
née par le rang qu'occupent ces phénomènes dans mon 
échelle encyclopédique. 

Je ne dois point passer à une autre considération^ sans 
mettre le lecteur en garde à ce sujet contre une erreur fort 
grave, et qui, bien que très-grossière, est encore extrême- 
ment commune. Elle consiste à confondre le degré de pré- 
cision que comportent nos différentes connaissances avec 
leur degré de certitude, d'où est résulté le préjugé très- 
dangereux que, le premier étant évidemment fort inégal, 
il en doit être ainsi du second. Aussi parle-t-on souvent 
encore, quoique moins que jadis, de Tinégale certitude 
des diverses sciences, ce qui tend directement à décourager 
la culture des sciences les plus difficiles. 11 est clair, néan- 
moins, que la précision et la certitude sont deux qualités 
en elles-mômes fort différentes. Une proposilien tout à fait 



80 PLAN DU COUBS. 

absurde peut être exlrômement précise, comme si l'on 
disait, par exemple, que la somme des angles d'un triangle 
est égale à trois angles droits : et une proposition très-cer- 
taine peut ne comporter qu'une précision fort médiocre, 
comme lorsqu'on affirme, par exemple, que tout homme 
mourra. Si, d'après l'explication précédente, les diverses 
sciences doivent nécessairement présenter une précision 
très-inégale, il n'en est nullement ainsi de leur certitude. 
Chacune peut offrir des résultats aussi certains que ceux de 
toute autre, pourvu qu'elle sache renfermer ses cooclasioos 
dans le degré de précision que comportent les phénomènes 
correspondants, condition qui peut n'être pas tonjcHirs 
très-facile à remplir. Dans une science quelconque, tout ce 
qui est simplement conjectural n'est que plus ou moins 
probable, et ce n'est pas là ce qui compose son domaine es- 
sentiel ; tout ce qui est positif, c'est-à-dire fondé sur ée$ 
faits bien constatés, est certain : il n'y a pas de distinction 
à cet égard. 

Enfin, la propriété la plus intéressante de notre formule 
encyclopédique, à cause de limportance et de la multipli- 
cité des applications immédiates qu'on en peut faire, c'est 
de déterminer directement le véritable plan général d'une 
éducation scientifique entièrement rationnelle. C'est ce qui 
résulte sur-le-champ de la seule composition de la formule. 

Il est sensible, en effet, qu'avant d'entreprendre l'étude 
méthodique de quelqu'une des sciences fondamentales, il 
faut nécessairement s'être préparé par l'examen de celles 
relatives aux phénomènes antérieurs dans notre échelle en- 
cyclopédique, puisque ceux-ci influent toujours d'une mi- 
nière prépondérante sur ceux dont on se propose de ccm* 
naître les lois. Cette considération est tellement frappante, 
que, malgré son extrême importance pratique, je n'ai pas 
besoin d'insister davantage en ce moment sur un principe 



HIÊRARCHIB DES SCIENCES POSITIVES. 81 

qai, plus tard, se reproduira d'ailleurs inévitablement, par 
fipport à chaque science fondamentale. Je me bornerai 
seulement à faire observer que, s'il est éminemment appli- 
cable à l'éducation générale, il l'est aussi particulièremen 
4 l'éducation spéciale des savants. 

Ainsi, les physiciens qui n'ont pas d'abord étudié l'as- 
Iroaomiey au moins sous un point de vue général; les chi- 
mistes qui, avant de s'occuper de leur science propre, n'ont 
pas étudié préalablement l'astronomie et ensuite la physi- 
que ; les physiologistes qui ne se sont pas préparés à leurs 
travaux spéciaux par une étude préliminairede l'astronomie, 
de la physique et de la chimie, ont manqué à l'une des con- 
ditions fondamentales de leur développement intellectuel. 
n en est encore plus évidemment de même pour les esprits 
qui veulent se livrera l'étude positive des phénomènes so- 
ciaux, sans avoir d'abord acquis une connaissance générale 
de l'astronomie, de la physique, de la chimie et de la phy- 
siologie. 

Comme de telles conditions sont bien rarement remplies 
de nos jours, et qu'aucune institution régulière n'est orga- 
nisée pour les accomplir, nous pouvons dire qu'il n'existe 
pas encore, pour les savants, d'éducation vraiment ration- 
nelle. Cette considération est, à mes yeux, d'une si grande 
importance, que je ne crains pas d'atribuer en partie à ce 
vice de nos éducations actuelles l'état d'imperfection ex- 
trême où nous voyons encore les sciences les plus difficiles, 
état véritablement inférieur à ce que prescrit en effet la na- 
ture plus compliquée des phénomènes correspondants. 

Relativement h l'éducation générale, cette condition est 
'encore bien plus nécessaire. Je la crois tellement indispen- 
sable, que je regarde l'enseignement scientiûque comme 
incapable de réaliser les résultats généraux les plus essen- 
tiels qu'il est destiné à produire dans la société pour la ré- 
A. Comte. Tome I. 6 



82 PLAN DU COURS. 

novation du système intellectuel, si les diverses branches 
principales de la philosophie naturelle ne sont pas étudiées 
dans Tordre convenable. N'oublions pas que, dans presque 
toutes les intelligences, même les plus élevées, les idées 
restent ordinairement enchaînées suivant l'ordre de leur 
acquisition première ; et que, par conséquent, c'est un mal 
le plus souvent irrémédiable que de n'avoir pas commencé 
par le commencement. Chaque siècle ne compte qu'un bien 
petit nombre de penseurs capables, à Tépoque de leur viri- 
lité, comme Bacon, Descartes et Leibnitz, de faire vérita- 
blement table rase pour reconstruire de fond en comble le 
système entier de leurs idées acquises. 

L'importance de notre loi encyclopédique pour servir de 
base à l'éducation scientiûque ne peut être convenablement 
appréciée qu'en la considérant aussi par rapport à la mé- 
thode, au lieu de l'envisager seulement, comme nous ve- 
nons de le faire, relativement à la doctrine. 

Sous ce nouveau point de vue, une exécution convenable 
du plan généra] d'études que nous avons déterminé doit 
avoir pour résultat nécessaire de nous procurer une con- 
naissance parfaite de la méthode positive^ qui ne pourrait 
Otre obtenue d'aucune autre manière. 

En effet, les phénomènes naturels ayant été classés de 
telle sorte, que ceux qui sont réellement homogènes res- 
tent toujours compris dans une même étude , tandis que 
ceux qui ont été affectés à des études différentes sont effec- 
tivement hétérogènes, il doit nécessairement en résulter 
que la méthode positive générale sera constamment modi- 
fiée d'une manière uniforme dans l'étendue d'une môme 
science fondamentale, et qu'elle éprouvera sans cesse des 
modifications différentes et de plus en plus composées, en 
passant d'une science à une autre. Nous aurons donc ainsi 
la certitude de la considérer dans toutes les variétés réelles 



HIÉRABCHIE DBS SCIENCES POSITIVES. 8S 

dont elle est susceptible, ce qui n'aurait pu avoir lieu, si 
nous avions adopté une formule encyclopédique qui ne 
remplit pas les conditions essentielles posées ci-dessus. 

Cette nouvelle considération est d'une importance vrai- 
ment fondamentale; car ; si nous avons vu en général, dans 
la dernière leçon, qu'il est impossible de connaître la mé- 
tbode positive, quand on veut l'étudier séparément de son 
emploi, nous devons ajouter aujourd'hui qu'on ne peut 
s'en former une idée nette et exacte qu'en étudiant suc- 
cessivement, et dans l'ordre convenable, son application à 
toutes les diverses classes principales des phénomènes na- 
turels. Une seule science ne suffirait point pour atteindre 
ce but, môme en la choisissant le plus judicieusement pos- 
sible. Car, quoique la méthode soit essentiellement iden- 
tique dans toutes, chaque science développe spécialement 
tel ou tel de ses procédés caractéristiques, dont l'influence, 
trop peu prononcée dans les autres sciences, demeurerait 
inaperçue. Ainsi, par exemple, dans certaines branches de 
la philosophie, c'est l'observation proprement dite; dans 
d'autres, c'est Texpérience, et telle ou telle nature d'expé- 
riences, qui constitue le principal moyen d'exploration. De 
même, tel précepte général, qui fait partie intégrante de 
la méthode, a été fourni primitivement par une certaine 
science ; et, bien qu'il ait pu être ensuite transporté dans 
d'autres, c'est à sa source qu'il faut l'étudier pour le bien 
connaître; comme, par exemple, la théorie des classifica- 
tions. 

En se bornant à l'étude d'une science unique, il faudrait 
sans doute choisir la plus parfaite pour avoir un sentiment 
plus profond de la méthode positive. Or, la plus parfaite 
étant en môme temps la plus simple, on n'aurait ainsi 
qu'une connaissance bien complète de la méthode, puis- 
qu'on n'apprendrait pas quelles modifications essentielles 



84 PLAN DU COURS. 

elle doit subir pour s'adapter à des phénomènes plus com- 
pliqués. Chaque science fondamentale a donc, sous ce rap- 
port^ des avantages qui lui sont propres ; ce qui prouve 
clairement la nécessité de les considérer toutes, sous peine 
de ne se former que des conceptions trop étroites et des 
habitudes insnfGsantes. Cette considération devant se re- 
produire fréquemment dans la suite, il est inutile de la dé- 
velopper davantage en ce moment. 

Je dois néanmoins ici, toujours sous le rapport de la mé- 
thode, insister spécialement sur le besoin, pour la bien 
connaître, non-seulement d'étudier philosophiquement 
toutes les diverses sciences fondamentales, mais de les étu- 
dier suivant Tordre encyclopédique établi dans cette leçon. 
Que peut produire de rationnel, à moins d'une extrême sq« 
périorité naturelle, un esprit qui s'occupe de prime abord 
de l'étude des phénomènes les plus compliqués, sans avoir 
préalablement appris à connaître, par l'examen des phéno- 
mènes les plus simples, ce que c'est qu'une /o/, ce que c'est 
qu*observer, ce que c'est qu'une conception positive, ce que 
c'est môme qu'un raisonnement suivi t Telle est pourtant 
encore aujourd'hui la marche ordinaire de nos jeunes 
physiologistes^ qui abordent immédiatement l'étude des 
corps vivants, sans avoir le plus souvent été préparés au- 
trement que par une éducation préliminaire réduite à l'é- 
tude d'une ou de deux langues mortes, et n'ayant, tout au 
plus, qu'une connaissance très-superficielle de la physique 
et de la chimie, connaissance presque nulle sous le rapport 
de la méthode, puisqu'elle n'a pas été obtenue communé- 
ment d'une manière rationnelle, et en partant du véritable 
point de départ de la philosophie naturelle. On conçoit 
combien il importe de réformer un plan d'études aussi vi* 
cieux. De même, relativement aux phénomènes sociaux, 
qui sont encore plus compliqués, ne serait-ce point avoir 



niÉRARCHIB DES SCIENCES POSITIVES. 85 

fait un grand pas vers le retour des sociétés modernes à un 
état Yraiment normal, que d'avoir reconnu la nécessité lo- 
gique de ne procéder à l'élude de ces phénomènes qu'a- 
près avoir dressé successivement Torgane intellectuel par 
Texamen philosophique approfondi de tous les phénomènes 
Ultérieurs? On peut même dire avec précision que c'est là 
toute la difOculté principale. Car il est peu de hons esprits 
qui ne soient convaincus aujourd'hui qu'il faut étudier les 
phénomènes sociaux d'après la méthode positive. Seule- 
ment, ceux qui s'occupent de cette étude, ne sachant pas 
et ne pouvant pas savoir exactement en quoi consiste cette 
méthode, faute de l'avoir examinée dans ses applications 
antérieures, cette maxime est jusqu'à présent demeurée 
stérile pour la rénovation des théories sociales, qui ne sont 
pas encore sorties de l'état théologique ou de l'état méta- 
physique, malgré les efforts des prétendus réformateurs 
positifs. Cette considération sera, plus tard, spécialement 
développée; je dois ici me borner à l'indiquer, unique- 
ment pour faire apercevoir toute la portée de la concep- 
tion encyclopédique que j'ai proposée dans cette leçon. 

Tels sont donc les quatre points de vue principaux, sous 
lesquels j'ai dû m'attacher à faire ressortir Timportance 
générale de la classification rationnelle et positive, établie 
ei-dessus pour les sciences fondamentales. 

Afin de compléter l'exposition générale du plan de ce 
cours, il me reste maintenant à considérer une lacune im- 
mense et capitale, que j'ai laissée à dessein dans ma for- 
mule encyclopédique, et que le lecteur a sans doute déjà 
remarquée. En effet, nous n'avons point marqué dans notre 
système scientifique le rang de la science mathématique. 

Le motif de cette omission volontaire est dans l'impor- 
ance même de celte science, si vaste et si fondamentale 
^r la leçon prochaine sera entièrement consacrée à la dé- 



86 PLAN DU COURS. 

termination exacte de son véritable caractère général, et 
par suite à la fixation précise de son rang encyclopédique. 
Mais, pour ne pas laisser incomplet, sous un rapport aussi 
capital, le grand tableau que j'ai tâché d'esquisser dans 
cette leçon, je dois indiquer ici sommairement, par anti- 
cipation, les résultats généraux de l'examen que nous en- 
treprendrons dans la leçon suivante. 

Dans l'état actuel du développement de nos connaissan- 
ces positives, il convient, je crois^ de regarder la science 
mathématique, moins comme une partie constituante de 
la philosophie naturelle proprement dite, que comme 
étant, depuis Descartes et Newton, la vraie base fondamen- 
tale de toute cette philosophie, quoique^ à parler exacte- 
ment, elle soit à la fois Tune et l'autre. Aujourd'hui, en 
effet, la science mathématique est bien moins importante 
par les connaissances, très-réelles et très-précieuses néan- 
moins, qui la composent directement, que comme consti- 
tuant l'instrument le plus puissant que l'esprit humain 
puisse employer dans la recherche des lois des phénomè- 
nes naturels. 

Pour présenter à cet égard une conception parfaitement 
nette et rigoureusement exacte, nous verrons qu'il faut 
diviser la science mathématique en deux grandes sciencesi 
dont le caractère est essentiellement distinct: la mathéma- 
tique abstraite, ou le calcul, en prenant ce mot dans sa pins 
grande extension, et la mathématique concrète, qui se 
compose, d'une part de la géométrie générale, d'une 
autre part de la mécanique rationnelle. La partie concrète 
est nécessairement fondée sur la pàrlie abstraite, et devient 
à son tour la base directe de toute la philosophie naturelle, 
en considérant, autant que possible, tous les phénomènes 
de l'univers comme géométriques ou comme mécaniques, 

La partie abstraite est la seule qui soit purement instru- 



niÉRAacniE des sciences positives. 87 

mentale, n'étant autre chose qu'une immense extension 
admirable de la logique naturelle à un certain ordre de 
dédoctions. La géométrie et la mécanique doivent, au 
contraire, être envisagées comme de véritables sciences 
naturelles, fondées, ainsi que toutes les autres, sur l'obser- 
vation, quoique, par Textrôme simplicité de leurs phéno- 
mènes, elles comportent un degré infiniment plus parfait de 
systématisation, qui a pu quelquefois faire méconnaître le 
caractère expérimental de leurs premiers principes. Mais 
ces deux sciences physiques ont cela de particulier, que, 
dans l'état présent de Tesprit humain, elles sont déjà et 
seront toujours davantage employées comme méthode, 
beaucoup plus que comme doctrine directe. 

Il est, du reste, évident qu*eu plaçant ainsi la science 
mathématique à la tôte de la philosophie positive, nous ne 
faisons qu'étendre davantage l'application de ce même 
principe de classiGcation, fondé sur la dépendance succes- 
sive des sciences en résultat du degré d'abstraction de 
leurs phénomènes respectifs, qui nous a fourni la série 
encyclopédique, établie dans cette leçon. Nous ne faisons 
maintenant que restituer à cette série son véritable pre- 
mier terme» dont l'importance propre exigeait un examen 
spécial plus développé. On voit, en effet, que les phénomè- 
nes géométriques et mécaniques sont, de tous, les plus 
généraux, les plus simples^ les plus abstraits, les plus irré- 
ductibles et les plus indépendants de tous les antres, dont 
ils sont, au contraire, la base. On conçoit pareillement que 
leur étude est un préliminaire indispensable à celle de 
tous les autres ordres de phénomènes. C'est donc la science 
mathématique qui doit constituer le véritable point de dé- 
part de toute éducation scientiflque rationnelle, soit géné- 
rale, soit spéciale, ce qui explique l'usage universel qui 
s'est établi depuis longtemps h ce sujet, d'une manière em- 



88 PLAN DU COURS. — HIÉRARCHIE DES SCIENCES POSITIVES. 

pirique, quoiqu^il n'ait eu primitivement d'autre cause que^ 
la plus grande ancienneté relative de la science mathéma- 
tique. Je dois me borner en ce moment à une indicatioD 
très-rapide de ces diverses considérations, qui vont être 
l'objet spécial de la leçon suivante. 

Nous avons donc exactenàent déterminé dans cette leçon, 
non d'après de vaines spéculations arbitraires, mais en le 
regardant comme le sujet d'un véritable problème philoso- 
phique, le plan rationnel qui doit nous guider constamment 
dans l'étude de la philosophie positive. En résultat déGni- 
tir, la mathématique, Taslronomie^ la physique, la chimie, 
la physiologie et la physique sociale : telle est la formule 
encyclopédique qui, parmi le très-grand nombre de classi- 
ficalions que comportent les six sciences fondamentales, 
est seule logiquement conforme à la hiérarchie naturelle 
et invariable des phénomènes. Je n'ai pas besoin de rap» 
peler l'importance de ce résultat, que le lecteur doit se 
rendre éminement familier, pour en faire dans toute l'é*' 
tendue de ce cours une application continuelle. 

La conséquence finale de cette leçon^ exprimée sous la 
forme la plus simple, consiste donc dans l'application et la 
justification du grand tableau synoptique placé au commen- 
cement de cet ouvrage, et dans la construction duquel je 
me suis efforcé de suivre, aussi rigoureusement que possi- 
ble, pour la distribution intérieure de chaque science fon- 
damentale, le môme principe de classification qui vient de 
nous fournir la série générale des sciences. 



TROISIÈME LEÇON 



Sommaire. — Ck>nsidéraUon8 philosophiques sur Tensemble do la science 

mathématique. 



£d commeDçant à entrer directement en matière par 
l'étude philosophique de la première des six sciences fon- 
damenUiles établies dans la leçon précédente, nous avons 
lieu de constater immédiatement l'importance de la philo- 
sophie positive pour perfectionner le caractère général de 
chaque science en particulier. 

Quoique la science mathématique soit la plus ancienne 
et la plus parfaite de toutes, l'idée générale qu'on doit s'en 
former n'est point encore nettement déterminée. La défi- 
nition de la science, ses principales divisions, sont demeu- 
rées jusqu'ici vagues et incertaines. Le nom multiple par 
lequel on la désigne habituellement suffirait môme seul 
pour indiquer le défaut d'unité de son caractère philoso- 
phique, tel qu'il est conçu communément. 

A la vérité, c'est seulement au commencement du siècle 
dernier que les diverses conceptions fondamentales qui cons- 
tituent cette grande science ont pris chacune assez de déve- 
loppement pour que le véritable esprit de l'ensemble pût se 
manifester clairement. Depuis cette époque, l'attention des 
géomètres a été trop justement et trop exclusivement ab- 
sorbée par le perfectionnement spécial des différentes bran- 
ches, et par l'application capitale qu'ils en ont faite aux lois 
les plus importantes de l'univers, pour pouvoir se diriger 



90 MATOÉMATrQUES. 

convenablement sur le système général de la science. 

Mais aujourd'hui le progrès des spécialités n'est plus tel- 
lement rapide, qu'il interdise la contemplation de Tensem- 
ble. La mathématique (1) est maintenant assez développée, 
soit en elle-même, soit quant à ses applications les plus 
essentielles, pour être parvenue à cet état de consistance, 
dans lequel on doit s'efforcer de coordonner en un système 
unique les diverses parties de la science, afin de préparer 
de nouveaux progrès. On peut môme observer que les der- 
niers perfectionnements capitaux éprouvés par la science 
mathémaliqi>e ont directement préparé cette importante 
opération philosophique, en imprimant à ses principales 
parties un caractère d'unité qui n'existait pas auparavant; 
tel est éminemment et hors de toute comparaison l'esprit 
des travaux de l'immortel auteur de la Théorie des Fonctions 
et de la Mécanique analytique. 

Pour se former une juste idée de l'objet de la science 
mathématique considérée dans son ensemble, on peut d'a- 
bord partir de la définition vague et insignifiante qu'on en 
donne ordinairement, à défaut de toute autre, en disant 
qu'elle est la science des grandeurs^ ou, ce qui est plus po- 
sitif, la science qui a pour but la mesure des grandeurs. Cet 
aperçu scolastique a, sans doute, singulièrement besoin 
d'acquérir plus de précision et plus de profondeur. Mais 
l'idée est juste au fond ; elle est même suffisamment éten- 
due, lorsqu'on la conçoit convenablement. Il importe d'ail- 
leurs, en pareille matière, quand on le peut sans inconvé- 
nient, de s'appuyer sur des notions généralement admises. 
Voyons donc comment^ en partant de cette grossière 
ébauche, on peut s'élever à une véritable définition de la 

(1) J'emploierai souvent cette expression au singulier, comme l'a proposé 
Condorcet, afin d'indiquer avec plus d'énergie l'esprit d'unité dans lequel 
je conçois la science. 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATBÉMATIQUE. 91 

mathématique, à une définition qui soil digne de corres- 
pondre à rimportance, à retendue et à la difficulté de la 
science. 

La question de mesurer une grandeur ne présente par 
elle-même à l'esprit d'autre idée que celle de la simple 
comparaison immédiate de cette grandeur avec une autre 
grandeur semblable supposée connue, qu'on prend pour 
vniV^ entre toutes celles de la même espèce. Ainsi, quand 
on se borne à définir les mathématiques comme ayant pour 
objet la mesure des grandeurs^ on en donne une idée fort 
imparfaite, car il est même impossible de voir par là com- 
ment il y a lieu, sous ce rapport, à une science quelcon- 
que, et surtout à une science aussi vaste et aussi profonde 
qu'est réputée l'être avec raison la science mathématique. 
Au lieu d'un immense enchaînement de travaux rationnels 
Irès-prolongés, qui offrent à notre activité intellectuelle un 
aliment inépuisable, la science paraîtrait seulement con- 
sister, d'après un tel énoncé, dans une simple suite de pro- 
cédés mécaniques pour obtenir directement, à l'aide d'o- 
pérations analogues à la superposition des lignes, les 
rapports des quantités à mesurer à celles par lesquelles 
CD veut les mesurer. Néanmoins cette définition n'a point 
réellement d'autre défaut que de n'être pas suffisamment 
approfondie. Elle n'induit point en erreur sur le véritable 
bat final des mathématiques; seulement elle présente 
comme direct un objet qui, presque toujours, est, au con- 
traire, fort indirect, et, par là, elle ne fait nullement con- 
cevoir la nature de la science. 

Pour y parvenir, il faut d'abord considérer un fait gé- 
néral, très-facile à constater . C'est que la mesure directe 
d'une grandeur, par la superposition ou par quelque pro- 
cédé semblable, est le plus souvent pour nous une opéra- 
tion tout à fait impossible : en sorte que, si nous u'avions 



92 MATHÉMATfQUES. 

pas d*autre moyen pour déterminer les grandeurs que les 
comparaisons immédiates, nous serions obligés de renon- 
cer à la connaissance de la plupart de celles qui nous inté- 
ressent. 

On comprendra toute l'exactitude de celte observation 
générale, en se bornant à considérer spécialement le cas 
particulier qui présente évidemment le plus de facilité» 
celui de la mesure d'une ligne droite par une autre ligne 
droite. Cette comparaison, qui, de toutes celles que nous 
pouvons imaginer, est sans contredit la plus simple, ne 
peut néanmoins presque jamais être efTectuée immédiate- 
ment. En réfléchissant à l'ensemble des conditions néces* 
sairespour qu'une ligne droite soit susceptible d'une me- 
sure directe, on voit que le plus souvent elles ne peuvent 
point élre remplies à la fois, relativement aux lignes que 
nous désirons connaître. La première et la plus grossière 
de ces conditions, celle de pouvoir parcourir la ligne d'un 
bout à l'autre pour porter successivement l'unité dans 
toute son étendue, exclut évidemment déjà la très- majeure 
partie des distances qui nous inléressent le plus; d'abord 
toutes les dislances entre les dill'érents corps célestes, ou 
de la terre à quelque autre corps céleste, et ensuite môme la 
plupart des distances terrestres, qui sont si fréquemment 
inaccessibles. Quand cette première condition se trouve 
accomplie, il faut encore que la longueur ne soit ni trop 
grande ni trop petite, ce qui rendrait la mesure directe 
également impossible; il faut qu'elle soit convenablement 
située, etc. La plus légère circonstance, qui abstraitement 
ne paraîtrait devoir introduire aucuqe nouvelle difficulté, 
suffira souvent, dans la réalité, pour nous interdire toute 
mesure directe. Ainsi, par exemple, telle ligne que nous 
pourrions mesurer exactement avec la plus grande facilité, 
si elle était horizontale, il suffira de la concevoir redressée 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATUÉMATIQUE. 9S 

Terticalement pour que la mesure en devienne impossible. 
En un mot, la mesure immédiate d'une ligne droite pré- 
sente une telle complication de difGcuités, surtout quand 
on YBut y apporter quelque exactitude, que presque ja- 
mais nous ne rencontrons d'autres lignes susceptibles d'être 
mesurées directement avec précision, du moins parmi 
celles d'une certaine grandeur, que des lignes purement ar- 
tificielles, créées expressément par nous pour comporter 
une détermination directe, et auxquelles nous parvenons à 
rattacher toutes les autres. 

Ce que je viens d'établir relativement aux lignes se con- 
çoit, à bien plus forte raison, des surfaces, des volumes, 
des vitesses, des temps, des forces, etc. , et, en général, de 
toutes les autres grandeurs susceptibles d'appréciation 
exacte, et qui, par leur nature, présentent nécessairement 
beaucoup plus d'obstacles encore à une mesure immédiate, 
il est donc inutile de s'y arrêter, et nous devons regarder 
comme suffisamment constatée l'impossibilité de détermi- 
ner, en les mesurant directement, la plupart des grandeurs 
que nous désirons connaître. C'est ce fait général qui né- 
cessite la formation de la science mathématique, comme 
nous allons le voir. Car, renonçant^ dans presque tous les 
CâSy à la mesure immédiate des grandeurs, l'esprit humain 
a dû chercher à les déterminer indirectement, et c'est ainsi 
qu'il a été conduit à la création des mathématiques. 

La méthode générale qu'on emploie constamment, la 
«euie évidemment qu'on puisse concevoir pour connaître 
des grandeurs qui ne comportent point une mesure directe, 
consiste à les rattacher à d'autres qui soient susceptibles 
d'être déterminées immédiatement, et d'après lesquelles 
on parvient à découvrir les premières, au moyen des rela- 
tions qui existent entre les unes et les autres. Tel est l'ob- 
jet précis de la science mathématique envisagée dans son 



9 4 MATIIÉMATIQUES. 

ensemble. Pour s*en faire une idée suffisamment étendue, 
il faut considérer que cette détermination indirecte des 
grandeurs peut être indirecte à des degrés fort différents. 
Dans un grand nombre de cas, qui souvent sont les plus 
importants, les grandeurs, à la détermination desquelles 
on ramène la recherche des grandeurs principales qu'on 
veut connaître, ne peuvent point elles-mêmes être meso* 
rées immédiatement, et doivent par conséquent, à leur 
tour, devenir le sujet d'une question semblable, et ainsi de 
suite; en sorte que, dans beaucoup d'occasions, l'esprit 
humain est oblige d'établir une longue suite d'intermé- 
diaires entre le système des grandeurs inconnues, qui sont 
l'objet définitif de ses recherches, et le système des gran- 
deurs susceptibles de mesure directe, d'après lesquelles 
on détermine finalement les premières, et qui ne parais- 
sent d'abord avoir avec celles-ci aucune liaison. 

Quelques exemples vont suffire pour éclaircir ce que les 
généralités précédentes pourraient présenter de trop abs- 
trait. 

Considérons, en premier lieu, un phénomène naturel 
très-simple qui puisse néanmoins donner lieu à une ques- 
tion mathématique réelle et susceptible d'applications e^ 
fectives, le phénomène de la chute verticale des corps pe* 
sants. 

En observant ce phénomène, l'esprit le plus étranger 
aux conceptions niathématiques reconnaît sur-le-champ 
que les deux quantités qu'il présente, savoir :1a hauteurd'où 
un corps est tombé, et le temps de sa chute, sont néces- 
sairement liées l'une à l'autre, puisqu'elles varient ensem- 
ble, et restent fixes simultanément; ou, suivant le langage 
des géomètres, qu'elles sont fonction l'une de l'autre. Le 
phénomène, considéré sous ce point de vue, donne donc 
lieu à une question mathématique, qui consiste à suppléer 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. 95 

à la mesure directe de l'une de ces deux grandeurs lors- 
qu'elle sera impossible, par la mesure de l'autre. C'est 
ainsi, par exemple^ qu'on pourra déterminer indirectement 
la profondeur d'un précipice, en se bornant à mesurer le 
temps qu'un corps emploierait à tomber jusqu'au fond; et, 
en procédant convenablement, cette profondeur inaccessi- 
ble sera connue avec tout autant de précision que si c'était 
ane ligne horizontale placée dans les circonstances les plus 
favorables à une mesure facile et exacte. Dans d'autres oc- 
casions^ c'est la hauteur d'où le corps est tombé qui sera 
facile h connaître, tandis que le temps de la chute ne pour- 
rait point être observé directement : alors le même phéno- 
mène donnera lieu à la question inverse, déterminer le 
temps d'après la hauteur ; comme, par exemple, si l'on vou- 
lait connaître quelle serait la durée de la chute verticale 
d'un corps tombant de la lune sur la terre. 

Dans l'exemple précédent, la question mathématique 
est fort simple, dû moins quand on n'a pas égard à 
la variation d'inlensité de la pesanteur, ni à la résistance 
do fluide que le corps traverse dans sa chute. Mais, 
pour agrandir la question, il suffira de consiilérer le 
même phénomène dans sa plus grande généralité, en 
supposant la chute oblique, et tenant compte de toutes les 
circonstmces principales. Alors, au lieu d'offrir simple- 
ment d^ux quantités variables liées entre elles par une re- 
lation facile à suivre, le phénomène en présentera un plus 
grand nombre, l'espace parcouru, soit dans le sens verti- 
cal, soit dans le sens horizontal, le temps employé à le 
parcourir, la vitesse du corps h chaque point de sa course, 
et même l'intensité et la direction de son impulsion primi- 
tive, qui pourront aussi être envisagées comme variables, 
et enfin, dans certains cas, pour tenir compte de tout, 
h résistance du milieu et l'énergie de la gravité. Toutes 



96 « MATHÉMATIQUES. 

ces diverses quantités seront liées entre elles, de telle sor — 
te que chacune à son lour pourra être déterminée indirec — 
tement d'après les autres, ce qui présentera autant de re- 
cherches mathématiques distinctes qu'il y aura de gran- 
deurs coexistantes dans le phénomène considéré. Ce chan* 
gement très-simple dans les conditions physiques d'un 
problème pourra faire, comme il arrive en effet pour 
l'exemple cité, qu'une recherche mathématique, primiti* 
Tement fort élémentaire, se place tout à coup au rang des 
questions les plus difOciles^ dont la solution complète et 
rigoureuse surpasse jusqu'à présent toutes les plus grandes 
forces de l'esprit humain. 

Prenons un second exemple dans les phénomènes géo- 
métriques. Qu'il s'agisse de déterminer une distance qui 
n'est pas susceptible de mesure directe ; on la concevra 
généralement comme faisant partie d'une figure^ ou d'un 
système quelconque de lignes, choisi de telle manière que 
tous ses autres éléments puissent être observés immédiate- 
ment; par exemple, dans le cas le plus simple et auquel 
tous les autres peuvent se réduire finalement, on considére- 
ra la distance proposée comme appartenant à un triangle, 
dans lequel on pourrait déterminer directement, soît un 
autre côté et deux angles, soit deux côtés et un seul angle. 
Dès lors, la connaissance de la distance cherchée, aa 
lieu d'être obtenue immédiatement, sera le résultat d'ao 
travail mathématique qui consistera à la déduire des élé- 
ments observés, d'après la relation qui la lie avec eux. Ce 
travail pourra devenir successivement de plus en plus corn* 
pliqué, si les éléments supposés connus ne pouvaient, à 
leur tour, comme il arrive le plus souvent, être déterminés 
que d'une manière indirecte^ à l'aide de nouveaux systèmes 
auxiliaires, dont le nombre, dans les grandes opérations 
de ce genre, finit par devenir quelquefois très-considé* 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. 97 

rable. La distance une fois déterminée, cette seule con- 
naissance sofBra fréquemment pour faire obtenir de nou- 
velles quantités, qui offriront le sujet de nouvelles questions 
matbématiques. Ainsi, quand on sait à quelle distance 
est situé un objet, la simple observation, toujours pos- 
sible, de son diamètre apparent, doit évidemment per- 
mettre de déterminer indirectement, quelque inaccessible 
qu'il puisse être, ses dimensions réelles, et, par une suite 
de recherches analogues, sa surface, son volume, son 
poids môme, et une foule d'autres propriétés, dont la con- 
naissance semblait devoir nous être nécessairement in- 
terdite. 

C'est par de tels travaux que Tbomme a pu parvenir à 
coonattre non-seulement les distances des astres à la 
terre, et par suite, entre eux, mais leur grandeur effective, 
leur véritable figure, jusqu'aux inégalités de leur surface, 
et, ce qui semble se dérober bien plus encore à nos moyens 
d'investigation, leurs masses respectives, leurs densités 
moyennes, les circonstances principales de la cbule des 
corps pesants à la surface de chacun d'eux, etc. Par la puis- 
sance des théories mathématiques, tous ces divers résul- 
tats, et bien d'autres encore relatifs aux différentes classes 
^e phénomènes naturels, n'ont exigé définitivement d'autres 
mesures immédiates que celles d'un très-petit nombre 
de lignes droites, convenablement choisies, et d'un plus 
C^nd nombre d'angles. On peut même dire^ en toute ri- 
^enr, pour indiquer d'un seul trait la portée générale de 
la science, que si l'on ne craignait pas avec raison de mui- 
^plier sans nécessité les opérations mathématiques, et si, 
X>ar cfbnséquent, on ne devait pas les réserver seulement 
pour la détermination des quantités qui ne pourraient 
nullement être mesurées directement, ou d'une manière 
hissez exacte, la connaissance de toutes les grandeurs sus- 

A. Court. Tome !• ^ 



i)8 MATHÉMATIQUES. 

ceptibles d'estimation précise que les divers ordres de phé- 
nomènes peuvent nous ofl'rir, serait finalement réductible 
à la mesure immédiate d'une ligne droite unique et d'an 
nombre d'angles convenable. 

Nous sommes donc parvenu maintenant à définir av6c 
exactitude la science mathématique, en lui assignant pooi 
but la mesure indirecte- des grandeurs, et disant qu'on s'j 
propose constamment de déterminer les grandeurs les uneà 
par les autres, d'après les* relations précises qui existent entn 
elles. Cet énoncé, au lieu de donner seulement l'idée d'un 
art^ comme le font jusqu'ici toutes les définitions or- 
dinaires, caractérise immédiatement une véritable sciencty 
et la montre sur-le-champ composée d'un immense encbal- 
nement d'opérations intellectuelles, qui pourront évidem- 
ment devenir très-compliquées, à raison de la suite d'int^ 
médiaires qu'il faudra établir entre les quantités inconnueîB 
et celles qui comportent une mesure directe, du nombre 
des variables coexistantes dans la question proposée, el 
de la nature des relations que fourniront entre toutes ces 
diverses grandeurs les phénomènes considérés. D'après 
une telle définition, l'esprit mathématique consiste à re- 
garder toujours comme liées entre elles toutes les quantités 
que peut présenter un phénomène quelconque, dans la voe 
de les déduire les unes des autres. Or, il n'y a pas évidem- 
ment de phénomène qui ne puisse donner lieu à des con- 
sidéralions de ce genre; d'où résulte l'étendue naturelle* 
ment indéfinie et môme la rigoureuse universalité logique 
de la science mathématique : nous chercherons plus loin 
à circonscrire, aussi exactement que possible, son exten- 
sion effective. ^ 

Les explications précédentes établissent clairement b 
justification du nom employé pour désigner la science que 
nous considérons. Cette dénomination, qui a pris aujour- 



ENSEMBLE DE. LA SCIENCE MATnÉMATIQUE. 99 

d'bui une acception si déterminée, signifie simplement 
par elle-même la scterur^ en général. Une telle désignation, 
rigoureusement exacte pour les Grecs, qui n'avaient pas 
d'autre science réelle, n'a pu être conservée par les mo* 
dernes que pour indiquer les mathématiques comme la 
science par excellence. £t, en effet, la déûnition à laquelle 
nous Tenons d'être conduits, si l'on en écarte la circonstance 
de la précision des déterminations, n'est autre chose que 
la définition de toute véritable science quelconque, car 
chacune *n'a-t-elle pas nécessairement pour but de déter- 
oainer des phénomènes les uns par les autres, d'après les 
relations qui existent entre eux? Toute science consiste 
dans la coordination des faits ; si les diverses observation» 
étaient entièrement isolées, il n'y auraH pas de science. 
On peut même dire généralement que la science est essen- 
tiellement destinée à dispenser, autant que le comportent 
les divers phénomènes, de toute observation directe, en 
permellanl de déduire du plus petit nombre possible de 
données immédiates ie plus grand nombre possible de 
résultats. N'est-ce point là, en eUet, l'usage réel, soit dans 
la spéculation, soit dans l'action, des lois que nous parve* 
nons à découvrir entre les phénomènes naturels ? La science 
mathématique ne fait, d'après cela, que pousser au plus 
baut degré possible, tant sous le rapport de la quantité que 
sous celui de la qualité, sur les sujets véritablement de son 
xressort, le même genre de recherches que poursuit, à des 
<iegrés plus ou moins inférieurs, chaque science réelle dans 
Ha sphère respective. 

C'est donc par l'étude des mathématiques, et seulement 
par elle, que l'on peut se faire une idée juste et approfon- 
<lie de ce que c'est qu'une science. C'est là uniquement 
«ju'OD doit chercher à connaître avec précision la mé- 
thode générale que l'esprit humain emploie constamment 



100 MATUÉMATIQUES* 

dans toutes ses recherches positives^ parce que nulle part 
ailleurs les questions ne sont résolues d'une manière aussi 
complète, et les déductions prolongées aussi loin avec une 
sévérité rigoureuse. C'est là également que notre entende- 
ment a donné les plus grandes preuves de sa force, parce 
que les idées qu'il y considère sont du plus haut degré 
d'abstraction possible dans Tordre positif. Toute éducation 
scientifique qui ne commence point par une telle étude 
pèche donc nécessairement par sa base. 

Nous avons jusqu'ici envisagé la science mathématique 
seulement dans son ensemble total, sans avoir aucun égard 
à ses divisions. Nous devons maintenant, pour compléter 
cette vue générale et nous former une juste idée du carac- 
tère philosophique de la science, considérer sa division 
fondamentale. Les divisions secondaires seront examinées 
dans les leçons suivantes. 

Cette division principale ne saurait être vraiment ration- 
nelle, et dériver de la nature môme du sujet, qu'autant 
qu'elle se présentera spontanément, en faisant l'analyse 
exacte d'une question mathématique complète. Ainsi, après 
avoir déterminé ci-dessus quel est l'objet général des tra- 
vaux mathématiques, caractérisons maintenant avec préci- 
sion les divers ordres principaux de recherches dont ils se 
composent constamment. 

La solution complète de toute question maihématique 
se décompose nécessairement en deux parties d'une na- 
ture essentiellement distincte, et dont la relation est inva- 
riablement déterminée. En effet, nous avons vu que toute 
recherche mathématique a pour objet de déterminer des 
grandeurs inconnues, d'après les relations qui existent 
entre elles et des grandeurs connues. Or il faut évidem- 
ment d'abord, à celte fin, parvenir à connaître avec préci- 
sion les relations existantes entre les quantités que Ton 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. 101 

considère. Ce premier ordre de recherches constitue ce 
que j'appelle la partie concrète de la solution. Quand elle 
est terminée, la question change de nature ; elle se réduit 
à une pure question de nombres, consistant simplement 
désormais à déterminer des nombres inconnus, lorsqu'on 
sait quelles relations précises les lient à des nombres con- 
nus. C'est dans ce second ordre de recherches que consiste 
ce que je nomme la partie abstraite de la solution. De là 
résulte la division fondamentale de la science mathéma- 
tique générale en deux grandes sciences, la mathématique 
abstraite et la mathématique concrète. 

Cette analyse peut être observée dans toute question 
mathématique complète, quelque simple ou quelque com- 
pliquée qu'elle soit. li suffira, pour la faire bien compren- 
dre, d'en indiquer un seul exemple. 

Reprenant le phénomène déjà cité de la chute verticale 
d'un corps pesant, et considérant le cas le plus simple, on 
voit que, pour parvenir à déterminer l'une par l'autre la 
hauteur d'où le corps est tombé et la durée de sa chute, il 
faut commencer par découvrir la relation exacte de ces 
deux quantités, ou, suivant le langage des géomètres, 
Véquatùm qui existe entre elles. Avant que cette première 
recherche soit terminée, toute tentative pour déterminer 
numériquement la valeur de l'une de ces deux grandeurs 
par celle de l'autre serait évidemment prématurée, car elle 
n'aurait aucune base. Il ne suffit pas de savoir vaguement 
qu'elles dépendent l'une de l'autre, ce que tout le monde 
aperçoit sur-le-champ, mais il faut déterminer en quoi 
consiste cette dépendance ; ce qui peut être fort difficile, 
et constitue, en efi'et, dans le cas actuel, la partie incompa- 
rablement supérieure du problème. Le véritable esprit 
scientifique est si moderne et encore tellement rare, que 
personne peut-être avant Galilée n'avait seulement remar- 



lot MATHÉMATIQUES. 

que l'accroissement de vitesse qu'éprouve un corps dans sa 
chute, ce qui exclut l'hypothèse vers laquelle notre intel- 
ligence, toujours portée involontairement à supposer dans 
chaque phénomène les fonctions les plus simples, sans au- 
cun autre motif que sa plus grande facilité à les concevoir, 
serait naturellement entraînée, la hauteur proportionnelle 
au temps. En un mot, ce premier travail aboutit à la décou- 
verte de la loi de Galilée. Quand celte partie concrète est 
terminée, la recherche devient d'une tout autre nature. 
Sachant que les espaces parcourus par le corps dans cha- 
que seconde successive de sa chute croissent comme la 
suite des nombres impairs, c'est alors une question pure- 
ment numérique et abstraite que d'en déduire ou la hau- 
teur d'après le temps, ou le temps par la hauteur, ce qui 
consistera à trouver que, d'après la loi établie, la première 
de ces deux quantités est un multiple connu de la seconde 
puissance de l'autre, d'où Ton devra Gnalement conclure 
la valeur de l'une quand celle de l'autre sera donnée. 

Dans cet exemple, la question concrète est plus difficile 
que la question abstraite. Ce serait Tinverse, si l'on coLsi- 
dérait le même phénomène dans sa plus grande généralité, 
tel que je l'ai envisagé plus haut pour un autre motif. Sui- 
vant les cas, ce sera tantôt la première, tantôt la seconde 
de ces deux parties qui constituera la principale difficulté 
de la question totale; la loi mathématique du phénomène 
pouvant être très-simple, mais difficile à obtenir, et, dans 
d'autres occasions, facile à découvrir, mais fort compli- 
quée : en sorte que les deux grandes sections de la science 
mathématique, quand on les compare en masse, doivent 
être regardées comme exactement équivalentes en étendue 
et en difficulté^ aussi bien qu'en importance, ainsi que 
nous le constaterons plus tard en considérant chacune 
d'elles séparément. 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. 108 

Ces deux parties, essentiellement distinctes, d'après l'ex- 
plicatioQ précédente^ par l'objet que Tesprit s'y propose, 
^e le sont pas moins par la nature des recherches dont elles 
^e composent. 

La première doit porter le nom de concrète^ car elle dé- 
pend évidemment du genre des phénomènes considérés, 
et doit varier nécessairement lorsqu'on envisagera de nou- 
veaux phénomènes; tandis que la seconde est complète- 
ment iodépendante de la nature des objets examinés, et 
porte seulement sur les relations numériques qu'ils pré- 
sentent, ce qui doit la faire appeler abstraite. Les mômes 
relations peuvent exister dans un grand nombre de phéno- 
mènes différents, qui, malgré leur extrême diversité, 
seront envisagés par le géomètre comme offrant une ques- 
tion analytique, susceptible, en l'étudiant isolément, d'être 
résolue une fois pour toutes. Ainsi, par exemple, la 
même loi qui règne entre l'espace et le temps, quand on 
examine la chute verticale d'un corps dans le vide, 
se retrouve pour d'autres phénomènes qui n'offrent au- 
cune analogie avec le premier ni entre eux : car elle 
exprime aussi la relation entre l'aire d'un corps sphérique 
et la longueur de son diamètre; elle détermine également 
le jdécroissement de l'intensité de la lumière ou de la cha- 
leur à raison de la distance des objets éclairés ou échauf- 
fés, etc. La partie abstraite, commune à ces diverses ques- 
tions mathématiques, ayant été traitée à l'occasion d'une 
seule d'entre elles, se trouvera l'être, par cela même, pour 
toutes les autres; tandis que la partie concrète devra né- 
cessairement être reprise pour chacune séparément, saus 
€|ue la solution de quelques-unes puisse fournir, sous ce 
rapport, aucun secours direct pour celle des suivantes. Il 
est impossible d'établir de véritables méthodes générales 
qui, par une marche déterminée et invariable, assurent. 



104 MATH£MATIQU£S. 

dans tous les cas, la découverte des relations existantes 
entre les quantités, relativement à des phénomènes quel- 
conques : ce sujet ne comporte nécessairement que des 
méthodes spéciales pour telle ou telle classe de phéno- 
mènes géométriques, ou mécaniques, ou thermologi- 
ques, etc. On peut, au contraire, de quelque source que 
proviennent les quantités considérées, établir des méthodes 
uniformes pour les déduire les unes des autres, en suppo* 
sant connues leurs relations exactes. La partie abstraite des 
mathématiques est donc, de sa nature, générale; la partie 
concrète, spéciale. 

En présentant cette comparaison sous un nouveau point 
de vue, on peut dire que la mathématique concrète a un 
caractère philosophique essentiellement expérimental, 
physique, phénoménal; tandis que celui de la mathéma- 
tique abstraite est purement logique, rationnel. Ce n'est 
pas ici le lieu de discuter exactement les procédés qu'em- 
ploie l'esprit humain pour découvrir les lois mathémati- 
ques des phénomènes. Mais, soit que l'observation précise 
suggère elle-même la loi, soit, comme il arrive plus sou- 
vent, qu'elle ne fasse que confirmer la loi construite par le 
raisonnement d'après les faits les plus communs; toujours 
est-il certain que cette loi n'est envisagée comme réelle 
qu'autant qu'elle se montre d'accord avec les résultats de 
l'expérience directe. Ainsi, la partie concrète de toute 
question mathématique est nécessairement fondée sur la 
considération du monde extérieur, et ne saurait jamais, 
quelle qu'y puisse être la part du raisonnement, se résou- 
dre par une simple suite de combinaisons intellectuelles^ 
La partie abstraite, au contraire, quand elle a été d'abord 
bien exactement séparée, ne peut consister que dans une 
série de déductions rationnelles plus ou moins prolongée. 
€ar, si l'on a une fois trouvé les équations d'un phénomène, 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. 105 

\à détermination des unes par les autres des quantités qu'on 
y considère, quelques difficultés d'ailleurs qu'elles puis- 
sent souvent offrir^ est uniquement du ressort du raisonne- 
ment. C'est à rintelligence qu'il appartient de déduire, de 
ces équations, des résultats qui y sont évidemment com- 
pris, quoique d'une manière peut-être fort implicite, sans 
qu'il y ait lieu à consulter de nouveau le monde extérieur, 
dont la considération^ devenue dès lors étrangère, doit 
même être soigneusement écartée pour réduire le travail à 
sa Térilable difficulté propre. 

On voit, par cette comparaison générale, dont je dois 
me borner ici à indiquer les traits principaux, combien 
est naturelle et profonde la division fondamentale établie 
ci-dessus dans la science mathématique. 

Pour terminer l'exposition générale de cette division, 
il ne nous reste plus qu'à circonscrire, aussi exactement 
que nous puissions le faire dans ce premier aperçu, cha- 
cune des deux grandes sections de la science mathéma- 
tique. 

La mathématique concrète, ayant pour objet de découvrir 
les équations des phénomènes, semblerait, â priori, devoir 
se composer d'autant de sciences distinctes qu'il y a de 
catégories réellement différentes pour nous parmi les phé- 
nomènes naturels. Mais il s'en faut de beaucoup qu'on soit 
encore parvenu à découvrir des lois mathématiques dans 
tous les ordres de phénomènes ; nous verrons môme tout à 
l'heure que, sous ce rapport, la majeure partie se dérobera 
lrès*vraisemblabiement toujours à nos efforts. En réalité, 
dans l'état présent de l'esprit humain, il n'y a directement 
qae deux grandes catégories générales de phénomènes 
dont oo connaisse constamment les équations; ce sont 
d'aboi^ les phénomènes géométriques^ et ensuite les phé- 
nomènes mécaniques. Ainsi, la partie concrète des mathé- 



106 MATHÉMATIQUES. 

matiques se compose donc de la géomélrie et de la méca- 
nique ralionnelle. 

Cela sufût, il est vrai, pour lui donner un caractère coai- 
plet d'universalité logique, quand on considère l'ensemble 
des phénomènes du point de vue le plus élevé de la philo- 
sophie naturelle. En effet, si toutes les parties deTunivers 
étaient conçues comme immobiles, il n'y aurait évidem- 
ment à observer que les phénomènes géométriques^ puis- 
que tout se réduirait à des relations de forme, de grandeur 
et de situation; ayant ensuite égard aux mouvements qui 
s'y exécutent, il y a lieu à considérer de plus des phéno- 
mènes mécaniques. En appliquant ici^ après l'avoir suffi- 
samment généralisée, une conception philosophique due 
A de Biainville, et déjà citée pour un autre usage dans la 
leçon, on peut donc établir que, vu sous le rapport sta- 
tique, l'univers ne présente que des phénomènes géomé- 
triques ; et, sous le rapport dynamique, que des phéno- 
mènes mécaniques. Ainsi la géométrie et la mécanique 
constituent, par elles-mêmes, les deux sciences naturelles 
fondamentales, en ce sens, que tous les effets naturels 
peuvent être conçus comme de simples résultats néces- 
saires^ ou des lois de l'étendue^ ou des lois du mouve- 
ment. 

Mais, quoique cette conception soit toujours logiquement 
possible, la difOculté est de la spécialiser avec la précision 
nécessaire, et de la suivre exactement dans chacun des cas 
généraux que nous offre l'élude de la nature, c'est-à-dire 
de réduire effectivement chaque question principale de 
philosophie naturelle, pour tel ordre de phénomènes déter- 
miné, à la question de géométrie ou de mécanique, à la- 
quelle on pourrait rationnellement la supposer ramenée. 
Cette transformation, qui exige préalablement de ^çrands 
progrès dans l'étude de chaque classe de phénomènes, n'a 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATUÉMATIQUE. 107 

éléréellement exécutée jusqu'ici que pour les phénomènes 
astronomiques, et pour une partie de ceux que considère 
la physique terrestre proprement dite. C'est ainsi que l'as- 
tronomie, l'acoustique, l'optique, etc., sont devenues Ona* 
leinent des applications de la science mathématique à de 
certains ordres (d'observations (1). Mais, ces applications 
D'étant point, par leur nature, rigoureusement circons- 
crites, ce serait assigner à la science un domaine indélini 
et entièrement vague, que de les confondre avec elle, 
tomme on le fait dans la division ordinaire, si vicieuse à 
tant d'autres égards, des mathématiques en pures et appli- 
quées. Nous persisterons donc à regarder la mathématique 
concrète comme uniquement composée de la géométrie et 
de la mécanique. 

Quant à la mathématique abstraite^ dont j'examinerai la 
division générale dans la leçon suivante^ sa nature est net- 
Ci) Je dois faire ici, par aoticipation, une mentiou sommaire de la ther- 
nologie, à laquelle je consacrerai plus tard une leçon spéciale. La théorie 
mathématique des phénomènes de la chaleur a pris, par les mémorables 
travaux de son illustre fondsteur.un tel caractère, qu'on peut aujourd'hui 
la concevoir, après la géométrie et la mécanique, comme une véritable troi- 
sième section distincte de la mathématique concrète, puisque M. Fourier 
a établi, d'une manièie entièrement direcic, les équations thcrmologiques, 
ao lieu de se représenter hypothétiquement les questions comme des appli- 
«ttions de la mécanique, ainsi qu'on a tenté de le faire pour les pliéno- 
mènes électriques, par exemple. Cette grande dtfcouverte, qui, comme 
tontes celles qui se rapportent \ la méthode, n'est pas encore convenable- 
ment appréciée, mérite singulièrement notre attention : car, outre son 
importance immédiate pour l'étude vraiment rationnelle et positive d*un 
ordre de phénomènes aussi universel et aussi fondamental, elle tiMid à 
relever nos espérances philosophiques, quanta l'extension future des appli- 
cationt légitimes de l'analyse mathématique, ainsi que Je Texpliquerai 
daoa le second volume de ce cours, en examinant le caractère général de 
cette nouvelle série de travaux. Je n'aurais pas hésité dès à présent à traiter 
Uthermologie, ainsi conçue, comme une troisième branche principale de 
U mathématjqne concrète, si Je n'avais craint de diminuer l'utilité de cet 
Mfrage en m'écartant trop des habitudes ordinaires. 



108 MATHÉMATIQUES. 

tement et exactement déterminée. Elle se compose de ce 
qu'on appelle le calcul, en prenant ce mot dans sa plus 
grande extension, qui embrasse depuis les opérations nu» 
mériques les plus simples Jusqu'aux plus sublimes combi- 
naisons de l'analyse transcendante. Le calcul a pour objet 
propre de résoudre toutes les questions de nombres. Son 
point de départ est, constamment et nécessairement^ la 
connaissance de relations précises, c'est-à-dire adéquations^ 
entre les diverses grandeurs que l'on considère simultané- 
ment, ce qui est, au contraire, le terme de la mathémati- 
que concrète. Quelque compliquées ou quelque indirecte3 
que puissent être d'ailleurs ces relations, le but final de la 
science du calcul est d'en déduire toujours les valeurs des 
quantités inconnues par celles des quantités connues. Cette 
science, bien que plus perfectionnée qu'aucune autre, est, 
sans doute, réellement peu avancée encore, en sorte que 
ce but est rarement atteint d'une manière complètement 
satisfaisante. Mais tel n'en est pas moins son vrai caractère. 
Four concevoir nettement la véritable nature d'une science, 
il faut toujours la supposer parfaite. 

Afin de résumer le plus philosophiquement possible les 
considérations ci-dessus exposées sur la division fonda- 
mentale des mathématiques, il importe de remarquer 
qu'elle n'est qu'une application du principe général de 
classification qui nous a permis d'établir, dans la leçon 
précédente, la hiérarchie rationnelle des différentes sciences 
positives. 

Si l'on compare, en effet, d'une partie calcul, et d'une 
Riitre part la géométrie et la mécanique, on vérifie, relati- 
vement aux idées considérées dans chacune de ces deux 
sections principales de la mathématique, tous les carac- 
tères essenliels de notre méthode encyclopédique. Le» 
idées analytiques sont évidemment à la fois plus abstraites. 




ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATUÉMATTQUE. 109 

plus générales et plus simples que les idées géoméiriques 
ou mécaniques. Bien que les conceptions principales de 
l'analyse mathématique^ envisagées historiquement, se 
soient formées sous l'influence des considérations de géo- 
métrie ou de mécanique, au perfectionnement desquelles 
les progrès du calcul sont étroitement liés, l'analyse n'en 
estpas moins, sous le point de vue logique, essentielle- 
ment indépendante de la géométrie et de la mécanique, 
lâodis que celles-ci sont, au contraire, nécessairement 
fondées sar la première. 

L'analyse mathématique est donc, d'après les principes 
qae nous avons constamment suivis jusqu'ici, la véritable 
base rationnelle du système entier de nos connaissances po- 
sitives. Elle constitue la première et la plus parfaite de 
toutes les sciences fondamentales. Les idées dont elle s'oc- 
cupe sont les plus universelles, les plus abstraites et les 
plus simples que nous puissions réellement concevoir. On 
ne saurait tenter d'aller plus loin, sous ces trois rapports 
équivalents, sans tomber inévitablement dans les rêveries 
métaphysiques. Car quel substraium effectif pourrait-il 
rester dans l'esprit pour servir de sujet positif au raisonne- 
ment, si on voulait supprimer encore quelque circonstance 
dans les notions des quantités indéterminées, constantes ou 
variables, tels que les géomètres les emploient aujourd'hui, 
afin de s'élever à un prétendu degré supérieur d'abstrac- 
tion, comme le croient les ontologisles? 

Cette nature propre de Tanalyse mathématique permet 
de s'expliquer aisément pourquoi, lorsqu'elle est convena- 
blement employée, elle nous offre un si puissant moyen, 
non-seulement pour donner plus de précision à nos con- 
naissances réelles, ce qui est évident de soi-même, mais 
surtout pour établir une coordination infiniment plus par- 
faite dans l'étude des phénomènes qui comportent cette 



110 MATHÉMATIQUES. 

application. Car, les conceptions ayant été généralisées et 
siaipliûées le plus possible, à tel point qu'une seule question 
analytique, résolue abstraitement, renferme la solution im- 
plicite d'une foule de questions physiques diverses, il doit 
nécessairement en résulter pour l'esprit humain une plus 
grande facilité à apercevoir des relations entre des phéno- 
mènes qui semblaient d'abord entièrement isolés les uns 
des autres, et desquels on est ainsi parvenu à tirer, pour 
le considérer à part, tout ce qu'ils ont de commun. C'est 
ainsi qu'en examinant la marche de notre intelligence dans 
la solution des questions importantes de géométrie et de 
mécanique, nous voyons surgir naturellement, par Tinter^ 
médiaire de l'analyse, les rapprochements les plus fré« 
quents et les plus inattendus entre des problèmes qui n'of- 
fraient primitivement aucune liaison apparente, et que 
nous finissons souvent par envisager comme identiques* 
Pourrions-nous, par exemple, sans le secours de l'analyse, 
apercevoir la moindre analogie entre la détermination de 
la direction d'une courbe à chacun de ses points, et celle 
de la vitesse acquise par un corps à chaque instant de son 
mouvement varié, questions qui, quelque diverses qu'elles 
soient, n'en font qu'une aux yeux du géomètre? 

La haute perfection relative de l'analyse mathématique, 
comparée à toutes les autres branches de nos connais- 
sances positives, se conçoit avec la même facilité, quand 
on a bien saisi son vrai caractère général. Cette perfection 
ne tient pas, comme l'ont cru les métaphysiciens, et sur- 
tout Condillac, d'après un examen superficiel, h la Uiiture 
des signes éminemment concis et généraux qu'on emploie 
comme instruments de raisonnement. Dans cette impor- 
tante occasion spéciale, comme dans toutes les autres, Tin* 
fluence des signes a été considérablement exagérée, bien 
qu'elle soit, sans doute, très-réelle, ainsi que l'avaient 



S.^SEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. Ht 

reconnu, avant Condillac, et d'une nnaniére bien plus 
exacte, la plupart des géomôlres. En rénlité, toutes les 
grandes conceptions analytiques ont été formées sans que 
^es signes algébriques fussent d'aucun secours essentiel, 
anlrement que pour les exploiter après que l'esprit les avait 
obtenues. La perfection supérieure de la science du calcul 
tient principalement à l'extrême simplicité des idées qu'elle 
considère, par quelques signes qu'elles soient exprimées : 
en sorte qu'il n'y a pas le moindre espoir, à l'aide d'aucun 
artifice quelconque du langage scientifique, môme en le 
supposant possible, de perfectionner, au môme degré, des 
théories qui, portant sur des notions plus complexes, sont 
nécessairement condamnées, par leur nature, à une infé- 
riorité logique plus ou moins grande suivant la classe cor* 
respondante de phénomènes. 

L'examen que nous avons tenté de faire, dans cette 
leçon, du caractère philosophique de la science mathéma- 
tique, resterait incomplet, si, après l'avoir envisagée dans 
800 objet et dans sa composition, nous n'indiquions pas 
quelques considérations générales directement relatives à 
rétendue réelle de son domaine. 

A cet effet, il est indispensable de reconnaître avant 
tout, pour se faire une juste idée de la véritable nature des 
mathématiques, que, sous le point de vue purement lo- 
gique, cette science est, par elle-môme, nécessairement 
et rigoureusement univerbelle. Car il n'y a pas de question 
quelconque qui ne puisse finalement être conçue comme 
consistant à déterminer des quantités les unes par les autres 
d'après certaines relations, et, par conséquent, comme 
réductible, en dernière analyse, à une simple question de 
nombres. On le comprendra si l'on remarque effective- 
ment que, dans toutes nos recherches, à quelque ordre de 
phénomènes qu'elles se rapportent, nous avons définitive - 



112 MATHÉMATIQUES. 

ment en vue d'arriver à des nombres, à des doses. Quoique 
nous n'y parvenions le plus souvent que d'une manière fort 
grossière et d'après des méthodes (rès-incertaines, il n'en 
est pas moins évident que tel est le terme réel de tous nos 
problèmes quelconques. Ainsi, pour prendre un exemple 
dans la classe de phénomènes la moins accessible à l'esprit 
mathématique, les phénomènes des corps vivants, consi- 
dérés même, pour plus de complication, dans le cas patho- 
logique, n'est-il pas manifeste que toutes les questions de 
thérapeutique peuvent être envisagées comme consistant à 
déterminer les quantités de tous les divers modificateurs 
de Torganisme qui doivent agir sur lui pour le ramener à 
l'état normal, en admettant, suivant l'usage des géomètres, 
les valeurs nulles, négatives, ou même contradictoires, 
pour quelques-unes de ces quantités dans certains cas? 
Sans doute, une telle manière de se représenter la question 
ne peut être en effet réellement suivie, comme nous allons 
le voir, pour les phénomènes les plus complexes, parce 
qu'elle nous présente dans l'application des difficultés 
insurmontables; mais, quand il s'agit de concevoir abstrai- 
tement toute la portée intellectuelle d'une science, il im- 
porte de lui supposer l'extension totale dont elle est logi- 
quement susceptible. 

On objecterait vainement contre une telle conception la 
division générale des idées humaines selon les deux caté- 
gories de Rant, de la quantité et de la qualité, dont la 
première seule constituerait le domaine exclusif de la 
science mathématique. Le développement môme de cette 
science a montré positivement depuis longtemps le peu de 
réalité de cette superficielle distinction métaphysique. Car 
la conception fondamentale de Descartes sur la relation du 
concret à l'abstrait, en mathématiques, a prouvé que toutes 
les idées de qualité étaient réductibles à des idées de quan- 




ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. H 8 

tité. Cette conception, établie d'abord, par son immortel 
auteur, pour les phénomènes géométriques seulement, a 
été ensuite effectivement étendue par ses successeurs aux 
phénomènes mécaniques; et elle vient de l'être de nos 
jours aux phénomènes thermologiques. En résultat de cette 
généralisation graduelle, il n'y a pas maintenant de géomè- 
tres qui ne la considèrent, dans un sens purement théo- 
rique, comme pouvant s'appliquer à toutes nos idées 
réelles quelconques, en sorte que tout phénomène soit 
l(^quement susceptible d'être représenté par une équation, 
aussi bien qu'une courbe ou un mouvement, sauf la diffi- 
culté de la trouver, et celle de la résoudre, qui peuvent être 
€t sont souvent supérieures aux plus grandes forces de 
l'esprit humain. 

Mais si, pour se former une idée convenable de la science 
mathématique, il importe de la concevoir comme étant né- 
cessairement douée par sa nature d'une rigoureuse univer- 
salité logique, il n'est pas moins indispensable de considé- 
rer maintenant les grandes limitations réelles qui, vu la 
faiblesse de notre intelligence, rétrécissent singulièrement 
son domaine effectif, à mesure que les phénomènes se 
compliquent en se spécialisant. 

Toute question peut sans doute, ainsi que nous venons 
de le voir, être conçue comme réductible à une pure ques- 
tion de nombres. Mais la difficulté de la traiter réellement 
sous ce point de vue, c'est-à-dire d'effectuer une telle 
transformation, est d'autant plus grande, dans les diverses 
parties essentielles de la philosophie naturelle, que Ton 
considère des phénomènes plus compliqués, en sorte que, 
sauf pour les phénomènes les plus simples et les plus gé- 
néraux, elle devient bientôt insurmontable. 

On le sentira aisément, si Ton considère que, pour faire 
rentrer une question dans le domaine de l'analyse malbc- 

A. CoMTP.. Tome I. 8 



1 1 4 MATHÉMATIQUES. 

malique, il faut d'abord être parvenu à découvrir des rela- 
tions précises enlre les quantités coexistantes dans le phé- 
nomène étudié, rétablissement de ces équations des phé- 
nomènes étant le point de départ nécessaire de tous les 
travaux analytiques. Or, cela doit être évidemment d'autant 
plus difficile, qu'il s'agit de phénomènes plus particuliers, 
et par suite plus compliqués. En examinant sous ce point 
de vue les diverses catégories fondamentales des phéno- 
mènes naturels établis dans la leçon précédente, on trou- 
vera que, tout bien considéré, c'est seulement au plus pour 
les trois premières, comprenant toute la physique inorga- 
nique, qu'on peut légitimement espérer d'atteindre un jour 
ce haut degré de perfection scientifique, autant du moins 
qu'une telle limite peut être posée avec précision. Comme 
je dois plus tard traiter spécialement cette discussion par 
rapport à chaque science fondamentale, il suffira de l'in- 
diquer ici de la manière la plus générale. 

La première condition pour que des phénomènes com- 
portent des lois mathématiques susceptibles d'être décou- 
vertes, c'est évidemment que les diverses quantités qu'ils 
présentent puissent donner lieu à des nombres fixes. Or, 
en comparant, à cet égard, les deux grandes sections prin- 
cipales de la philosophie naturelle, on voit que Idiphysique 
organique tout entière, et probablement aussi les parties les 
plus compliquées de la physique inorganique, sont nécessai- 
rement inaccessibles, par leur nature, à notre analyse ma- 
thématique, en vertu de l'extrême variabilité numérique 
des phénomènes correspondants. Toute idée précise de 
nombres fixes est véritablement déplacée dans les phéno- 
mènes des corps vivants, quand on veut l'employer autre- 
ment que comme moyen de soulager l'attention, et qu'on 
attache quelque importance aux relayons exactes des va- 
leurs assignées. Sous ce rapport, les réflexions de Bichat, 




ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. 115 

sur i'abus de l'esprit mathématique en physiologie, sont 
parfaitement justes ; on sait à quelles aberrations a conduit 
cette manière vicieuse de considérer les corps vivants. 

Les différentes propriétés des corps bruts, surtout les 
plus générales, se présentent dans chacun d'eux avec des 
degrés presque invariables, ou du moins elles n'éprouvent 
que des variations simples, séparées par de longs inter- 
valles d'uniformité, et qu'il est possible, en conséquence, 
d^assujettir à des lois précises et régulières. Ainsi, les qua- 
lités physiques d'un corps inorganique, principalement 
quand il est solide^ sa forme, sa consistance, sa pesanteur 
spécifique, son élasticité, etc., présentent, pour un temps 
considérable, une fixité numérique remarquable, qui per- 
met de les considérer réellement et utilement sous un 
point de vue mathématique. Cm sait qu'il n'en est déjà plus 
ainsi à beaucoup près pour les phénomènes chimiques que 
présentent les mêmes corps, et qui, plus compliqués, dé- 
pendant d'un bien plus grand nombre de circonstances, 
présentent des variations plus étendues, plus fréquentes, 
et par suite plus irrégulières. Aussi, d'après quelques con- 
sidérations déjà indiquées dans la première leçon et qui 
seront spécialement développées dans. le troisième volume 
de ce cours, on ne peut pas seulement assurer aujourd'hui, 
d'une manière générale, qu'il y ait lieu à concevoir des 
nombres fixes en chimie, môme sous le rapport le plus 
simple, quant aux proportions relatives des corps dans 
leurs combinaisons, ce qui montre clairement combien un 
tel ordre de phénomènes est encore loin de comporter de 
véritables lois mathématiques. Admettons-en néanmoins, 
pour ce cas, la possibilité et môme la probabilité Futures, 
afin de ne pas rendre trop minutieuse la discussion de la 
limite générale qu'il s'agit d'établir ici par rapport à l'ex- 
tension, effectivement possible, du domaine réel de l'ana- 



116 MATHÉMATIQUES. 

lyse mathématique. Il n'y aura plus le moindre doute aus- 
sitôt que nous passerons aux phénomènes que présentent 
les corps, considérés dans cet état d'agitation intestine con- 
tinuelle de leurs molécules, qui constitue essentiellement 
ce que nous nommons la vie, envisagée de la manière la 
plus générale, dans Tensemble des ôtres qui nous la mani- 
Testent. En eCTet, un caractère éminemment propre aux 
phénomènes physiologiques, et que leur étude plus exacte 
rend maintenant plus sensible de jour en jour, c'est Tex- 
trôme instabilité numérique qu'ils présentent, sous quel- 
que aspect qu'on les examine, et que nous verrons plus 
tard, quand l'ordre naturel des matières nous y conduira, 
ôtre une conséquence nécessaire de la déûnition môme 
des corps vivants. Quant à présent, il suffit de noter cette 
observation incontestable, vérifiée par tous les faits, que 
chaque propriété quelconque d'un corps organisé, soit 
géométrique, soit mécanique, soit chimique, soit vitale, est 
assujettie, dans sa quantité, à d'immenses variations numé- 
riques tout à fait irrégulières, qui se succèdent aux inter- 
valles les plus rapprochés sous l'influence d'une foule de 
circonstances, tant extérieures qu'intérieures, variables 
elles-mêmes; en sorte que toute idée de nombres fixes, et, 
par suite, de lois mathématiques que nous puissions espé- 
rer d'obtenir, implique réellement contradiction avec la 
nature spéciale de cette classe de phénomènes. Ainsi, 
quand on veut évaluer avec précision, môme uniquement 
les qualités les plus simples d'un ôtre vivant, par exemple 
sa densité moyenne, ou celle de l'une de ses principales 
parties constituantes, sa température, la vitesse de sa cir- 
culation intérieure, la proportion des éléments immédiats 
qui composent ses solides ou ses fluides, la quantité d'oxy- 
gène qu'il consomme en un. temps donné, la masse de ses 
absorptions ou de ses exhalations continuelles, etc., et, à 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. 117 

plus forte raison, Ténergie de ses forces musculaires, l'iu- 
tensilé de ses impressions, etc., il ne faut pas seulement, 
ce qui est évident, faire, pour chacun de ses résultats, au- 
tant d'observations qu'il y a d'espèces ou de races et de va- 
riétés dans chaque espèce; on doit encore mesurer le 
changement très-considérable qu'éprouve cette quantité 
en passant d'un individu à un autre, et quant au môme 
individu, suivant son âge, son état de santé ou de maladie, 
sa disposition intérieure, les circonstances de tout genre 
incessamment mobiles sous l'influence desquelles il se 
trouve placé, telles que la constitution atmosphérique, etc. 
Que peuvent donc signifier ces prétendues évaluations nu- 
mériques si soigneusement enregistrées pour les divers 
phénomènes physiologiques ou même pathologiques, et 
déduites, dans le cas le plus favorable, d'une seule mesure 
réelle, -lorsqu'il en faudrait une multitude? Elles ne peu- 
vent qu'induire en erreur sur la vraie marche des phéno- 
mènes, et ne doivent être appliquées rationnellement que 
comme un moyen, pour ainsi dire mnémonique, de fixer 
les idées. Dans tous les cas, il y a évidemment impossibi- 
lité totale d'obtenir jamais de véritables lois mathémati- 
ques. 11 en est encore plus fortement de môme pour les 
phénomènes sociaux, qui offrent une complication encore 
supérieure, et, par suite, une variabilité plus grande, 
comme nous l'établirons spécialement dans le quatrième 
volume de ce cours. 

Ce n'est pas néanmoins qu'on doive cesser, d'après cela, 
de concevoir, en thèse philosophique générale, les phéno- 
mènes de tous les ordres comme nécessairement soumis 
par eux-mêmes à des lois mathématiques, que nous sommes 
seulement condamnés à ignorer toujours dans la plupart 
des cas, à cause de la trop grande complication des phéno- 
mènes. Il n'y a, en effet, aucune raison de penser que, sous 



118 MATHÉMATIQUES. 

ce rapport, les phénomènes les plus complexes des corps 
vivants soient essentiellement d'une autre nature spéciale 
que les phénomènes les plus simples des corps bruts. Car, 
s'il était possible d'isoler rigoureusement chacune des 
causes simples qui concourent à produire un même phé- 
nomène physiologique, tout porte à croire qu'elle se mon- 
trerait douée, dans des circonstances déterminées, d'un 
genre d'influence et d'une quantité d'action aussi exacte- 
ment fixes que nous le voyons dans la gravitation univer- 
selle, véritable type des lois fondamentales de la nature. 
Ce qui engendre la variabilité irrégulière des effets, c'est 
le grand nombre d'agents divers déterminant à la fois un 
môme phénomène et d'où il résulte que, dans les phéno- 
mènes très-compliqués, il n'y a peut-être pas deux cas ri- 
goureusement semblables. Nous n'avons pas besoin, pour 
trouver une telle difficulté, d'aller jusqu'aux phénomènes 
des corps vivants. Elle se présente déjà dans ceux des 
corps bruts, quand nous considérons les cas les plus com- 
plexes ; par exemple, en étudiant les phénomènes météo- 
rologiques. On ne peut douter que chacun des nombreux 
agents qui concourent à la production de ces phénomènes 
ne soit soumis séparément à des lois mathématiques, 
quoique nous ignorions encore la plupart d'entre elles ; 
mais leur multiplicité rend les effets observés aussi irré- 
gulièrement variables que si chaque cause n'était assujettie 
à aucune condition précise. 

La considération précédente conduit à apercevoir un 
second motif distinct en vertu duquel il nous est nécessai- 
rement interdit, vu la faiblesse de notre intelligence, de 
faire rentrer l'élude des phénomènes les plus compliqués 
dans le domaine des applications de l'analyse mathéma- 
tique. En effet, indépendamment de ce que, dans les phé- 
nomènes les plus spéciaux, les résultats effectifs sont telle- 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. 119 

'^^ot variables que nous ne pouvons pas môme y saisir des 
^^Jean fixes, il suit de la complication des cas, que, quand 
'^^aie nous poumons connaître un jour la loi mathé- 
'^atique à laquelle est soumis chaque agent pris à part, la 
Combinaison d'un aussi grand nombre de conditions ran- 
cirait le problème mathématique correspondant tellement 
Supérieur à nos faibles moyens, que la question resterait le 
I>Ias souvent insoluble. Ce n'est donc pas ainsi qu'on peut 
f&ire une étude réelle et féconde de la majeure partie des 
phénomènes naturels. 

Pour apprécier aussi exactement que possible cette dif- 
ficulté, considérons à quel point se compliquent les ques- 
tions mathématiques, môme relativement aux phénomènes 
les plus simples des corps bruts, quand on veut rappro- 
cher suffisamment l'état abstrait de l'état concret, en ayant 
égard à toutes les conditions principales qui peuvent exer- 
cer sur l'effet produit une influence véritable. On sait, par 
exemple, que le phénomène très-simple de l'écoulement 
d'un fluide, en vertu de sa seule pesanteur, par un orifice 
donné, n'a pas jusqu'à présent de solution mathématique 
complète, quand on veut tenir compte de toutes les cir- 
constances essentielles. Il en est encore ainsi, même pour 
le mouvement encore plus simple d'un projectile solide 
dans un milieu résistant. 

Pourquoi l'analyse mathématique a-t-elle pu s'adapter, 
avec un succès si admirable, à Tétude approfondie des 
phénomènes célestes ? Parce qu'ils sont, malgré les appa- 
rences vulgaires, beaucoup plus simples que tous les auires. 
Le problème le plus compliqué qu'ils présentent, celui de 
la modification que produit, dans le mouvement de deux 
corps tendant l'un vers l'autre en vertu de leur gravitation, 
l'influence d'un troisième corps agissant sur tous deux de 
la même nanière, est bien moins composé que le pro- 



190 MATHÉMATIQUES. 

blême terreslre le plus simple. Et, néanmoins, il offre déjà 
une telle difficulté, que nous n'en possédons encore que 
des solutions approximatives. Il est môme aisé de voir, en 
examinant ce sujet plus profondément, que la haute per- 
fection à laquelle a pu s'élever l'astronomie solaire par 
l'emploi de la science mathématique est encore essentielle- 
ment due à ce que nous avons profité avec adresse de tontes 
les facilités particulières, et, pour ainsi dire, accidentelles, 
qu'offrait pour la solution des problèmes la constitutioQ 
spéciale, très-favorable sous ce rapport, de notre système 
planétaire. En effet, les planètes dont il se compose sont 
assez peu nombreuses, mais surtout elles sont, en général, 
de masses fort inégales et bien moindres que celle du so- 
leil, et de plus fort éloignées les unes des autres, elles ont 
des formes presque sphériques ; leurs orbites sont presque 
circulaires, et présentent de faibles inclinaisons mutuelles, 
etc. 11 résulte de cet ensemble de circonstances que les 
perburbations sont le plus souvent peu considérables, etque, 
pour les calculer, il suffit ordinairement de tenir compte, 
concurremment avec l'action du soleil sur chaque planète 
en particulier, de l'influence d'une seule autre planète, 
susceptible, par sa grosseur et sa proximité, de détermi- 
ner des dérangements sensibles. Mais si, au lieu d'un tel 
état de choses, notre système solaire edt éi6 composé d'un 
plus grand nombre de planètes concentrées dans un moin- 
dre espace, et à peu près égales en masses ; si leurs orbites 
avaient offert des inclinaisons fort différentes, et des excen- 
tricités considérables ; si ces corps euss,ent été d'une forme 
plus compliquée, par exemple, des ellipsoïdes très-excen- 
triques, etc. ; il est certain qu'en supposant la môme loi 
réelle de gravitation, nous ne serions pas encore parvenus 
à soumettre l'étude des phénomènes célestes à notre 
analy.^e mathématique, et probablement nous n'eussions 



ENSEMBLE DE LA SCIENCE MATHÉMATIQUE. Jit 

• pas même pu démêler jusqu'à présent la loi principale. 

Ces conditions hypothétiques se trouveraient précisé- 
ment réalisées au pins haut degré dans les phénomènes 
chimiques, si on voulait les calculer d'après la théorie de 
la gravi talion générale. 

Ed pesant convenablement les diverses considérations 
qaiprécèdent, on sera convaincu, je crois, qu'en réduisant 
aux diverses parties de la physique inorganique l'extension 
future des grandes applications réellement possibles de 
l'analyse mathématique, j'ai bien plutôt exagéré que ré- 
tréci l'étendue de son domaine effectif. Autant il importait 
de rendre sensible la rigoureuse universalité logique de la 
science mathématique, autant je devais signaler les condi- 
tions qui limitent pour nous son extension réelle, afln de 
Qe pas contribuer à écarter l'esprit humain de la véritable 
t'irectioD scientifique dans l'étude des phénomènes les plus 
<H>njpliqués, par la recherche chimérique d'une perfection 

« 

'Qipossible. 
Ainsi, tout en s'efforçant d'agrandir autant qu'on le 

Pourra le domaine réel des mathématiques, on doit recon- 
naître que les sciences les plus difficiles sont destinées, par 
'^or nature, à rester indéfiniment dans cet état prélimi- 
^Uûre qui prépare pour les autres l'époque où elles devien- 
nent accessibles aux théories mathématiques. Nous devons, 
I^Hir les phénomènes les plus compliqués, nous contenter 
4*analyser avec exactitude les circonstances de leur pro- 
duclion, de les rattacher les uns aux autres d'une manière 
générale, de connaître le genre d'influence qu'exerce cha- 
(|ue agent principal, etc.; mais sans les étudier sous le 
point de vue de la quantité, et par conséquent sans espoir 
d'introduire, dans les sciences correspondantes, ce haut 
degré de perfection que procure, quant aux phénomènes 
les plus simples, un usage convenable de la mathématique^ 



1 22 MATHÉMATIQUES. — ENSEMBLE DE LA SCIENCE, ETC. 

soit SOUS le rapport de la précision de nos connaissances, 
soit, ce qui est peut-être encore plus remarquable, sous le 
rapport de leur coordination. 

C'est par les mathématiques que la philosophie positive 
a commencé à se former : c'est d'elles que nous vient la 
méthode. 11 était donc naturellement inévitable que, lorsque 
la même manière de procédera dû s'étendre à chacune des 
autres sciences fondamentales, on s'efforçât d'y introduire 
l'esprit mathématique à un plus haut degré que ne le 
comportaient les phénomènes correspondants ; ce qui a 
donné lieu ensuite à des travaux d'épuration plus ou moins 
étendus, comme ceux de Berthoilet sur la chimie, pour se 
dégager de celte influence exagérée. Mais chaque science, 
en se développant, a fait subir à la méthode positive gêné- 
raie des modifications déterminées par les phénomènes 
qui lui sont propres, d'où résulte son génie spécial ; c'est 
seulement alors qu'elle a pris son véritable caractère défi- 
nitif, qui ne doit jamais être confondu avec celui d'aucune 
autre science fondamentale. 

Ayant exposé, dans cette leçon, le but essentiel et la 
composition principale de la science mathématique, ainsi 
que ses relations générales avec l'ensemble de la philoso- 
phie naturelle, son caractère philosophique se trouve dé- 
terminé^ autant qu'il puisse l'être par un tel aperçu. Nous 
devons passer maintenant à l'examen spécial de chacune 
des trois grandes sciences dont elle est composée : le calcul, 
la géométrie et la mécanique. 




QUATRIÈME LEÇON 



Sommaire. ~ Vue générale de l'Analyse mathématique, 



Dans le développement historique de la science mathé- 
matique depuis Descartes, les progrès de la partie abstraite 
ont presque toujours été déterminés par ceux de la partie 
concrète. Mais il n'en est pas moins nécessaire, pour con- 
cevoir la science d'une manière vraiment rationnelle, de 
considérer le calcul dans toutes ses branches principales 
avant de procéder à l'étude philosophique de la géométrie 
et de la mécanique. Les théories analytiques ,plus simples 
et plus générales que celles de la mathématique concrète, 
en sont, par elles-mêmes, essentiellement indépendantes ; 
tandis que celles-ci ont, au contraire, de leur nature, un 
besoin continuel des premières, sans le secours desquelles 
elles ne pourraient faire presque aucun progrès. Quoique 
les principales conceptions de l'analyse conservent encore 
aujourd'hui quelques traces très-sensibles de leur origine 
géométrique ou mécanique, elles sont maintenant néan- 
moins essentiellement dégagées de ce caractère primitif, 
qui ne se manifeste plus guère que pour quelques points 
secondaires; en sorte que, depuis les travaux de Lagrange 
surtout, il est possible, dans une exposition dogmatique, 
de les présenter d'une manière purement abstraite, en un 
système unique et continu. C'est ce que je vais entre- 
prendre dans cette leçon et dans les cinq suivantes, en me 
bornant, comme il convient à la nature de ce cours, aux 



124 MATHÉMATIQUES. 

considérations les plus générales sur chaque branche prin- 
cipale de la science du calcul. 

Le but définitif de nos recherches dans la niathématique 
concrète étant la découverte des équations^ qui expriment 
les lois mathénnatiques des phénomènes considérés, et ces 
équations constituant le véritable point de départ du calcul, 
dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités 
les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'allei 
plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, 
cette idée fondamentale d'équation^ sujet continuel, aoil 
comme terme, soit comme origine, de tous les travam 
mathématiques. Outre l'avantage de mieux circonscrire U 
véritable champ de l'analyse^ il en résultera nécessaire 
ment cette importante conséquence, de tracer d'une ma* 
nière plus exacte la ligne réelle de démarcation entre II 
partie concrète et la partie abstraite des mathématiques, 
ce qui complétera l'exposition générale de la division fon- 
damentale établie dans la leçon précédente. 

On se forme ordinairement une idée beaucoup trop 
vague de ce qnc c'est qu'une équation, lorsqu'on donne ce 
nom à toute espèce de relation d'égalité entre deux.fonc* 
lions quelconques des grandeurs que l'on considère. Cari si 
toute équation est évidemment une relation d'égalité* il 
s'en faut de beaucoup que, réciproquement, toute relalioo 
d'égalité soit une véritable équation, du genre de cellei 
auxquelles, par leur nature, les méthodes analytiques sool 
applicables. 

Ce défaut de précision dans la considération logique 
d'une notion aussi fondamentale en mathématiques en- 
traîne le grave inconvénient de rendre à peu près inexpli- 
cable, en thèse générale, la difficulté immense et capitale 
que nous éprouvons à établir la relation du concret à l'abs- 
trait, et qu'on fait communément ressortir avec tant de 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. 125 

raison pour chaque grande question mathématique prise 
à part. Si le sens du mot équation était vraiment aussi 
étendu qu'on le suppose habituellement en le définissant, 
on ne voit point, en effet, de quelle grande difficulté pour- 
rait éti'e réellement, en général, rétablissement des équa- 
tions d'un problème quelconque. Car tout paraîtrait con- 
sister ainsi en une simple question de forme, qui ne devrait 
pas môme exiger jamais de grands eiforts intellectuels, 
attendu que nous ne pouvons guère concevoir de relation 
précise qui ne soit pas immédiatement une certaine re- 
lation d'égalité, ou qui n'y puisse être promptement ra- 
menée par quelques transformations très-fartiles. 

Ainsiy en admettant^ en général, dans la définition de 
éguatiom^ toute espèce de fonettons, on ne rend nullement 
raison de l'extrême difficulté qu'on éprouve le plus souvent 
émettre un problème en équation, et qui est si fréquem- 
ment comparable aux efforts qu'exige l'élaboration ana- 
lytique de l'équation une fois obtenue. En un mot, l'idée 
abstraite et générale qu'on donne de Véquation ne corres- 
pond aucunement au sens réel que les géomètres attachent 
à cette expression dans le développement effectif de la 
science. 11 y a là un vice logique, un défaut de corrélation 
qu'il importe beaucoup de rectifier. 

Pour y parvenir, je distingue d'abord deux sortes de 
fonctions : les fonctions abstraites, analytiques, et les fonc- 
tions concrètes. Les premières peuvent seules entrer dans 
les véritables équations^ en sorte qu'on pourra désormais 
définir, d'une manière exacte et suffisamment approfondie, 
toute équation : une relation d'égalité entre deux fonctions 
abstraites des grandeurs considérées. Afin de n'avoir plus 
à revenir sur cette définition fondamentale, je dois ajouter 
ici, comme un complément indispensable sans lequel l'idée 
ne serait point assez générale, que ces fonctions abstraites 



126 MATHÉMATIQUES. 

peuvent se rapporter non-seulement aux grandeurs que le 
problème présente en effet de lui-même, mais aussi à 
toutes les autres grandeurs auxiliaires qui s'y rattachent, 
et qu'on pourra souvent introduire, simplement par arti- 
iice mathématique, dans la seule vue de faciliter la décou- 
verte des équations des phénomènes. Je ne fais ici, dans 
cette explication, qu'emprunter sommairement, par anti- 
cipation, le résultat d'une discussion générale de la plus 
haute importance, qui se trouvera à la fin de celte leçon. 
Revenons maintenant à la distinction essentielle des fonc- 
tions en abstraites et concrètes. 

Cette distinction peut être établie par deux voies essen- 
tiellement différentes, complémentaires l'une de l'autre : 
à priori et à posteriori^ c'est-à-dire en caractérisant d'une 
manière générale la nature propre de chaque espèce de 
fonctions, et ensuite en faisant^ ce qui est possible, l'éuu- 
mération effective de toutes les fonctions abstraites aujour- 
d'hui connues, du moins quant aux éléments dont elles se 
composent. 

A priori, les fonctions que j'appelle abstraites sont celles 
qui expriment entre des grandeurs un mode de dépendance 
qu'on peut concevoir uniquement entre nombres,sans qu'il 
soit besoin d'indiquer aucun phénomène quelconque où il 
se trouve réalisé. Je nomme, au contraire, fonctions con- 
crètes celles pour lesquelles le mode de dépendance exprimé 
ne peut être défini ni conçu qu'en assignant un cas physi- 
que déterminé, géométrique, mécanique, ou de toute autre 
nature, dans lequel il ait effectivement lieu. 

La plupart des fonctions, à leur origine, celles mêmes 
qui sont aujourd'hui le plus purement abstraites^ ont com- 
mencé par éire concrètes ; en sorie qu'il est aisé de faire 
comprendre la distinction précédente, en se bornant à citer 
les divers points de vue successifs sous lesquels, à mesure 



ANALYSE MATUÉMATIQUE. 127 

9Uc la science s'est formée, les géomètres ont considéré 
'^s fonctions analytiques les plus simples. J'indiquerai pour 
^^«mple les puissances, devenues en général fonctions ab- 
straites, depuis seulement les travaux de Viète et de Des- 
^^rtes. Ces fonctions j;',x^, qui, dans notre analyse actuelle, 
^ont si bien conçues comme simplement abstraites, n'é- 
taient, pour les géomètres de l'antiquité, que des fonctions 
entièrenaent concrètes, exprimant la relation de la superficie 
d'un carré ou du volume d'un cube à la longueur de leur 
€^lé. Elles avaient si exclusivement à leurs yeux un tel ca- 
ractère, que c'est seulement d'après leur définition géomé- 
trique qu'ils avaient découvert les propriétés algébriques 
élémentaires de ces fonctions, relativement à la décom- 
position de la variable en deux parties, propriétés qui n'é- 
taient, à cette époque, que de vrais théorèmes de géomé- 
trie, auxquels on n'a attaché que beaucoup plus tard un 
sens numérique. 

J'aurai encore occasion de citer tout à l'heure, pour un 
autre motif, un nouvel exemple très-propre à faire bien 
sentir la distinction fondamentale que je viens d'exposer; 
c'est celui des fonctions circulaires, soit directes, soit in- 
verses, qui sont encore aujourd'hui tantôt concrètes, tan- 
tôt abstraites, selon le point de vue sous lequel on les en- 
visage. 

Considérant maintenant, à posteriori, cette division des 
fonctions, après avoir établi le caractère général qui rend 
une fonction abstraite ou concrète, la question de savoir si 
telle fonction déterminée est véritablement abstraite, et par 
là susceptible d'entrer dans de vraies équations analyti- 
ques, ?a devenir une simple question de fait, puisque nous 
allons énumérer toutes les fonctions de cette espèce. 

Au premier abord, cette énumération semble impossible, 
les fonctions analytiques distinctes étant évidemment en 



128 MATHÉMATIQUES. 

nombre infini. Mais, en les partageant en simples ei compo- 
sées^ la difficulté disparaît; car, si le nombre des diverses 
fonctions considérées dans l'analyse mathématique est réel- 
lement infini, elles sont, au contraire, même aujourd'hui, 
composées d*un fort petit nombre de fonctions élémen- 
taires, qu'on peut aisément assigner, et qui suffisent évi- 
demment pour décider du caractère abstrait ou concret de 
telle fonction déterminée, qui sera de l'une ou de l'autre 
nature^ selon qu'elle se composera exclusivement de ces 
fonctions abstraites simples, ou qu'elle en comprendra 
d'autres. Voici le tableau de ces éléments fondamentaux 
de toutes nos combinaisons analytiques, dans l'état pré- 
sent de la science. On ne doit évidemment considérer, k 
cet effet, que les fonctions d'une seule variable; celles 
relatives à plusieurs variables indépendantes étant con- 
stamment, par leur nature, plus ou moins composées. 

Soit X la variable indépendante, y la variable corrélative 
qui en dépend. Les différents modes simples de dépendance 
abstraite que nous pouvons maintenant concevoir entre y 
et X sont exprimés par les dix formules élémentaires sui- 
vantes, dans lesquelles chaque fonction est accouplée avec 
son inverse^ c'est-à-dire avec celle qui aurait lieu, d'après 
la fonction directe^ si on y rapportait x à y, au lieu de rap- 
porter ykx' 

i" couple. . 1 *"* y = û + ^ foncUon somme, 

"'(2oy = a — X lQiï(i\xQïi différence i 

i'' y =ax fonction produitj 

2""® couple., l ^ a 

» 2^ y = - fonction quotieni, 



(i*y = 

(2»y = 



i'* y zzzxa fonction puissance, 

3°»« couple..^ « 

(/i fonction racine. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. )«9 

^,^ . j 1« y = o» foDCtion exponentielle, 

^ " 2^ y=zlx fonction logarithmique, 

a 

s»« I m ( ** ^ ^^ ''° ' fonction circulaire directe, 

P ^ ' J 2«y =:arc (sin =x). fonction circulaire inverse. 

Tels sont les éléments très-peu nombreux qui composent 
liirectement toutes les fonctions abstraites aujourd'hui con- 



(1) Dans la yne d'augmenter aotant que possible les ressources et reten- 
due si insuffisantes de Tanalyse mathématique, les géomètres comptent ce 
dernier couple de fonctions parmi les éléments analytiques. Quoique cette 
inscription soit strictement légitime, il importe de remarquer que les fonc- 
tions circulaires ne sont pas exactement dans le môme cas que les autres 
fonctions abstraites élémentaires. 11 y a entre elles cette différence fort 
ecMDtielle, que les fonctions des quatre premiers couples sont vraiment à 
U fois simples et abstraites, tandis que les fonctions circulaires, qui peu- 
Tent manifester successivement l'un et Tautre caractère, suivant le point 
^ vue sous lequel on les envisage et la manière dont elles sont employées, 
ne présentent jamais simultauément ces deux propriétés. 

La fonction sin x est introduite dans l'analyse comme une nouvelle fonc- 
tirni simple, quand on la conçoit seulement comme indiquant la relation 
géométrique dont elle dérive ; mais alors elle n'est évidemment qu'une 
fonction concrète. Dans d'autres circonstances, elle remplit analytique- 
ment les conditions d'une véritable fonction abstraite, lorsqu'on ne consi- 
dère sin X que comme l'expression abrégée de la formule 

X V^— 1 — X V^— I 

ou de la série équivalente ; mais, sous ce dernier point de vue, ce n'est 
pins réellement une nouvelle fonction analytique, puisqu'elle ne se pré- 
sente que comme un composé des précédentes. 

Néanmoins, les fonctions circulaires ont quelques qualités spéciales qui 
•permettent de les maintenir au tableau des éléments rationnels de l'ana- 
lyse mathématique. 

1« Elles sont susceptibles d'évaluation, quoique conservant leur carac- 
tère concret; ce qui autorise à les introduire dans les équations, tant 
qu'elles ne portent que sur des dénuées, sans qu'il soit nécessaire d'avoir 
-égard à leur expression algébrique. 

V* On sait effectuer sur les différentes fonctions circulaires, comparées 

A. CoMTB. Tome 1. 9 



130 MATHÉMATIQUES. 

nues. Quelque peu multipliés qu'ils soient, ils suffisent évi- 
demment pour donner lieu à un nombre tout à fait infini 
de combinaisons analytiques. 

Aucune considération rationnelle ne circonscrit rigou- 
reusement à priori le tableau précédent, qui n*esl que 
l'expression effective de Tétat actuel de la science. Nos élé- 
ments analytiques sont aujourd'hui plus nombreux qu'ils 
ne Tétaient pour Descaries, et môme pour Newton et Leib- 
nitz ; il y a tout au plus un siècle que les d^ux derniers 
couples ont été introduits dans l'analyse par les travaux de 
Jean Bernouilli et d'Ëuler. Sans doute on en admettra de 
nouveaux dans la suite; mais, comme. je l'indiquerai à la 
fin de cette leçon, nous ne pouvons pas espérer qu'ils soient 
jamais fort multipliés, leur augmentation réelle donnant 
lieu à de très-grandes difficultés. 

entre elles seulemeat, une certaine Buite de transformations, qni n'exigent 
pan davantage la connaissance de leur définition analytique. Il en résfdte 
évidemment la faculté d'introduire ces fonctions dans les équations, mèittfr 
par rapport aux inconnues, pourvu qu*il n'y entre pas concurremment 
des fonctions non trigonométriques des mômes variables. 

C'est donc uniquement dans les cas où les fonctions circulaires, relative- 
ment aux inconnues, sont combinées dans les équations avec des fonctions 
abstraites d'une autre espèce, qu'il est indispensable d'avoir égard à leur 
interprétation algébrique pour pouvoir résoudre les équations, et dès lors 
elles cessent, en effet, d'être traitées comme de nouvelles fonctions sim- 
ples. Mais alors même, pourvu qu'on tienne compte de cette interpréta- 
tion, leur admission n'empêche point les relations d'avoir le caractère de 
véritables équations analytiques, ce qui est ici le but essentiel de notre 
énumération des fonctions abstraites élémentaires. 

Il est à remarquer, d'après les considérations indiquées dans cette note, 
que plusieurs autres fonctions concrètes peuvent être utilement introduites 
au nombre des éléments analytiques, si les condftîons principales posées 
ci-dessus pour les fonctions circulaires ont été préalablement bien remplies. 
C'est ainsi, par exemple, que les travaux de Lcgendre, et récemment ceux 
de M. Jacobi, sur les fonctions elliptiques, ont vraiment agrandi le champ 
de l'analyse; il en est de même pour quelques intégrales définies obte- 
nues pour Fourier, dans la Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. iSl 

iVous pouvons donc maintenant nous former une idée 
I^câitive, et néanmoins suffisamment étendue, de ce que les 
^ëomëtres entendent par une véritable équation. Cette ex- 
l^lication est éminemment propre à nous faire. comprendre 
oombien il doit être difficile d'établir réellement les équa- 
tions des phénomènes, puisqu'on n'y est efTectivement par- . 
^venu que lorsqu'on a pu concevoir les lois mathématiques 
<3e ces phénomènes à l'aide de fonctions entièrement com- 
posées des seuls éléments analytiques que je viens d'énu- 
mérer. 11 est clair, en effet, que c'est uniquement alors que 
le problème devient vraiment abstrait^ et se réduit à une 
pure question de nombres, ces fonctions étant les seules 
relations simples que nous sachions concevoir entre les 
nombres, considérés en eux-mêmes. Jusqu'à celte époque 
de la solution, quelles que soient les apparences, la ques- 
tion est encore essentiellement concrète et ne rentre pas 
dans le domaine du calcul. Or la difficulté fondamentale 
de ce passage du concret à Vabstrait consiste surtout, en gé- 
néral, dans l'insuffisance de ce très-petit nombre d'éléments 
analytiques que nous possédons, et d'après lesquels néan- 
moins, malgré le peu de variété réelle qu'ils nous offrent, 
il faut parvenir à se représenter toutes les relations précises 
qne peuvent nous manifester tous les différents phéno- 
mènes naturels. Vu l'infinie diversité qui doit nécessairement 
exister à cet égard dans le monde extérieur, on comprend 
sans peine combien nos conceptions doivent se trouver fré- 
quemment au-dessous de la véritable difficulté; surtout si 
l'on ajoute que, ces éléments de notre analyse nous ayant 
élé fournis primitivement par la considération mathémati- 
que des phénomènes les plus simples, puisqu'ils ont tous^ 
directement ou indirectement, une origine géométrique, 
nous n'avons à priori aucune garantie rationnelle de leur 
aptitude nécessaire à représenter les lois mathématiques de 



' 1 82 MATHÉMATIQU£S. 

toute autre classe de phénomènes. J'exposerai tout à l'heure 
l'artifice général, si profondément ingénieux, par lequel 
l'esprit humain est parvenu à diminuer singulièrement cette 
difficulté fondamentale que présente la relation du concret 
à l'abstrait en mathématiques, sans cependant qu'il ait été 
nécessaire de multiplier le nombre de ces éléments ana- 
lytiques. 

Les explications précédentes déterminent avec précision 
le véritcible objet et le champ réel de la mathématique ab- 
straite; je dois passer maintenant à l'examen de ses divi- 
sions principales, car nous avons toujours jusqu'ici consi- 
déré le calcul dans son ensemble total. 

La première considération directe à présenter sur la 
composition de la science du calcul consiste à la diviser 
d'abord en deux branches principales, auxquelles, faute de 
dénominations plus convenables, je donnerai les noms de 
calcul algébrique ou algèbre, et de calcul arithmétique ou 
arithmétique^ mais en avertissant de prendre ces deux ex- 
pressions dans leur acception logique la plus étendue, au 
lieu du sens beaucoup trop restreint qu'on leur attache 
ordinairement. 

La solution complète de toute question de calcul, depuis 
la plus élémentaire jusqu'à la plus transcendante, se com- 
pose nécessairement de deux parties successives dont la 
nature est essentiellement distincte. Dans la première, on 
a pour objet de transformer les équations proposées, de 
façon à mettre en évidence le mode de formation des quan- 
tités inconnues par les quantités connues; c'est ce qui con- 
stitue la question algébrique. Dans la seconde, on a en 
vue d'évaluer les formules ainsi obtenues, c'est-à-dire de 
déterminer immédiatement la valeur des nombres chei^ 
chés, représentés déjà par certaines fonctions expli- 
cites des nombres donnés ; telle est la question aritkml 



^ 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. 183 

ft4^(1).Onvoitqu£, dans toute solution vraimentrationnelle, 
elle suit nécessairement la question algébrique, dont elle 
forme le complément indispensable, puisqu'il faut évidem- 
ment connaître la génération des nombres cherchés avant 
de déterminer leurs valeurs effectives pour chaque cas 
particulier. Ainsi, le terme de la partie algébrique devient 
le point de départ de la partie arithmétique. 

Le calcul algébrique et le calcul arithmétique diffèrent 
donc essentiellement par le but qu'on s'y propose. Ils ne 
diffèrent pas moins par le point de vue sous lequel on y 
considère les quantités, envisagées, dans le premier, quant 
à leurs relations, et, dans le second, quant à leurs valeurs. 
Le véritable esprit du calcul^ en général, exige que cette 
distinction soit maintenue avec la plus sévère exactitude, 
et que la ligne de démarcation entre les deux époques de 
la solution soit rendue aussi nettement tranchée que le 



(I) Supposons, par exemple, qu'âne question fournisse entre une gran- 
deur ioconnue x et deux grandeurs connues a et 6 l'équation : 

comme il arrÎTeraît pour la trisection d'un angle. On voit, tout desuite, que 
la dépendance entre x d'une part, et a, 6 de l'autre, est complètement déter- 
minée; mais, tant que l'équation conserve sa forme primitive, on n'aper- 
çoit nullement de quelle manière l'inconnue dérive des données. C'est 
cependant ce qu'il faut découvrir avant de penser à l'évaluer. Tel est Tob* 
jet de la partie algébrique de la solution. Lorsque, par une suite de trans- 
formations qui ont successivement rendu cette dérivation de plus en plus 
tensiUe, on est arrivé à présenter l'équation proposée sous la forme 



le r61e de l'algèbre est terminé ; et, quand môme on ne saurait point effec- 
taer les opérations arithmétiques indiquées par cette formule, on en n'au- 
rait pas moins obtenu une connaissance très-réelle et souvent fort impor- 
tante. Le rôle de l'aritlimétique consistera maintenant, on partant de cette 
formule, à faire trouver le nombre x quand les valeurs des nombres a et 6 
auront été fixées. 



!84 MATHÉMATIQUES. 

permet la question proposée. L'observation attentive de ce 
précepte, trop méconnu, peut être d'un utile secours dans 
chaque question particulière, en dirigeant les efforts de 
noire esprit, à un instant quelconque de la solution, vert 
la véritable difficulté correspondante. A la vérité, l'imper- 
féction de la science du calcul oblige souvent, comme je 
l'expliquerai dans la leçon suivante, à môler très-fréqaem* 
ment les considérations algébriques et les considérations 
arithmétiques pour la solution d'une même question. Mais, 
quoiqu'il soit impossible alors de partager l'ensemble du 
travail en deux parties nettement tranchées, l'une purement 
algébrique, et l'autre purement arithmétique, on pourra 
toujours éviter, à l'aide des indications précédentes, de con- 
fondre les deux ordres de considérations, quelque intime 
que puisse être jamais leur mélange. 

En cherchant à résumer le plus succinctement possible la 
distinction que je viens d'établir, on voit que Valgèbre peut 
se déûnir, en général, comme ayant pour objet la résoluikm 
des équations, ce qui, quoique paraissant d'abord trop res- 
treint, est néanmoins suffîsamment étendu, pourvu qu'on 
prenne ces expressions dans toute leur acception logique, 
qui signifie transformer des fonctions implicites en fonc- 
tions explicites équivalentes : de même, Varithmétique peut 
être définie comme destinée à Vévaluation des fonctions. 
Ainsi, en contractant les expressions au plus haut degré, 
je crois pouvoir donner nettement une juste idée de celte 
division, en disant, comme je le ferai désormais pour évi- 
ter les périphrases explicatives, que Valgèbre est le calcul 
des fonctions, et Varithmétique le calcul des valeurs. 

Il est aisé de comprendre par là combien les définitions 
ordinaires sont insuffisantes et môme vicieuses. Le plat 
souvent, l'importance exagérée accordée aux signes a con- 
duit à distinguer ces deux branches fondamentales de la 



.ANALYSE MATHÉMATIQUE. 185 

science du calcul parla manière de désigner dans chacune 
les sujets du raisonnement^ ce qui est évidemment absurde 
en principe et faux en fait. Môme la célèbre déflnitiôn don- 
née par Newton, lorsqu'il a caractérisé Valgèbre comme 
Varithmétique universelle, donne certainement une très- 
fausse idée de la nature de Talgèbre cl de celle de Tarith- 
inétique(l). 

Après avoir établi la division fondamentale du calcul en 
deux branches principales, je dois comparer, en général, 
l'étendue, l'importance et la difûculté de ces deux sortes 
de calcul, afin de n'avoir plus à considérer que le calcul 
desfonctionSy qui doit être le sujet essentiel de notre étude. 
Le calcul des valeurs, ou Varithmétique, parait, au pre- 
mier abord, devoir présenter un champ aussi vaste que ce- 
lui de Valgèbre, puisqu'il semble devoir donner lieu à autant 
de questions distinctes qu'on peut concevoir de formules 
algébriques différentes à évaluer. Mais une réflexion fort 
simple sufût pour montrer que le domaine du calcul des 
valeurs est, par sa nature, inûniment moins étendu que 
celui du calcul des fonctions. Car, en distinguant les fonc- 
tions en simples et composéesy il est évident que, lorsqu'on 
sait évaluer les fonctions simples, la considération des 
fonctions composées ne présente plus, sous ce rapport, 
aucune difficulté. Sous le point de vue algébrique, une 
fonction composée joue un rôle très-différent de celui des 
fonctions élémentaires qui la constituent, et c'est de là 

(1] J*ai cru deycir signaler spécialement cette défloition, parce qu'elle 
acrt de base à TopiuioD que beaucoup de bons esprits, étrangers à la science 
mathéroaUque, se forment de la partie abstraite de cette science, sans 
considérer qn'à l'époque où cet aperçu a été formé, l'analyse mathéma- 
tique n'était point assez développée pour que le caractère général propre 
à chacune de ses parties principales pût être convenablement saisi, ce 
qui explique pourquoi Newton a pu proposer alors une définition qu'il re- 
jetterait certainement aujourd'hui. 



136 MATHÉMATIQUES. 

précisément que naissent toutes les principales difficalté 
analytiques. Mais il en est tout autrement pour le cacu 
arithmétique. Ainsi, le nombre des opérations arithméti 
ques, vraiment distinctes, est seulement marqué par celui 
des fonctions abstraites élémentaires, dont j'ai présenté 
ci-dessus le tableau très-peu étendu. L'évaluation de ces 
dix fonctions donne nécessairement celle de toutes les 
fonctions, en nombre infini, que l'on considère dans 
l'ensemble de l'analyse mathématique, telle, du moins, 
qu'elle existe aujourd'hui. A quelques formules que puisse- 
conduire l'élaboration des équations, il n'y aurait lieu à de 
nouvelles opérations arithmétiques que si l'on en venait à 
créer de véritables nouveaux éléments analytiques, dont le 
nombre sera toujours, quoi qu'il arrive, extrêmement petit. 
Le champ de Varithmétique est donc, par sa nature, infini- 
ment restreint, tandis que celui de Valgebre est rigoureu- 
sement indéfini. 

Il importe cependant de remarquer que le domaine du 
calcul des valeurs est, en réalité, beaucoup plus étendu qu'on 
ne se le représente communément. Car plusieurs ques- 
tions, véritablement arithmétiques^ puisqu'elles consistent 
dans des évaluations^ ne sont point ordinairement classées 
comme telles, parce qu'on a l'habitude de ne les traiter 
que comme incidentes, au milieu d'un ensemble de re- 
cherches analytiques plus ou moins élevées ; la trop haute 
opinion qu'on se forme communément de l'influence des 
signes est encore la cause principale de cette confusion 
d'idées. Ainsi, non-seulement la construction d'une table 
de logarithmes, mais aussi le calcul des tables trigonomé- 
triques, sont de véritables opérations arithmétiques d'un 
genre supérieur. On peut citer encore comme étant dans 
le même cas, quoique dans un ordre très-distinct et plus 
élevé, tous les procédés par lesquels on détermine directe- 




ANALYSE MATHÉMATIQUE. 1S7 

ment la valeur d'une fonction quelconque pour chaque 
système particulier de valeurs attribuées aux quantités 
dont elle dépend, lorsqu'on ne peut point parvenir à con- 
naître généralement la forme explicite de cette fonction. 
Sous ce point de vue, la résolution numérique des équations 
qu'on ne sait pas résoudre algébriquement ^ et de même le 
calcul des intégrales définies dont on ignore les intégrales 
générales, font réellement partie, malgré les apparences, 
da domaine de V arithmétique ^ dans lequel il faut nécessai- 
rement comprendre tout ce qui a pour objet l'évaluation des 
fonctions. Les considérations relatives à ce but sont, en 
effet, constamment homogènes, de quelques évaluations 
qu'il s'agisse, et toujours bien distinctes des considérations 
vraiment algébriques. 

Pour achever de se former une juste idée de l'étendue 
réelle du calcul des valeurs, on doit y comprendre aussi 
cette partie de la science générale du calcul qui porte au- 
jourd'hui spécialement le nom de théories des nombres^ et 
qui est encore si peu avancée. Cette bra^iche, fort étendue 
par sa nature, mais dont l'importance dans le système gé- 
néral de la science n'est pas très-grande, a pour objet de 
découvrir les propriétés inhérentes aux différents nombres 
en vertu de leurs valeurs et indépendamment de toute 
numération particulière. Elle constitue donc une sorte 
û*Qrùhmétique transcendante; c'est à elle que conviendrait 
effectivement la définition proposée par Newton pour 
Valgèàre. 

Le domaine total de Varithmétique est donc, en réalité, 
beaucoup plus étendu qu'on ne le conçoit ordinairement. 
Mais, néanmoins, quelque développement légitime qu'on 
puisse lui accorder, il demeure certain que, dans l'en- 
semble de la mathématique abstraite^ le calcul des valeurs 
ne sera jamais qu'un point, pour ainsi dire, en compa- 



188 MATUÉMATIOUES. 

raison du calcul des fondions, dans lequel la science con- 
siste essentiellement. Cette appréciation va devenir encore 
plus sensible par quelques considérations qui me restent 
à indiquer sur la véritable nature des questions arithmé- 
tiques en général, quand on les examine d'une manière 
approfondie. 

En cherchant à déterminer avec exactitude en quoi con- 
sistent proprement les évalnationSy on reconnaît aisément 
qu'elles ne sont pas autre chose que de véritables trans- 
formations des fonctions à évaluer, transformations qui, 
malgré leur but spécial, n'en sont pas moins essentielle- 
ment de la même nature que toutes celles enseignées par 
l'analyse. Sous ce point de vue, le calcul des valeurs pourrait 
être conçu simplement comme un appendice et une appli- 
cation particulière du calcul des fonctions, de telle sorte 
que V arithmétique disparaîtrait, pour ainsi dire, dans l'en- 
semble de la mathématique abstraite, comme section dis- 
tincte. 

Pour bien comprendre cette considération, il faut ob- 
server que, lorsque Ton propose â*émluer un nombre in- 
connu dont le mode de formation est donné, il est, par le 
seul énoncé môme de la question arithmétique, déjà défini 
et exprimé sous une certaine forme ; et qu'en Vévaluant^ 
on ne fait que mettre son expression sous une autre forme 
déterminée, à laquelle on est habitué à rapporter la notion 
exacte de chaque nombre particulier, en le faisant rentrer 
dans le système régulier de la numération. Vévaluation 
consiste si bien dans une simple transformation, que, lorsque 
l'expression primitive du nombre se trouve elle-même 
conforme à la numération régulière, il n*y a plus, à pro- 
prement parler, dévaluation, ou plutôt on répond à la 
question par la question même. Qu'on demande^ par 
exemple, d'ajouter les deux nombres trente et sept, on 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. 189 

répondra en se bornant à répéter Ténoncé même de la 
question, et on croira néanmoins avoir évalué la somme, ce 
qui signifie que, dans ce cas, la première expression de la 
foncdon n'a pas besoin d'être transformée : tandis qu'il 
n'en serait point ainsi pour ajouter vingt- trois et quatorze, 
ciraiors la somme ne serait pas immédiatement exprimée 
d'uoe manière conforme au rang qu'elle occupe dans Té- 
cbelie fixe et générale de la numération. 

En précisant, autint que possible, la considération pré- 
cédente, on peut dire qu'évaluer un nombre n'est autre 
chose que mettra son expression primitive sous la forme 

a 4- i€ -|- c€» + </Ê« 4- c6* -H p^^ 

tétant ordinairement égal à 10; et les coefQcienls a, 6, c, 
d, etc. , étant assujettis h ces conditions d'être nombres 
(iBIiers moindres que ^, pouvant devenir nuls, mais jamais 
oégatifs. Ainsi, toute question arithmétique est susceptible 
d'être posée comme consistant à mettre sous une telle 
ibrine une fonction abstraite quelconque de diverses quan- 
tités que l'on suppose avoir déjà elles-mêmes une forme 
Semblable. On pourrait donc ne voir dans les différentes 
Opérations de l'arithmétique que de simples cas particuliers 
de cerlaines transformations algébriques, sauf les difficultés 
Spéciales tenant aux conditions relatives à l'état des coef- 
ticienis. 

Il résulte clairement, de ce qui précède, que la mathé- 

itnatique abstraite se compose essentiellement du calcul des 

fonctions^ qui en était évidemment déjà !a partie la plus 

importante, la plus étendue et la plus difflcile. Tel sera 

donc désormais le sujet exclusif de nos considérations 

analytiques. Ainsi, sans m'arrêler davantage au calcul des 

valeurs^ je vais passer immédiatement à l'examen de la 

division fondamentale du calcul des fonctions. 



1 4 MATHÉMATIQUES . 

Nous avons déterminé, au commencement de cette leçon, 
en quoi consisle proprement la véritable difficulté qu'on 
éprouve à mettre en équation les questions mathématiques. 
C'est essentiellement à cause de l'insuffisance du très-petit 
nombre d'éléments analytiques que nous possédons, que 
la relation du concret à l'abstrait est ordinairement si dif* 
ficile à établir. Essayons maintenant d'apprécier pbiloso* 
phiquement le procédé général par lequel l'esprit humain 
est parvenu, dans un si grand nombre de cas importants. i 
surmonter cet obstacle fondamental. 

En considérant directement l'ensemble de cette question 
capitale, on est naturellement conduit à concevoir d'aboid 
un premier moyen pour faciliter rétablissement des équa- 
tions des phénomènes. Puisque le principal obstacle à ee 
sujet vient du trop petit nombre de nos éléments analy- 
tiques, tout semblerait se réduire à en créer de nouveaux» 
Mais ce parti, quelque naturel qu'il paraisse, est véritabTe- 
menl illusoire, quand on Texamine d'une manière appro- 
fondie. Quoiqu'il puisse certainement être utile, il est aisé 
de se convaincre de son insuffisance nécessaire. 

En efl'et, la création d'une véritable nouvelle fonction 
abstraite élémentaire présente, par elle-même, les plos 
grandes difficultés. Il y a môme, dans une telle idéet 
quelque chose qui semble contradictoire. Car un noafel 
élément analytique ne remplirait pas évidemment les c(Ui« 
ditions essentielles qui lui sont propres, si on ne pouvait 
immédiatement Vévaluer: or, d'un autre côté, commoil 
évaluer une nouvelle fonction qui serait vraiment sinpkf, 
c'est-à-dire qui ne rentrerait pas dans une combinaison 
de celles déjà connues? Cela parait presque impossibia. 
L'introduction, dans l'analyse, d'une autre fonction abs- 
traite élémentaire, ou plutôt d'un autre couple de fonc- 
tions (car chacune serait toujours accompagnée de son 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. 14f 

inverse)^ suppose donc nécessairement la création simul- 
tanée d'une nouvelle opéralion arithmétique, ce qui est 
certainement fort difficile. 

Si nous cherchons à nous faire une idée des moyens que 
l'esprit humain pourrait employer pour inventer de nou* 
veaai éléments analytiques, par Texamen des procédés 
à l'aide desquels il a effectivement conçu ceux que nous 
possédons, l'observation nous laisse à cet égard dans une 
entière incertitude, car les artifices dont il s'est déjà servi 
pour cela sont évidemment épuisés. Afin de nous en con- 
vaincre, considérons le dernier couple de fonctions sim- 
ples qui ait été introduit dans l'analyse, et à la formation 
duquel nous avons pour ainsi dire assisté, savoir : le qua- 
trième couple, car, comme je l'ai expliqué, le cinquième 
coaplene constitue pas, à proprement parler, de véritables 
nouveaux élémentsanalytiques. La fonction a<, et, par suite, 
son inverse, ont été formées en concevant sous un nouveau 
point de vue une fonction déjà connue depuis longtemps, 
les puissances, lorsque la notion en a été suffisamment 
généralisée. Il a suffi de considérer une puissance relative- 
ment à la variation de l'exposant, au lieu de penser à la varia- 
tion de la base, pour qu'il en résultât une fonction simple 
vraiment nouvelle, la variation suivant alors une marche 
toute difTérente. Mais cet artifice, aussi simple qu'ingé- 
oieux, ne peut plus rien fournir. Car, en retournant, de la 
même manière, tous nos éléments analytiques actuels, on 
n'aboutit qu'à les faire rentrer les uns dans les autres. 

Nous ne concevons donc nullement de quelle manière 
on pourrait procéder à la création de nouvelles fonctions 
abstraites élémentaires, remplissant convenablement toutes 
les conditions nécessaires. Ce n'est pas à dire, néanmoins, 
que nous ayons atteint aujourd'hui la limite effective posée 
k cet égard par les bornes de nojre intelligence. 11 est 



i 4 1 MATHÉMATIQUES. 

môme certain que les derniers perfectionnements spéciaux 
de l'analyse mathématique ont contribué à étendre nos 
ressources sous ce rapport, en introduisant dans le domaine 
du calcul certiines intégrales définies, qui, à quelques 
égards, tiennent lieu de nouvelles fonctions simples, quoi* 
qu'elles soient loin de remplir toutes les conditions conve- 
nables, ce qui m'a empêché de les inscrire au tableau des 
vrais éléments analytiques. Mais^ tout bien considéré, je 
crois qu'il demeure incontestable que le nombre de ces 
éléments ne peut s'accroître qu*avec une extrême lenteur. 
Ainsi, ce ne peut être dans un tel procédé que l'esprit 
humain ait puisé ses ressources les plus puissantes pour 
faciliter autant que possible l'établissement des équations; 

Ce premier moyen étant écarté, il n'en reste évidemment 
qu'un seul ; c'est, vu l'impossibilité de trouver directement 
les équations entre les quantités que l'on considère, d'en 
chercher de correspondantes entre d'autres quantités auxi- 
liaires, liées aux premières suivant une certaine loi déter- 
minée, et de la relation desquelles on remonte ensuite à 
celle des grandeurs primitives. Telle est, en effet, la con« 
ception, éminemment féconde, que l'esprit humain est 
parvenue fonder, et qui constitue son plus admirable ins- 
trument pour l'exploration mathématique des phénomènes 
naturels, Vanalyse dite transcendante, 

£n thèse philosophique générale, les quantités auxiliaires 
que l'on introduit, au lieu des grandeurs primitives ou 
concurremment avec elles, pour faciliter l'établissement 
des équations, pourraient dériver suivant une loi quelcon- 
que des éléments immédiats de la question. Ainsi, cette 
conception a beaucoup plus de portée que ne lui en ont 
supposé communément, même les plus profonds géomd^ 
très. Il importe extrêmement de se la représenter dans 
toute son étendue logique ; car c'est peut-être en établis^ 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. 143 

sant un mode général de dérivation autre que celui auquel 
on s'est constanîment borné jusqu'ici, bien qu'il ne soit 
pasy évidemment, le seul possible, qu'on parviendra un 
jour à perfectionner essentiellement l'ensemble de l'analyse 
mathématique, et par suite à fonder, pour l'investigation 
des lois de la nature, des moyens encore plus puissants 
que nos procédés actuels, susceptibles, sans doute, d'é- 
puisement. 

Mais, pour n'avoir égard qu'à la constitution présente 
de la science, les seules quantités auxiliaires introduites 
habituellement à la place des quantités primitives dans 
tanalgse transcendante^ sont ce qu'on appelle les éléments 
infiniment petits^ les différentielles de divers ordres de ces 
quantités, si l'on conçoit cette analyse à la manière de Leib- 
nitz ; ou les fluxions, les limites des rapports des accrois* 
semants simultanés des quantités primitives comparées les 
unes aux autres, ou, plus brièvement, les premières et det^^ 
nières raisons de ces accroissements, en adoptant la con- 
ception de Newton ; ou bien, enûn, les dérivées propre- 
ment dites de ces quantités, c'est-à-dire, les coefOcients 
des différents termes de leurs accroissements respectifs, 
d'après la conception de Lagrange. Ces trois manières 
principales d'envisager notre analyse transcendante ac- 
tuelle, et toutes les autres moins distinctement tranchées 
que l'on a proposées successivement, sont, par leur na- 
ture, nécessairement identiques, soit dans le calcul, soit 
dans l'application, ainsi que je l'expliquerai d'une manière 
générale dans la sixième leçon. Quant à leur valeur rela- 
tive, nous verrons alors que la conception de Leibnitz a 
jusqu'ici, dans l'usage, une supériorité incontestable, mais 
que son caractère logique est éminemment vicieux ; tandis 
que la conception de Lagrange, admirable par sa simpli- 
cité» par sa perfection logique, par l'unité philosophique 




i 



i 4 4 MATHÉMATIQUES. 

qu'elle a établie dans l'ensemble de l'analyse naatbématiqo^ 
jusqu'alors partagée en deux mondes presque indépen- 
dants, présente encore, dans les applications, «de graves 
inconvénients, en ralentissant la marche de Tintelligence : 
la conception de Newton tient à peu près le milieu sous ces 
divers rapports, étant moins rapide, mais plus rationnelle 
que celle de Leibnilz, moins philosophique, mais plus ap- 
plicable que celle de Lagrange. 

Ce n'est pas ici le lieu d'expliquer avec exactitude com- 
ment la considération de ce genre de quantités auxiliaires 
introduites dans les équations à la place des grandeurs 
primitives facilite réellement l'expression analytique des 
lois dçs phénomènes. La sixième leçon sera spécialement 
consacrée à cet important sujet, envisagé sous les différents 
points de vue généraux auxquels a donné lieu l'analyse 
transcendante. Je me borne en ce moment à considérer 
cette conception de la manière la plus générale, afin d'en 
déduire la division fondamentale du calcul des fonctions en 
deux calculs essentiellement distincts, dont Tenchalneroent, 
pour la solution complète d'une môme question mathéma- 
tique, est invariablement déterminé. 

Sous ce rapport, et dans l'ordre rationnel des idées, 
l'analyse transcendante se présente comme étant néces- 
sairement la première, puisqu'elle a pour but général de 
faciliter l'établissement des équations, ce qui doit évidem- 
ment précéder la résolution proprement dite de ces équa- 
tions, qui est l'objet de l'analyse ordinaire. Mais, quoiqu'il 
importe éminemment de concevoir ainsi le véritable en- 
chaînement de ces deux analyses, il n'en est pas moins 
convenable, conformément à l'usage constant, de n'étu- 
dier l'analyse transcendante qu'après l'analyse ordinaire ; 
car, si, au fond, elle en est par elle-même logiquement 
indépendante, ou que, du moins, il soit possible au- 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. 145 

Joiirdliui de l'en dégager essentiellement. Il est clair que, 
^oq emploi dans la solution des questions ayant toujours 
Plus ou moins besoin d'élre complété par. celui de Ta- 
^aljse ordinaire, on serait contraint de laisser les ques- 
tions en suspens, si celle-ci n'avait été étudiée préala- 
l^lement. 

£n résultat de ce qui précède, le calcul des fonctions^ ou 
ValgèbrCy en prenant ce mot dans sa plus grande extension, 
se compose de deux branches fondamentales distinctes, 
dont l'une a pour objet immédiat la résolution des équa- 
lions, lorsque celles-ci sont immédiatement établies entre 
les grandeurs mêmes que Ton considère ; et dont l'autre, 
partant d'équations beaucoup plus aisées à former an gé- 
néral, entre des quantités indirectement liées à celles du 
problème, a pour destination propre et constante d'en dé- 
duire, par des procédés analytiques invariables, les équa- 
tions correspondantes entre les grandeurs directes que l'on 
considère, ce qui fait rentrer la question dans le domaine 
du calcul précédent. Le premier calcul porte, le plus sou- 
vent, le nom à*analyse ordinaire^ ou d'algèbre proprement 
dite; le second constitue ce qu'on appelle Vanalyse trans- 
cendante^ qui a été désignée par les diverses dénominations 
de calcul infinitésimal^ calcul des fluxions et des fluentes, 
calcul des évanouissants^ etc.^ selon le point de vue sous 
lequel on Ta conçue. Pour écarter toute considération 
étrangère, je proposerai de la nommer calcul des fonctions 
indirectes^ en donnant à l'analyse ordinaire le titre de calcul 
des fonctions directes. Ces expressions, que je forme essen- 
tiellement en généralisant et en précisant les idées de 
Lagrange, sont destinées à indiquer simplement avec exac- 
titude le véritable caractère général propre à chacune des 
deux analyses. 
Ayant établi la division fondamentale de l'analyse matbé- 
A. CoMTi. Tome I. 10 



14e MATHÉMATIQUES. — ANALYSE MATHÉMATIQUE. 

matique, je dois maintenant considérer séparément I 
semble de chacune de ses deux parties, en commen 
par le calcul des fonctions directes, et réservant ensuite 
développements plus étendus aux diverses branohes 
calcul des fonctions indirectes. 



CINQUIÈME LEÇON 



Sommaire. — Gonsidérationft générales sur le calcul des fonctions 

directes. 



D*après TexplicatioD générale qui termine la leçon pré- 
cédente, le calcul des fonctions directes^ ou Valgèbre pro- 
prement dite, suffit entièrement à la solution des questions 
maihématiques, quand elles sont assez simples pour qu'on 
puisse former immédiatement les équations entre les gran- 
deurs mômes que Ton considère, sans qu'il soit nécessaire 
d'introduire à leur place ou conjointement avec elles aucun 
système de quantités auxiliaires dérivées des premières. 
A la vérité, dans le plus grand nombre des cas importants, 
son emploi a besoin d'être précédé et préparé par celui du 
calcul des fonctions indirectes, destiné à faciliter rétablisse- 
ment des équations. Mais, quoique le rôle de l'algèbre ne 
soit alors que secondaire, elle n'en a pas moins toujours 
une part nécessaire dans la solution complète de la ques- 
tion, en sorte que le calcul des fondions directes doit con- 
tinuer à être, par sa nature, la base fondamentale de toute 
l'analyse mathématique. Nous devons donc, avant d'aller 
plus loin, considérer, d'une manière générale, la compo- 
sition rationnelle de ce calcul, et le degré de développe- 
ment auquel il est parvenu aujourd'hui. 

L'objet définitif de ce calcul étant la résolution propre- 
ment dite des équations^ c'est-à-dire la découverte du 
mode de formation des quantités inconnues par les quan- 



1 48 MATHÉMATIQUES. 

tîtés connues d'après les équations qui existent entre elles ^ 
il présente naturellement autant de parties différentes qu 
Ton peut concevoir de classes d'équations vraiment dis 
tinctes; et, par conséquent, son étendue propre est rigou 
reusenfient indéûnie, le nonabre des fonctions analytiques 
susceptibles d'entrer dans les équations étant par lui 
même toutàfait illimité, bien qu'elles ne soient composées ^ 
que d'un très-petit nombre d'éléments primitifs. 

La classification rationnelle des équations doit être 
évidemment déterminée par la nature des éléments ana- - 
lytiques dont se composent leurs membres ; toute autre 
classification serait essentiellement arbitraire. Sous ce rap- 
port, les analystes divisent d'abord les équations à une ou 
à plusieurs variables en deux classes principales, selon 
qu'elles ne contiennent que des fonctions des trois pre- 
miers couples (voy. le tableau, 4"" leçon), ou qu'elles 
renferment aussi des fonctions, soit exponentielles, soit 
circulaires. Les dénominations de fonctions algébriques et 
fonctions transcendantes^ données communément à ces deux 
groupes principaux d'éléments analytiques, sont, sans 
doute, fort peu convenables. Mais la division universelle- 
hient établie entre les équations correspondantes n'en est 
pas moins très-réelle, en ce sens que la résolution des 
équations contenant les fonctions dites transcendantes pré- 
sente nécessairement plus de difficultés que celles des- 
équations dites algébriques. Aussi l'étude des premières- 
est-elle jusqu'ici excessivement imparfaite, à tel point quer- 
souvent la résolution des plus simples d'entre elles nous^^ 
est encore inconnue (i); c'est sur l'élaboration des se — 

(I) Quelque simple que puisse paraître, par exemple, l*éqaaUoD 

on ne aait point encore la résoudre ; ce qui peut donner une idée de l'ei — - 
trème imperfection de cette partie de l'algèbre. 



CALCUL DES FONCTIONS DIRECTES. 14f 

condes que porleol presque exclusivement nos méthodes 
analytiques. 

Ne considérant maintenant que ces équations algébri- 
ques, il faut observer d'abord que, quoiqu'elles puissent 
s^ouvent contenir des fonctions irrationnelles des inconnues, 
aussi bien que des fonctions rationnelles, on peut toujours, 
par des transformations plus ou moins faciles, faire ren- 
trer le premier cas dans le second ; en sorte que c'est de 
ce dernier que les analystes ont dû s'occuper uniquement 
pour résoudre toutes les équations algébriques. 

Dans l'enfance de Talgèbre, ces équations avaient été 
classées d'après le nombre de leurs termes. Mais cette 
classification était évidemment vicieuse ; comme séparant 
des cas réellement semblables, et en réunissant d'autres 
qui n'avaient rien de commun qu'un caractère sans au- 
cune importance véritable (1). Elle n'a été maintenue que 
pour les équations à deux termes, susceptibles, en eCfet, 
d'une résolution commune qui leur est propre. 

La classification des équations, d'après ce qu'on appelle 
leurs degrés^ universellement admise depuis longtemps 
par les analystes, est, au contraire, éminemment naturelle, 
et mérite d'être signalée ici. Car, en ne comparant, dans 
chaque (kgré^ que les équations qui se correspondent, 
quant à leur complication relative, on peut dire que cette 
distinction détermine rigoureusement la difficulté plus ou 
moins grande de leur résolution. Cette gradation est sen* 
sible elTectivement pour toutes les équations que l'on sait 
résoudre. Hais on peut s'en rendre compte d'une manière 
générale, indépendamment du fait de la résolution. Il 
suffit^ pour cela, de considérer que l'équation la plus gé- 

(1) On a commis plas tmrd Ii même erreur momentanée dans les pre- 
miers temps do Calcul infinitésimal, pour l'intégration des équations dif- 
féreotielles. 



150 MATHÉMATIQUES. 

nérale de chaque degré comprend nécessairement toutes 
celles des divers degrés inférieurs, en sorte qu'il en doit 
être ainsi de la formule qui détermine Tinconnue. En con- 
séquence, quelque faible qu'on pût supposer â priori la 
difficulté propre au degi'é que l'on considère, comme elle 
se complique inévitablement, dans l'exécution, de celles 
que présentent tous les degrés précédents, la résolution 
offre donc réellement plus d'obstacles à mesure que le 
degré de l'équation s'élève. 

Cet accroissement de difficulté est tel, que jusqu'ici la 
résolution des équations algébriques ne nous est connue 
que dans les quatre premiers degrés seulement. Â cet 
égard, l'algèbre n'a pas fait de progrès considérables de- 
puis les travaux de Descartes, et des analystes italiens du 
seizième siècle, quoique^ dans les deux derniers siècles, il 
n'ait peut-être pas existé un seul géomètre qui ne se soit 
occupé de pousser plus avant la résolution des équations. 
L'équation générale du cinquième degré elle-même a 
jusqu'ici résisté à toutes les tentatives. 

La complication toujours croissante que doivent néces- 
sairement présenter les formules pour résoudre les équa- 
tions à mesure que le degré augmente, l'extrême embarras 
qu'occasionne déjà l'usage de la formule du quatrième 
degré, et qui le rend presque inapplicable^ ont déterminé 
les analystes à renoncer, par un accord tacite, à poursui- 
vre de semblables recherches, quoiqu'ils soient loin de 
regarder comme impossible d'obtenir jamais la résolution 
des équations du cinquième degré, et de plusieurs antres 
degrés supérieurs. La seule question de ce genre, qui 
offrirait vraiment une grande importance, du moins sous 
le rapport logique, ce serait la résolution générale des 
équations algébriques d'un degré quelconque. Or, plus 
on médite sur ce sujet, plus on est conduit à penser, avec 



CALCUL DES FONCTIONS DIBECTES. 151 

LagraDge, qu'il surpasse réellement la portée effective de 
notre intelligence. Il faut d'ailleurs observer que la for- 
mule qui exprimerait la racine d'une équation du degré m 
devrait nécessairement renfermer des radicaux de Tordre m 
(ou des fonctions d'une multiplicité équivalente), à cause 
des m déterminations qu'elle doit comporter. Puisque nous 
avons vu, de plus, qu'elle doit aussi embrasser, comme 
cas particulier, celle qui correspond à tout autre degré 
inférieur^ il s'ensuit qu'elle contiendrait, en outre, iné* 
vitablement, des radicaux de l'ordre m — 1, d'autres de 
Tordre m — % etc., de telle manière que^ s'il était possible 
de la découvrir, elle off'rirait presque toujours une trop 
grande complication pour pouvoir être utilement em* 
ployée, à moins qu'on ne parvint à la simplifier, en lui 
conservant cependant toute la généralité convenable, par 
l'introduction d'un nouveau genre d'éléments analytiques, 
dont nous n'avons encore aucune idée. Il y a donc lieu de 
croire que, sans avoir déjà atteint sous ce rapport les 
bornes imposées par la faible portée de notre intelligence, 
nous ne tarderions pas à les rencontrer en prolongeant 
avec une activité forte et soutenue celte série de re- 
cherches. 

Il importe d'ailleurs d'observer que, môme en supposant 
obtenue la résolution des équations algébriques d*un degré 
quelconque, on n'aurait encore traité qu'une très-petite 
partie de Yalgèbre proprement dite, c'est-à-dire du calcul 
des fonctions directes, embrassant la résolution de toutes 
les équations que peuvent former les fonctions analytiques 
aujourd'hui connues. Enfin, pour achever d'éclaircir la 
considération philosophique de ce sujet, il faut recon- 
nattre que, par une loi irrécusable de la nature humaine, 
nos moyens pour concevoir de nouvelles questions étant 
beaucoup plus puissants que nos ressources pour les ré- 



i &2 MATHÉMATIQUES. 

soudre, ou, en d'autres termes, l'esprit humain étao 
bien plus apte à imaginer qu'à raisonner, nous resteron 
nécessairement toujours au-dessous de la difficulté, à quel 
que degré de développement que parviennent jamais no 
travaux intellectuels. Ainsi, quand môme on découvri-- 
rait un jour la résolution complète de toutes les équations - 
analytiques actuellement connues, ce qui, à l'examen, 
doit dire jugé tout à fait chimérique, il n'est pas douteux z 
qu'avant d'atteindre à ce but, et probablement même 

comme moyen subsidiaire, on aurait déjà surmonté la 

difficulté bien moindre, quoique très-grande cependant, 
de concevoir de nouveaux éléments analytiques, dont^ 
l'introduction donnerait lieu à des classes d'équations- 
que nous ignorons complètement aujourd'hui; en sorte 
qu'une pareille imperfection relative de la science algé- 
brique se reproduirait encore, malgré l'accroissement 
réel, très-important d'ailleurs, de la masse absolue de nos 
connaissances. 

Dans l'état présent de l'algèbre, la résolution complète 
des équations des quatre premiers degrés, des équations 
binômes quelconques, et certaines équations spéciales des 
degrés supérieurs, et d'un très-petit nombre d'équations 
exponentielles, logarithmiques, ou circulaires, consti- 
tuent donc les méthodes fondamentales que présente le cal* 
cul des fonctions directes pour la solution des problèmes 
mathématiques. Mais, avec des éléments aussi bornés, les 
géomètres n'en sont pas moins parvenus à traiter, d'une ma- 
nière vraiment admirable, un très-grand nombre de ques- 
tions importantes, comme nous le reconnaîtrons successi- 
vement dans la suite de ce volume. Les perfectioDoements 
généraux introduits depuis un siècle dans le système total 
de l'analyse mathématique ont eu pour caractère principal 
d'utiliser à un degré immense ce peu de connaissances ac- 




CALCUL DES FONCTIONS DIRECTES. 16» 

quises sur le calcul des fonctions directes^ au lieu de 
tendre à les augmenter. Ce résultat a été obtenu à un tel 
point, que le plus souvent ce calcul n'a de rôle effectif 
dans la solution complète des diverses questions que par 
ses parties les plus simples, celles qui se rapportent aux 
équations des deux premiers degrés, à une seule ou à 
plusieurs variables. 

L'extrême imperfection de Palgèbre relativement à la 
résolution des équations a déterminé les analystes à s'oc- 
cuper d'une nouvelle classe de questions, dont il importé 
de marquer ici le véritable caractère. Quand ils ont cru 
devoir renoncer à poursuivre plus longtemps la résolution 
des équations algébriques des degrés supérieurs au qua- 
trième, ils se sont occupés de suppléer, autant que possi- 
ble» à cette immense lacune, par ce qu'ils ont nommé la 
résolution numérique des équations. Ne pouvant obtenir, 
dans la plupart des cas, la formtde qui exprime quelle 
fonction explicite l'inconnue est des données, on a cher- 
Cbé« à défaut de cette résolution, la seule réellement algé^ 
brique^'k déterminer, du moins, indépendamment de cette 
formule, la valeur de chaque inconnue pour tel ou tel 
système désigné de valeurs particulières attribuées aux 
données. Par les travaux successifs des analystes, cette 
opération incomplète et bâtarde, qui présente un mélange 
intime des questions vraiment algébriques avec des ques- 
tions purement arithmétiques, a pu, du moins, être 
entièrement effectuée dans tous les cas, pour des équa- 
tions d'un degré et môme d'une forme quelconque. 
Sous ce rapport, les méthodes qu'on possède aujourd'hui 
sont suffisamment générales, quoique les calculs aux- 
quels elles conduisent soient souvent presque inexécu- 
tables à cause de leur complication. Il ne reste donc 
plus, à cet égard, qu'à simplifier assez les procédés, 



154 MATHÉMATIQUES. 

pour qu'ils deviennenl régulièrement applicables, ce qu'on 
peut espérer d'obtenir dans la suite. D'après cet état du 
calcul des fonctions directes, on s'efforce ensuite, dans 
l'application de ce calcul, de disposer, autant que possible, 
les questions proposées de façon à n'exiger flnalement que 
cette résolution numérique des équations. 

Quelque précieuse que soit évidemment une telle res- 
source, à défaut de la véritable solution^ il est essentiel de 
ne pas méconnaître le vrai caractère de ces procédés, que 
les analystes regardent avec raison comme une algèbre fort 
imparfaite. En effet, il s'en faut de beaucoup que nous pais- 
sions toujours réduire nos questions mathématiques à ne 
dépendre, en dernière analyse, que de la résolution numé' 
7'ique des équations. Gela ne se peut que pour les questions 
tout à fait isolées, ou vraiment finales, c'est-à-dire pourk 
plus petit nombre. La plupart des questions ne sont» eo 
effet, que préparatoires et destinées à servir de prélimi* 
nairc indispensable à la solution d'autres questions. .Or^ 
pour un tel but, il est évident que ce n'est pas la voter 
efl'ective de l'inconnue qu'il importe de découvrir, tuaii la 
formule qui montre comment elle dérive des autres quaiir 
tités considérées. C'est ce qui arrive, par exemple» dans 
un cas très-étendu, toutes les fois qu'une question déter- 
minée renferme simultanément plusieurs inconnues. 11 
s'agit alors, comme on sait, d'en faire, avant tout, la sépa* 
ration. En employant convenablement, à cet effet, le ]ir(h 
cédé simple et général heureusement imaginé par les 
analystes, et qui consiste à rapporter l'une des inconnues 
à toutes les autres, la difficulté disparaîtrait constammeol» 
si l'on savait toujours résoudre algébriquement les équa- 
tions considérées, sans que la résolution numérique puisse 
être alors d'aucune utilité. C'est uniquement faute deooo- 
naitre la résolution algébrique des équations à une seule 



CALCUL DES FONCTIONS DIRECTES. 1S5 

ÎQCODDue, qu'on est obligé de traiter l'élimination comme 
une question distincte, qui forme une des plus grandes 
difBcallés spéciales de l'algèbre ordinaire. Quelque péni* 
bles que soient les méthodes à l'aide desquelles on sur- 
moDle cette difficulté, elles ne sont pas même applicables, 
d'une manière entièrement générale, à l'élimination d'une 
iocooDue entre deux équations de forme quelconque. 

Dans les questions les plus simples, et lorsqu'on n'a vé- 
ritablement à résoudre qu'une seule équation à une seule 
iocoDQoe, cette résolution numérique n'en est pas moins un 
procédé très-imparfait, môme quand elle est strictement 
sofflsaDte. Elle présente, en effets ce grave inconvénient 
d'obliger à refaire toute la suite des opérations pour le plus 
léger changement qui peut survenir dans une seule des 
fQantilés considérées, quoique leur relation reste toujours 
b même, sans que les calculs faits pour un cas puissent 
dispenser en aucune manière de ceux qui concernent un 
autre cas très-peu différent, faute d'avoir pu abstraire et 
traiter distinctement cette partie purement algébrique de 
b question, qui est commune à tous les cas résultant de la 
^mple variation des nombres donnés. 

D'après les considérations précédentes, le calcul des 
fonctions directes, envisagé dans son état actuel, se di- 
^ donc naturellement en deux parties fort distinctes, 
suivant qu'on traite de la résolution algébrique des équa- 
tions ou de leur résolution numérique. La première partie, 
1^ seule vraiment satisfaisante, est malheureusement fort 
P^u étendue, et restera vraisemblablement toujours très- 
lK)rDée; la seconde, le plus souvent insufûsante, a du 
moins l'avantage d'une généralité beaucoup plus grande. 
U Décessité de distinguer nettement ces deux parties est 
évidente, à cause du but essentiellement différent qu'on 
se propose dans chacune, et, par suite, du point de 



156 MATHÉMATIQUES. 

vue propre sous lequel on y considère les quantités. De 
plus, si on les envisage relativement aux diverses méthodes 
dont chacune est composée, on trouve dans leur distrihution 
rationnelle une marche toute différente. En effets la pre- 
mière partie doit se diviser d'après la nature des équations 
que Ton sait résoudre, et indépendamment de toute consi- 
dération relative aux valeurs des inconnues. Dans la seconde 
partie, au contraire, ce n'est pas suivant les degrés des 
équations que les procédés se distinguent naturellement, 
puisqu'ils sont applicables à des équations d'un degré quel- 
conque, c'est selon l'espèce numérique des valeurs des 
inconnues. Car, pour calculer directement ces nombres 
sansles déduire des formules qui en feraient connaître les 
expressions, le moyen ne saurait évidemment être le môme, 
quand les nombres ne sont susceptibles d'être évalués 
que par une suite d'approximations toujours incomplète! 
que lorsqu'on peut les obtenir exactement. Cette distinc- 
tion si importante, dans la résolution numérique des équa- 
tions, des racines incommensurables, et des racines corn- 
mensurables, qui exigent des principes tout à fait différents 
pour leur détermination, est entièrement insigniflante 
dans la résolution algébrique^ où la nature rationnelle ou 
irrationnelle des nombres obtenus est un simple accident da 
calcul, qui ne peut exercer aucune influence sur les procé- 
dés employés. C'est, en un mot, une simple considération 
arithmétique. On en peutdire autant, quoique à un moindre 
degré, de la distinction des racines commensurables elles- 
mêmes en entières et fractionnaires. Enfin, il en est aussi 
de même à plus forte raison, pour la classification la plus 
générale des racines, en réelles et imaginaires. Toutes ces 
diverses considérations, qui sont prépondérantes quanta 
la résolution numérique des équations, et qui n'ont aucune 
importance dans la résolution algébrique, rendent de plus 



GALGITL DES FONCTIONS DIRECTES. 167 

en plus sensible la nature essentiellement distincte de ces 
deux parties principales de Talgèbre proprement dite. 

Ces deux parties, qui constituent l'objet immédiat du 
calcul des fonctions directes, sont dominées par une troi- 
sième purement spéculative, à laquelle Tune et l'autre em- 
pruntent leurs ressources les plus puissantes, et qui a été 
très-exactement désignée par le nom général de théorie des 
éguatianSy quoique cependant elle ne porte encore que sur 
les équations dites algébriques. La résolution numérique 
des équations, à cause de sa généralité, exige spécialement 
celte base rationnelle. 

Cette dernière branche si importante de l'algèbre se 
divise naturellement en deux ordres de questions, d'abord 
celles qui se rapportent à la composition des équations, et 
ensuite celles qui concernent leur transformation; ces der- 
nières ayant pour objet de modiGer les racines d'une équa- 
tion sans les connaître, suivant une loi quelconque donnée^ 
pourvu que cette loi soit uniforme relativement à toutes 
ces racines (1). 

(1) Je crois devoir, au sujet de la théorie des équations, signaler ici une 
iacnne de quelque importance. Le principe fondamental sur lequel elle 
repose, et qui est si fréquemment appliqué dans toute l'analyse matkéma- 
tiqae, la décomposition des fonctions algébriques, rationnelles et entières, 
d*iin degré quelconque, en facteurs du premier degré, n'est jamais employé 
que pour les fonctions d'une seule variable, sans que personne ait exa- 
miné si on doit retendre aux fonctions de plusieurs variables, ce que 
néanmoins on ne devrait pas laisser incertain. Quant aux fonctions de 
deux ou de trois variables, les considérations géométriques décident clai- 
rement, quoique d'une manière indirecte, que leur décomposition en fac- 
tanri est ordinairement impossible ; car il en résulterait que chaque classe 
correspondante d'équations ne pourrait représenter une ligne ou une sur- 
filée sut generis^ et que son lien géométrique rentrerait toujours dans le 
système de ceux appartenant à des équations de degré inférieur, de telle 
sorte que, de proche en proche, toute équation ne produirait jamais que 
des lignes droites ou des plans. Mais, précisément à cause de cette inter- 
prétation concrète, ce théorème, quoique purement négatif, me semble 



158 HATnÉHATlQUES. 

Pour compléter celte rapide énumération générale des 
diverses parties essentielles du calcul des fonctions directes, 
je dois enfîn mentionner expressément une des théories les 
plus fécondes et les plus imporlantes de Talgëbre propre- 
ment dite, celle relative à la transformation des fonctions 
en séries à l'aide de ce qu'on appelle la méthode des coef- 
ficients indéterminés. Cette méthode, si éminemment ana- 
lytique, et qui doit être regardée comme une des décou- 
vertes les plus remarquables de Descartes, a sans doute 
perdu de son importance depuis l'invention et le dévelop- 
pement du calcul infinitésimal, dont elle pouvait tenir liea 
si heureusement sous quelques rapports particuliers. Mais 
l'extension croissante de l'analyse transcendante, quoique 
ayant rendu cette méthode bien moins nécessaire, en a, 
d'un autre côté, multiplié les applications et agrandi les 
ressources; en sorte que, par l'utile combinaison qui s'est 

avoir une si grande importance pour la géométrie analytique, que je m'é- 
tonne qu'on n'ait pas cherché à établir directement une différence auaai 
caractéristique entre les fonctions à une seule variable et celles à plosieun 
variables. Je vais rapporter ici sommairement la démonstration abstraite 
et générale que J'en ai trouvée, quoiqu'elle fût plus convenablement placée 
dans un traité spécial. 

l*Si f{Xy y) pouvait se décomposer en facteurs dn premier degré, on les 
obtiendrait en résolvant l'équation f\Xy y) = o. Or, d'après les considéra- 
tions indiquées dans le texte, cette équation, résolue par rapport à t^ 
fournirait des formules qui contiendraient nécessairement divers radicani, 
dans lesquels entrerait y. Les fonctions de y, renfermées sous cbaqoe r»- 
dical, ne sauraient évidemment être en général des puissances parfaites. 
Or, il faudrait qu'elles le devinssent pour que les facteurs élémentaire 
correspondants de/* (a;, y), et qui sont déjà du premier degré en x, fussent 
aussi du premier degré, ou même simplement rationnels, relativement h y. 
Gela ne pourra donc avoir lieu que dans certains cas particuliers, lorsque 
les coefficients rempliront les conditious plus ou moins nombreuses, mais 
constamment déterminées, qu'exige la disparition des radicaux. Le même 
raisonnement s'appliquerait évidemment, à bien plus forte raison, aux 
fonctions de trois, quatre^ etc., variables. 

2<> Une autre démonstration, de nature très-différente, se tire de la me- 
sure du degré de généralité des fonctions à plusieurs variables, lequel 



CALCUL DES FONCTIONS DIRECTES. 169 

finalement opérée eiklre les deux théories, l'usage de la 
méthode des coefficients indéterminés est devenu aujour- 
d'hui beaucoup plus étendu qu'il ne Tétait même avant la 
formation du calcul des fonctions indirectes. 

Âpres avoir esquissé le tableau général de l'algèbre 
proprement dite, il me reste maintenant à présenter quel- 
les considérations sur divers points principaux du calcul 
des fonctions directes, dont les notions peuvent être utile- 
ment éclaircies par un examen philosophique. 

Les difficultés relatives à plusieurs symboles singuliers 
auxquels conduisent les calculs algébriques et notamment 
aux expressions dites imaginaires^ ont été, ce me semble, 
beaucoup exagérées par suite des considérations purement 
métaphysiques qu'on s'est efforcé d'y introduire, au lieu 
d'envisager ces résultats anormaux sous leur vrai point de 
vue, comme de simples faits analytiques. En les concevant 

t*flBtifDe par le nombre de constantes arbitraires entrant dans leur expi^s- 
ik>D la plus complète et la plus simple. Je me bornerai à Tindiqaer pour 
leifooctions de deux variables; il serait aisé de l'étendre à celles qui en 
ontieDnent davantage . 
On tait que le nombre de constantes arbitraires contenues dans la for- 

mile géoérale d'une fonction du degré m k deux variables, est ^ ^^ "^ ^^ 

Or, si one telle fonction pouvait seulement se décomposer en deux fac- 
tetirs. Tan du d^gré n, et l'autre du degré m — n, le produit renfermerait 
im nombre de constantes arbitraires égal à 

n{n-\'Z) , (m — n) (w — /i -f- 3) 

Ce nombre «tant, comme il est aisé de le voir, Inférieur au précédent de 
* (m — II), il en résulte qu'un tel produit, ayant moins de généralité que 
■* fonction primitive, ne peut la représenter constamment. On voit même 
Qu'une telle comparaison exigerait n(m— n), relations spéciales entre les 
^t^Qfllciento de cette fonction, qu'on trouverait aisément en développant 
VldeoUté. 

Ce nouveau genre de démonstration, fondé sur une considération ordi- 
v^aSrement négligée, pourrait probablement être employé avec avantage 
^«os plusieort antres circonstances. 



^*»^ MATHÉMATIQUES. 

aiQsi, il est aisé de reconnaître, ei^ thèse générale, que, 
Tesprit de l'analyse mathématique consistant à considérer 
les grandeurs sous le seul point de vue de leurs relations, 
et indépendamment de toute idée de valeur déterminée, il 
en résulte nécessairement pour les analystes Tobligation 
constante d'admettre indifféremment toutes les sortes 
d'expressions quelconques que pourront engendrer les 
combinaisons algébriques. S'ils voulaient s'en interdire 
une seule, à raison de sa singularité apparente, comme elle 
est toujours susceptible de se présenter d'après certaines 
suppositions particulières sur les valeurs des quantités con- 
sidérées, ils seraient contraints d'altérer la généralité de 
leurs conceptions, et, en introduisant ainsi, dans chaque 
raisonnement, une suite de distinctions vraiment étran- 
gères, ils feraient perdre à l'analyse mathématique son 
principal avantage caractéristique, la simplicité et l'uni- 
formité des idées qu'elle combine. L'embarras que l'intel- 
ligence éprouve ordinairement au sujet de ces expressions 
singulières me parait provenir essentiellement de la con- 
fusion vicieuse qu'elle fait à son insu entre l'idée de fonction 
et l'idée de valeur^ ou, ce qui revient au môme, entre le 
point de vue algébrique et le point de vue arithmétique. 
Si la nature de cet ouvrage me permettait de présenter à 
cet égard lesdéveloppementssuffisants, il me serait, je crois, 
facile, par un usage convenable des considérations indi- 
quées dans cette leçon et dans les deux précédentes, de 
dissiper les nuages dont une fausse manière de voir entoure 
habituellement ces diverses notions. Le résultat de cet 
examen démontrerait expressément que l'analyse mathé- 
matique est, par sa nature, beaucoup plus claire, sous les 
différents rapports dont je viens de parler, que ne le 
croient communément les géomètres eux-mêmes, égarés 
par les objections vicieuses des métaphysiciens. 




CALCUL DES FONCTIONS DIRECTES. 161 

Relativement aux quantités négatives, qui, par suite du 
même esprit métaphysique, ont donné lieu à tant de dis- 
cussions déplacées, aussi dépourvues de tout fondement 
rationnel que dénuées de toute vériUible utilité scientifique, 
il faut distinguer, en considérant toujours le simple fait 
analytique, entre leur signification abstraite et leur inter- 
prétation concrète, qu'on a presque toujours confondues 
jusqu'à présent. Sous le premier rapport, la théorie des 
quantités négatives peut ôtre établie d'une manière com- 
plète par une seule vue algébrique. Quant à la nécetfsilé 
d'admettre ce genre de résultats concurrement avec tout 
autre, elle dérive de la considération générale que je viens 
de présenter : et, quant à leur emploi comme arlilicc ana- 
lytique pour rendre les formules plus étendues, ce méca- 
nisme de ca'cnl ne peut réellement donner lieu à aucune 
difUculté sérieuse. Ainsi, on peut envisager la théorie 
abstraite des quantités négatives comme ne laissant rien 
d'essentiel à désirer : elle ne présente vraiment d'obstacles 
que ceux qu'on y introdu t mal à propos par des considé- 
rations sophistiques. Mais il n'en est nullement de même 
pour leur théorie concrète. 

Sous ce point de vue, elle consiste esseniiellement dans 
cette admirable propriété des hignes + et — de représen- 
ter analyliquement les oppositions de sens dont sont sus- 
ceptibles certaines grandeurs. Ce théorème général sur les 
relations du concret à l'aLstrait en mathémalhique est une 
des plus belles découvertes que nous devions au génie de 
Descartes, qui l'a obtenue comme un simple résultat de 
l'observation philoso|)hique convenablement dirigée. Un 
grand nombre de géomètres ont tenté depuis d'en établir 
directement la démonstration générale. Mais jusqn'ici leurs 
efforts ont, été illusoires, ^oit qu ils aient essayé de tran- 
cher la difGcullé par de vaines considérations mélaphy- 

A. Comte. Tome I. i i 



162 MATHÉMATIQUES. 

siques,oa par des comparaisons très-basardées, soit qu'ils 
aient pris de simples vériGcalions dans quelque cas 
particulier plus ou moins borné pour de véritables dé- 
monstrations. Ces diverses tentatives vicieuses, et le mé- 
lange hétérogène du point de vue abstrait avec le point de 
vue concret, ont môme introduit communément à cet 
égard une telle confusion, qu'il devient nécessaire d'énon- 
cer ici. distinctement le lait général, soit qu'on veuille se 
contenter d'en faire usage, soit qu'on se propose de l'expli- 
quer. Il consiste, indépendamment de toute explication, 
en ce que : si, dans une équation quelconque exprimant la 
relation de certaines quantités susceptibles d'opposition de 
sens, une ou plusieurs de ces quanlités viennent à être 
comptées dans un sens contraire à celui qu'elles affectaient 
quand l'équation a été primitivement établie; il ne sera pas 
nécessaire de former directement une nouvelle équation 
pour ce second état du phénomène; il sufGra de changer, 
dans la première équation, le signe de chacune des quan- 
tités qui auront changé de sens,el l'équation ainsi modifiée 
coïncidera toujours rigoureusement avec celle qu'on aurait 
trouvée en recommençant à chercher pour ce nouveau cas 
la loi analytique du phénomène. C'est dans cette coïnci- 
dence constante et nécessaire que consiste le théorème gé- 
néral. Or jusqu'ici on n'est point parvenu réellement à 
s'en rendre compte directement ; on ne s'en est assuré que 
par un grand nombre de \ériGcations géométriques et mé- 
caniques, qui sont, il est vrai, assez multipliées et surtout 
assez variées pour qu'il ne puisse rester dans aucun esprit 
juste le moindre doute sur l'exactitude et la généralté de 
cette propriété essentielle, mais qui, sous le rapport philo- 
sophique, ne dispensent nullement de chercher une expli* 
cation aussi importante. L'extrême étendue du théorème 
doit faire comprendre à la fois et la dilXicuité capitale de 



CALCUL DES FONCTIONS DIRECTES. 163 

cette recherche si souvent reprise infructueusement, et la 
haute utilité dont serait sans doute, pour le perfectionne- 
ment de la science mathématique, la conception générale 
de cette grande vérité, l'esprit ne pouvant évidemment s'y 
élever qu'en se plaçant à un point de vue d'où il découvri- 
rait inévitablement de nouvelles idées, par la considération 
directe et approfondie de la relation du concret à l'abstrait. 
Quoi qu'il en soit, l'imperfection que présente encore la 
science sous ce rapport n'a point empêché les géomètres 
de faire l'usnge le plus étendu et le plus important de cette 
propriété dans toutes les parties de la mathématique con- 
crète, où l'on en éprouve un besoin presque continuel. On 
peut môme retirer une certaine utilité logique de la simple 
considération nette de ce f»iit général, tel que je l'ai décrit 
ci-dessus ; il en résulte, par exemple, indépendamment de 
toute démonstration, que la propriété dont nous parlons 
ne doit jamais être appliquée aux grandeurs qui affectent 
des directions continuellement variables, sans donner lieu 
k une simple opposition de sens : dans ce cas, le signe 
dont se trouve nécessairement affecté tout résultat de cal- 
cul n'est susceptible d'aucune interprétation concrète, et 
c'est à tort qu'on s'efforce quelquefois d'en établir; cette 
circonstance a lieu, entre antres occasions, pour les rayons 
vecteurs en géométrie, et pour les forces divergentes en 
mécanique. 

Un second théorème général sur la relation du concret 
à l'abstrait en mathématique, que je crois devoir consi- 
dérer expressément ici, est celui qu'on désigne ordinaire- 
ment sous le nom de principe de V homogénéité. Il est sans 
doute bien moins important dans ses applications que le 
précédent. Mais il mérite particulièrement notre attention, 
comme ayant, par sa nature, une étendue encore plus 
grande, puisqu'il s'applique indistinctement à tous les phé- 



164 MATHÉMATIQUES. 

nomènes, et à cause de Tulililé réelle qu'on en retire sou- 
vent pour la vériGcation de leurs lois analytiques. Je puis 
d'ailleurs en exposer une démonstration directe et géné- 
rale, qui me semble fort simple. Elle est fondée sur celte 
seule observation, évidente par elle-même : l'exactitude de 
tonte relation entre des grandeurs concrètes quelconques 
est indépendante de la valeur des unités auxquelles on les 
rapporte pour les exprimer en nombres. Par exemple, la 
relation qui existe entre les trois côtés d'un triangle rectan- 
gle a lieu soit qu'on les évalue en mètres, ou en lieues, ou 
en pouces, etc. 

il suit, de cette considération générale, que toute équa- 
tion qui exprime la loi analytique d'un phénomène quel- 
conque, doit jouir de cette propriété de n'être nuilemeut 
altérée, quand on fait subir simultanément à toutes les 
quantités qui s'y trouvent le changement correspondant 
à celui qu'éprouveraient leurs unités respectives. Or ce 
changement consiste évidemment en ce que toutes les 
quantités de chaque espèce deviendraient à la fois m fois 
plus petites, si l'unité qui leur correspond devient m fois 
plus grande, ou réciproquement. Ainsi, toute équation qui 
représente une relation concrète quelconque doit offrir 
ce caractère de demeurer la môme, quand on y rend m 
fois plus grandes toutes les quantités qu'elle contient, et 
qui expriment les grandeurs entre lesquelles existe la re- 
lation, en exceptant toutefois les nombres qui désignent 
simplement les rapports mutuels de ces diverses grandeurs, 
lesquels restent invariables dans le changement des unités. 
C'est dans cette propriété que consiste la loi de rhomogé- 
néité, suivant son acception la plus étendue, c'est-à-dire 
de quelques fonctions analytiques que les équations soient 
composées. 

Mais, le plus souvent, on ne considère que les cas où ces 



CALCUL DES FONCTIONS DIRECTES. 165 

fonctions sont de celles qu'on appelle particulièrement 
algébriques, et auxquelles la notion de degré est applicable. 
Dans ce cas, on peut préciser davantage la proposition 
générale, en déterminant le caractère analytique que doit 
présenter nécessairement l'équation pour que cette pro- 
priété soit vérifiée. Il est aisé de voir alors, en effet, que, 
parla modification ci-dessus exposée, tous les termes du 
premier degré, quelle que soit leur forme, rationnelle ou 
irrationnelle, entière ou fractionnaire, deviendront m fois 
plus grands; tous ceux du second degré, m^ fois; ceux du 
troisième, m^ fois, etc. Ainsi les termes du môme degré, 
quelque diverse que puisse être leur composition, variant 
de la même manière, et les termes de degrés difTérenls 
variant dans une proportion inégale, quelque similitude 
que puisse offrir leur composition, il faudra nécessairement, 
pour que l'équation ne soit pas troublée, que tous les 
termes qu'elle contient soient d'un même degré. C'est en 
cela que consiste proprement le théorème ordinaire de 
Y homogénéité ; et c'est de cette circonstance que la loi gé- 
nérale a tiré son nom, qui cependant cesse d'être exacte- 
ment convenable pour toute autre espèce de fonctions. 

Afin de traiter ce sujet dans toute sou étendue, il im- 
porte d'observer une condition essentielle, à laquelle on 
devra avoir égard en appliquant cette propriété, lorsque 
le phénomène exprimé par l'équation présentera des gran- 
deurs de natures diverses. En eflet, il pourra arriver que 
les unités respectives soient complètement indépendantes 
les unes des autres, et alors le théorème de l'homogénéité 
aura lieu, soit par rapport à toutes les classes correspon- 
daott'S de quantités, soit qu'on ne veuille considérer qu'une 
seule ou plusieurs d'entre elles. Mais il arrivera, dans 
d'autres occasions, que les diverses unités auront entre 
elles des relations obligées, déterminées par la nature de 



166 MATHÉMATIQUES. 

la question. Alors il faudra avoir égard à celte subordina- 
tion des unités dans la vérification de l'homogénéité, qui 
n'existera plus en un sens purenaent algébrique, et dont le 
modeprécis variera suivantle genre des phénomènes. Ainsi, 
par exemple^ pour fixer les idées, quand on considérera, 
dans l'expression analytique des phénomènes géométriques, 
à la fois des lignes, des aires et des volumes, il faudra ob- 
server que les trois unités correspondantes sont nécessai- 
rement liées entre elles, de telle sorte que, suivant la su- 
bordination généralement établie à cet égard, lorsque la 
première devient m fois plus grande, la seconde le devient 
m* fois, et la troisième m^ fois. C'est avec une telle modifi- 
cation que l'homogénéité existera dans les équations, où 
l'on devra alors, si elles sont algébriques, estimer le degré 
de chaque terme, en doublant les exposants des facteurs 
qui correspondent à des aires, et triplant ceux des facteurs 
relatifs à des volumes (I). 

Telles sont les principales considérations générales, 
très-insuffisantes sans doule, mais auxquelles je suis con- 
traint de me réduire par les limites naturelles de ce cours, 
relativement au calcul des fonctions directes. Nous de- 
vons passer maintenant à l'examen philpsophique du cal- 
cul des fonctions indirectes, dont l'importance et l'étendue 
bien supérieures réclament un plus grand développement. 

(0 J*ai été conduit, il y a douze ans, par mon enseignement journalier 
de la science mathémaiiqne, à construire ceite théorie générale de l'Iiomo- 
généité. J'ai trouvé depuis que Fourier, dans sa T/iéorie analytique de la 
dialeur^ Paris. 1822^ avait suivi, de son cCté, une marche essentiel lement 
semblable. Malgré cette heureuse coîucidence, qu*a dû naturellement dé- 
terminer la considération directe d*un sujet aussi simple. Je n*ai pas cru 
devoir ici renvoyer à sa démonstration ; celle que je viens d*eiposer 
ayant pour principal objet d'embrasser Tensemble de la question, 
égard à aucuoe application spéciale. 



SIXIÈME LEÇON 

Sommaire : — Exposition comparative des divers points de vue généraux 
sous lesquels on peut envisager le calcul des fonctions indirectes. 



Nous avons déterminé, dans la quatrième leçon, le ca- 
ractère philosophique propre à l'analyse transcendante, 
de quelque manière qu'on puisse la concevoir, en consi- 
dérant seulement la nature générale de sa destination 
effeclive dans l'ensemble de la science mathémalique. 
Celle analyse a été, comme on sait, présentée par les géo- 
mètres sous plusieurs points de vue réellement distincts, 
quoique nécessairement équivalents, et conduisant lou- 
jours à des résultais identiques. On peut les réduire à trois 
principaux, ceux de Leibnitz, de Newton et de Lagrange, 
dont tous les autres ne sont que des modifications secon- 
daires. Dans l'état présent de la science, chacune de ces 
trois conceptions générales offre des avantages essentiels 
qui lui appartiennent exclusivement, sans qu'on soit en- 
core parvenu à construire une méthode unique réunissant 
toutes ces diverses qualités caractéi'istiques. En méditant 
sur l'ensemble de cette grande question, on est convaincu^ 
je crois, que c'est dans la conception de Lagrange, que 
s^opérera un jour cette combinaison. Quand cet important 
travail philosophique^ qui exige une profonde élaboration 
de toutes les idées mathématiques fondamentales, sera 
convenablement exécuté, on pourra se borner alors, pour 
connaître l'analyse transcendante, à la seule élude de cette 



168 MATHÉMATIQUES. 

conception définitive; les autres ne présentant plus essen- 
tiellement qu'un intérêt historique. Mais, jusqu'à cette 
époque, la science devra élre considérée, sous ce rapport, 
comme étant dans un véritable état provisoire, qui exige 
absolument, môme pour l'exposition dogmatique de cette 
analyse, la considération simultanée des divers modes gé- 
néraux propres au calcul des fonctions indirectes. Quelque 
peu satisfaisante que puisse paraître, sous le rapport lo- 
gique, cette multiplicité de conceptions d'un sujet toujours 
identique, il est certain que, sans cette indispensable con- 
dition, on ne pourrait se former aujourd'hui qu'une notion 
très-insuffisante de cette analyse, soit en elle-même, soit 
surtout relativement à ses applications, quel que fût le 
mode unique que l'on aurait cru devoir choisir. Ce défaut 
de systématisation dans la partie la plus importante de 
l'analyse mathématique ne paraîtra nullement étrange, si 
l'on considère, d'une part, son extrême étendue, sa diffi- 
culté supérieure, et, d'une autre part, sa formation presque 
récente. La génération des géomètres est à peine renou- 
velée depuis la production primitive de la conception des- 
tinée sans doute à coordonner la science, de manière à lui 
imprimer un caractère fixe et uniforme; ciinsi, les habi- 
tudes intellectuelles n'ont pu encore, sous ce rapport, être 
suffisamment formées. 

S'il s'agissait ici de tracer l'histoire rai^nnée de la for- 
mation successive de l'analyse transcendante, il faudrait 
préalablement distinguer avec soin du calcul des fonctions ' 
indirectes proprement dit l'idée mère de la méthode iu- 
finitésiR)ale, laquelle peut être conçue par elle-même» 
indépendamment de tout calcul. Nous verrions, dès lors, 
que le premier germe de cette idée se trouve déjà dans 
le procédé constant, employé par les géomètres grecs, 
sous le nom de méthode (Texhaustion, pour passer de ce 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 169 

qui est relatif aux lignes droites à ce qui concerne les 
lignes courbes, et qui consistait essentiellenient à substi- 
tuer à la courbe la considération auxiliaire d'un polygone 
inscrit ou circonscrit, d'après lequel on s'élevait à la 
courbe elle-môitie, en prenant convcnablennent les limites 
des relations primitives. Quelque incontestable que soit 
cette Oliation des idées, on lui donnerait une importance 
fort exagérée, en voyant, dans cette métbode d'exbaustion, 
Téquivalent réel de nos méthodes modernes, comme l'ont 
fait plusieurs géomètres. Car les anciens n'avaient aucun 
moyen rationnel et général pour la détermin;ition de ces 
limites, qui constit lait ordinairement la plus grande diffl- 
colté de la question; en sorte que leurs solutions n'étaient 
point soumises à des règles abstraites et invariables, dont 
l'application uniforme dût conduire avec certitude à la 
connaissanre cbercLée, ce qui est le principal caractère 
de notre analyse transcendante. En un mot, il restait à 
généraliser la conception employée par les anciens, et 
surtout, en la considérant d'une manière purement abs- 
Iraite, à la réduire en culcul, ce qui leur était impossible. 
^ première idée qui ait été produite dans cette nouvelle 
direction remonte véritablement à notre grand géomètre 
^<?rmat, que Lagrange a justement présenté comme ayant 
ébauché la formation directe de l'analyse transcendante 
Psrsa métbode pour la détermination des maxima et mi- 
tmia, et pour la recherche des tai)gcnle>, qui consistait 
essentiellement, en effet, à introduire la considération 
auxiliaire des accroissements corrélatifs des vari<ibles pro- 
posées, accroissements supprimés ensuite comme nuls, 
après que les équations avaient subi certaines transfor- 
mations convenables. Mais, quoique Fermât eût le premier 
conçu celte analyse d'une manière vraiment abstraite, elle 
était encore loin d'être régulièrement formée en un calcul 



170 MATnÉMATIQUES. 

général et distinct, ayant sa notation propre, et surtout 
dégagé de la considération superflue des ternaes, qui fi- 
nissaient par n'être plus comptés dans l'analyse de Fermât^ 
après avoir néanmoins singulièrement compliqué par leui 
présence toutes les opérations. C'est ce qu'a si heureuse- 
ment exécuté Leibnitz un demi-siècle plus tard, après 
quelques modiQcations intermédiaires apportées par Wal' 
lis, et surtout par Barrow, aux idées de Fermât; et pai 
là il a été le véritable créateur de l'analyse transcendante, 
telle que nous l'employons aujourd'hui. Cette découverte 
capitale était tellement mûre, comme toutes les grandes 
conceptions de l'esprit humain au moment de leur mani- 
festation, que Newton, de son côté, était parvenu en môme 
temps, ou un peu auparavant, à une méthode exactemenl 
équivalente, en considérant cette analyse sous un poinl 
de vue très-différent, et qui, bien que plus rationnel eo 
lui-môme, est réellement moins convenable pour donnei 
à la méthode fondamentale commune toute l'étendue et la 
facilité que lui ont imprimées les idées de Leibnitz. Eufln, 
Lagrange, écartant les considérations hétérogènes qui 
avaient guidé Leibnitz et Newton, est parvenu plus tard à 
réduire l'analyse transcendante, dans sa plus grande per- 
fection, à un système purement algébrique, auquel il ne 
manque encore que plus d'aplitude aux applications. 

Après ce coup d'œil sommaire sur l'histoire générale de 
l'analyse transcendante, procédons à l'exposition dogma- 
tique des trois conceptions principales, afin d'apprécier 
exactement leurs propriétés caractéristiques, et de consia- 
ter l'identité nécessaire des méthodes qui en dérivent. Com- 
mençons par celle de Leibnilz. 

Elle consiste, comme on sait, à introduire dans le cal- 
cul, pour faciliter l'établissement des équations, les élé- 
ments infiniment petits dont on considère comme compo- 



CALCUL DBS FONCTIONS INDIRECTES. 171 

séesles quantités entre lesquelles on cherche des relations. 
Ces éléinenls ou différentielles auront entre eux des rela- 
tions constamment et nécesbairement plus simples et plus 
faciles à découvrir que celles des quantités primitives, et 
d'après lesquelles on pourrait ensuite, par un calcul spé- 
cial ayant pour destination propre l'élimination de ces 
infinitésimales auxiliaires, remonter aux équations cher- 
chées, qu'il eût été le plus souvent impossible d'obtenir 
directement. Cette analyse indirecte pourra l'ôire à des 
degrés divers ; car, si on trouve quelquefois trop de difQ- 
coilé à former immédiatement l'équation entre les dilTé* 
renliellcs mômes des grandeurs que l'on considère, il 
faudra, par un emploi redoublé du môme artifice général, 
traiter, à leur tour, ces différentielles comme de nouvelles 
QQ^ulités primitives, et chercher la relation entre leurs 
éléments inflniment petits, qui, par rapport aux objets 
définitifs de la question, seront les différentielles secondes, 
stainsi de suite, la môme transformation pouvant ôlre répé- 
tée un nombre quelconque de fois, à la condition toujours 
<l'éliminer finalement le nombre de plus en plus grand des 
quantités infinitésimales introduites comme auxiliaires. 

Dn esprit encore étranger à ces considérations n'aper- 
çoit pas sur-le-champ comment l'emploi de ces quantités 
auxiliaires peut faciliter la découverte des lois analytiques 
des phénomènes ; car les accroissements infiniment petits 
des grandeurs proposées étant de môme espèce qu'elles, 
leurs relations ne paraissent pas devoir s'obtenir plus ai- 
sément, la valeur plus ou moins petite d une quantité ne 
pouvant, en effet, exercer aucune influence sur une re- 
cherche nécessairement indépendante, par sa nature, âfi 
toute idée de valeur. Mais il est aisé, néanmoins, de s'expli- 
quer très-nettement, et d'une manière tout à fait générale, 
à quel point, par un tel artifice, la question doit se trou- 



1 7 S M ATD ÉM ATIQUES. 

ver simpliûée. Il faut, ponr cela, commencer par distii- 
guer les difTérenls ordres d'infiniment petits, dont on peut 
se faire une idée fort précise, en considérant que ce sont 
ou les puissances successives d'un même inGniment petit 
primilif, ou des quantités qu'on peut présenter comme 
ayant avec ces puissances des rapports finis, en sorte que, 
par exemple^ les difTérentielIes seconde, troisième, etc., 
d'une môme variable, sont classées comme infiniment pe- 
tits du second ordre, du troisième, etc., parce qu'il est 
aisé de montrer en elles des multiples finis des puissances 
seconde, troisième, etc., d'une cerlaine différentielle pre- 
mière. Ces notions préliminaires élant posées, l'esprit de 
l'analyse infinitésimale consiste à négliger constamment 
les quantités infiniment petites à l'égard des quantités 
finies, et, généralement, les infiniment petits d'un ordre 
quelconque vis-à-vis tous ceux d'un ordre inférieur. On 
conçoit immédiatement combien une telle faculté doit 
faciliter la formation des équations entre les différentielles 
des quantités, puisque, au lieu de ces différentielles, on 
pourra substituer tels autres éléments qu'on voudra, et qui 
seraient plus simples à considérer, en se conTormant à 
cette seule condition, que les nouveaux éléments ne diffè- 
rent des précédents que de quantités infiniment petites 
par rapport à eux. C'est ainsi qu'il sera possible, en géo- 
mélrie, de traiter les lignes courbes comme composées 
d'une infinité d'éléments rectilignes, les surfaces courbes 
comme formées d'éléments plans; et, en mécanique, les 
mouvements variés comme une suite infinie de mouve- 
ments uniformes, se succédante des intervalles de temps 
infiniment petits. Vu l'importance de cette conception 
admirable, je crois devoir ici, par l'indication sommaire 
de quelques exemples principaux, achever d'éclaircir son 
caractère fondamental. 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 17 S 

Qu'il s'agisse de déterminer, en chaque point d'une 
courbe plane dont l'équation est donnée, la direction de sa 
tangente, question dont la solution générale a été l'objet 
primitif qu'avaient en vue les inventeurs de l'analyse trans- 
cendante. On considérera la tangente comme une sécante 
qui joindrait deux points infiniment voisins; et alors, en 
nommant dy et dx les ditTérences inGniment petites des 
coordonnées de ces deux points, les premiers éléments de 

lagéomélrie fourniront immédiatement l'équation ^= ^' 

pour la tangente trigonométrique de l'angle que fait avec 
l'axe des x la tangente cherchée, ce qui, dans un système 
de coordonnées rectilignes, est la manière la plus simple 
d'en fixer la position. Cette équation, commune à toutes 
les courbes, étant posée, la question est réduite à un simple 
problème analytique, qui consistera à élimiler les infini- 
tésimales dx et dy^ introduites comme auxiliaires, en déter- 
Qiinant, dans chaque cas particulier, d'après Téqu ition de 
^3 courbe proposée le rapport de dy à rfx, ce qui se fera 
Constamment par des procédés uniformes et très-simples. 
En second lieu, qu'on veuille connaître la longueur de 
i'arc d'une courbe quelconque, considéré comme une fonc- 
tion des coordonnées de ses extrémités. 11 serait impossible 
^'établir immédiatement l'équation entre cet arc s et ces 
coordonnées, tandis qu'il est aisé de trouver la relation 
correspondante entre les différentielles de ces diverses 
grandeurs. Les plus simples théorèmes de la géométrie 
élémentaire donneront, en elFel, sur-le-champ en considé- 
rant Tare infiniment petit ds comme une ligne droite, les 
équations 

(/>« = dy* + dx\ ou cf4« = dj'' + dy* + di\ 

suivant que la courbe sera plane ou à double courbure. 
Dans l'un et l'autre cas, la question est maintenant tout 



174 MATnÉHATIQUES. 

enlière du domaine de l'analyse, qui fera remonter, d*après 
celle relation, à celle qui existe entre les quantités finies 
elles-mêmes que Ton considère, par réliminalion de dif- 
fércnlielles, qui est l'objet propre du calcul des fonctions 
indirectes. 

Il en serait de même ponr la quadrature des aires cur- 
vilignes. Si la courbe est plane et rapportée à des coordon- 
nées reclilignes, on concevra Taire A comprise entre elles. 
Taxe des x, et deux coordonnées extrêmes, comme aug- 
mentant d'une quantité infiniment peiite c/A, en résultat 
d'im accroissement analogue de l'abcisse. Alors la relation 
entre ces deux difTcrentielIcs pourra s'obtenir immédiate- 
ment avec la plus grande facilité, en substituant à l'élément 
curviligne de l'aire proposée le rectangle formé par l'ordon- 
née extrême et l'élément de l'abcisse, dont il ne diffère évi- 
demment que d'une quantité inflnimenl petite du second 
ordre, ce qui fournira aussitôt, quelle que soit la courbe, 
l'équation différentielle très-simple 

dA = ydxy 

d où le Ctilcul des fonctions indirectes, quand la courbe 
sera déûnie, apprendra à déduire l'équation finie, objet 
immédiat du problème. 

Pareillement, en dynamique , quand on voudra con- 
naître l'expression de la vitesse acquise à chaque instant 
par un corps Huimé d'un mouvement varié suivant une loi 
quelconque, on considérera le mouvement comme uni- 
forme pendant la durée d'un élément infiniment petit du 
temps t, et on formera ainsi immédialement l'équation dif- 
férentielle de =- vdt, V désignant la vitesse acquise quand 
le corps a parcouru l'espace e, et de là il sera facile de 
conclure, par de simples procédés analytiques invariables, 
la formule qui donnerait la vitesse dans chaque mouve- 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 17» 

ment particulier, d'après la relation correspondante entre 
le temps el l'espace; ou, réciproquement, quelle serait 
celte relation si le mode de variation de la vitesse était 
supposé connu, soit par rapport à l'espace, soit par rap- 
port au temps. 

Enfin, pour indiquer une autre nature de questions, c'est 
par une marche semblable que, dans l'étude des phéno- 
mènes thermologiques, comme l'a si heureusement conçue 
Fourier, on peut former très-simplement, ainsi que nous 
le verrons plus tard, l'équation dilTérentielle générale qui 
exprime la répartition variable de la chaleur dans un corps 
quelconque à quelques influences qu'on le suppose soumis, 
d'après la seule relation, fort aisée à obtenir, qui repré- 
sente la distribution uniforme de la chaleur dans un parai- 
lélipipède rectangle, en considérant géométriquement tout 
autre corps comme décomposé en éléments infiniment 
petits d'une telle forme, et thermologiquement le flux de 
chaleur comme constint pendant un temps infiniment 
petit. Dès lors, toutes les questions que peut présenter la 
thermologie abstraite se trouveront réduites, comme pour 
la géométrie et la mécanique, à de pures difficultés d'ana- 
lyse, qui consisteront toujours dans l'élimination des dif- 
férentielles introduites comme auxiliaires pour faciliter 
l'établissement des équations. 

Des exemples de nature aussi diverse sont plus que 
saflisants pour faire nettement comprendre en général l'im- 
mense portée de la conception fondamentale de l'analyse 
transcendante, telle que Leibnitz l'a formée, et qui cons- 
titue sans aucun doute la plus haute pensée à laquelle 
l'esprit humain se soit jamais élevé jusqu'à présent. 

On voit que celte conception était indispensable pour 
achever de fonder la science mathématique, en permellant 
d'établir, d'une manière large et féconde, la relation du 



176 M ATUÉM ATIQUES. 

concret à TabstraiL Sous ce rapport, ello doit ôlre envisa- 
gée comme le complément nécessaire de la grande idée 
mère de Desc.irles sur la repié>entalion an;ilyliqne générale 
des phénomènes nalurels, idée qui n'a commencé à ôlre 
dignement appréciée et convenablement exploitée que 
depuis la formation de l'analyse infinitésimale, sans la- 
quelle elle ne pouvait encore produire, môme en géomé- 
trie, de résultats trôs-importauts (1). 

Quoique j'aie cru devoir, dans les considérations précé- 
dentes, insister particulièrement sur raduiirablc facilité 
que présente par sa nature l'analyse transcendante pour la 
recherche des lois mathématiques de tous les phénomènes, 
je ne dois pas négliger de faire ressortir une seconde pro- 
priété fondamentale, peut-être aushi importante que la 
première, et qui ne lui e^t pas moins inhérente : je veux 
parler de l'extrême généralité des formules dilFérenlielles, 
qui expriment en une seule équ;ition cb que phénomène 
déterminé, quelque varias que puissent èlre les sujets 
dans lesquels on le considère. Ainsi, sous le point de vue 
de lanalyse iiiQnitésimalo, on voit, dans les exemples qui 
précèdent, une seule équation difTcrenlielle donner les 
tangentes à toules les courbes, une autre leurs rectifica- 
tions, une troisième leurs quadratures; et de môme, une 
formule invariable exprimer la loi mathématique de tout 

(I) II est bicîn remarqnnblo, en offet, que des Iiommo«, tcii que Pascal, 
ainiit lait au«si peu d'utttfiiiion h Ih conception fondamentale de Descariet, 
sans pi^s&ewiir nullemoiit lu révointion générale qnVile était nécessaire- 
ment destinée à produire dans le sys {.'inconli.'r île la science niatliéioa- 
tique. Cela est venu do ce que, sans le sc'onrsde l'analyse transcendante, 
cette aJmirable nirtliode ne pouvaii r eilcinent encore conduira à det 
résultats essentiels, qui m^pussnt ôire obtentis presque awssi bien parla 
méiliod*.' géoniiHriquc des ancif^ns. Les esprits ni^nie les pins éniinents 
ont toujours bien nnins npprécié Jusqti*ici les méthodes générales par 
leur simple caractère philosophique que par les counaissauces cffectivse 
qu'elles pouvaient procurer immédiatement. 



f ■ 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 177 

mouvement varié ; enfin une éqnalion unique représen- 
ter constamment la répartition de la cbaleur dans un 
corps et pour un cas quelconques. Celle généralité si 
éminemment remarquable, et qui est pour les géomè- 
tres la base des considérations les plus élevées, est une 
beureuse conséquence nécessaire et presque immédiate de 
^'^spril môme de l'analyse Iranscendanle, sui tout dans la 
conception de Leibnilz. Elle résulte de ce qu'en substi- 
tuant aux éléments infininienl petits des grandeurs consi- 
<^érées, d'autres inûnilésimales plus simples, qui i!>eules 
^'ilreiit dans les équaiions diO'crenlielles, ces infinitési- 
'^ales se trouvent, par leur nature, être conslanimenl les 
'^Cmes pour chaque classe totale de questions, quels que 
^^îent les objets divers du phénomène étudié. Ainsi, par 
^^emple, toute courbe, quelle qu'elle soit, étant toujours 
^^composée en éléments reclilignes, on co: çoit à priori 
^^ela relation entre ces cléments uniformes doit nécessai- 
rement être la môme pour un mOine pliénomène géomé- 
'^ique quelconque, quoique l'équation unie corrospon- 
^anle à cette loi d.lTérentielle doive varier d'une courbe à 
^ne autre. 11 en est évidemment de môme dans loul autre 
^as quelconque. L'analyse iniinitésimale n'a donc pas seu- 
lement fourni un procédé général pour former indirecle- 
^eut des équaiions qu'il eût élé impossible de découvrir 
fj'uoe manière directe ; elle i\ permis en outre de consi- 
tiérer, pour l'élude mathématique des phénomènes natu- 
rels, un ordre nouveau de lois plus générales et néanmoins 
offrant une signification claire et précise à tout esprit ha- 
bitué à leur inlerprétalion. Ces lois sont constamment les 
mônies pour chaque phénomène, dans quelques objets 
qu'on l'étudié, et ne change qu'en passant d'un phéno- 
mène à un autre ; d'où l'on a pu d'ailleurs, en comparant 
ces variations, s'élever quelquefois, par une vue encore plus 

A. COMTE. Tome I. ^2 






178 MATDÉNATIQUES. 

générale, à des rapprochements positifs entre diverse 
classes de phénomènes lout à fait divers, d'après les anal 
gies présentées par les expressions dilTérentielles de leur 
lois mathématiques. Dans Tétude philosophique de 1 
mathématique concrèie, je m'attacherai à faire exactemea 
apprécier cette seconde propriété caractéristique de l'ana 
lyse transcendante, non moins admirable que la première, 
et en vertu de laquelle le système entier d*une science 
immense, comme la géométrie ou la mécanique, a pu s^ 
trouver condensé en un petit nombre de formules analyti 
ques, d'où l'esprit humain peut déduire, par des règle 
certaines et invariables, la solution de tous les problèm 
particuliers. 

Pour terminer l'exposition gét^érale de la conception d 
Leibnitz^ il me reste maintenant à considérer en elle-mêm 
la démonstration du procédé logique auquel elle conduit,, 
ce qui constitue malheureusement la partie la plus impar- 
faite de cette belle méthode. 

Dans les premiers temps de l'analyse infinitésimale, le 
géomètres les plus célèbres, tels que les deux illustres- 
frères Joan et Jacques Bernouilli, attachèrent, avec raison^ 
bien [ilus d'importance à étendre, en la développant, l'im — 
mortelle découverte de Leibnilz, et à en multiplier les a 
plications qu'à établir rigoureusement les })ases h giquess 
sur lesquelles reposaient les procédés de ce nouveau- 
calcul (1). Ils se contentèrent pendant longtemps de ré— 

(I) On ne pout contempler, sans un profond intérêt, le naïf rnthoa- 
siasme de Til lustre Hnygliens, au sujet de cette udmirable création, quoi>| 
80n âge avancé ne lui permit point d'en f.iire lui-même aucun ii»aKe i 
portant, ei qu'il se fût déjà éievé sans co pui&sant recours à dt*i découvert 
capitales. Je voit avec surprise et avec ta/miration, écrivait-il, rn iCii} 
au marquis de L*HôpitaI, téien'fue et ia /é-on^fHé de cet nrt; de quel» 
que cô é qu* je tourne la vue, feti aperçois de houvtaux usaytM ; enfin, 
fy conçoit un progrès et une spéculation infinis. 




CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 179 

pondre par la solution inespérée des problèmes les plus 
difliciles à Topposilion prononcée de la plupart des géo- 
mètres du second ordre contre les principes de la nou- 
velle analyse, persuadés sans doute, contrairement aux 
habitudes ordinaires, que, dans la science mathématique 
hien plus que dans aucune autre, on peut accueillir avec 
hardiesse les nouveaux moyens; môme quand leur ra- 
iionnalité est imparfaite, pourvu qu'ils soient féconds, 
puisque, les vériûcations étant bien plus faciles et plus 
•mullipliées, l'erreur ne saurait demeurer longtemps ina- 
perçue. Néanmoins, après le premier élan, il étail impos- 
sible d'en reslerlà; et il fallait revenir nécessairement 
sur les fondements mômes de l'analyse leibnitzienne pour 
constater généralement l'exactitude rigoureuse des pro- 
eédés employés, malgré les infractions apparentes qu'on 
t'y permettait aux règles ordinaires du raisonnement. 
Leibnitz, pressé de répondre, avait lui-môme présenté une 
explication tout à fait erronée, en disant qu'il traitait les 
infiniment petils comme des incomparables, et q^'il les né- 
gligeait vis-à'Vis des quantités finies comme des grains de 
sable par rapport à la mer^ considération qui eût complè- 
tement dénaturé son analyse, en la réduisant à n'être plus 
qu'un simple calcul d'approximation, qui, sous ce rapport, 
serait radicalement vicieux, puisqu'il serait impossible de 
prévoir, en Ibèse générale, à quel point les opérations suc- 
cessives peuvent grossir ces erreurs premières dont l'ac- 
croissement pourrait môme évidemment devenir ainsi 
quelconque. Leibnitz n'avait donc entrevu que d'une ma- 
nière extrêmement confuse les véritables fondements ra- 
tionnels de l'analyse qu'il avait créée. Ses premiers suc- 
cesseurs se bornèrent d'abord à en vérifier l'exactitude par 
la conformité de ses résultats, dans certains usages paiticu- 
iiers, avec ceux que fournissait l'algèbre ordinaire ou la 



180 MATHÉMATIQUES. 

géométrie des anciens, en reproduisant autant qu'ils le 
pouvaient, d'après les anciennes méthodes, les solutions 
de quelques problèmes, une fois qu'elles avaient été 
obtenues par la méthode nouvelle, seule c^ipable primiti- 
vement de les faire découvrir. Qnand cette grande question 
a été considérée d'une manière plus générale, les géomè- 
tres, au lieu d'aborder directement la difliculié, ont préféré 
l'éluder en quelque sorte, comme l'ont fait Eulcr et 
d'Alemberl, par exemple, en démontrant abstraitement la 
conformité nécessaire et constante de la conception de 
Leibnitz, envisagée dans tous ses usages quelconques, avec 
d'autres conceptions l'ondamentales de l'analyse Iranscen- 
dante, celle de Newton surtout, dont l'exactitude était à 
l'abri de toute objection. Une telle vérification générale est 
sans doute strictement suffisante pour dissiper toute incer- 
titude sur l'emploi légitime de l'analyse leibnilzienne. Mais 
la méthode infinitébimale est tellement importante, elle 
présente encore, dans presque toutes les applications, une 
telle supériorité efl*eclive sur les autres conceptions géué* 
raies successivement proposées, qu'il y aurait véritablement 
imperfection dans le caractère philosophique de la science 
à ne pouvoir la justifier en elle-même, et à la fonder logi- 
quement sur des considérations d'un autre ordre, qu'on 
cesserait ensuite d'employer efficarement. 11 était donc 
d'une importance réelle d'établir directement' et d'une 
manière générale la rationnalité nécessaire de la méthode 
infinitésimale. Après diverses tentatives plus ou moins 
imparfaites pour y parvenir, les travaux philosophiques de 
Lagrahge ayant fortement reporté, vers la fin du siècle 
dernier, l'attenlion des géomètres sur la théorie générale 
de l'analyse infinitésimale, un géomètre très-reconriman- 
dable, Carnot, présenla enfin la véritable explication lo- 
gique directe de hi méthode de Leibnitz, en la montrant 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 181 

comme fondée sur le principe de la compensation néces- 
saire des erreurs, ce qui est vraisemblablemcnl, en efTct, 
la manirestalioa précise el lumineuse de ce que Leibnitz 
a?ait vaguement et confusément aperçu, en concevant les 
bases ralioanelles de son analyse. Carnot a rendu ainsi à la 
scieoce un service essentiel (I), et dont Timporlance me 
semble n'être pas encore suffisamment appréciée, quoique. 
Gomme nous le verrons à la un de cette leçon, tout cet 
échafaudage logique de la méthode infiniiésimale propre- 
ment dite ne soit susceptible très-vraisemblement que 
d'une existence provisoire, en tant que radicalement vicieux 
parsa nature. Je n'en crois pas moins, cependant, devoir 
considérer ici, aûn de compléter celle importante exposi- 
tion, le raisonnement géivêial proposé par Carnot, pour 
légitimer directement l'analyse de Leibnitz. Voici en quoi 
il consiste essentiellement. 

Lorsqu'on établit l'équation différentielle d'un phéno- 
mène, on substitue, aux éléments immédiats des diverses 
quantités considérées, d'autres infinitésimales plus simples 
<lQi en durèrent infiniment peu par rapport à eux, et cette 
substitution constitue le principal artifice de la méthode de 
Leibnitz, qui, sans cela, n'offrirait aucune facilité réelle 
pour la formation des équations. Carnot regarde une telle 
bfpothèse comme produisant véritablement une erreur 
dans l'équation ainsi obtenue, et que, pour cette raison, il 
î^ppelle imparfaite ; seulement, il est clair que celte erreur 
iiepeut être qu'infiniment petite. Or, d'un autre côlé, tous 
1^ procédés analytiques, soil de dilTérentiation, soit d'iuté- 

(OVojei rouvrage remarquable qu'il a publié aoas le titre de Héfl^xifms 
'^ k. Métaphysique du calcul infinitésimal, et dans lequel on troii?e 
^silleors une exposition claire et utile, quoique trop pou npprofoiidie, de 
^ les di?ers points de ?ue sous lesquels a été conçu le système général 
dQctkat des fonctions indirectes. 



182 MATHÉMATIQUES. 

gration, qu'on applique à ces équations différentielles pour 
s'élever aux équations finies en éliminant toutes les infini- 
tésimales introduites comme auxiliaires, produisent aussi 
constamment, par leur nature, ainsi qu'il est aisé de le 
voir, d'autres erreurs analogues, en sorte qu'il a pu s'o- 
pérer une exacte compulsation^ et que les équations défi- 
nitives peuvent, suivant l'expression de Carnot, être de- 
venues parfaites, Carnot considère comme un symptôme 
certain et invariable de l'établissement effectif de cette 
compensation nécessaire l'élimination complète des di- 
verses quantités infiniment petites, qui est constamment, 
en effet, le but définitif de toutes les opérations de l'analyse 
transcendante. Car, si on n'a jamais commis d'autres in- 
fractions aux règles générales du raisonnement que celles 
ainsi exigées par la nature môme de la méthode infinité- 
simale, les erreurs infiniment petites produites de cette 
manière n'ayant jamais pu engendrer que des erreurs in- 
finiment petites dans toutes les équations, les relations sont 
nécessairement d'uneexactitude rigoureuse aussitôt qu'elles 
n'ont plus lieu qu'entre des quantités finies, puisqu'il ne 
saurait évidemment exister alors que des erreurs finies, 
tandis qu'il n'a pu en survenir aucune de ce genre. Tout ce 
raisonnement général est fondé sur la notion des quantités 
infinitésimales, conçues comme indéfiniment décroissan- 
tes, lorsque celles dont elles dérivent sont envisagées 
comme fixes. 

Ainsi, pour éclaircir cette exposition abstraite par un 
seul exemple, reprenons la question des tangentes, qui 
est la plus facile à analyser complètement. On regardera 
l'équation t =j- obtenue ci-dessus comme affectée d'une 
erreur infiniment petite, puisqu'elle ne serait tout à fait 
rigoureuse que pour la sécante. Maintenant, on achèvera 
la solution en cherchant, d'après l'équation de chaque 




CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 188 

courbe, le rapport entre les différentielles des coordonnées, 
^i cette équation est, je suppose, y =: ax^, on aura évi- 
deoiment 

Dans cette formule, on devra négliger le terme dx'^ 
^omnie inQniment petit du second ordre. Dès lors la com- 
binaison des deux équations imparfaites 

/ = -p> dy = 2axdx^ 

sofUsant pour éliminer entièrement les infinitésimales, 
le résultat fini t = 2ax sera nécessairement rigoureux 
par l'effet de la compensation exacte des deux erreurs 
commises puisqu'il ne pourrait, par sa nature, être affecté 
d'une erreur infiniment petite, la seule néanmoins qu'il 
pût y avoir, d'après l'esprit des procédés qui ont été suivis. 
Il serait aisé de reproduire uniformément le môme rai- 
sonnement par rapport à toutes les autres applications gé- 
nérales de l'analyse de Leibnitz. 

Celte ingénieuse théorie est sans doute plus subtile que 
8olîde, quand on cherche à l'approfondir. Mais elle n'a ce- 
Pendant en réalité d'autre vice logique radical que celui 
4e la méthode infinitésimale elle-même, dont elle est, ce 
<^e semble, le développement naturel et l'explication gé- 
nérale, en sorte qu'elle doit être adoptée aussi longtemps 
^u'on jugera convenable d'employer directement cette 

Je passe maintenant à l'exposition générale des deux 
boires conceptions fondamentales de l'analyse transcen- 
dante, en me bornant pour chacune à l'idée principale, le 
^^ractère philosophique de cette analyse ayant été, du 
^«sie, suffisamment déterminé ci-dcdsus, d'après la con- 
^^ption de Leibnitz^ à laquelle j'ai dû spécialement m'at- 



184 MATHÉMATIQUES. 

tacher, parce qu'elle permet de le saisir plus aisément 
dans son ensemble, et de le décrire avec plus de rapidité. 

Nc'Wlon a présenté successivement, sous plusieurs formes 
différentes, sa manière propre de concevoir l'analyse trans- 
cendante. Celle qui est aujourd'hui le plus communément 
adoptée, du moins parmi les géomètres du continent, a été 
désignée, par Newton, tantôt sous le nom de méthode de$ 
premières et dernières raisons, lanlôt sous celui de méthode 
des limites, qu'on emploie plus fréquemment. 

Sous ce point de vue. Tespril général de t'analyse trans- 
cendante consiste à introduire comme auxiliaires, à la 
place des quantités primitives ou concurremment avec 
elles, pour faciliter rétablissement des équntions, les li- 
mites des rapports des accroissements simultanés de ces 
quantités^ ou, en d'autres termes, les dernières raisons de 
ces accroissements, limites ou dernières raisons qu'oQ 
peut aisément montrer comme ayant une valeur détermi- 
née et flnie. Un calcul spécial, qui est l'équivalent da 
calcul infinitésimal, est ensuite destiné à s'élever de ces 
équations entre ces limites aux équations correspondantes 
entre les quantités primitives elles-mêmes. 

La faculté que présente une telle analyse pour exprimer 
plus aisément les lois mathématiques des phénomènes 
tient, en général, à ce que, le calcul portant non sur les 
accroissements mêmes des quantités proposées, mais sur 
les limites des rapports de ces accroissements, on pourra 
toujours substituer à chaque accroissement toute autre 
grandeur plus simple à considérer, pourvu que leur der- 
nière raison soit la raison d'égalité, ou, en d'autres termes, 
que la limite de leur rapport soit l'unité. 11 est clair, en 
effet, que le calcul des limites ne saurait être nullement 
affecté de cette substitution. En partant de ce principe, 
on retrouve à peu prés l'équivalent des facilitéi offertes par 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 185 

l'analyse de Leibnilz, qui sont seulement conçues alors 
sous un autre point de vue. Ainsi, les courbes seront envi* 
sagées comme les limites d'une suilc de polygones recti- 
lignes, les mouvements variés comme les limites d'un 
ensemble de mouvements uniformes de plus en plus rap- 
prochés, etc. 

Qu'on veuille, par exemple, déterminer la direction de 
la tangente à une courbe ; on la regardera comme la limite 
vers laquelle tendrait une sécante, qui tournerait autour 
du point donné, de manière que son second point d'in- 
tersection se rapprochât indéfiniment du premier. En 
nommant Ay et Aj? les différences des coordonnées des 
deux points, on aurait, è chaque instant, pour la tangente 
tHgonométrique de Tangle que fait la sécante avec l'axe des 
ibcisseï, /=j^; d'où, en prenant les limites, on déduira, 
l'eJativement à la tangente elle-môme, cette formule gêné- 
^le d'analyse transcendante 

d*aprës laquelle le calcul des fonctions indirectes ensei- 
gnera, dans chaque cas particulier, quand l'équation de la 
bourbe sera donnée, à déduire la relation entre t et x, en 
éliminant les quantités auxiliaires introduites. Si, pour 
^otever la solution, on suppose que y = ax^ soit Téqua- 
^^on de la courbe proposée, on aura évidemment 

'^*cù l'on conclura 

Ax ' 

^r, il est elair que la limite vers laquelle tend le second 
^^embre, à mesure que ôlx diminue, est 2 ax. On trouvera 

(I) J'coiplole la caractéristique L ponr désigner la limite. 



186 MATHÉMATIQUES. 

donc par cette méthode, t = i ax, comme nous l'avions 
obtenu ci-dessus pour le môme cas, d'après l'analyse de 
Leibiiitz. 

Pareillement, quand on cherche la rectification d'une 
courbe, il faut substituer à l'accroissement de l'arc «, lai. 
corde de cet accroissement, qui est évidemment avec lui. 
dans une relation telle, que la limite de leur rapport est;^ 
l'unité, et alors on trouve, en suivant d'ailleurs la mêm^ 
marche qu'avec la méthode de Leibnitz, cette équation gé— 
nérale des rectifications 



(^ë)'= ' + {'■ïï 



ou 



selon que la courbe est plane ou à double courbure. Il fau" 
dra maintenant, pour chaque courbe particulière, passer* 
de cette équation à celle entre l'arc et l'abcisse, ce qui dé-^ 
pend du calcul transcendant proprement dit. 

On reprendrait avec la môme facilité, d'après la méthode 
des limites, toutes les autres questions générales, dont la 
solution a été indiquée ci-dessus, suivant la méthode infini^ 
tésimale. 

Telle est, essentiellement, la conception que Newton s'é- 
tait formée, pour l'analyse transcendante, ou, plus exacte-* 
ment, celle que Maclaurin et d'Alembert ont présentée 
comme la base la p!us rationnelle de cette analyse, en cher- 
chant à fixer et à coordonner les idées de Newton à 
ce suji't. 

Je dois néanmoins, avant de procéder à l'exposition de 
la conception de Lagrange, signaler ici une autre forme 
distincte sous laquelle Newton a présenté cette môme mé- 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 187 

thode, et qui mérite de fixer particiilièreraent notre aitea- 
tioDy tant par son ingénieuse clarlé dans quelques cas, que 
comme avant fourni la notation la mieux appropriée à cette 
manière d'envisager l'analyse transcendante, et^ enQn, 
comme étant encore aujourd'hui la forme spéciale du cal- 
cul des fonctions indirectes communément adoptée par les 
géomètres anglais. Je veux parler du calcul des fluxions et 
iesfiuentes^ fondé sur la notion générale des vitesses. 

Pour en faire concevoir l'idée mère avec plus de facilité, 
considérons toute courbe comme engendrée par un point 
animé d'un mouvement varié suivant une loi quelconque. 
Les diverses quantités que la courbe peut offrir^ i'abcisse, 
l'ordonnée, Tare, Taire, etc., seront envisagées comme 
simultanément produites par degrés successifs pendant ce 
mouvement. La vitesse avec laquelle chacune aura été dé- 
crite sera dite la fluxion de celte quantité, qui, en sens in- 
verse, en serait nommée la fluente. Dès lors, Tanalyse 
Iranscendante consistera, dans cette conception, à former 
immédiatement les équations entre les fluxions des quan- 
tités proposées pour en déduire ensuite^ par un calcul spé- 
cial, les équations entre les fluentes elles-mêmes. Ce queje 
^ens d'énoncer relativement aux courbes peut d'ailleurs 
^^idemment se tran^^porler à des grandeurs quelconques, 
envisagées, à l'aide d'une imige convenable, comme pro- 
duites par le mouvement les unes des autres. 

H est aisé de comprendre l'identité générale et néces- 
^ire de cette méthode avec celle des limites, compliquée 
d^Tidée étrangère du mouvement. En effet, reprenant le cas 
^^ la courbe, si l'on suppose, comme on peut évidemment 
^^jours le faire, que le mouvement du point décrivant est 
^'^îforme suivant une certaine direction, par exemple, dans 
'^ Sens de I'abcisse, alors la fluxion de I'abcisse sera con- 
^^ote, comme l'élément du temps. Pour toutes les autres 




188 MATHÉMATIQUES. 

quantités engendrées, le mouvement ne pourrait êlre 
conçu comme uniforme que pendant un lemps inûniment 
petit. Cela posé, la vitesse étant généralement, d'après sa 
notion mécanique, le rapport de chaque esp<'ice au temps 
employé à le parcourir, et ce temps étant ici proportionnel 
à l'accroissement de l'abcisse, il s'ensuit que la fluxion de 
l'ordonnée, de l'arc, de l'aire, etc., ne sont véritablement 
autre chose, en faisant disparaître la considération inter- 
médiaire du temps, que les dernières raisons des accrois- 
sements de ces diverses quantités comparés à celui de i'ab- 
cisse. Cette méthode des fluxions et des fluentes n'est donc 
en réalité qu'une manière de se représenter, d'après une 
comparaison mécanique, b méthode des premières et des 
dernières raisons, qui seule est réductible en calcul. Elle 
comporte donc nécessairement les mômes avantages géné- 
raux dans les diverses applications principales de l'analyse 
transcendante, sans que nous ayons besoin de le constater 
spécialement. 

Je considère enfln la conception de Lngrange. 

Elle consiste, dans son admirable simplicité, à se repré- 
senter Tanalyse transcendante comme un grand artifice 
algébrique, d'après lequel, pour faciliter l'établissement 
des équations, on introduit^ au lieu de fonctions primitives 
ou avec elles, leurs fonctions dérivées^ c'est-à-dire, suivant 
la définition de Lagrange, le coefficient du premier terme 
de l'accroissement de chaque fonction, ordonné selon les 
puissances ascendantes de l'accroissement de sa variable. 
Le calcul des fonctions indirectes proprement dit est tou- 
jours destiné, ainsi que dans les conceptions de Leibnitz 
et de Newton, à éliminer ces dérivées employées comme 
auxiliaires, pour déduire de leurs relations les équations 
correspondantes entre les grandeurs primitives. 

L'analyse transcendante n'est alors autre chose qu'une 



CALC t)V DES FONCTIONS INDIRECTES. 18 * 

simple extension très-considérable de l'analyse ordinaire. 
C'éUit déjà depuis longtemps un procédé familier aux 
géomètres, que d'introduire, dans les considérations ana- 
lytiques, au lieu des grandeurs mômes qu'ils avaient à 
étudier, leurs diverses puissances, ou leurs logarithmes, ou 
leur sinus, etc., aûn de simplifier les équations et môme 
de les obtenir plus aisément. La dérivation successive est 
un artifice général de la môme nature, qui présente seule- 
ment beaucoup d'étendue, et procure, en conséquence, 
pour ce but commun, des ressources bien plus impor- 
tantes. 

Mais, quoiqu'on conçoive sans doute à priori que la 
considération auxiliaire de ces dérivées peut faciliter Téta- 
blis>ement des équations, il n'est pas aisé d'expliquer 
pourquoi cela doit ôtre nécessairement d'après le mode de 
dérivation adopté plutôt que suivant toute autre transfor- 
n^aiion. Tel est le côté faible de la grande pensée de La- 
grange. On n'est point, en efftît. Tellement parvenu jus- 
qu'ici à saisir en général d'une manière abstraite, et sans 
''entrer dans les autres conceptions de l'analyse transcen- 
dante, les avanUiges précis que doit constamment pré- 
senter, par sa nature, cette analyse ainsi conçue, pour la 
Recherche des lois mathématiques des phénomènes. Il est 
seulement possible de les constater, en considérant sépa- 
^'éraent chaque question principale, et cette vérification 
^evienimôme pénible, quand on choisit une question com- 
pliquée. 

Pour indiquer sommairement comment cette manière de 
Concevoir l'analyse transcendante peut s'adapter ellecti- 
^ement à la solution des problèmes mathématiques, je me 
tiornerai à reprendre sous ce point de vue le problème le 
plus simple de tous ceux ci-dessus examinés, celui des 
^ngentes. 



190 MATHÉMATIQUES. 

Au lieu de concevoir la tangente comme le prolonge- 
ment de l'élément infiniment petit de la courbe, suivant 
la notion de Leibnilz, ou comme la limite des sécantes, 
suivant les idées de Newlon, Lngrange la considère d'après 
ce simple caractère géométrique, analogue aux définitions 
des andens, d*Otre une droite telle qu'entre elle et la courbe 
il ne peut passer, par le point de contact, aucune autre 
droite. Dès lors, pour en déterminer la direction, il faut 
cbercber l'expression générale de sa distance à la courbe, 
dans un sens quelconque, dans celui de l'ordonnée, par 
exemple, en un second point distioct du premier, et dis- 
poser de la constante arbitraire relative à l'inclinaison de la 
droite, qui entrera nécessairement dans cette expression, 
de manière à diminuer cet écartement le plus possible. Or, 
cette distance, étant év.demment égale à la d'O'érence des 
deux ordonnées de la courbe et de la droite qui corres- 
pondent à une même nouvelle abcisse ^r-f-^» i>era repré- 
sentée par la formule 

(/> (x) — /* + qfi* + r/i» 4- etc., 

où t désigne, comme ci-dessus, la tangente trigonométri- 
gue inconnue de l'angle que fait, avec l'axe des (x), la 
droite cbercliée, et / (x)^ la focictiou dérivée de l'ordon- 
née /' (x). Cela posé, il est aisé de voir qu'en disposant de / 
de façon à annuler le premier terme de la formule précé- 
dente, on aura rendu l'inlervalle des deux lignes le plus 
petit possible, tellement que toute autre droite, pour la- 
quelle t n'aurait point la valeur ainsi déterminée, s'écarte- 
rait nécessairement davantage de la courbe proposée. On 
a donc, pour la direction de la tangente chercbée, l'ex- 
pression générale t=f*(x)\ résult.it exactement équivalent 
à ceux que fournissent la méthode inflnilésimale et la 
méthoae des limites, il restera maintenant, dans chaque 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 191 

coarbe parliculière, à trouver f (x), ce qui est une pure 
question d'analyse, tout à fait identique avec celles que 
prescrivent alors les autres méthodes. 

Après avoir surûsamment considéré dans leur ensemble 
les principales conceptions générales successivement pro- 
duites jusqu'ici pour l'analyse transcendante, je ne dois 
pasm'arrôter à l'examen de quelques autres théories pro- 
posées, telles que le calcul ds évanouissants d'Ëuler, qui 
De sont réellement que des modiileaiions plus ou moins 
importanlesy et d'ailleurs inusitées, des méthodes précé- 
dentes. Il me reste maintenant, afin de compléter cet en- 
semble de considérations, à établir la comparaison et Tap- 
précialion de ces trois méthodes fondamentales. Je dois 
préalablement constater, d'une manière générale, leur con- 
ibrmité parfaite et nécessaire. 

11 est d'abord évident, par ce qui précède, qu'à considé- 
rer ces trois méthodes quaiU à leur destination effective, 
indépendamment des idées préliminaires, elles consistent 
toutes en un même artiOce logique général, que j'ai ca- 
ractérisé dans la quatrième leçon, savoir : l'introduction 
d'uD certain système des grandeurs auxiliaires, uniformé- 
ment corrélatives à celles qui sont l'objet propre de la 
question* et qu'on leur substitue expressément pour faci- 
liter l'expression analytique des lois mathématiques des 
phénomènies, quoiqu'elles doivent finalement être élimi- 
itées, à l'aide d'un calcul spécial. C'est ce qui m'a déler- 
ifiiné à définir régulièrement l'analyse transcendante le 
^kul des fonctions indirectes^ afm de marquer son vrai ca- 
ractère philosophique, en écartant toute discussion sur la 
Xûanière la plus convenable de la concevoir et de l'appli- 
V^Bf. L'effet général de cette analyse, quelle que soit la 
x&élhude employée, est donc de faire rentrer beaucoup 
plu;i promptement chaque question mathématique dans le 



191 MATUÉMATIQUES. 

domaine du calcul^ et de diminuer ainsi considérablement 
la dirOculLé capitale que présenle ordinairement le pas- 
sage du concret à l'abstrait. Quoi qu'on fasse, on ne peut 
espérer que le calcul s'empare jamais de chaque question 
de philosophie naturelle, géométrique, ou mécanique, ou 
thermologique, etc., immédiatement à sa naissance, ce 
qui serait évidemment contradictoire. Il y aura constam- 
ment, dans tout problème, un certain travail préliminaire 
à elTecluer sans ()ue le calcul puisse êlre d'aucun secours, 
et qui ne saurait être, par sa nature, assujetti à des règles ' 
abstraites et invariables; c'est celui qui a pour objet pro- 
pre l'établissement des équations, qui sont le point de dé- 
part indispensable de toutes les recherches analytiques. 
Mais cette élaboration préalable a été singulièrement sim- 
pliûée par la création de l'analyse transcendante, qui a 
ainsi hâté l'époque où la solution comporte l'application 
uniforme et précise de procédés généraux et abstraits; en 
réduisant, dans chaque cas, ce travail spécial à la recher- 
che des équations entre les grandeurs auxiliaires, d'où le 
calcul conduit ensuite aux équations directement relatives 
aux grandeurs proposées, qu'il fallait, avant cette admi- 
rable conception, établir immédiatement. Que ces équa- 
tions indirectes soient des équations différentielles, suivant 
la pensée de Leibnitz ; ou des équations aux limites, con- 
formément aux idées de Ncvvlon; ou enfin des équations 
dérivées, d'après la théorie de Lagrange; le procédé général 
est évidemment toujours le même. 

Mais la coïncidence de ces trois méthodes principales ne 
se borne pas à l'eû'et commun qu'elles produisent; elle 
existe, en outre, dans« la manière même de l'obtenir. En 
effet, non-rjculement toutes trois considèrent, à la place 
des grandeurs primitives, certaines grandeurs auxiliaires; 
de plus, les quantités ainsi introduites subsidiairement. 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. ]9t 

sont exactement identiques dans les Irois méthodes, qui . 
ne diffèrent, par conséquent, que par la manière de les 
envisager. C'est ce qu'on peut aisément constater, en pre- 
nant pour terme général de comparaison une quelconque 
des trois conceptions, celle de Lagrange surtout, la plus 
propre à servir de type, comme étant la plus dégagée de 
considérations étrangères. N'est-il pas évident, par la seule 
définition des fonctions dérivées^ qu'elles ne sont autre 
chose que ce que Leibnitz appelle les coefficients différent 
tieUy ou les rapports de la ditlérenlielle de chaque fonc- 
tion à celle de la variable correspondante, puisque, en 
déterminant la première différentielle, on devra, par la 
nature môme de la méthode inûnitésimale, se borner à 
prendre le seul terme de l'accroissement de la fonction 
qui contient la première puissance de Taccroissement in- 
finiment petit de la variable? De môme, la fonction déri- 
vée n'est-elle pas aussi par sa nature la limite nécessaire 
vers laquelle tend le rapport entre l'accroissement de la 
fonction pricnitive et celui de sa variable, à mesure que ce 
dernier diminue indéfiniment, puisqu'elle exprime évi- 
demment ce que devient ce rapport, en supposant nul Tac- 
croiàsement de la variable. Ce qu'on désigne par ^ dans 

la méthode de Leibnitz, ce qu'on devrait noter Z^ dans 
celle de Newton, et ce que Lagrange a indiqué par /'(x), 
est toujours une même fonction, envisagée sous trois points 
de vue différents; les considérations de Leibnitz et de 
Newton consistant proprement à faire connaître deux 
propriétés générales nécessaires de la fonction dérivée. 
L'analyse transcendante, examinée abstraitement et dans 
son principe, est donc toujours la m^me, quelle que soit 
la conception qu*on adopte : les procédés du calcul des 
fonctions indirectes sont nécessairement identiques dans 
ces diverses méthodes, qui, pareillement, doivent, pour 

A. Comte. Tome I. 1 ^ 



i 94 MATnÉMATIQUES. 

une application queironque, conduire constamment à des 
résultats rigoureusement conformes. 

Si niaintenanl nous cherchons à apprécier la valeur rela- 
tive (le ces trois conce[)tions équivalentes, nous trouverons 
dans chacune des avantages et des inconvénients qui lai 
sont propres, et qui empêchent encore les géomètres de 
s'en tenir strictement à une seule d'entre elles, considérée 
comme définitive. 

La conception de Leibnitz présente, incontestablement, 
dans l'ensemble des applications, une supériorité très- 
prononcée, en conduisant d'une manière beaucoup plus 
rapide, et avec bien moins d'efTorts intellectuels, à la for- 
mation des équalfions entre les grandeurs auxiliaires. C*esl 
à son usage que nous devons la haute perfection qu*ont en- 
fin acquise toutes les théories générales de la géométrie et 
de la lîK^canique. Quelles que soient les diverses opinions 
spéculatives des géomètres sur la méthode infinitésimale, 
envisa^ri^e abstraitement, tous s'accordent tacitementà l'em- 
ployer de préférence, aussitôt qu'ils ont à traiter une ques- 
tion nouvelle, afin de ne point compliquer la difficulté 
nécessaire par cet obstacle purement artificiel, provenant 
d'une obstination déplacée à vouloir suivre une marche 
moins expéditive. Lagrange lui-môme, après avoir recon- 
struit sur de nouvelles bases l'analyse transcendante, a 
rendu, avec cette haute franchise qui convenait si bien à son 
génie, un hommage éclatant et décisif aux propriétés carae- 
téristiques de la conception de Leibnitz, en la suivant exclu- 
sivemeiit dans le système entier de la mécanique analyiiqui. 
Un tel fait nous dispense, à ce sujet, de toute autre réfiiexioQ. 

Mais, quand on considère en elle-même, et sous le rap- 
port logique, la conception de Leibnitz, on ne peuts'em- 
pocher de reconnaître avec Lagrange qu'elle est radicale- 
ment vicieuse, en ce que, suivant ses propres expressions, 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 195 

ia notion des infinimeot petits est une idée fausse, qu'il 
est impossible^ en effet, de se représenter nedement, 
quoiqu'on se lasse quelquefois illusion à cet égard. L ana- 
ijse transcendante, ainsi conçue, présente, à mc> yeux, 
oette grande imperfection philosophique^ de se trouver 
encore essentiellement fondée sur ces principes mélaphysi- 
<]ues, dont l'esprit humain a eu tant de peine à dégager 
t4)Qtes ses théories positives. Sous ce rapport, on peut dire 
<^e la méthode inûnitésimale porte vraiment Tempreinte 
^caractéristique de l'époque de sa fondation et du génie 
propre de sou fondateur. On peut bien, il est vrai, par l'in- 
génieuse idée de la compensation des erreurs, s'expiitjuer 
d'une mianiàre générale, comme nous l'avons fait ci-dessus, 
l'exactitude nécessaire des procédés généraux qui corupo* 
sent la méthode infinitésimale. Mais cela seul n'eï»t-il pas un 
inconvénient radical, que d'être obligé de distinguer, en ma- 
thématique, deux classes de raisonnements, ceux qui sont 
panEaitement rigoureux, et ceux dans lesquels on commet à 
dessein des erreurs quidevronl se compenser plus tard ? Une 
conception qui conduit à des conséquences aussi élraiiges 
est, sans doute, rationnellement, bien peu satisfaisante. 

Ce serait évidemment éluder la difficulté sans la résou- 
dre, que de dire, comme on l'a fait quelquefois, qu'il est 
possible, par rapport à chaque question, de faire rentrer 
^ méthode infinitésimale proprement dite dans celle des 
limites, dont le caractère logique est irréprochable. D'ail- 
^eors, une telle transformation enlève presque enlièrecnent 
i la conception de Leibnitz les avantages essentiels qui 
la recommandent si éminemment, quant à la facilité et 
^U rapidité des opérations intellectuelles. 

Enfin n'eût-on môme aucun égard aux importantes con- 
sidérations qui précèdent, la méthode infinitésimale n'en 
présenterait pas moins évidemment, par sa nature, ce 



196 MATUÉMATIQUES. 

défaut capital de rompre Tunité de la malhémalique abs- 
traite, en créant un calcul transcendant fondé sur des prin- 
cipes si difTérents de ceux qui servent de base à l'analyse 
ordinaire. Ce partage de Tanalyse en deux moudes pres- 
que indépendants tend à empocher la formation de con- 
ceptions analytiques vcrilahlement générales. Pour en bien 
apprécier les conséquences, il faudrait se reporter, par la 
pensée, à Télat dans lequel se trouvait la science, ayant 
que Lagrange eût établi entre ces deux grandes sections 
une harmonie générale et définitive. 

Passant à la conception de Newton, il est évident que, 
par sa nature, elle se trouve à l'abri des objections logiques 
fondamentales que provoque la méthode de Leibuilz. La 
notion des Imites est, en effet, remarquable par sa netteté 
et par sa justesse. Dans l'analyse transcendante présentée 
de celte manière, les équations sont envisagées comra 
exactes dès l'origine, et les règles générales du raisonne 
ment sont aussi constamment observées que dans l'unalys 
ordinaire. Mais, d'un autre côté, elle etit bien loin d'offrir, 
pour la solution des problèmes, d'aussi puissantes res 
sources que la méthode infinitébimale. Cet!e obligatio 
qu'elle impose de ne considérer jamais les accroissements 
des grandeurs séparément et en eux-mêmes, ni seulemen 
dans leurs rapports, mais uniquement dans les limites d 
ces rapport^:, ralentit considérablement la marche de Tin 
telligence pour la formation des équations auxiliaires. 
peut môme dire qu'elle g<3ne beaucoup les transformation 
purement analytiques. Aussi le c.ilcul transcendant, con 
sidéré séparément de ses applications, est-il loin d'ofifrir 
dans cette méthode, Téiendue et la généralité que lui a im 
primées la conception de Leibnitz. C'est très-péniblement, 
par exemple, qu'on parvient à étendre la théorie de Newtor 
aux fonctions de plusieurs variables indépendantes. Que 




CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 197 

qu'il en soit, c'est surtout par rapport aux applications que 
l'infériorité relative de celle Ihéorie s« trouve marquée. 

Je ne dois pas né{;Iip:er à ce sujet de faire observer que 
plusieurs géomètres du continent, en adoptant, comme 
plus rationnelle, la méthode de Newton, pour servir de 
base à l'analyse transcendante, ont déguisé en partie cette 
infériorité par une grave inconséquence, qui consiste à 
appliquer h celte méthode la notation imaginée par Leibnitz 
pour la méthode infînitésimale, et qui n'est réellement 
propre qu'à elle. En désignant par ^ ce que, ration- 
nellement, il faudrait, dans la théorie des limites, no- 
ter Z^, et en étendant h toutes les autres notions analyti- 
ques ce déplacement de signes, on se propose sans doute de 
combiner les avantages spéciaux des deux méthodes; mais 
on ne parvient, en réalité, qu'à établir entre elles une confu- 
sion vicieuse, dont l'habitude tend à empêcher de se former 
des idées nettes et exactes de l'une ou de Taulre. Il serait 
sans doute étrange, à considérer cet usage en lui-môme, que, 
par le seul moyen des signes, on pût elfecluer une véritable 
combinaison entre deux lhéorii?s générales aussi .dislincles. 

Enfin la méthode des limites présente aussi, quoiqu'à 
on moindre degré, l'inconvénient majeur que j'ai signalé 
ci-dessus, dans la méthode infinilésitnale, d'établir une 
séparation totale entre l'analyse ordinaire et l'-malyse 
transrendante. Car l'idée des Imites, quoique nette et ri- 
goureuse, n'en est pas moins, par elle-môme, comme 
Lagrange Ta remarqué, une idée étrangère dont les théo- 
ries analytiques ne devraient pas se trouver dépendantes. 

Cette unité parfaite de l'analyse, ce caractère purement 
abstrait de ses notions fondamentales, se trouvent au plus 
haut degré dans la conception de Lagrange, et ne se trou- 
vent que là. Elle est, pour cette raison, la plus rationnelle 
et la plus philosophique de toutes. Écartant avec soin 



! 9S MATHÉMATIQUES. 

toute considération hélérogène, Lagrange a réduit l'a- 
nalyse transcendante à son véritable caractère propre, 
celui d'offrir une classe très-étendue de transformations 
analytiques^ à Taide desquelles on facilite singulièrement 
l'expression des conditions des divers problèmes. En 
môme temps, cette analyse s'est nécessairement présentée 
par là comme une simple extension de l'analyse ordinaire; 
elle n'a plus été qu'une algèbre supérieure. Toutes les 
divcri>es parties, jusqu'alors si incohérentes, de la mathé- 
matique^ abstraite^ ont pu être conçues, dès ce moment, 
comme formant un système unique. 

Malheureusement, une conception douée, indépendam- 
ment de la notation si simple et si lucide qui lui corres- 
pond, de propriétés aussi fondamentales, et qui est, sans 
doute, destinée à devenir la théorie définitive de l'analyse 
transcendante, à cause de sa haute supériorité philoso- 
phique sur toutes les autres méthodes proposées, présente, 
dans son état actuel, trop de difficultés, quant aux applica- 
tions, lorsqu'on la compare à la conception de Newton, et 
surtout à celle de Leibnitz, pour pouvoir être encore exclu- 
sivement adoptée. Lagrange lui-même n'est parvenu que 
très- péniblement à retrouver, d'après sa méthode, les résul- 
tats principaux déjà obtenus par la méthode infinitésimale 
pour la solution des questions générales de géométrie et 
de mécanique; on peut juger par là combien on trouverait 
d'obstacles à traiter, de la môme manière, des questions 
vraiment nouvelles et de quelque importance. U est vrai 
que Lagrange, en plusieurs occasions, a montré que les 
difOcultés, môme artiGcielles, déterminent, dans les hom- 
mes de génie, des efforts supérieurs, susceptibles de con- 
duire à des résultats plus étendus. C'est ainsi qu'en tentant 
d'adapter sa méthode à l'étude de la courbure des lignes, 
qui paraissait si peu pouvoir en comporter l'application, 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. J99 

il s'est élevé à cette belle théorie des contacts, qui a tant 
perfectionné cette partie importante de la géométrie. Mais, 
malgré ces heureuses exceptions, la conception de Lagrange 
n'en est pas moins jusqu'ici demeurée, dans son ensem- 
ble, essentiellement impropre aux applications. 

Le résultat final de la comparaison générale que je viens 
d'esquisser, et qui exigerait de plus amples développe- 
ments, est donc, comme je l'avais avancé en commençant 
cette leçon, que, pour connaître réellement l'analyse 
transcendante, il faut non-seulement la considérer dans 
son principe, d'après les trois conceptions fondamentales 
distinctes, produites par Leibnitz, par Newton et par La- 
grange, mais, en outre, s'habituer à suivre presque indiCfé- 
remroenl d'après ces trois méthodes principales, et sur- 
tout d'après les deux extrêmes, la solution de toutes les 
questions importantes, soit du calcul des fonctions indi- 
rectes en lui-même, soit de ses applications. C'est une 
marche que je ne saurais trop fortement recommander à 
tous ceux qui désirentjuger philosophiquement cette admi- 
rable création de l'esprit humain, comme à ceux qui veu- 
lent essentiellement apprendre à se servir avec succès et 
avec facilité de ce puissant instrument. Dans toutes les autres 
parties de la science mathématique, la considération de 
diverses méthodes pour une seule classe de questions 
peut être utile, même indépendamment de l'intérOt his- 
torique qu'elle présente ; mais elle n'est point indispen- 
sable : ici, au contraire, elle est strictement nécessaire. 

Ayant déterminé avec précision, dans cette leçon, le 
caractère philosophique du calcul des fonctions indi- 
rectes, d'après les principales conceptions fondamentales 
dont il est susceptible, il me reste maintenant à considé- 
rer, dans la leçon suivante, la division rationnelle et la 
composition générale de ce calcul. 



SEPTIÈME LEÇON 



Sommaire : — Tableau général da calcul des fonctions indiiecUs. 



Par suite des considérations exposées dans la leçon pré- 
cédente, on conçoit que le calcul des fonctions indirectes 
se divise nécessairement en deux parties, ou, pour mieux 
dire, se décompose en deux calculs tout à fait distincts, 
quoique^ par leur nature, intimement liés; suivant qu'on 
se propose de trouver les relations entre les grandeurs 
auxiliaires, dont Tintroduciion constitue Tesprit général 
de ce calcul, d'après les relations entre les grandeurs pri- 
mitives correspondantes ; ou qu'on cherche, en sens îq- 
verse, à découvrir ces équations directes d'après les équa- 
tions indirectes établies immédiatement. Tel est, en effet, 
le double objet qu'on a continuellement en vue dans l'a- 
nalyse transcendante. 

Ces deux calculs ont reçu différents noms, selon le point 
de vue sous lequel a été envisagé l'ensemble de cette ana- 
lyse. La méthode infinitésimale proprement dite étant 
jusqu'ici la plus usitée, par les raisons que j'ai discutées, 
presque tous les géomètres du continent emploient habi- 
tuellement, pour désigner ces deux calculs, les dénomina- 
tions de calcul différentiel et de calcul intégral^ établies par 
Leibnitz, et qui sont, eu eflet, des conséquences trôs-ra- 
tionnelles de sa conception. Newton, d'après sa méthode, 
a nommé le premier le calcul des fluxionSy et le second le 
calcul des fluentes^ expressions communément adoptées en 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. tOl 

Angleterre. Enfin, en suivant la théorie éminemment phi- 
losophique fondée par Lagrange, on appellerait, Tun le 
calcul des fonctions dérivées, et l'autre le calcul des fonctions 
primitives. Je continuerai à me servir des termes de Leib- 
nilz comme plus propres, dans notre langue, à la forma- 
tion des expressions secondaires^ quoique je doive, d'après 
les explications contenues dans la leçon précédente, em- 
ployer concurremment toutes les diverses conceptions, en 
me rapprochant, autant que possible, de celle de Lagrange. 

Le calcul différentiel est évidemment la base ration- 
nelle du calcul intégral. Car nous ne savons et ne pou- 
vons savoir intégrer immédiatement que les expressions 
différentielles produites par la difTérenliation des diverses 
fonctions simples qui constituent les éléments généraux 
de notre analyse. L'art de l'intégration consiste ensuite 
essentiellement à ramener, autant que possible, tous les 
autres cas à ne dépendre finalement que de ce petit nom- 
bre d'intégrations fondamenlales. 

En considérant l'ensemble de l'analyse transcendante, 
tel que je l'ai caractérisé dans la leçon précédente, on ne 
voit pas d'abord quelle peut être l'utililé propre du calcul 
différentiel, indépendamment de cette relation nécessaire 
avec le calcul intégral, qui semble devoir être, par lui- 
môme, le seul directement indispensable. En effet, l'élimi- 
nation des infinitésimales ou des dérivées, introduites 
comme auxiliaires pour faciliter l'établissement des équa- 
tions, constituant, d'après ce que nous avons vu, l'objet 
définitif et invariable du calcul dt>s fonctions indirectes ; il 
est naturel de penser que le calcul qui enseigne à déduire 
des équations entre ces grandeurs auxiliaires, celles qui 
ont lieu entre les grandeurs primitives elles-mêmes, doit 
strictement suffire aux besoins généraux de l'analyse 
transcendante, sans qu'on aperçoive, au «premier coup 



tôt MATHÉMATIQUES. 

d'œil, quelle part spéciale et constante peut avoir, dans une 
telle analyse, la solution de la question inverse. Ce serait 
abusivement que, suivant l'usage ordinaire, pour expliquer 
l'influence directe et nécessaire propre au calcul différen- 
tiel, on lui assignerait la destination de former les équa- 
tions différentielles, d'où le calcul intégral fait parvenir 
ensuite aux équations finies. Car la formation primitive 
des équations différentielles n'est, et ne peut ôtre, à pro- 
prement parler, l'objet d'aucun calcul, puisqu'elle consti- 
tue^ au contraire, par sa nature, le point de départ in- 
dispensable de tout calcul quelconque. Comment, en 
particulier, le calcul différentiel qui, par lui-môme, se réduit 
à enseigner les moyens de différentier les diverses équa- 
tions, pourrait-il être un procédé général pour en établir? 
Ce qui, dans toute application de l'analyse transcendante, 
facilite en effet la formation des équations, c'est la méthode 
infinitésimale, et non le calcul infinitésimal, qui en est par- 
faitement distinct, quoique en étant le complément indispen- 
sable. Une telle considération donnerait donc une Fausseidée 
de la destination spéciale qui caractérise le calcul différen- 
tiel dans le système général de l'analyse transcendante. 

Mais ce serait, néanmoins, concevoir bien imparfaite- 
ment la véritable importance propre de cette première 
branche du calcul des fonctions indirectes, que d'y voir 
seulement un simple travail préliminaire, n'ayant d'autre 
objet général et essentiel que de préparer au calcul inté- 
gral des fondements indispensables. Comme les idées 
sont ordinairement confuses à cet égard, je crois devoir 
expliquer sommairement ici cette importante relation, 
telle que je la conçois, et montrer que, dans chaque ap- 
plication quelconque de l'analyse transcendante, une pre- 
mière part directe et nécessaire est constamment assignée 
au calcul différentiel. 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. S03 

En formant les équations différentielles d'un phénomène 
^elconque, il est bien rare qu'on se borne à introduire 
différentiellement les seules grandeurs dont on cherche 
les relations. S'imposer cette condition, ce serait diminuer 
JDulilement les ressources que présente l'analyse transcen- 
dante pour l'expression des lois mathématiques des phé- 
nomènes. Le plus souvent on fait entrer aussi par leurs 
diCTérentielles, dans ces équations premières, d'autres 
grandeurs, dont la relation est déjà connue ou supposée 
l'être, et sans la considération desquelles il serait fré- 
quemment impossible d'établir les équations. C'est ainsi, 
par exemple, que, dans le problème général de la rectifl- 
cation des courbes, l'équation difTércnlielle, 

rfs» = c/y« -f dx\ ou (/«« = rfx* + rfy» -f ds«, 

n'est pas seulement établie entre la fonction cherchée s et 
la variable indépendante x à laquelle on veut la rapporter; 
mais on a introduit en môme temps, comme intermé- 
diaires indispensables, les difl'érentielles d'une on deux 
autres fonctions y et z^ qui sont au nombre des données du 
problème; il n'eût pas été possible de formerimmédiatement 
l'équation entre ds et dx, qui serait d'ailleurs parliculière 
à chaque courbe considérée. Il en est de môme pour la 
plupart des questions. Or, dans ces cas, il est évident que 
l'équation différentielle n'est pas immédiatement propre à 
l'intégration. Il faut, auparavant, que les différentielles 
des fonctions supposées connues, qui ont été employées 
comme intermédiaires, soient entièrement éliminées, alin 
que les équations se trouvent établies entre les différen- 
tielles des seules fonctions cherchées et celles des va- 
riables réellement indépendantes, après quoi la question 
ne dépend plus effectivement que du calcul intégral. Or 
cette élimination préparatoire de certaines différentielles, 






toi MATHÉMATIQUES. 

afin de réduire les inflnilésimales au plus petit nombre pos^ — 
sible, est siniplemenl du ressort du calcul différentiel. Car"' 
elle doit se faire, évidemment, en déterminant, d'après le^ 
équations entre les fonctions supposées connues prises 
pour intermédiaires, les relations de leurs différentielles^ 
ce qui n*est qu'une question de différentiation. Ainsi, pa 
exemple, dans le cas des rectifîcaiions, il faudra d'abor 
calculer dy ou dy et e/z, en différentiant l'équation ou I 
équations de chaque courbe proposée; et, d'après ce 
expressions, la formule différentielle générale énoncée ci 
dessus ne contiendra plus que ds et dx ; parvenue à c 
point, Tcliminalion des infinitésimales ne peut plus êtr 
achevée que par le calcul intégral. 

Tel est donc l'office général nécessairement propre a 
calculdifférentici dans la solution totale des questions qu 
exigent l'emploi de l'analyse transcendante : préparer, au 
tant que possible, l'élimination des infinitésimales, c'est- 
à-dire réduire, dans chaque cas, les équations différentiell 
primitives à ne plus contenir que les différoatielles des^* 
variables réellement indépendantes et celles des fonctions 
cherchées, en faisant disparaître, par la différentiation^ 
les différentielles de toutes les autres fonctions connues 
qui ont pu être prises pour intermédiaires lors de la for — 
malien des équations différentielles du'problome. 

Pour certaines questions, qui, quoique en petit nombre, 
n'en ont pas moins, ainsi que nous le verrons plus tard, 
une trôs-gran le importance, les grandeurs cherchées s 
trouvent môme entrer directement, et non par leurs diffé 
rentielles, dans les équations différentielles primitives, qui 
ne contiennent alors différentiellement que les divers 
fonctions connues, employées comme intermédiaires d'a- 
près l'explication précédente. Ces cas sont, de tous, le 
plus favorables, car il est évident que le calcul différeo 





CALCUL DES FONCnOMS INDIRECTES. tOS 

tiel suffit alors entièremenl à réiimination complète des 
inOoitésimales, sans que la question puisse donner lieu à 
aucune intégration. C'est ce qui arrive, par exemple, dans 
le problème des tangentes, en géométrie ; dans celui des 
TÎtesses, en mécanique, etc. 

Enfin plusieurs autres questions, dont le nombre est 
anssi fort petit, mais dont l'importance n'est p^s moins 
grande, présentent un second cas d'exception, qui est, par 
sa nature, exactement l'inverse du précédent. Ce sont 
celles où les équ.itions dilTérentielles se trouvent être im- 
médiatement propres à l'intégration, parce qu'elles ne 
contiennent, dès leur première formation, que les infi- 
nilésimales relatives aux fonctions cberchées ou aux varia- 
bles réellement indépendantes, sans qu'on ait été obligé 
d'introduire dilTérentiellemenl d'autres fonctions comme 
intermédiaires. Si, dans ces nouveaux cas, on a eflective- 
ment employé ces dernières fonctions, comme, par hy- 
pothèse, elles entreront directement et non par leurs dif- 
férentielles, l'algèbre ordinaire suffira pour les éliminer 
et réduire la question à ne plus dépendre que du calcul 
intégral. Le calcul différentiel n'aura donc alors aucune 
part spéciale à la solution complète du problème, qui sera 
tout entière du ressort du calcul intégral. La question gé- 
nérale des quadratures en offre un exemple important, 
cap l'équation difl'érentielle, étant alors </ A = ydx, devien- 
dra immédiatement propre à l'intégration aussitôt qu'on 
aura éliminé, d'après l'équation de la courbe proposée, la 
fonction intermédiaire y, qui n'y entre point dilférenlielle- 
ment : la môme circonstance a lieu pour le problème des 
cobatures, et pour quelques autres aussi essentiels. 

En résultat général des considérations précédentes, il 
faut donc partager en trois classes les questions mathé- 
matiques qui exigent l'emploi de l'analyse transcendante : 



Î06 MATDÉMATIQUES. 

la première classe comprend les problèmes susceptibles 
d'ôlre entièrement résolus au moyen du seul calcul diffé- 
rentiel, sans aucun besoin de calcul intégral ; la seconde, 
ceux qui sont, au contraire, entièrement du ressort du 
calcul intégral, sans que le calcul différentiel ait aucune 
part à leur solution; enfin, dans la troisième et la plus 
étendue, qui constitue le cas normal, les deux autres n'é- 
tant que d'exception, les deux calculs ont successive- 
ment une part distincte et nécessaire à la solution com- 
plète du problème, le calcul différentiel faisant subir 
•aux équations différentielles primitives une préparation 
indispensable à Tappllcation du calcul intégral. Telles 
sont exactement les relations générales de ces deux cal- 
culs, dont on se forme communément des idées trop peu 
précises. 

Jetons maintenant un coup d'œii général sur la com- 
position rationnelle de chacun d'eux, en commençant, 
comme il convient évidemment, par le calcul différen- 
tiel. 

Dans Texposilion de Tanalyse transcendante, on a l'ha- 
bitude de mêler à la partie purement analytique, qui se 
réduit au traité abstrait de la différentiation et de l'inté- 
gration, l'étude de ses diverses applications principales, 
surtout de celles qui concernent la géométrie. Cette confu« 
sion d'idées, qui est une suite du mode effectif suivant 
lequel la science s'est développée, présente, sous le rap- 
port dogmatique, de graves inconvénients en ce qu'elle 
empêche de concevoir convenablement, soit l'analyse, soit 
la géométrie. Devant considérer ici la coordination la plus 
rationnelle possible, je ne comprendrai, dans le tableaa 
suivant, que le calcul des fonctions indirectes .proprement 
dit, réservant, pour la portion de ce volume relative à 
l'étude philosophique de la mathématique concrète, l'exa- 



CALCUL DBS FONCTIONS INDIRECTES. i07 

men général de ses grandes applications géométriques et 
mécaniques (1). 

La division fondamentale du calcul différentiel pur, ou 
da traité général de la diiférentiation, consiste à distinguer 
deux cas, suivant que les fonctions analytiques qu'il s'agit 
de diiTérentier sont explicites ou implicites ; d'où deux par- 
ties ordinairement désignées par les noms de différentia- 
tîoD des formules et différentiation des équations. Il est aisé 
de concevoir à priori l'importance de cette classiQcation. 
En eifety une telle distinction serait illusoire si l'analyse 
ordinaire était parfaite, c'est-à-dire si l'on savait résoudre 
algébriquement toutes les équations; car alors il serait 
possible de rendre explicite toute fonction implicite ; et, 
en ne la différentiant que dans cet état, la seconde partie 
du calcul différentiel rentrerait immédiatement dans la 
première, sans donner lieu à aucune nouvelle difficulté. 
Mais la résolution algébrique d^s équations étant, comme 
nous l'avons vu, encore presque dans l'enfance, et ignorée 
jusqu'à présent pour le plus grand nombre des cas, on 
comprend qu'il en doit être tout autrement; puisqu'il 
s'agit dès lors, à proprement parler, de différentier une 
fonction sans la connaître, bien qu'elle soit déterminée. 
La dififérentiation des fonctions implicites constitue donc, 
par sa nature, une question vraiment distincte de celle 
que présentent les fonctions explicites, et nécessairement 
plus compliquée. Ainsi c'est évidemment par la différen- 
tiation des formules qu'il faut commencer, et on parvient 
ensuite à ramener généralement à ce premier cas la diffé- 

(1) J*ai établi depuis longtemps, dans mon enseignement ordinaire de 
Tanalyse transcendante, Tordre que je vais exposer. Un nouveau profes- 
Kar d'analyse transcendante à 1* École polytechnique, avec lequel Je me 
illicite de m*étre rencontré, M. Mathieu, a adopté, dans son cours de 
eatte année (1830), une marche essentiellement semblable. 



Î08 MATHÉMATIQUES. 

renlialion de» équations, par certaines considérations ana — 
lytiques invariables, que je ne dois pas mentionner ici. 

Ces deux cas généraux de la diCférentiation sont encore 
distincts sous un aulre rapport également nécessaire, et 
trop important pour que je néglige de le signaler. La rela- 
tion obtenue entre les din'érenlieiles est constamment 
plus indirecte, par rapport à celle des quantités finies, 
dans la différcnliation des fonctions implicites que dans 
celle des fondions explicites. On sait, en effet, d*aprèsles 
considérations présentées par Lagrange sur la formation 
générale des équations différentielles, que, d'une part, la. 
môme équation primitive peut donner lieu à un plus ou_ 
moins grand nombre d'équations dérivées de formes très — 
diverses, quoique, au fond, équivalentes, suivant celle 
des constantes arbitraires que l'on élimine* ce qui n'a p 
lieu dans ladifl'érentiation des formules explicites ; et que, 
d'une autre pari, le système infini d'équations priniitives-i 
diirérenles qui correspondent à une môme équation dé- 
rivée, présente une variété analytique bien plus profonde- 
que celle des diverses fonctions susceptibles d'une môme^ 
différentielle ex];licite, et qui ne se distinguent les une 
des autres que par un terme constant. Les fonctions im 
pliciles doivent donc être envisagées comme étant réelle 
ment encore plus modifiées par la différenliation que 1 
fondions explicites. Nous retrouverons tout à l'heure cett 
considération relativement au calcul intégral, où elle ac 
quiei't une importance prépondérante. 

Chacune des deux parties fondamentales du calcul diffé 
reniiel se subdivise elle-même en deux théories très-dis 
tinclc>, suivant qu'il s'agit de différentier des fonctions 
une seule variable, ou des fonctions à plusieurs variabi 
indépendanlos. Ce second cas est, par sa nature, tout à fai 
distinct du premier, cl présente évidemment plus de com 




CALCUL DES FONCTIOiNS INDIRECTES. iOt 

plication, môme en ne considérant que les fonctions expli- 
dleSy et h plus forte raison pour les fonctions impiicilos. Do 
reste, l'un se déduit généralement de l'autre, à l'aide d'un 
principe invariable fort simple, qui consiste à regarder la 
difTércnlielle totale d'une fonction en vertu des accroisse- 
ments simultanés des diverses variables indépendantes 
qu'elle contient, comme la somme des difift rcntielles 
jMirtielles que produirai! l'accroissement séparé de chaque 
variable successivement, si toutes les autres étaient con- 
stantes. Il faut, d'ailleurs, soigneusement remarquer à ce 
sujet une notion nouvelle qu'introduit, dans le système de 
l'analyse transcendante, la distinction des fonctions à une 
seule variable et à plusieurs ; c'est la considération de ces 
diverses fonctions dérivées spéciales, relatives 2i chaque va- 
riable isolément, et dont le nombre croît de plus en plus 
à mesure que l'ordre de la dérivation s'élùve, et ausM quand 
les variables sont plus multipliées. Il en résulte que les re- 
lations diCférentielles propres aux fonctions de plusieurs 
variables sont, par leur nature, et bien plus indirectes et 
surtout beaucoup plus indéterminées que celles relatives 
aux fonctions d'une seule variable. Cela est principalement 
sensible pour les fondions implicites où, au lieu des sim- 
ples constantes arbitraires que l'élimination fait disparaître 
quand on forme les équations diifcrcntielles propres aux 
fonctions d'une seule Vidiable, ce sont des fonctions arbi- 
traires des variables proposées qui se trouvent élinjinées, 
d'où doivent résulter, lors des intégrations, des difûcultés 
spéciales. 

EoOn, pour compléter ce tableau sommaire des diverses 
parties essentielles du calcul différentiel proprement dit, je 
dois ajouter que, dans la différentiation des fonctions im- 
plicites, soit à une seule variable, soit à plusieurs, il fîiut 
encore dibtinprucr le cas où il s'agit de différenlier à la fois 

A. CouTB. Tome L 14 



s 1 MATHÉMATIQUES. 

diverses fonctions de ce genre, mêlées dans certaines équa- 
tions primitives, de celui où toutes ces fonctions sont sé- 
parées. 

Les fonctions sont évidemment, en effet, encore plus 
implicites dans le premier cas que dans le second, si l'on 
considère que la môme imperfection de l'analyse ordinaire, 
qui empêche de convertir toute fonction implicite en une 
fonction explicite équivalente, ne permet pas davantage de 
séparer les fonctions qui entrent simultanément dans un 
système quelconque d'équations. Il s'agit alors de dififéren- 
licr, non-seulement sans savoir résoudre les équations pri- 
mitives, mais même sans pouvoir effectuer entre elles les 
éliminations convenables, ce qui constitue une nouvelle 
difûculté. 

Tels sont donc Tenchalnemenl naturel et la distribution 
rationnelle des diverses théories principales dont se com- 
pose le traité général de la différenliation. On voit que, la 
différentiation des fonctions implicites se déduisant de 
celle des fonctions explicites par un seul principe constant, 
et la différentiation des fonctions à plusieurs variables se 
ramenant, par un autre principe fixe, à celle des fonctions 
à une seule variable, tout le calcul différentiel se trouve 
reposer, en dernière analyse, sur la différentiation des 
fonctions explicites à une seule variable, la seule qui s'exé- 
cute jamais directement. Or, il est aisé de concevoir que 
cette première théorie, base nécessaire du système entier, 
consiste simplement dans la différentiation des dix fonc- 
tions simples, qui sont les éléments uniformes de loutes 
nos combinaisons analytiques, et dont j'ai présenté le ta- 
bleau (4* Ic^Qon). Car la différentiation des fonctions com- 
posées se déduit évidemment, d'une manière immédiate 
et iK'ccssaire, de celle des fonctions simples qui les con- 
stituent. C'est donc à la connaissance de ces dix différen- 




CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. Î11 

Ifelles fondamentales, et à celle des deux principes géné- 
raux, ci-dessus mentionnés, qui y ramènent tous les autres 
cas possibles, que se réduit, à proprement parler, tout le 
traité de la différentialion. On voit, par la combinaison de 
ces diverses considérations, combien est à la fois simple et 
parfait le système entier du calcul différentiel proprement 
dit II constitue certainement, sous le rapport logique, le 
spectacle le plus intéressant que l'analyse mathématique 
paisse présenter à notre intelligence. 

Le tableau général que je viens d'esquisser sommairement 
offrirait, néanmoins, une lacune essentielle, si je n'indi- 
quais ici distinctement une dernière théorie, qui forme, 
par sa nature, le complément indispensable du traité de 
la différentiation. C'est celle qui a pour objet la transfor- 
mation constante des fonctions dérivées, en résultat des 
changements déterminés de variables indépendantes, d'où 
résulte la possibilité de rapporter à de nouvelles variables 
toutes les formules différentielles générales établies primi- 
tivement pour d'autres. Celte question est maintenant ré- 
solue de la manière la plus complète et la plus simple, 
comme toutes celles dont se compose le cah ul différentiel. 
On conçoit aisément l'imporlance générale qu'elle doit 
avoir dans les applications quelconques de l'analyse trans- 
cendante, dont elle peut être considérée comme augmen- 
tant les ressources fondamentales, en permettant de 
choisir, pour former d'abord plus aisément les équations 
différentielles, le système de variables indépendantes qui pa- 
nttr-a le plus avantageux, bien qu'il ne doive pns ôlre main- 
tenu plus lard. C'est ainsi, par exemple, que la plupart des 
questions principales de la géométrie se résolvent beau- 
coup plus aisément en rapportant les lignes et les surfaces 
k des coordonnées reclllignes cl qu'on peut néanmoins 
^Ire conduit à les appliquer à des formes exprimées ana- 



212 MATHEMATIQUES. 

lyliqiiement, à Taide de coordonnées polaires, ou de toute 
autre manière. On pourra commencer alors la solution dif- 
férentielle du problème en employant toujours le système 
rectiligne, mais seulement comme un intermédiaire, d'a- 
près lequel, par la théorie générale que nous avons en vue 
ici, on passera au système dcrinilif, qu'il eût élé quelque- 
fois impossible de considérer direclement. 

Dans la classiJicatioii rnlionnelle que je viens d'exposer 
pour l'ensemble du calcul différentiel, on serait naturelle- 
ment tenté de signaler une omission grave, puisque je n*aî 
pas sous-divisé chacune des quatres parties essentielles 
d'après une autre considération générale, qui semble d'a- 
bord fort importante en elle-même, celle de Tordre plus 
ou moins élevé de la différentiation. Mais il est aisé de com- 
prendre que celte distinction n'a aucune influence réelle 
dans le calcul différentiel, en ce qu'elle n'y donne lieu à 
aucune difficulté nouvelle. En effet, si le calcul différentiel 
n'ét^iit pas rigoureusement complet, c'est-à-dire si on ne 
savait point différencier indi^tinctement loute fonctioa> 
quelconque, la différentiation au second ordre, ou à uii> 
ordre supérieur, de chaque fonction déterminée pourrait 
engendrer des difficnltés spéciales. Mais la parfaite uni- 
versalité du calcul différentiel donne évidemment l'assu- 
rance de pouvoir différencier à un ordre quelconque toutes 
les fonctions analytiqui's connues, la question se rédui- 
sant sans cesse à une différentiation au premier ordre, suc- 
cessivement redoublée. Ainsi, la considération des divers 
ordres de différentielles peut bien donner naissance à de 
nouvelles remarques plus ou moins importantes, surtout 
en ce qui concerne la formation des équations dififérea- 
tielles, et les dérivées partielles successives des fonctions 
à plusieurs variables. Mais elle ne saurait, évidemment, 
constituer aucun nouveau problème général dans le traité 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. iU 

-de la difTérentiation. Nous verrons tout à l'heure que celte 
<]istinclion, qui n*a, pour ainsi dire, aucune importance 
dans le calcul différentiel, en acquiert, au contraire, une 
t^rès-grande dans le calcul intégral, en vertu de rextrôme 
imperfection de ce dernier calcul. 

Enfin, quoique j*aie cru, en thèse générale, ne devoir 
«nullement envisager en ce moment les diverses applica- 
't.ions principales du calcul différentiel, il convient néan- 
snoins de faire une exception pour celles qui consisten 
-^ans la solution de questions purement analytiques, qui . 
-doivent, en effet, être rationnellement placées h la suite 
^u traité de la différentiation proprement dite, à cause de 
l'homogénéité évidente des considérations. Ces questions 
])euvent se réduire à trois essentielles : i"" le développe- 
ment en séries des fonctions à une seule ou à plusieurs 
'Variables, ou, plus généralement, la transformation des 
^fonctions, qui constitue la plus belle et la plus importante 
application du calcul différentiel à l'analyse générale, et 
qui comprend, outre la série fondamentale découverte par 
Taylor^ les séries si remarquables trouvées par Maclaurin, 
par Jean Bernouilli, par Lagrange, etc. ; 2* la théorie gé- 
nérale des valeurs maxima et minima pour les fonctions 
quelconques à une seule ou à plusieurs variables, un des 
plus intéressants problèmes que puisse présenter l'ana- 
lyse, quelque élémentaire qu'il soit devenu aujourd'hui, 
et à la solution complète duquel le calcul différentiel s'ap- 
plique très-naturellement ; 3° enfin, la détermination gé- 
nérale de la vraie valeur des fonctions qui se présentent 
sous une apparence indéterminée pour certaines hypo- 
thèses faites sur les valeurs des variables correspondantes, 
ce qui est le problème le moins étendu et le moins impor- 
tant des trois, quoiqu'il mérite d'être noté ici. La première 
quesliou est, sans contredit, la principale sous tous les rap*- 



âl4 MATUÉMATIQUES. 

ports : elle est aussi la plus susceptible d'acquérir dans la 
suite une extension nouvelle, surtout en concevant, d'une 
manière plus large qu'on ne Ta fait jusqu'ici, l'emploi du 
calcul différentiel pour la transformation des fonctions, au 
sujet de laquelle Lagrange a laissé quelques indications 
précieuses, qui n'ont encore été ni généralisées ni suivies. 

Je regrette beaucoup d'être obligé, par les limites né- 
cessaires de cet ouvrage, de me borner à des considéra- 
tions sommaires aussi insuffisantes sur tous les divers 
sujets que je viens de passer en revue, et qui comporte- 
raient, par leur nature, des développements beaucoup plus 
étendus, en continuant toujours néanmoins à rester dans les 
généralités qui sont le sujet propre de ce cours. Je passe 
maintenant à l'exposition également rapide du tableau sys- 
tématique du calcul intégral proprement dit, c'est-à-dire 
du traité abstrait de l'intégration. 

La division fondamentale du calcul intégral est fondée 
sur le môme principe que celle ci-dessus exposée pour le 
calcul différentiel, en distinguant l'intégration des for- 
mules différentielles explicites, et l'intégration des diffé- 
rentielles implicites, ou des équations différentielles. 
La séparation de ces deux cas est même bien plus 
profonde, relativement à l'intégration, que sous le simple 
rapport de la différentiation. Dans le calcul différen- 
tiel, en effet, cette distinction ne repose, comme nous 
l'avons vu, que sur l'extrême imperfection de rana!]rse 
ordinaire. Mais, au contraire, il est aisé de voir que, quand 
même toutes les équations seraient résolues algébrique- 
ment, les équations difiérentielles n'en constitueraient pas 
moins un cas d'intégration tout à fait distinct de celui que 
présentent les formules différentielles explicites. Car, en 
se bornant, par exemple, au premier ordre et à une fonc- 
tion unique^ d'une seule variable x, pour plus de simpli- 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. tl5 

€5Îtéy si Fon toppose résolue, par rapport à ^ une équa- 

CioQ différentielle quelconque entre x, y, et ^i l'expres- 
^on de la fonction dérivée se trouvant alors contenir géné- 
x-alement la fonction primitive el!e-môme qui est l'objet de 
la recherche, la question d'intégration n'aurait nullement 
<2hangé de nature, et la solution n'aurait fait réellement 
^'aulre progrès que d'avoir amené l'équation différentielle 
»posée à ne plus être que du premier degré relativement 
la fonction dérivée, ce qui est, en soi, de peu d'impor- 
'K^nce. La différentielle n'en serait donc pas moins déter- 
xninée d'une manière à peu près aussi implicite qu'au para- 
'^ant, sous le rapport de Tintégration, qui continuerait à 
;présenter essentiellement la môme difficulté caractéris- 
'^ique. La résolution algébrique des équations ne pourrait 
^aire rentrer le cas que nous considérons dans la simple 
intégration des diflérentielles explicites, que dans les 
occasions très-particulières où l'équation différentielle 
proposée ne contiendrait point la fonction primitive elle- 
néme, ce qui permettrait, par consé(juent, en la résol- 
vant, de trouver -£ en fonction de x seulement, et de ré- 
duire ainsi la question aux quadratures. 

La considération que je viens d'indiquer pour les équa- 
tions différentielles les plus simples aurait évidemment 
encore plus d'importance pour celles des ordres supéiieurs 
oa qui contiendraient simultanément diverses fonctions 
de plusieurs variables indépendantes. Ainsi, l'intégration 
des difTérentielles qui ne sont déterminées qu'impli- 
citement constitue par sa nature, et sans aucun égard 
à l'état de l'algèbre, un cas entièrement distinct de celui re- 
latif aux différentielles explicitement exprimées en fonction 
des variables indépendantes. L'intégration des équations 
difTérentielles est donc nécessairement plus compliquée 



il 6 MÀTnÉUATIQUES. 

que celle des difTorentielles explicites, par Télabora- 
tion desquelles le calcul intéf,TaI a pris naissance, et dont 
ensuite on s'est efforcé de faire, autant que possible, dé- 
pendre les autres. Tous les divers procédés analytiques 
proposés jusqu'ici pour intégrer les équations différen- 
tielles, soil la séparation des variables, soit la méthode 
des multiplicateurs, etc., ont en effet pour but de rannener 
ces intégrations à celles des formules différentielles, la 
seule qui, par sa nature, puisse être entreprise directe- 
ment. Malbeureusemenl, quelque imparfaite que soit jus- 
qu'ici celte base nécessaire de tout le calcul intégral, Tart 
d'y réduire l'intégration des équations différentielles est 
encore bien moins avancé. 

Chacune de ces deux branches fondamenlales du calcul 
intégral se sous-divise ensuite en deux autres, comme 
dans le calcul différenliel, et par des motifs exactement 
analogues (que je me dispenserai, par conséquent, de re- 
produire), suivant que Ton considère des fonctions à une 
seule variable ou des fonctions è plusieurs variables in- 
dépendantes. Je ferai seulement observer que celte dis- 
tinction est, comme la précédente, encore plus importante 
pour l'tnlégralion que pour la différcntiation. Cela est 
surtout remarquable, relativement aux équations diffé- 
rentielles. En effet, celles qui se rapportent à plusieurs 
variables indépendantes peuvent évideumjent présenter 
celte dilficulté caractéristique, et d'un ordre bien plus 
élevé, que la fonction cherchée soil déQnie différentielle- 
ment par une simple relation entre ses diverses dérivées 
spéciales relatives aux différentes variables prises séparé- 
ment. De \h résulte la branche la plus difficile, et aussi la 
plus étendue du calcul intégral, ce qu'on nomme ordinai- 
rement le calcul intégral aux différences partielles^ créé par 
d'Alembert, et dans lequel, suivant la ju»te appréciation 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. «17 

de Lagrange, les géomètres auraîenl dû voir réellement 
un calcol nouveau, dont le caractère philosophique n*est 
pas assez exactement jngé. Une difTcrence Irès-sailIante 
entre ce cas et celui des équations à une seule variable in- 
dépendante consiste, comme je l'ai fait observer ci-dessus, 
dans les fonctions arbitraires qui remplacent les simples 
constantes arbitraires pour donner aux intégrales corres- 
pondantes toute la généralité convenable. 

A peine ai-je besoin de dire que cette branche supé- 
rieure de l'analyse transcendante est encore entièrement 
dans Tcnfance, puisque, seulement dans le cas le plus 
simple, celui d'une équation du premier ordre entre les 
dérivées partielles d'une seule fonction à deux variables 
indépendantes, on ne sait point même jusqu'ici complète- 
ment ramoner l'intégration à celle des équations différen- 
tielles ordinaires. L'intégralion relative aux fonctions de 
plusieurs variables est beaucoup plus avancée, dans le cas, 
infiniment plus simple, à la vérilé, où il ne s'agit que des 
formules différenlielles expliciles. On sait alors, en effet, 
quand ces formules remplissent les conditions convenables 
d'intégralité, réduire constamment leur intégration aux 
quadratures. 

Une nouvelle dislinction générale applicable, comme 
sous-division, à l'intégraiion des différentielles explicites 
on implicites, à une seule variable ou à plusieurs, se tire 
de l'ordre plus ou moins élevé des différentiations, qui ne 
donne lieu à aucune question spéciale dans le calcul diffé- 
rentiel, ainsi que nous l'avons remarqué. 

Relativement aux différentielles explicites, soit ù une 
variable, soit à plusieurs, la nécessité de distinguer leurs 
divers ordres ne tient qu'à Textréme imperfection du cal- 
cul intégral. En effet, si l'on savait constamment intégrer 
toute formule différentielle du premier ordre, l'intégration 



218 HÀTOÉMATIQUES. 

d'une formule du second ordre ou de tout autre ne consti- 
tuerait point, évidemment, une question nouvelle, puis- 
que, en l'intégrant d'abord au premier ordre, on parviendrait 
à l'expression différentielle de Tordre immédiatement pré- 
cédent, d'où, par une suite convenable d'intégrations ana- 
logues, on serait certain de remonter finalement à la 
fonction primitive, objet propre d'un tel travail. Mais le 
peu de connaissances que nous possédons sur les intégra- 
tions premières fait qu'il n^en est point ainsi, et que l'or- 
dre plus ou moins élevé des différenlielles engendre des 
difflcultés nouvelles. Car, ayant des formules difTorenli elles 
d'un ordre quelconque supérieur au premier, il peut arri- 
ver qu'on sache les intégrer une première fois ou plusieurs 
fois de suite, et que, néanmoins, on ne puisse remonter 
ainsi aux fonctions primitives, si ces travaux préliminaires 
ont produit^ pour les différentielles d'un ordre intérieur, 
des expressions dont les intégrales ne sont pas connues. 
Cette circonstance doit se présenter d'autant plus fréquem- 
ment, le nombre des intégrales connues étant encore fort 
petit, que ces intégrales successives sont généralement, 
comme on sait, des fonctions très-différentes des dérivées 
qui les ont engendrées. 

Par rapport aux différentielles implicites, la distinctioQ 
des ordres est encore plus importante; car, outre le 
motif précédent, dont l'influence est évidemment ici ana- 
logue, et môme à un plus haut degré, il est aisé de sentir 
que l'ordre supérieur des équations différentielles donne 
lieu nécessairement à des questions d'une nature nou- 
velle. En effet, sût-on môme intégrer indistinctement 
toute équation du premier ordre relative à une fonction 
unique, cela ne sufûrait point pour faire obtenir l'intégrale 
définitive d'une équation d'un ordre quelconque, toute 
équation différentielle n'étant pas réductible à celle d'un 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. il 9 

ordre immédiatement inréricur. Si ron a, par exemple, 

ponr déterminer une fonction y de la variable Xy une rela- 

lion quelconque entre x, ^, ^, et ^, on n'en pourra 

point déduire immédiatement, en cfTectuanl une première 

intégration, la relation diCrérenlielIe correspondante entre 

JCy y, et ^, d'où, par une seconde inli^gralion, on remon- 

'E.erait à Teqnation primitive. Cela n'aurait lieu^nécessaire- 

KXienty du moins sans introduire de nouvelles fondions 

Sàuxîliaires, que si Téquation du second ordre proposée ne 

crontenait point la (onclion cherchée y, concurremment 

^?ec ses dérivées. En Ihèse générale, les équations difl'é- 

x^entielles devront donc réellement être envisagées comme 

présentant des cas d'autant plus implicites, que leur ordre 

^sst plus élevé, et qui ne pourront rentrer les uns dans les 

autres que par des méthodes spéciales, dont la recherche 

^^onstilue, par conséquent, une nouvelle classe de ques- 

Ijons, à l'égard dt^squellcs on ne sait jusqu'ici presque 

X'ien, môme pour les fonctions d'une seule variable (I). 

Au reste, quand on examine, d'une manière très-appro- 
A)Ddie, celle distinction des divers ordres d'équations 
différentielles, on trouve qu'elle pourrait rentrer cons- 
tamment dans une dernière distinction générale, relative 
aux équations différentielles, que j'ai encore à signaler. En 
effet, les équations différentielles à une seule ou à plusieurs 
Tariables indépendantes peuvent ne contenir simplement 
qu'une seule fonction, ou bien, dans un cas évidemment 
plas compliqué et plus implicite, qui correspond à la diffé- 
rentiation des fonctions implicites simultmées, on peut 

(1) Le seul cas important de ce genre qui ait été complètement traité 
Jusqu'ici est Tiutégration générale des équations linéaires d*iin of'dre 
quelconque, à coerflcients constants. Encore se trouvo-t-olle dépendre fl- 
nalement de la résolution algébrique des équations d'un degré égal à Tor- 
dre de la différentiatiun. 



tlO MATHÉMATIQUES. 

avoir à déterminer en môme temps plusieurs fondions 
d'après des équations didén-nlielles où elles se trouvent 
mêlées, concurremment avec leurs diverses dérivées. Il 
est clair qu'un tel état de la question présente nécessai- 
rement une nouvelle difficulté spéciale, celle d'établir la 
séparation des diffcrenles fonctions cherchées, en for- 
mant pour chacune, d'après les équations diCfcrcntielles 
propo^^ées, une équation différentielle isolée, qui ne con- 
tienne plus les autres fonctions ni leurs dérivées. Ce tra- 
vail préliminaire, qui est Tanalogue de l'élimination en 
algèbre, est évidemment indispensable avant de tenter 
aucime intégration directe, puisqu'on ne peut entrepren- 
dre généralement, à moins d'artifices spéciaux très-rare- 
ment applicables, de déterminer immédiatement à la fois 
plusieurs fonctions distinctes. Or il est aisé d'établir la 
coïncidence eracle et nécessiire de cette nouvelle distinc- 
tion avec la précédente, relative à l'ordre des équations 
difiërentielles. On sait, en effet, que la méthode générale 
pour isoler les fonctions, dans les équations différentielles 
simultanées, consiste essentiellement à former des équa- 
tions difiérentieiles, séparément relatives, à chaque fonc- 
tion, et dont l'ordre est égal à la somme de tous ceux des 
diverses équations propo>ées. Cette transformation peat 
s'effectuer constamment. D'un autre côté, toute équation 
différentielle d'un ordre quelconque relative à une seule 
fonction pourrait évidemment se ramener toujours aa 
premier ordre, en ir.trocluisant un nombre convenable 
d'équal'ons diffcrenlielies auxiliaires, contenant simultané- 
ment les diverses dérivées antérieures considérées comme 
nouvelles fonctions à déterminer. Ce procédé a môoie 
été quelquefois employé avec succès, quoiqu'on géuéral, 
il ne soit pas normal. Ce sont donc deux genres de con- 
ditions nécessairement équivalents, dans la théorie gêné- 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. %%i 

raie des équations diilërenliellos, que la simullanéité d'un 
plus ou moins grand nombre do fondions, cl Tordre de 
difTérenlialioa pids ou moins élevé d'une Ibnclion unique. 
£n augmentant l'ordre des équalions diirérenlieiles, on 
peut isoler toutes les fondions; et, en multipliant artifi- 
ciellement le nombre des fondions, on peut ramener 
toutes les équalions au premier ordre. II n'y a, par consé- 
queiity dans l'un cl l'aiilre cas, qu'une môme difdcullé, 
envisagée sous deux points de vue diflorents. Mais, dequel- 
C]ue manière qu'on la cor.çoive, cette nouvelle difticullé 
c:ommune n'en est pas moins réelle, et n'en conslilue pas 
moins, par sa nature, une sép-aralion tranchée entre l'iiité- 
^r-ilion des équations du premier ordre cl celle des équa- 
tions d'un ordre supérieur. Je préfère indiquer la distinc- 
tion sous celte dernière forme, comme plus simple, plus 
générale et plus rationnelle. 

D'après les diverses considérations indiquées ci-dessus 
$UT l'encbalnement rationnel des diflércntcs parties prin- 
cipales du calcul intégral, on voit que l'inlégration dos for- 
mules dillcrcntiellcs explicites du premier ordre à une 
seule variable est la base n(;cessaire de toutes les autres 
intégrations, qu'on ne parvient jamais à efl'ectuer qu'autant 
qu'on peut les faire rentrer dans ce cas élémentaire, le 
seul é\idi'mmeni qui, par sa nature, soit susceptible d'être 
traité directement. Cette intégration simple et fondamen- 
tale est souvent désignée par l'expression commode de 
quadratures^ attendu que toute intégrale de ce genre <Sy(a!r) 
dx, peut, enclfel, être envisagée comme représentant l'aire 
d'une courbe dont l'équation en coordonnées rectilignes 
serait y = f{pc). Une telle classe de questions correspond, 
dans le calcul différentiel, au cas élémentaire de la difl'é- 
rentialion des fonctions explicites à une seule variable. iMais 
la question intégrale est, pur sa nature, bien autrement 



su MATHÉMATIQUES. 

compliquée, et siirloiit beaucoup plus étendue que la 
question différentielle. Celle-ci se réduit nécessai renient, 
en effet, comme nous l'avons vu, à la différentiation des 
dix fonctions simples, éléments de toutes celles que l'ana- 
lyse considère. Au contraire, l'intégration des fonctions 
composées ne se déduit point nécessairement de celle des 
fonctions simples, dont chaque nouvelle combinaison doit 
présenter, sous le rapport du calcul intégral, des difficultés 
spéciales. De là, Télendue naturellement indéfinie, et la 
complication si variée de la question des quadratures, sur 
laquelle, malgré tous les efforts des analystes, on possède 
encore si peu de connaissances complètes. 

En décomposant celte question, comme il est naturel 
de le faire, suivant les diverses formes que peut affecter la 
fonction dérivée, on dislingue d'abord le cas des fonctions 
algébriques, et ensuite celui des fonctions transcendantes. 
L'intégration vraiment analytique de ce dernier ordre 
d'expressions est jusqu'ici fort peu avancée, soit pour les 
fonctions exponentielles, soit pour les fonctions loga- 
rithmiques, soit pour les fonctions circulaires. On n'a traité 
encore qu'un très-petit nombre de cas de ces trois divers 
genres, en les choisissant parmi les plus simples, qui cod- 
duisent môme ordinairement à des calculs extrêmement 
pénibles. Ce que nous devons surtout remarquer à ce sujet 
sous le rapport philosophique, c'est que les divers procédés 
de quadrature ne tiennent à aucune vue générale sur l'in- 
tégration, et consistent en de simples artifices de calcul 
fort incohérents entre eux, et dont le nombre est très-mul- 
tiplié, à cause de retendue très-bornée de chacun d'eux. 
Je dois cependant signaler ici un de ces artifices qui, sans 
être réellement une méthode d'intégration, est néanmoins 
remarquable par sa généralité : c'est le procédé inventé 
par Jean Bernouilli, et connu sous le nom de Vmtégraticn 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. tlS 

par parHeSf d'après lequel toute intégrale peut être ra- 
menée à nne autre, qui se trouve quelquefois être plus 
facile à obtenir. Cette ingénieuse relation mérite d'être 
notée sous un autre rapport, comme ayant offert la pre- 
mière idée de celte transformation les uns dans les autres 
€ie8 intégrales encore inconnues, qui a reçu dans ces der- 
niers temps une plus grande extension, et dont Fourier 
surtout a fait un usage si nouveau et si important pour 
les questions analytiques engendrées par la théorie de la 
chaleur. 

Quant à l'intégration des fonctions algébriques^ elle est 
plus avancée. Cependant, on ne sait encore prc^^que rien 
relativement aux fonctions irrationnelles, dont les inté- 
^ales n'ont été obtenues que dans des cas extrômemeat 
bornés, et surtout en les rendant rationnelles. L'intégration 
des fonctions rationnelles est jusqu'ici la seule théorie de 
calcul intégral qui ait pu être traitée d'une manière vrai- 
ment complète : sous le rapport logique, elle en constitue 
donc la partie la plus satisfaisante, mais peut-être aussi la 
moins importante. Il est même essentiel de remarquer, 
pour avoir une juste idée de l'extrême imperfection du 
calcul intégrai, que ce cas si peu étendu n'est entièrement 
résolu que pour ce qui concerne proprement l'intégration, 
envisagée d'une manière abstraite ; car^ dans rexécudon, 
la théorie se trouve le plus souvent, indépendamment de 
la complication des calculs, tout à fait arrêtée par l'imper- 
fection de l'analyse ordinaire^ attendu qu'elle fait dépendre 
finalement l'intégration de la r<^solulion algébrique des 
équations, ce qui en limite singulièrement l'usMge. 

Pour saisir d'une manière générale l'esprit des divers 
procédés d'après lesquels on procède aux quadratures, 
nous devons reconnaître d'ailleurs que, par leur nature, ils 
ne peuvent être fondés primitivement que sur la différcn- 



%U MATUÉHATIQUES. 

tintion des dix fondions simples, dont les résiiHcils, consi- 
dérés sous le point de vue inverse, établissent autant de 
théorèmes immédiats de calcul intégral, les seuls qui pnis- 
sent être connus direclenient, tout Tart de l'intégration 
consisUuit ensuite, comme je Tai exprimé en commençant 
cette leçon, à faire rentrer, autant que possible, toutes les 
autres quadratures dans ce petit nombre de quadratures 
élémentaires, ce qui malheureusement nous est encore le 
plus souvent inconnu. 

Dans cette énuméralion raisonnée des diverses parties 
essentielles de calcul intégral suivant leurs relations lo- 
giques, j'ai négligé h dessein, pour ne pas interrompre 
l'euchainement, de considérer distinctement une théorie 
fort importante, qui forme implicitement une portion de la 
théorie générale de Tinlégration des équations dillérea- 
tii'lles, mais que je dois ici signaler séparément, comme 
étant, pour ainsi dire, en dehors du calcul intégrai, et 
oifrant néanmoins le plus grand intérêt, soit par sa per- 
fection rationnelle, soit f)ar l'étendue de ses applications. 
Je veux parler de ce qu'on appelle les solutions singulières 
des équations dilTérentielles, dites quelquefois, mais à tort, 
solutions particulières, qui ont été le sujet de travaux trùs- 
rcmarquables de la part d'Ëuler et de Laplace, et dont 
L'igrange surtout a présenté une si belle et si simple 
théorie générale. On sait que Clairaut, qui, le premier, eut 
l'occasion d'en remarquer l'existence, y vit un paradoxe 
de calcul intégral, puisque ces solutions ont pour carac- 
tère propre de satisfaire aux équations différentielles sans 
être néanmoins comprises dans les intégr<iles générales 
correspondantes. Lagrange a, depuis, expliqué ce para- 
doxe de la manière la plus ingénieuse et la plus satisfai- 
sante, en montrant comment de telles solutions dérivent 
toujours de l'intégrale générale par la variation des con* 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. MS 

stanles arbitraires. Il a aussi, le premier, convenablement 
apprécié l'importance de cette théorie, et c'est avec raison 
qu'il lui a consacré, dans ses leçons sur k calcul des fane- 
tims, un si grand développement. Sous le point de vue ra- 
tionnel, cette théorie mérite en effet toute notre attention, 
par le caractère de parfaite généralité qu'elle comporte, 
puisque Lagrange a exposé des procédés invariables et fort 
simples pour trouver la solution singulière ûe toute équation 
différentielle quelconque qui en est susceptible ; et, ce qui 
n'est pas moins remarquable, ces procédés n'exigent au- 
cune intégration, consistant seulement dans des différen- 
ciations, et par là même toujours applicables. La différen- 
tiation est ainsi devenue, par un heureux artifice, un 
moyen de suppléer dans certaines circonstances à l'im- 
perfection du calcul intégral. En effets certains problèmes 
exigent surtout, par leur nature^ la connaissance de ces 
solutions singulières. Telles sont, par exemple, en géomé- 
trie, toutes les questions où il s'agit de déterminer une 
eonrbe d'après une propriété quelconque de sa tangente 
ou de son cercle osculaleur. Dans tous les cas de ce genre, 
après avoir exprimé cette propriété par une équation diffé- 
rentielle, ce sera, sous le rapport analytique, l'équation 
singulière qui constituera l'objet le plus important de la 
recherche, puisqu'elle seule représentera la courbe de- 
mandée, l'intégrale générale, qui devient dès lors inutile à 
connaître, ne devant désigner autre chose que le système 
des tangentes ou des cercles osculateurs de cette courbe. 
On conçoit aisément, d'après cela, toute l'importance de 
cette théorie, qui me semble n'être pas encore suffisam- 
ment appréciée par la plupart des géomètres. 

Enfin, pour achever de signaler le vaste ensemble de re- 
cherches analytiques dont se compose le calcul intégral 
proprement dit, il me reste à mentionner une théorie fort 

A. CoMTi. Tome I. i S 



216 M ATH ÉM ATIQUES, 

importante dans toutes les applications de l'analyse trans" 
cendante, que j'ai dû laisser en dehors du système comm^ 
n'étant pas réellement destinée à une véritable iulégration^ 
et se proposant, au contraire, de remplacer la connaissance 
des intégrales vraiment analytiques, qui sont le plus sou- 
vent ignorées. On voit qu'il s'agit de la détermination de» 
intégrales définies. 

L'expression, toujours possible, des intégrales en série» 
indéûnies, peut d'abord être envisagée comme un heureux 
moyen général de compenser souvent l'extrême imper» 
fectîon du calcul intégral. Mais l'emploi de telles séries, k 
cause de leur complication et de la difûcullé de découvrir 
la loi de leurs termes, est ordinairement d'une médiocre 
utilité sous le rapport algébrique, bien qu'on en ait déduit 
quelquefois des relations fort essentielles. C'est surtout 
sous le rapport arithmétique que ce procédé acquiert une 
grande importance, comme moyen de calculer ce qu'on ap- 
pela les intégrales définies^ c'est-à-dire les valeurs des 
' fonctions cherchées pour certaines valeurs déterminées des 
variables correspondantes. 

Une recherche de celte nature correspond exactement, 
dans l'analyse transcendante, à la résolution numérique 
des équations dans l'analyse ordinaire. Ne pouvant obtenir 
le plus souvent la véritable intégrale, celle qu'on nomme, 
par opposition, l'intégrale générale ou indéfinie, c'est- 
à-dire la fonction qui, différentiée, a produit la formule 
diCTérentielle proposée, les analystes ont dû s'attacher à dé* 
terminer, du moins, sans connaître une telle fonction, les 
valeurs numériques particulières qu'elle prendrait en assi" 
gnant aux variables des valeurs désignées. C'est évidem^ 
ment résoudre la question arithmétique, sans avoir préala^ 
blement résolu la question algébrique correspondante, qui «^ 
le plus souvent, estprécisément la plus importante. Unetell^ 



CALCUL DES FONCTIONS INDIRECTES. 117 

analyse est donc, par sa nature, aussi imparfaite que nous 
afons TU l'être la résolution numérique des équations. Elle 
présente, comme celle-ci, une confusion vicieuse du point 
de yue arithmétique avec le point de vue algébrique ; d'où 
Téaultent, soit sous le rapport purement logique, soit rela- 
tivement aux applications, des inconvénients analogues. Je 
pais donc me dispenser de reproduire ici les considérations 
indiquées dans la cinquième leçon au sujet de l'algèbre. On 
conçoit néanmoins que, dans l'impossibilité où nous som- 
mes presque toujours de connaître les véritables inté- 
grales, il est de la plus haute importance d'avoir pu obte- 
nir au moins cette solution incomplète et nécessairement 
insuffisante. Or, c'est à quoi on est heureusement parvenu 
aujourd'hui pour tous les cas, l'évaluation des intégrales 
définies ayant été ramenée à des méthodes entièrement gé- 
nérales, qui ne laissent à désirer, dans un grand nombre 
d'occasions, qu'une moindre complication des calculs, but 
vers lequel se dirigent aujourd'hui toutes les transforma- 
tions spéciales des analystes. Regardant maintenant comme 
parfaite cette sorte d'arithmétique transcendante^ la diffi- 
culté, dans les applications, se réduit essentiellement à ne 
fiûre dépendre finalement la recherche proposée que d'une 
simple détermination d'intégrales définies, ce qui, évi- 
demment, ne saurait être toujours possible, quelque ha- 
bileté analytique qu'on puisse employer à effectuer une 
transformation ainsi forcée. 

Par l'ensemble des considérations indiquées dans cette 
leçon, on voit que, si le calcul différentiel constitue, de sa 
nature, un système limité et parfait auquel il ne reste plus 
à ajouter rien d'essenlî^l, le calcul intégral proprement dit, 
ou le simple traité de l'intégration, présente nécessaire- 
ment un champ inépuisable à l'activité de l'esprit humain, 
indépendamment des applications indéfinies dont Tana- 



2«« MATHÉMATIQUES. 

lyse transcendante est évidemment susceptible. Les motifs 
généraux par lesquels j'ai tâché de faire sentir, dans la cin- 
quième leçon, rimpossibilité de découvrir jamais la ré- 
solution algébrique des équations d'un degré et d'une 
forme quelconque, ont, sans aucun doute, infiniment plus 
de force encore relativement à la recherche d'un procédé 
unique d'intégration, invariablement applicable à tous les 
cas. Cest^ dit Lagrange, un de ces problèmes dont on ne sau- 
rait espérer de solution générale. Plus on méditera sur ce 
sujets plus on sera convaincu, je ne crains pas de l'affir- 
mer, qu*une telle recherche est totalement chimérique, 
comme étant beaucoup trop supérieure à la faible portée 
de notre intelligence, bien que les travaux des géomètres 
doivent certainement augmenter dans la suite l'ensemble 
de nos connaissances acquises sur l'intégration, et créer 
aussi des procédés d'une plus grande généralité. L'analyse 
transcendante est encore trop près de sa naissance, il y a sur- 
tout trop peu de temps qu'elle est conçue d'une manière 
vraiment rationnelle, pour que nous puissions nous faire 
une juste idée de ce qu'elle pourra devenir un jour. Mais, 
quelles que doivent être nos légitimes espérances, n'ou- 
blions pas de considérer avant tout les limites imposées 
par notre constitution intellectuelle, et qui, pour n'être 
pas susceptibles d'une détermination précise, n'en ont 
pas moins une réalité incontestable. 

Au lieu de tendre à imprimer au calcul des fonctions 
indirectes, tel que nous le concevons aujourd'hui, une 
perfection chimérique, je suis porté à penser que, lorsque 
les géomètres auront épuisé les applications les plus im- 
portantes de notre analyse transce||dante actuelle, ils se 
créeront plutôt de nouvelles ressources, en changeant le 
mode de dérivation des quantités auxiliaires introduites 
pour faciliter l'établissement des équations, et dont la 



CALCUL DES F0NCTI0r9S INDIRECTES. 19» 

formation pourrait suivre une infinité d'autres lois que la 
relation très-simple qui a élé choisie, d'après une concep- 
tion que j'ai déjà indiquée dans la quatrième leçon. Les 
moyens de cette nature me paraissent susceptibles en 
eux-mêmes, d'une plus grande fécondité que ceux qui 
consisteraient seulement à pousser plus loin notre calcul 
actuel des fonctions indirectes. C'est une pensée que je 
soumets aux géomètres dont les méditations se sont tour- 
nées vers la philosophie générale de l'analyse. 

Du reste, quoique j'aie dû, dans l'exposition sommaire 
qui était l'objet propre de celte leçon, rendre sensible 
l'état d'extrême imperfection où se trouve encore le calcul 
intégral, on aurait une fausse idée des ressources géné- 
rales de l'analyse transcendante, si on accordait à celte 
considération une trop grande importance. Il en est ici, en 
effet, comme dans l'analyse ordinaire, où Ton est parvenu 
à utiliser, à un degré immense, un très-petit nombre de 
connaissances fondamentales sur la résolution des équa- 
tions. Quelque peu avancés qu'ils soient réellement jus- 
qu'ici dans la science des intégrations, les géomètres n'en 
ont pas moins tiré, de notions abstraites aussi peu multi- 
pliées, la solution d'une multitude de questions de pre- 
mière importance en géométrie, en mécanique, en ther- 
mologie, etc. L'explication philosophique de ce double 
fait général résulte de l'importance et de la portée néces- 
sairement prépondérantes des connaissances abstraites, 
dont la moindre se trouve naturellement correspondre à 
une foule de recherches concrètes, l'homme n'ayant d'au- 
tre ressource pour l'extension successive de ses moyens 
intellectuels, que dans la considération d'idées de plus en 
plus abstraites et néanmoins positives. 

Pour achever de faire connaître, dans toute son étendue, 
le caractère philosophique de l'analyse transcendante, il 



180 M ATnÉM ATIQUES • 

me reste à considérer une dernière conception par laquelle 
l'immortel Lagrange, que nous retrouvons sur toutes les 
grandes voies de la science mathématique, a rendu cette 
analyse encore plus propre à faciliter l'établissement des 
équations dans les problèmes les plus difficiles, en consi- 
dérant une classe d'équations encore plus indirectes que 
les équations différentielles proprement dites. C'est le cal- 
cul ou plutôt la méthode des variations^ dont l'appréciation 
générale sera l'objet de la leçon suivante. 



HUITIÈME LEÇON 



— Considérations générales sur le calcul des ▼ariations. 



Afin de saisir avec plus de facilité le caractère philoso- 
phique de la méthode des variations, il convient d'abord 
de considérer sonimairenient la nature spéciale des pro- 
blèmes dont la résolution générale a nécessité la formation 
de cette analyse hyper-transcendante. Ce calcul est encore 
trop près de son origine, les applications en ont été jus- 
qu'ici trop peu variées, pour qu'on pût en concevoir une 
idée générale suffisamment claire, si je me bornais à une 
exposition purement abstraite de sa théorie fondamentale, 
bien qu'une telle exposition doive être ensuite, sans au- 
cun doute, l'objet principal et définitif de cette leçon. 

Les questions mathématiques qui ont donné naissance 
^ucalcul des variations consistent, en général, dans la re- 
cherche des maxima et des minima de certaines formules 
intégrales indéterminées, qui expriment la loi analytique 
de tel ou tel phénomène géométrique ou mécanique, con- 
sidéré indépendamment d'aucun sujet particulier. Les 
géomètres ont désigné pendant longtemps toutes les ques- 
tions de ce genre par le nom commun de problèmes des 

isopérimètres y qui ne convient cependant qu'au plus petit 

nombre d'entre elles. 
Dans la théorie ordinaire des maxima et minima^ on se 

propose de découvrir, relativement à une fonction donnée 

d'une seule ou de plusieurs variables, quelles valeurs par- 



231 MATHÉMATIQUES. 

tîculières il fant assigner à ces variables pour que la va- 
leur correspondante de la fonction proposée soit un maxi- 
mun\ ou un minimum^ par rapport à celles c(ui précèdent et 
qui suivent immédiatement, c'est-à-dire qu'on ^cherche, à 
proprement parler, à quel instant la fonction cesse de 
croître pour commencer à décroître, ou réciproquement. 
Le calcul différentiel suffît pleinement, comme on sait, à 
la résolution générale de cette classe de questions, en 
montrant que les valeurs des diverses variables qui con- 
viennent, soit au maximum^ soit au minimum^ doivent tou- 
jours rendre nulles les différentes dérivées du premier 
ordre de la fonction donnée, prises séparément par rap- 
port à chaque variable indépendante; et en indiquant de 
plus un caractère propre à distinguer le maximum du mt- 
nimumy qui consiste, dans le cas d'une fonction d*une seule 
variable, par exemple, en ce que la fonction dérivée du se- 
cond ordre doit prendre une valeur négative pour le maxi- 
mum, et positive pour le minimum. Telles sont, du moins, 
les conditions fondamentales qui se rapportent au plus 
grand nombre des cas ; les modifications qu'elles doivent 
subir, pour que la théorie soit complètement applicable à 
certaines questions, sont d'ailleurs également assujetties 
à des règles abstraites aussi invariables, quoique plus 
compliquées. 

La construction de cette théorie générale ayant fait dis- 
paraître nécessairement le principal intérêt que les ques- 
tions de ce genre pouvaient inspirer aux géomètres, ils se 
sont élevés presque aussitôt à la considération d'un nouvel 
ordre de problèmes, à la fois beaucoup plus importants et 
d'une difficulté bien supérieure, ceux des isopérimètres. Ce 
ne sont plus alors les valeurs des variables propres au maxi- 
mum ou au minimum d'une fonction donnée, qu'il s*agit de 
déterminer. C'est la forme de la fonction elle-même qu'on 



CALCUL DES VARIATIONS. %%% 

propose de découvrir, d'après la condition du maximum 
oodu minimum d*une certaine intégrale définie, seulement 
indiquée, qui dépend de cette fonction. 

La plus ancienne question de cette nature est celle du so- 
lide de nioindre résistance, traitée par Newton, dans le 
second livre des Principes^ où il détermine quelle doit être 
la courbe méridienne d'un solide de révolution^ pour que 
la résistance éprouvée par ce corps dans le sens de son axe, 
en traversant avec une vitesse quelconque un fluide im* 
mobile, soit le plus petite possible. Mais la marche suivie 
par Newlon n'avait point un caractère assez simple, assez 
général et surtout assez analytique, par la nature de sa 
méthode spéciale d'analyse transcendante, pour qu'une 
telle solution pût suffire à entraîner les géomètres vers ce 
nouvel ordre de problèmes. L'impulsion vraiment décisive 
à cet égard ne pouvait guère partir que de l'un des géomè- 
tres occupés sur le continent à élaborer et à appliquer la 
méthode infinitésimale proprement dite. C'est ce que fit, 
en 4695, Jean Bernouilli, en proposant le problème célèbre 
de la brachystochrone, qui suggéra depuis une si longue 
suite de questions analogues. Il consiste à déterminer la 
courbe qu'un corps pesant doit suivre pour descendre d'un 
pmnt à un autre dans le temps le plus court. En se bor- 
nant à la simple chute dans le vide, seul cas qu'on ait d'à* 
bord considéré, on trouve assez facilement que la courbe 
cherchée doit être une cycloïde renversée, à base horizon- 
tale» ayant son origine au point le plus élevé. Mais la ques- 
tion peut être singulièrement compliquée, soit en ayant 
égard à la résistance du milieu, soit en tenant compte du 
changement d'intensité delà pesanteur. 

Quoique cette nouvelle classe de problèmes ait été pri- 
mitivement fournie par la mécanique, c'est néanmoins 
dans la géométrie qu'on a puisé plus tard les sujets des 



tlk MATHÉMATIQUES. 

principales recherches. Ainsi, on s'est proposé de décou— 
\rir, parmi toutes les courbes de môme contour (racées en — 
Ire deux points donnés^ quelle est celle dont l'aire est un 
maximun ou un minimuny d'où est venu proprement le 
nom de problème des ipérimètres ; on bien on a demandé 
que le maximum et le minimum eussent lieu pour la surface 
engendrée par la révolution de la courbe cherchée autour 
d'un axe ou pour le volume correspondant ; dans d'autres 
cas, c'était la hauteur verticale du centre de gravité de la 
courbe inconnue, ou de la surface et du volume qu'elle 
pouvait engendrer, qui devait devenir un moxrmum ou un 
minimum, etc. EnGn, ces problèmes ont été successive- 
ment variés et compliqués, pour ainsi dire à l'infini, par 
les Bernouilli^ par Taylor, et surtout par Euler, avant que 
Lagrange en eût assujetti la solution à une mélhode ab- 
straite et entièrement générale, dont la découverte a fait 
cesser l'empressement des géomètres pour un tel ordre de 
recherches. 11 ne s'agit point ici de tracer, même sommai- 
rement rhistoire de cette partie supérieure des mathéma- 
tiques, quelque intéressante qu'elle fût. Je n'ai fait l'énumé- 
ralion de certaines questions principales choisies parmi 
les plus simples, qu'afin de rendre sensible la destioalion 
générale qu'avait essentiellement, à son origine, la mé- 
thode des variations. 

On voit que, considérés sous le point de vue analytique, 
tous ces problèmes consistent^ par leur nature^à détermi- 
ner quelle forme doit avoir une certaine fonction inconnue 
d'une ou plusieurs variables, pour que telle ou telle ioté* 
grale dépendante de cette fonction se trouve avoir, entre 
des limiles assignées, une valeur qui soit un moûcimum ou 
un minimum, relativement à toutes celles qu'elle prendrait, 
si la fonction cherchée avait une autre forme quelconque. 
Ainsi, par exemple, dans le problème de la brachjsto— ^ 



CALCUL DES VARIATIONS. 385 

chrone, od sait que siy = f (z), x = 9 (z), sont les équa- 
tions reclilignes de la courbe cherchée, en supposant les 
axes des x et des y horizontaux, et Taxe des z vertical, le 
temps de la chute d'un corps pesant le long de celte courbe, 
depuis le point dont l'ordonnée est z, jusqu'à celui dont 
Tordonnéc est z, est généralement exprimé par l'intégrale 
définie (1): 

^'1 

I + (A (i) )« + (c.' u) )« ^^ 

n faut donc trouverquelles doivent ôtreles deux fonctions 
inconnues /*et 9 pour que cette intégrale soit un minimum. 
De même, demander quelle est^ parmi toutes les courbes 
planes isopérimètres, celle qui renferme la plus grande 
aire, c'est proposer de trouver, parmi toutes les fonctions 
f{x) qui peuvent donner à l'intégrale 




J'rfx 1/ i + (/' (X) )« 



une certaine valeur constante, celle qui rend un maximum 

Hnlégrale / f{x) dxy prise entre les mômes limites. Il en 

est évidemment toujours ainsi dans toutes les autres ques- 
tions de ce genre. 

Dans les solutions que les géomètres donnaient de ces 
problèmes avant Lagrange, on se proposait essentiellement 
de les ramener à la théorie ordinaire des maxima et mi- 
nima. Mais les moyens employés pour elTectuer cette trans* 
formation consistaient en de simples artifices particuliers, 
propres à chaque cas, et dont la découverte ne comportait 
point de règles invariables et certaines, en sorte que toute 

(I) J*emp]oie It notation simple et lumineuse propos(5e par Fourier 
pour désigner les intégrales définies, en mentionnant distinctement leurs 
limites. 




386 MATHÉMATIOUBS. 

question vraiment nouvelle reproduisait constamment de^ 
difficultés analogues, sans que les solutions déjà obtenues 
pussent être réellement d'aucun secours essentiel, autre — 
ment que par les habitudes qu*elles avaient fait contracter- 
à rintelligence. En un mot, cette branche des malhémati — 
ques présentait alors Timperfection nécessaire qui exist 
constamment tant qu'on n'est point parvenu à saisir distinc 
tement, pour la traiter d'une manière absiraite et dès lor 
générale, la partie commune à toutes les questions d'un 
même classe. 

En cherchant à réduire tous les divers problèmes des is 
périnièlresà dépendre d'une analyse commune^ organisé 
abstiailement en un calcul distinct, Lagrange a été conduite 
à concevoir une nouvelle nature de différentiations, aux^ 
quelles il a appliqué la caractéristique B, en réservant la 
caractéristique ^pour les simples difTérenlielles ordinaires. 
Ces diCférentielles d'une espèce nouvelle, qu'il a désignées 
sous le nom de variations^ consistent dans les accroisse- 
ments infiniment petits que reçoivent les intégrales, non 
en vertu d'accroissements analogues de la part des va- 
riables correspondantes, comme pour l'analyse transcen- 
dante ordinaire, mais en supposant que la forme de la 
fonction placée sous le signe d'intégration vienne à changer 
infiniment peu. Cette distinction se conçoit, par exemple, 
avec facilité, relativement aux courbes, où l'on voit For- 
donnée ou toute autre variable de la courbe, comporter 
deux sortes de différentielles évidemment très-différentes, 
suivant que l'on passe d'un point à un autre infiniment 
voisin sur la même courbe, ou bien au point correspon- 
dant de la courbe infiniment voisine produite par une 
certaine modification déterminée de la première (1). Il est 

(I) Leibnitz avait déjà considéré la comparaisoa d'une courbe à aoe 
autre infinimeoc voisine; c'est ce qu'il appelait differentiatio de 



CALCUL DES VARIATIOMS. 387 

dair, du reste, que, par leur ualure, les variations relatives 
de diverses grandeurs liées entre elles par des lois quel- 
conques, se caiculeot, à la caracléristique près, exacte- 
ment de la môme manière que les différentielles. Enfin, 
on déduit également de la notion générale des variations 
les principes fondamentaux de Talgorithme propre à cette 
méthode et qui consistent simplement dans la faculté évi- 
dente de pouvoir transposer à volonté les caractéristiques 
spécialement affectées aux variations avant ou après celles 
qui correspondent aux différentielles ordinaires. 

Cette conception abstraite une fois formée, Lagrange a 
po réduire aisément, de la manière la plus générale, tous 
let problèmes des isopérimètres à la simple théorie or- 
dinaire des maxima et des mmima. Pour se faire une idée 
nette de cette grande et heureuse transformation, il faut 
préalablement considérer une distinction essentielle à la- 
quelle donnent lieu les diverses questions des isopéri- 
mëtres. 

On doit, en effet, partager ces recherches en deux classes 
générales, selon que les maxima et minima demandés sont 
abtolus ou relatifs, pour employer les expressions abrégées 
des géomètres. Le premier cas est celui où les intégrales 
définies indéterminées dont on cherche le maximum ou le 
minimum, ne sont assujetties, par la nature du problème, 
à aucune condition ; comme il arrive, par exemple, dans 
le problème de la brachystochrone, où il s'agit de choisir 
entre toutes les courbes imaginables. Le second cas a lieu, 
quand, au contraire, les intégrales variables ne peuvent 
changer que suivant certaines conditions, consistant or- 

éi cmrvnm. Mais cette comparaison n^ayait aucune analogie avec la con- 
eeption de Lagrange, les courbes de Leibnitz étant renfermées dans une 
nême équiiion générale, d*où elles se déduisent par le simple changement 
d'vne constante arbitraire. 



288 MATHÉMATIQUES. 

dinairement en ce que d'autres intégrales définies, dépen- 
dant également des fonctions cherchées, conservent con- 
stamment une même valeur donnée; comme, par exemple, 
dans toutes les questions géométriques concernant les 
figures isopérimètres proprement dites, et où, par la natore 
du problème, l'intégrale relative à la longueur de la courbe 
ou à l'aire de la surface, doit rester constante pendant le 
changement de celle qui est l'objet de la recherche pro- 
posée. 

Le calcul des variations donne immédiatement la solu- 
tion générale des questions de la première espèce. Car il 
suit évidemment de la théorie ordinaire des maxima et 
minimay que la relation cherchée doit rendre nulle la va- 
riation* de Tintégrale proposée par rapport à chaque va- 
riable indépendante, ce qui donne la condition commune 
au maximum et au minimum ; et, comme caractère propre 
à distinguer l'un de l'autre, que la variation du second 
ordre de la môme intégrale doit être négative pour le 
maximum et positive pour le minimum. Ainsi, par exemple, 
dans le problème de la brachyslochrone, oh aura, pour 
déterminer la nature de la courbe cherchée, l'équation de 
condition : 







qui, se décomposant en deux, par rapport aux deux fonc- 
tions inconnues /" et cp qui sont indépendantes l'une de 
l'autre, exprimera complètement la définition analytique 
de la courbe demandée. La seule difGcullé propre à cette 
nouvelle analyse consiste dans l'élimination de la caracté- 
ristique $, pour laquelle le calcul des variations fournit des 
règles invariables et complètes, fondées, en général, sur 




CALCUL DES VARIATIONS. tSf 

le procédé de l'intégration par parties, dont Lagrange a su 
tirer ainsi un parti immense. Le but constant de cette pre- 
mière élaboration analytique, dans l'exposition de laquelle 
je ne dois nullement entrer ici, est de faire parvenir aux 
équations différentielles proprement dites, ce qui se peut 
toujours, et par là la question rentre dans le domaine de 
l'analyse transcendante ordinaire, qui achève la solution, 
du moins en la ramenant à l'algèbre pure, si on sait effec* 
tuer l'intégration. La destination générale, propre à la mé- 
thode des variations, est d'opérer celte transformation, 
pour laquelle Lagrange a établi des règles simples, inva- 
riables, et d'un succès toujours assuré. 

Je ne dois pas négliger, dans cette rapide indication gé- 
nérale, de faire remarquer comme un des plus grands 
avantages spéciaux de la méthode des variations comparée 
aux solutions isolées qu'on avait auparavant des problèmes 
des isopérimètres, l'importante considération de ce que 
Lagrange appelle les équations aux limites, entièrement né- 
gligées avant lui, et sans lesquelles néanmoins la plupart 
des solutions particulières restaient nécessairement incom- 
plètes. Quand les limites des intégrales proposées doivent 
êtres fixes, leurs variations étant nulles, il n'y a pas lieu 
d'en tenir compte. Mais il n'en est plus ainsi quand ces li- 
mites, au lieu d'être rigoureusement invariables, sont assu- 
jetties seulement à certaines conditions ; comme, par 
exemple, si les deux points entre lesquels doit être tracée 
la couibe cherchée ne sont pas fixes, et doivent seulement 
rester sur des lignes ou des surfaces données. Âlors^ il 
faut avoir égard aux variations de leurs coordonnées, et 
établir entre elles les relations correspondantes aux équa- 
tions de ces lignes ou de ces surfaces. 

Celte considération essentielle n'est que le dernier com- 
plément d'une considération plus générale el plus impor- 



•40 MATHÉMATIQUES. 

tante relative aux variations des diverses variables indé- 
pendantes. Si ces variables sont réellement indépendante! 
les unes des autres, comme lorsqu'on compare toutes les 
courbes imaginables susceptibles d'être tracées entre deu: 
points, il en sera de même de leurs variations^ et par suiti 
les termes relatifs à chacune de ces variations devront ôtn 
séparément nuls dans Téquation générale qui exprime Ii 
maximum ou le minimum. Mais si, au contraire, on sup- 



pose les variables assujetties à de certaines condition 
quelconques, il faudra tenir compte de la relation qui ei 
résulte entre leurs variations, de telle sorte que le nomb 
des équations dans lesquelles se décompose alors cettes 
équation générale soit toujours égal à celui seulement de^ 
variables qui restent vraiment indépendantes. C'est ainsi, 
par exemple, qu'au lieu de chercher le plus court chemin, 
pour aller d'un point à un autre, en choisissant parmi toas^ 
les chemins possibles, on peut se proposer de trouver sen* 
lement quel est le plus court entre tous ceux qu'on peut 
suivre sur une surface quelconque donnée, question dont la. 
solution générale constitue certainement une des plus 
belles applications de la méthode des variations. 

Les problèmes où l'on considère de telles conditions 
modificatrices se rapprochent beaucoup, par leur nature, 
de la seconde classe générale d'applications de la méthode 
des variations, caractérisée ci-dessus comme consistant 
dans la recherche des maxima et minima relatifs. Il y a 
néanmoins, entre les deux cas, cette différence essentielle, 
que, dans ce dernier, la modification est exprimée par une 
intégrale qui dépend de la fonction cherchée, tandis qae, 
dans l'autre, elle se trouve désignée par une équation finie 
qui est immédiatement donnée. On conçoit, par là, que la 
recherche des maxima et minima relatifs est toujours et- 
nécessairement plus compliquée que celle des maxima et 



CALCUi. DES YA&IATIONS. 141 

HÛAÎma aàsalus» Heureusemenl, un théorème général ferl 
important, troavé avant l'invention dn calcul des varia- 
lions, et qui est une des [dus belles découvertes dues au 
génie du grand Euler, donne un moyen uniforme et tr es- 
simple de faire rentrer ces deux classes de questions Time 
dans l'autre. Il consiste en ce que, si Ton ajoute à l'intégrale, 
qui doit être un maximum ou un minimum^ mi mnltiplc 
constant et indéterminé de celle qui doit rester constante 
par la nature du problème, il suffira de chercher, suivant 
le procédé général de Lagrange, ci-dessus indiqué, le 
maximum ou le minimum absolu de cette expression totale 
On peut aisément concevoir, en effet, que la partie de ht 
variation complète qui proviendrait de la dernière inté^ 
grale doit aussi bien être nulle, à cause de la constance de 
celle-ci, que la portion due à la première intégrale, qui 
s'anéantit en vertu de Tétât maximum ou minimum. Ces 
deux conditions distinctes s'accordent évidemment pour 
produire, sous ce rapport, des effets exactement sem*- 
blables. 

Telle est, par aperçu, la manière générale dont la mé- 
thode des variations s'applique à toutes les diverses ques- 
tions qui composent ce qu'on appelait la théorie des iso- 
périmètres. On aura sans doute remarqué^ dans cette 
exposition sommaire, à quel degré s'est trouvée utilisée 
par cette nouvelle analyse la seconde propriété fondamen- 
tale de l'analyse transcendante, appréciée dans la sixième 
leçon, savoir : la généralité des expressions infinitésimales 
pour représenter un môme phénomène géométrique ou 
mécanique, en quelque corps qu'il soit considéré. C'est, en 
effet, sur cette généralité que sont fondées, par leur nature, 
toutes les solutions dues à la méthode des variations. Si 
one formule unique ne pouvait point exprimer k longueur 
ou l'aire de toute courbe quelconque, si on n'avait point 

A. €oHTB. Tome I. iO 



343 * MATHÉMATIQUES. 

une autre formule fixe pour désigner le temps de la chute 
d'un corps pesant, suivant quelque ligne qu'il des- 
cende, etc., comment eût-il été possible de résoudre des 
questions qui exigent inévitablement, par leur nature, la 
considération simultanée de tous les cas que peuvent dé- 
terminer dans chaque phénomène les divers sujets qui le 
manifestent? 

Quelle que soit l'extrême importance de la théorie des 
isopérimètres, et quoique la méthode des variations n'ait 
eu primitivement d'autre objet que la résolution ration- 
nelle et générale de cet ordre de problèmes, on n'aurait 
cependant qu'une idée incomplète de cette belle analyse, 
si on bornait là sa destination. En effet, la conception 
abstraite de deux natures distinctes de différentiations est 
évidemment applicable non-seulement aux cas pour les- 
quels elle a été créée, mais aussi à tous ceux qui présen- 
tent, par quelque cause que ce soit, deux manières diffé- 
rentes de faire varier les mômes grandeurs. C'est ainsi que 
Lagrangc lui-môme a fait, dans sa mécanique analytique^ 
une immense application capitale de son calcul des va- 
riations, en l'employant à distinguer les deux sortes de 
changements que présentent si naturellement les questions 
de mécanique rationnelle pour les divers points que l'on 
considère, suivant que l'on compare les positions succes- 
sives qu'occupe, en vertu du mouvement, un môme point 
de chaque corps dans deux instants consécutifs, ou que 
l'on passe d'un point du corps à un autre dans le môme 
instant. L'une de ces comparaisons produit les différen- 
tielles ordinaires; l'autre donne lieu aux variations, qui ne 
sont, là comme partout, que des différentielles prises sous 
un nouveau point de vue. C'est dans une telle acception 
générale qu'il faut concevoir le calcul des variations, pour 
apprécier convenablement l'importance de cet admirable 



CALCUL DES VARIATIONS. 148 

iostrament logique, le plus paissant qoe l'esprit hamain 
ail construit josqu'ici. 

La méthode des variations n'étant qu'une immense 
extension de l'analyse transcendante générale, je n'ai pas 
besoin de constater spécialement qu'elle est suscepti- 
ble d'être envisagée sous les divers points de vue fon- 
damentaux que comporte le calcul des fonctions indi- 
rectes, considéré dans son ensemble. Lagrange a inventé 
le calcul des variations d'après la conception infinité- 
simale proprement dite, et même bien avant d'avoir 
entrepris la reconstruction générale de l'analyse trans- 
cendante. Quand il eut exécuté cette importante réfor- 
matîoDy il montra aisément comment elle pouvait aussi 
s'appliquer au calcul des variations, qu'il exposa avec 
tout le développement convenable, suivant sa théorie 
des fonctions dérivées. Mais plus l'emploi de la mé- 
thode des variations est difficile pour l'intelligence à cause 
du degré d'abstraction supérieur des idées considérées, 
plus il iinporte de ménager dans son application les 
forces de notre esprit, en adoptant la conception ana* 
lytique la plus directe et la plus rapide, c'est-à-dire celle 
de Leibnitz. Aussi Lngrange lui-môme Ta-t-il constamment 
prérérée dans l'important usage qu'il a fait du calcul des va- 
riations pour la mécanique anal y tique. Il n'existe pas, en i^fTet, 
la moindre hésitation h cet égard parmi les géomètres. 

Afin d'éclaircir aussi complètement que possible le ca- 
ractère philosophique du calcul des variations, je crois de- 
voir terminer en indiquant sommairement ici une consi- 
dération qui me semble importante, et par laquelle je puis 
le rapprocher de l'analyse transcendante ordinaire à un 
plus haut degré que Liigrangc ne me paraît l'avoir fait (I). 

(1) Je me propose de développer plus tard ceue considération nouvelle, 
dans un travail spécial sur le co/cu/ de$ variationi^ qui a pour objet de 



344 MATHÉMATIQUES. 

Nous avons remarqué, d'après Lagrange, dans la leçon 
précédente, la formation du calcul aux différences par- 
tielles, créé par d'Alembert, comme ayant introduit, 
dans l'analyse transcendante, une nouvelle idée élémen- 
taire, la notion de deux sortes d'accroissements distincts 
et indépendants les uns des autres que peut recevoir une 
fonction de deux variables, en vertu du changement de 
chaque variable séparément. C'est ainsi que l'ordonnée 
verticale d'une surface, ou toute autre grandeur qui s'y 
rapporte, varie de deux manières tout à fait distinctes et 
qui peuvent suivre les lois 1rs plus diverses, en faisant 
croître tantôt l'une, tantôt l'autre des deux coordonnées 
horizontales. Or une telle considération me semble très- 
rapprochée, par sa nature, de celle qui sert de base géné- 
rale à la méthode des variations. Celle-ci, en effet, n'a 
réellement fait autre chose que transporter aux variables 
indépendantes elles-mêmes la manière de voir déjà 
adoptée pour les fonctions de ces variables, ce qui en a 
singulièrement agrandi l'usage. Je crois, d'après cela, 
que, sous le seul rapport des conceptions fondamenta- 
les, on peut envisager le calcul créé par d'Alembert, 
comme ayant établi une transition naturelle et nécessaire 
entre le calcul infinitésimal ordinaire et le calcul des va- 
riations, dont une telle filiation me paraît devoir éclaircir 
et simplifier la notion générale. 

D'après les diverses considérations indiquées dans celte 
leçon, la méthode des variations se présente comme le 
plus haut degré de perfection connu jusqu'ici de l'analyse 
des fonctions indirectes. Dans son état primitif, cette der- 
nière analyse s'est présentée comme un puissant moyen 



présenter Tensemble de cette analjrse hyper-transcendante sous an non* 
veau point de vue, que Je crois propre à en étendre la portée générale. 



CALCUL DBS PARUTIONS. 145 

géoéral de faciliter l'étude mathématique des phénomènes 
naturels, en introduisant, pour l'expression de leurs lois, la 
considération de grandeurs auxiliaires choisies de telle 
manière, que leurs relations soient nécessairement plus 
simples et plus aisées à obtenir que celles des grandeurs 
^lircctes. Mais la formation de ces équations différentielles 
n'était point conçue comme pouvant comporter aucunes 
règles générales et abstraites. Or l'analyse des variations, 
-considérée sous le point de vue le plus philosophique, 
peut être envisagée comme essentiellement destinée, par 
-sa nature, à. faire rentrer, autant que possible, dans le 
«lomaine du calcul, rétablissement même des équations dif- 
férentielles, car tel est, pour un grand nombre de ques- 
tions importantes et difficiles, l'effet générai des équa- 
tions variées qui, encore plus indirectes que les simples 
équations différenlieiles par rapport aux objets propres de 
la recherche, sont aussi bien plus aisées à former, et des- 
quelles on peut ensuite, par des procédés analytiques in- 
variables et complets, destinés à éliminer le nouvel ordre 
d'infinitésimales auxiliaires introduit, déduire ces équa- 
tions différentielles ordinaires, qu'il eût été souvent im- 
possible d'établir immédiatement. La méthode des varia- 
tions constitue donc la partie la plus sublime de ce vaste 
système de l'analyse mathématique qui, partant des plus 
simples éléments de l'algèbre, organise, par une succes- 
sion d'idées non interrompue, des moyens généraux de 
plus en plus puissants pour l'étude approfondie de la phi- 
losophie naturelle, et qui, dans son ensemble, présente, 
sans aucune comparaison, le monument le plus imposant 
et le moins équivoque de la portée de l'esprit humain. 
Maisil faut reconnaître aussi que les conceptions habituel- 
lement considérées dans la méthode des variations étant, 
par leur nature, plus indirectes, plus générales, et surtout 



346 MATHÉMATIQUES. 

beaucoup plus abstraites que toutes les autres, l'emploi 
d'une telle méthode exige nécessairement, et d'une ma- 
nière soutenue, le plus haut degré connu de contention 
intellectuelle, pour ne jamais perdre de vue l'objet précis 
de la recherche en suivant des raisonnements qui offrent à 
l'esprit des points d'appui aussi peu déterminés et dans 
lesquels les signes ne sont presque jamais d'aucun secours. 
On doit, sans doute, attribuer en grande partie à celte dif- 
ficulté nécessaire le peu d*usage réel que les géomètres, 
excepté Lagrange, ont fait jusqu'ici d'une conception aussi 
admirable. 



NEUVIÈME LEÇON 



Sommaire. — Considérations générales sur le calcul anz différences 

finies. 



Les diverses considérations fondamentales indiquées 
dans les cinq leçons précédentes constituent réellement 
toutes les bases essentielles d'une exposition complète de 
l'analyse mathématique, envisagéesous le point de vue phi- 
losophique. Néanmoins, pour ne négliger aucune concep- 
tion générale vraiment importante relative à cette analyse, 
je crois devoir, avant de passera Télude philosophique de 
la mathématique concrète, expliquer très-sommairement 
le véritable caractère propre à un genre de calcul fort 
étendu, et qui, bien que rentrant au fond dans l'analyse 
ordinaire, est cependant encore regardé comme étant 
d'une nature essentiellement distincte. Il s'agit dé ce qu'on 
appelle le calcul aux différences finies, qui sera le sujet spé- 
cial de celte leçon. 

Ce calcul, créé par Taylor, dans son célèbre ouvrage in- 
titulé méthodes incrumentorum, consiste essentiellement, 
comme on sait, dans la considération des accroissements 
finis que reçoivent les fonctions par suite d'accroissements 
analogues de la part des variables correspondantes. Ces ac- 
croissements ou différences^ auxquels on applique la carac- 
térisque A, pour les distinguer des différentielles ou ac- 
croissements infiniment petits, peuvent être, à leur tour, 
envisagés comme de nouvelles fonctions, et devenir le 



948 MATUÉM ATIQUES. 

sujet d'une seconde considération semblable, et ainsi de 
suite, d*où résulte la notion des différences des divers 
ordres successifs, analogues, au moins «n apparence, aux 
ordres consécutifs des différentielles. Un tel calcul pré- 
sente, évidemment, comme le calcul des fonctions indi- 
rectes, deux classes générales de questions : 1* déterminer 
les différences successives de toutes les diverses fonctions 
analytiques à une ou à plusieurs variables, en résultat d*un 
mode d'accroissement défini des variables indépendantes, 
que Ton suppose, en général, augmenter en progression 
arithmétique; 2* réciproquement, en partant de ces diffé- 
rences, ou, plus généralement, d'équations quelconques 
établies entre elles, remonter aux fonctions primitives 
elles-mêmes, ou à leurs relations correspondantes. D'où la 
décomposition de ce calcul total en deux calculs distincts, 
auxquels on donne ordinairement les noms de cakul direct 
aux différences finies, et de calcul inverse aux différences fi- 
nieSy ce dernier étant aussi appelé quelquefois calcul inté- 
gral aux différences finies. Chacun de ces deux calculs serait 
d'ailleurs évidemment susceptible d'une distribution ra- 
fronnelle semblable à celle exposée dans la septième leçon 
pour le calcul différentiel et le calcul intégral, ce qui me 
dispense d'en faire une mention distincte. 

Il n'est pas douteux que, par une telle conception, Tay- 
loracru fonder un calcul d'une nature entièrement nou- 
velle, absolument distinct de l'analyse ordinaire, et plus 
généra] que le calcul de Leibnitz, qnoique consistant dans 
une considération analogue. C'est aussi de cette manière 
que presque tous les géomètres ont jugé l'analyse de Tay- 
lor. Mais Lagrange, avec sa profondeur habituelle, a clai- 
rement aperçu que ces propriétés appartenaient bien plus 
aux formes et aux notations employées par Taylor qu'au 
fond même de sa théorie. En effet, ce qui fait le caractère 



CALCUL AUX DIFfÉftBHCBS FIIfIBS. lit 

propre de Tanalyse de Leiboits, et la constitue en un calcul 
Traimeot distinct et supérieur, c'est que les fonctions dé- 
rivées sont, en général, d'une tout autre nature que les 
fonctions primitives, en sorte qu'elles peuvent donner lieu 
à des relations plus simples et d'une formation plus facile, 
d*oà résultent les admirables propriétés fondamentales de 
l'analyse transcendante, expliquées dans les leçons pré- 
cédentes* Mais il n'en est nullement ainsi pour les diffé- 
rence» considérées par Taylor. Car ces différences sont, 
par leur nature, des fonctions essentiellement semblables 
à celles qui les ont engendrées, ce qui les rend impropres 
i faciliter l'établissement des équations, et ne leur permet 
pas davantage de conduire à des relations plus générales. 
Toute équation aux différences finies est vraiment, au 
fiond, une équation directement relative aux grandeurs 
mêmes dont on compare les états successifs. L'échafau- 
dage de nouveaux signes, qui fait illusion sur le véritable 
caractère de ces équations, ne le déguise cependant que 
d*ane manière fort imparfaite, puisqu'on pourrait toujours 
le mettre aisément en évidence en remplaçant constam- 
ment les différences par les combinaisons équivalentes des 
grandeurs primitives, dont elles ne sont réellement autre 
chose que les désignations abrégées. Aussi le calcul de 
Taylor n'a-t-il jamais offert et ne peut-il offrir, dans aucune 
question de géométrie ou de mécanique, ce puissant se- 
cours général que nous avons vu résulter nécessairement 
de l'analyse de Leihnitz. Lagrange a, d'ailleurs, très-nette- 
ment établi que la prétendue analogie observée entre le 
calcul aux différences et le calcul infinitésimal est radi- 
calement vicieuse, en ce sens que les formules propres au 
premier calcul ne peuvent nullement fournir, comme cas 
particuliers, celles qui conviennent au second, dont la na- 
ture est essentiellement distincte. 



s 50 MATHÉMATIQUES. ' 

D'après l'ensemble des considérations que je viens d'in- 
diquer, je crois que le calcul aux différences finies est or- 
dinairement classé à tort dans l'analyse transcendante 
proprement dite, c'est-à-dire dans le calcul des fonctions 
indirectes. Je le conçois, au contraire, en adoptant pleine- 
ment les importantes réflexions de Lagrange, qui ne sont 
pas encore surfisamment appréciées, comme étant seule- 
ment une branche très-étendue et fort importante de l'a- 
nalyse ordinaire, c'est-à-dire de ce que j'ai nommé le cal- 
cul des fonctions directes. Tel est, en effet, ce me semble, 
son vrai caractère philosophique, que les équations qu'il 
considère sont toujours, malgré la notation, de simples 
équations directes. 

En précisant, autant que possible, l'explication précé- 
dente, on doit envisager le calcul de Taylor comme ayant 
constamment pour véritable objet la théorie générale des 
suites, dont, avant cet illustre géomètre, on n'avait encore 
considéré que les cas les plus simples. J'aurais dû, rigou- 
reusement, mentionner cette importante théorie en trai- 
tant, dans la cinquième leçon, de l'algèbre proprement 
dite, dont elle est une branche si étendue. Mais, afin d'é- 
viter tout double emploi, j'ai préféré ne la signaler qu'en 
considérant le calcul aux différences finies, qui, réduit à sa 
plus simple expression générale, n'est autre chose, dans 
toute son étendue, qu'une étude rationnelle complète des 
questions relatives aux suites. 

Toute suite, ou succession de nombres déduits les uns 
des autres d'après une loi constante quelconque, donne 
lieu nécessairement à ces deux questions fondamentales : 
i** la loi de la suite étant supposée connue, trouver l'expres- 
sion de son terme général, de manière à pouvoir calculer 
immédiatement un terme d'un rang quelconque, sans être 
obligé de former succe^ivement tous les précédents; 



CALCUL AUX DIFFÉRENCES FINIES. t51 

^ dans les mêmes circonstances, déterminer la somme 
d'un nombre quelconque de termes de la suite en fonction 
<)e leurs rangs, en sorte qu'on puisse la connaître sans être 
forcé d'ajouter continuellement ces termes les uns aux au- 
tres. Ces deux questions fondamentales étant supposées 
résolues, on peut en outre se proposer réciproquement de 
trouver la loi d'une série d'après la forme de son terme 
général, ou l'expression de la ^omme. Chacun de ces di- 
vers problèmes comporte d'autant plus d'étendue et de 
difûculté, que l'on peut concevoir un plus grand nombre 
de lois différentes pour les séries, suivant le nombre de 
termes précédents dont chaque terme dépend immédiate- 
ment, et suivant la fonction qui exprime cette dépendance. 
On peut même considérer des séries à plusieurs indices 
variables, comme Ta fait iKiplace dans la théorie analytique 
dei probabilités^ par l'analyse à laquelle il a donné le nom 
de théorie des fonctions génératrices^ bien qu'elle ne soit 
réellement qu'une branche nouvelle et supérieure du cal- 
cal aux différences finies, ou de la théorie générale des 
soi les* 

Les divers aperçus généraux que je viens d'indiquer ne 
donnent même qu'une idée imparfaite de l'étendue et de 
là variété vraiment infinie des questions auxquelles les 
géomètres se sont élevés d'après celte seule considération 
des séries, si .simple en apparence, et si bornée à son ori- 
gine. Elle présente nécessairement autant de cas divers que 
la résolution algébrique des équations envisagée dans toute 
son étendue; et elle est, par sa nature, beaucoup plus 
compliquée, tellement même qu'elle en dépend toujours 
pour conduire à une solution complète. C'est assez fuisse 
pressentir quelle doit être encore bon extrême imperfec- 
lioD, malgré les travaux successifs de plusieurs géomètres 
do premier ordre. Nous ne possédons, en eflet, jusqu'ici 



iS2 MATHÉBIATIQUES. 

que la solution tolale et rationnelle des plus simples qu 
tions de cette nature. 

Il est maintenant aisé de concevoir l'identité nécessair*^ 
et parfaite que j'ai annoncée ci-dessus, d'après les indica. — 
tions de Lagrange^ entre le calcul aux différences finie» ^ 
et la théorie des suites prise dans son ensemble. En effet .^ 
toute différentiation à la manière de Taylor revient évi — 
demment à trouver la loi de formation d'une suite à un 
à plusieurs indices variables, d'après l'expression de soi 
terme général; de même, toute intégration analogue peu 
être regardée comme ayant pour objet la sommation d'un 
suite, dont le terme général serait exprimé par la diffé — 
rence proposée. Sous ce rapport, les divers problèmes de^ 
calcul aux différences, direct ou inverse^ résolus par Tayloir* 
et par ses successeurs, ont réellement une très-grande 
valeur, comme traitant des questions importantes relati- 
vement aux suites. Mais il est fort douteux que la forme et 
la notation introduites par Taylor apportent réellement 
aucune facilité essentielle dans la solution des questions de 
ce genre, il serait peut-être plus avantageux pour la plu- 
part des cas, et certainement plus rationnel, de remplacer 
les différences par les termes mômes dont elles désignent 
certaines combinaisons. Le calcul de Taylor ne reposant 
pas sur une pensée fondamentale vraiment distincte, et 
n'ayant de propre que son système de signes, il ne saurait 
y avoir réellement, dans la supposition même la plus fa- 
vorable, aucun avantage important à le concevoir comme 
détaché de l'analyse ordinaire, dont il n'est, à vrai dire, 
qu'une branche immense. Cette considération des diffé' 
renceSy le plus souvent inutile quand elle ne complique pas, 
me semble conserver encore le caractère d'une époque où, 
les idées analytiques n'étant pas assez familières aux géo- 
mètres, ils devaient naturellement préférer les formes spé- 



CALCUL AUX DIFFÉRENCES FINIES. Sftt 

ciales propres aux simples comparaisons numériques. 

Qaoi qu'il en soit, je ne dois pas terminer celte appré- 
ciation générale du calcul aux différences finies, sans si- 
gnaler une nouvelle notion à laquelle il a donné naissance, 
et qui a pris ensuite une grande importance. C'est la con- 
sidération de ces fonctions périodiques ou discontinues^ con- 
servant toujours la môme valeur pour une suite infinie de 
valeurs assujetties à une certaine loi dans les variables cor- 
ret|X>ndantcs, et qui doivent être nécessairement ajoutées 
ans intégrales des équations aux différences finies pour les 
rendre suffisamment générales, comme on ajoute de sim- 
ples constantes arbitraires à toutes les quadratures afin 
d'en compléter la généralité. Cette idée, primitivement 
introduite par Euler, est devenue, dans ces derniers temps, 
le sujet de travaux fort étendus de la part de Fourier, 
qni Ta transportée dans le système général de l'analyse, 
et qui en a fait un usage tellement neuf et si essentiel pour 
la théorie mathématique de la chaleur, que cette concep- 
tion, dans son état actuel, lui appartient vraiment d'une 
manière exclusive. 

Afin de signaler complètement le caractère philosophi- 
que du calcul aux différences finies, je ne dois pas négliger 
de mentionner ici rapidement les principales applications 
générales qu'on a faites jusqu'à présent. 

Il faudrait placer au premier rang, comme la plus éten- 
due et la plus importante, la solution des questions rela- 
tives aux suites, si, d'après les explications données ci- 
dessus, la théorie générale des suites ne devait pas être 
considérée comme constituant, par sa nature, le fond 
même du calcul de Taylor. Cette grande classe de pro- 
blèmes étant donc écartée, la plus essentielle des vérita- 
bles applications de l'analyse de Taylor est sans doute, 
jusqu'ici, la mélhode générale des interpolations^ si fré- 



\ 



ÎS4 MATHÉMATIQUES, 

quemment et si ulilemenl employée dans la recherche d^^ 
lois empiriques des phénomènes naturels. La queslion cot»^" 
siste, comme on sail, h intercaler, entre certains nombre 
donnés, d'aulres nombres intermédiaires assujettis à 1 
même loi que l'on suppose exister entre les premiers. 
peut pleinement vérifier, dans cette application principale 
du calcul de Taylor, combien, ainsi que je l'ai expliqua 
plus haut, la considération des différences est vraiment, 
étrangère et souvent gênante, relativement aux questions 
qui dépendent de cette analyse. En effet, Lagrange a rem — 
placé les formules d'interpolation déduites de l'algorithme^ 
ordinaire du calcul aux différences unies par des formules- 
générales beaucoup plus simples, qui sont aujourd'hui 
presque toujours préférées, et qui ont été trouvées direc- 
tement, sans faire jouer aucun rôle à la notion superflue 
des différences^ qui ne faisaient que compliquer la question. 

Une dernière classe importante d'application du calcul 
aux différences finies, qui mérite d'être distinguée de la 
précédente, consisti* dans l'usage éminemment utile qu'on 
en fait, en géométrie, pour déterminer par approximation 
la longueur et l'aire de quelque courbe que ce soit, et, de 
même, la quadrature et la cubature d'un corps ayant une 
forme quelconque. Ce procédé, qui peut d'ailleurs être 
conçu abstraitement comme dépendant de la même re- 
cherche analytique que la question des interpolations, 
présente souvent un supplément précieux aux méthodes 
géométriques entièrement rationnelles, qui conduisent 
fréquemment à des intégrations qu'on ne sait point encore 
effectuer, ou à des calculs d'une exécution très-compli* 
quée. 

Telles sont les diverses considérations principales que 
j'ai cru devoir indiquer relativement au calcul des diffé- 
rences (inies. Gel examen complète l'étude philosophique 



CALCUL AUX DIFFERENCES FINIES. 255 

^e je m'étais proposé d'esquisser pour la mathématique 
abstraite. Nous devons maintenant procéder à un travail 
semblable sur la mathématique concrète, où nous nous 
attacherons surtout à concevoir comment, en supposant 
parfaite la science générale du calcul, on a pu, par des 
procédés invariables, réduire à de pures questions d'ana- 
^86 tous les problèmes que peuvent présenter la géométrie 
et la mécanique, et imprimer ainsi, à ces deux bases fonda- 
mentales de la philosophie naturelle, un degré de pré- 
dsioii et surtout d'unité, en un mot, un caractère de haute 
p^ection^ qu'une telle marche pouvait seule leur com* 
moDiquer. 




DIXIÈME LEÇON 



Sommaire. — Vue générale de ]a géométrie* 



D'après Texplication générale présentée dans la troisième 
leçon relativement au caractère philosophique de la mathé- 
matique concrète, comparé à celui de la mathématique 
abstraite, je n'ai pas besoin d'établir ici, d'une manière 
spéciale, que la géométrie doit être considérée comme une 
véritable science naturelle, seulement bien plus simple et 
par suite beaucoup plus parfaite qu'aucune autre. Cette 
perfection nécessaire de la géométrie, obtenue essentielle- 
ment par l'application, qu'elle comporte si éminemment, 
de l'analyse mathématique, fait ordinairement illusion sur 
la nature réelle de cette science fondamentale^ que la plu- 
part des esprits conçoivent aujourd'hui comme une science 
purement rationnelle^ tout à fait indépendante de l'obseï^ 
valion. Il est néanmoins évident, pour quiconque examine 
avec attention le caractère des raisonnements géométri- 
ques, même dans l'état actuel de la géométrie abstraite^ 
que, si les faits qu'on y considère sont beaucoup plus liés 
entre eux que ceux relatifs à toute autre science, il existe 
toujours cependant, par rapport à chaque corps étudié par ' 
les géomètres, un certain nombre de phénomènes primitifs, 
qui, n'étant établis par aucun raisonnement, ne peu- 
vent être fondés que sur l'observation, et constituent la base 
nécessaire de toutes les déductions. L'erreur commune à 
cet égard doit élre regardée comme un reste d'influence de 



GÉOMÉTRIE. t57 

Tesprit mélapbysique, qui a si longtemps dominé, même 
dans les études géométriques. Indépendamment de sa 
graTÎté logique, cette fausse, manière de voir présente 
eoDtinueliement, dans les applications de la géométrie 
rationnelle, les plus grands inconvénients, en ce qu'elle 
empêche de concevoir nettement le passage du concret à 
l'abstrait. 

La supériorité scientifique de la géométrie tient, en gé- 
néral» à ce que les phénomènes qu'elle considère sont, né- 
cessairement, les plus universels et les plus simples de 
tous. Non-seulement tous les corps de la nature peuvent 
évidemment donner lieu à des recherches géométriques, 
aussi bien qu'à des recherches mécaniques, mais, de plus, 
les phénomènes géométriques subsisteraient encore, quand 
même toutes les parties de l'univers seraient supposées im- 
mobiles. La géométrie est donc, par sa nature, plus géné- 
rale que la mécanique. En môme temps, ses phénomènes 
sont plus simples ; car ils sont évidemment indépendants 
des phénj)mènes mécaniques, tandis que ceux-ci se com- 
pliquent toujours nécessairement des premiers. Il en est de 
même,. en comparant la géométrie à la thermologie ab- 
straite, qu'on peut concevoir aujourd'hui, depuis les tra- 
vaux de Fourier, ainsi que je l'ai indiqué dans la troisième 
leçon» comme une nouvelle branche générale de la mathé- 
matique concrète. En effet, les phénomènes thermologi- 
quesy considérés môme indépendamment des effets dyna- 
miques qui les acompagnentpresque constamment, surtout 
dans les corps Huides, dépendent nécessairement des phé- 
nomènes géométriques, puisque la forme des corps influe 
singulièrement sur la répartition de la chaleur. 

C'est pour ces diverses raisons que nous avons dû classer 
précédemment la géométrie comme la première partie de 
la mathématique concrète, celle dont l'étude, outre son 

A. Comte. Tome I. 17 



258 MATHÉMATIQUES. 

importance propre, sert de base indispensable à loules les 
autres. 

Avant de considérer xlireclemenl Télude philosophique 
des divers ordres de recherches qui conslilueul la géomé- 
trie actuelle, il faut se faire une idée nette et exacte delà 
destination générale de cette science, envisagée dans sod 
ensemble. Tel est Tobjet de cette leçon. 

On dcfinit communément la géométrie d*unc manière 
très-vague et tout à fait vicieuse, en se bornant à la présen- 
ter comme la 5Ci*ewce de l'étendue. 11 conviendrait d'abord 
d'améliorer celte définition, eu disant, avec plus de préci- 
sion, que la géométrie a pour objet la mesure de l'étendue. 
Mais une telle explication serait, par elle-même, fort insuf' 
usante, bien qu'au fond, elle soit exacte. Un aperçu aussi 
imparfait ne peut nullement faire connaître le véritable ca- 
ractère général de la science géométrique. 

Pour y parvenir, je crois devoir éclaircir préalablement 
deux notions fondamentales, qui, très-simples en elles- 
mêmes, ont été singulièrement obscurcies par l'emploi des 
considérations méthaphysiques. 

La première est celle de Vespace, qui a donné lieu à tant 
de raisonnements sophistiques, à des discussions si creuses 
et si puériles de la part des métaphysiciens. Uéduite àsoD 
acception positive, cette conception consiste simplementeo 
ce qu'au lieu de considérer l'étendue dans les corps eux- 
mêmes, nous l'envisageons dans un milieu indéfini, qo^ 
nous regardons comme contenant tous les corps de l'uni' 
vers. Cette notion nous est naturellement suggérée par l'ob- 
servation, quand nous pensons à Vempreinte que laisserait un 
corps dans un fluide où il aurait été placé. Il est clair, en 
effet, que, sous le rapport géométrique, une telle empré^^ 
peut être substituée au corps lui-même, sans que les raison- 
nements en soient altérés. Quant à la nature physique de 



GÉOMÉTRIE. t59 

cet espace indéfini, nous devons spontanément nous le re- 
présenter, pour plus de facilité, comme analogue au milieu 
effectif dans lequel nous vivons, tellement que, si ce milieu 
était liquide, au lieu d*ôtre gazeux, notre espace géométri- 
que serait sans doute conçu aussi comme liquide. Cette cir- 
constance n'est d'ailleurs évidemment que très-secondaire, 
Tobjet essentiel d'une telle conception étant seulement de 
nous faire envisager l'étendue séparément des corps qui 
nous la manifestent. On comprend aisément à priori l'im- 
portance de cette image fondamentale, puisqu'elle nous 
permet d'étudier les phénomènes géométriques en eux- 
mêmes, abstraction faite de tous les autres phénomènes 
qui les accompagnent constamment dans les corps réels, 
sans cependant exercer sur eux aucune iniluence. L'établis- 
sement r(^gulier de cette abstraction générale doit être re- 
gardé comme le premier pas qui ait été fait dans l'étude 
rationnelle de la géométrie, qui eût été impossible s'il avait 
Gdla continuer à considérer avec la forme et la grandeur 
des corps l'ensemble de toutes leurs autres propriétés 
physiques. L'usage d'une semblable hypothèse, qui est 
peut-être la plus ancienne conception philosophique créée 
par l'esprit humain, nous est maintenant devenu si fami- 
lier, que nous avons peine à en mesurer exactement l'im- 
portance, en appréciant les conséquences qui résulteraient 
de sa suppression. 

Les spéculations géométriques ayant pu ainsi devenir 
ibstraitesy elles ont acquis non-seulement plus de simpli- 
dté, mais encore p^us de généralité. Tant que l'étendue 
est considérée dans les corps eux-mêmes, on ne peut pren- 
dre pour sujet des recherches que les formes eifectivement 
réalisées dans la nature, ce qui restreindrait singulièrement 
le champ delà géométrie. Au contraire, en concevant re- 
tendue dans Vespace^ Tesprit humain peut envisager toutes 



i 6 MATHÉMATIQUES. 

les formes quelconques imaginables, ce qui est indispensa- 
ble pour donner à la géométrie un caractère entièrement- 
rationnel. 

La seconde conception géométrique préliminaire qu» 
nous devons examiner est celle des différentes sortes d'é- 
tendue, désignées par les mots de volume (i), surface^ ligne 
et même points et dont l'explication ordinaire est si peu sa- 
tisfaisante. 

Quoiqu'il soit évidemment impossible de concevoir au- 
cune étendue absolument privée de l'une quelconque des 
trois dimensions fondamentales, il n'est pas moins incon- 
testable que, dans une foule d'occasions, même d'une 
utilité immédiate, les questions géométriques ne dépen- 
dent que de deux dimensions, considérées séparément de 
la troisième, ou d'une seule dimension, considérée sépa- 
rément des deux autres. D'un autre c6lé, indépendam- 
ment de ce motif direct, l'étude de l'étendue à une seule 
dimension et ensuite à deux se présente clairement comme 
un préliminaire indispensable pour faciliter l'étude des 
corps complets ou à trois dimensions, dont la théorie im- 
médiate serait trop compliquée. Tels sont les deux motifs 
généraux qui obligent les géomètres à considérer isolément 
l'étendue sous le rapport d'une ou de deux dimensions, 
aussi bien que relativement à toutes les trois ensemble. 

(1) Lacroix a critiqué avec raison I^expression de solide communé- 
ment employée par les géomètres pour désigner un volume. Uest certain, 
en effet, que, lorsque nous voulons considérer séparément une certaine 
portion de l'espace indéfini, conçu comme gazeni, nous en solidîilon» par 
la pensée Tenceinte extérieure, en sorte qu'une ligne et une surface soot 
habituellement, pour notre esprit, tout aussi solutés qu'un volume, Oq 
peut même remarquer quc^ le plus souvent, afin que i«;s corps se pé- 
nètrent mutuellement avec plus de facilité, nous soin mes obligés de noot 
représenter comme creux l'intérieur des volumeSy ce qui reiid encort 
phiB seoiibk Timpropriété du mot solidtm 



GÉOMÉTRIE. SSI 

C'est afin de pouvoir penser, d'une manière permanente, 
à l'étendue dans deux sens ou dans un seul, que l'esprit 
humain se forme les notions générales de surface et de 
ligne. Les expressions hyperboliques habituellement em- 
ployées par les géomètres pour les définir tendent à en 
faire concevoir une fausse idée. Mais, examinées en elles- 
mêmes, elles n'ont d'autre destination que de nous per- 
mettre de raisonner avec facilité sur ces deux genres d'é- 
tendue en faisant complètement abstraction de ce qui ne 
doit pas être pris en considération. Or, il suffit, pour cela, 
de concevoir la dimension que l'on veut éliminer comme 
devenue graduellement de plus en plus petite, les deux 
autres restant les niômes, jusqu'à ce qu'elle soit parvenue 
à un tel degré de ténuité qu'elle ne puisse plus fixer l'at- 
tention. C'est ainsi qu'on acquiert naturellement l'idée 
réelle d'une surface^ et, par une seconde opération ana- 
logue, ridée d'une ligne^ en renouvelant pour la largeur 
ce qu'on a d'abord fait pour l'épaisseur. Enfin, si l'on ré- 
pète encore le môme travail, on parvient à l'idée d'un points 
ou d'une étendue considérée uniquement par rapport à 
son lieu, abstraction faite de toute grandeur, et destinée, 
par conséquent, à préciser les positions. Les surfaces ont 
d'ailleurs évidemment la propriété générale de circon- 
scrire exactement les volumes; et de môme les lignes, à 
leur tour, circonscrivent les surfaces, et sont limitées par 
les points. Mais cette considération, à laquelle on a donné 
souvent trop d'importance, n'est que secondaire. 

Les surfaces et les lignes sont donc réellement toujours 
conçues avec trois dimensions: il serait, en effet, impos- 
sible de se représenter une surface autrement que comme 
une plaque extrêmement mince, et une ligne autrement 
que comme un fil infiniment délié. Il est même évident 
que le degré de ténuité attribué par chaque individu aux 



iCt MATHÉMATIQUES. 

dimensions dont il veut faire abstraction, n'est pas con- 
stamment identique, car il doit dépendre du degré de 
finesse de ses observations géométriques habituelles. Ce 
défaut d'uniformité n'a d'ailleurs aucun inconvénient réel, 
puisqu'il suffit, pour que les idées de surface et de ligne 
remplissent la condition essentielle de leur destination, 
que chacun se représente les dimensions à négliger comme 
plus petites que toutes celles dont ses expériences journa- 
lières lui donnent occasion d'apprécier la grandeur. 

On doit sans doute regretter qu'il soit encore nécessaire 
aujourd'hui d'indiquer expressément une explication aussi 
simple que la précédente, dans un ouvrage tel que celui-ci. 
Mais j'ai cru devoir signaler rapidement ces considérations 
à cause du nuage ontologique dont une fausse manière de 
voir enveloppe ordinairement ces notions premières. On 
voit par là combien sont dépourvues de toute espèce de 
sens les discussions fantastiques des métaphysiciens sur 
les fondements de la géométrie. On doit aussi remarquer 
que ces idées primordiales sont habituellement présentées 
parles géomètres d'une manière peu philosophique, puis- 
qu'ils exposent, par exemple, les notions des différentes 
sortes d'étendue dans un ordre absolument inverse de 
leur enchaînement naturel, ce qui engendre souvent, pour 
l'enseignement élémentaire, les plus graves inconvé- 
nients. 

Ces préliminaires étant posés, nous pouvons procéder 
directement à la déOnition générale de la géométrie, ea 
concevant toujours cette science comme ayant pour but 
final la mesure de l'étendue. 

Il est tellement nécessaire d'entrer à cet égard dans 
une explication approfondie, fondée sur la distinction des 
trois espèces d'étendue, que la notion de mesure n'est pas 
exactement la même par rapport aux surfaces et aux vo- 



GÉOMÉTRIE. Î63 

lûmes que relalivement aux lignes, en sorte que, sans cet 
examen, on se formerait une fausse idée de la nature des 
questions géométriques. 

Si Ton prend le mot mesure dans son acception m.alhé- 
matique directe et générale, qui signifle simplement Té- 
valuation des rapports qu'ont entre elles des grandeurs 
homogènes quelconques, on doit considérer, en géométrie, 
que la mesure des surfaces et des volumes, par opposition à 
celle des lignes, n*esl jamais conçue, môme dans les cas les 
plus simples et les plus favorables, comme s'effectuant im- 
médiatement. On regarde comme directe la comparaison 
de deux lignes; celle de deux surfaces ou de deux volumes 
est, au contraire, constamment indirecte. En effet, on 
conçoit que deux lignes puissent être superposées; mais 
la superposition de deux surfaces, ou, à plus forte raison, 
celle de deux volumes, est évidemment impossible à éta- 
blir dans le plus grand nombre des cas; et, lors môme 
qu'elle devient ligoureusement praticable, une telle com- 
paraison n*cst jamais ni commode ni susceptible d'exac- 
titude. Il est donc bien nécessaire d'expliquer en quoi 
consiste proprement la mesure vraimentgéométrique d'une 
surface ou d'un volume. 

11 faut considérer, pour cela, que, quelle que puisse ôtre 
la forme d'un corps, il existe toujours un certain nombre 
de lignes, plus ou moins faciles à assigner, dont la lon- 
gueur suffit pour définir exactement la grandeur de sa 
surface ou de son volume. La géométrie, regardant ces 
lignes comme seules susceptibles d'être mesurées immé- 
diatemeiit, se propose de déduire, de leur simple détermi- 
nation, le rapport de la surface ou du volume cherchés à 
l'unité de surface ou à l'unité de volume. Ainsi l'objet gé- 
néral de la géométrie, relativement aux surfaces et aux 
volumes, est proprement de ramener toutes les comparai- 



264 MAïnÉMATIQUES. 

sons de surfaces ou de volumes à de simples compa — 
raisons de lignes. 

Outre la facilité immense que présente évidemment une 
telle transformation pour la mesure des volumes et des 
surfaces, il en résulte, en la considérant d*une manière 
plus étendue et plus scientifique, la possibilité générale de 
réduire à des questions de lignes toutes les questions rela- 
tives aux volumes et aux surfaces, envisagés quant à leur 
grandeur. Tel est souvent Tusage le plus important des 
expressions géométriques qui déterminent les surfaces et 
les volumes en fonction. des lignes correspondantes. 

Ce n'est pas que les comparaisons immédiates entre 
surfaces ou entre volumes ne soient jamais employées. 
Mais de telles mesures ne sont pas regardées comme 
géométriques, et on n'y voit qu'un supplément quelquefois 
nécessaire, quoique trop rarement applicable, à TinsufC- 
sance ou à la difûcullé des procédés vraiment rationnels. 
C'est ainsi que souvent on détermine le volume d'un corps, 
et, dans certains cas, sa surface, d'après son poids. De 
môme, en d'autres occasions, quand on peut substituer au 
volume proposé un volume liquide équivalent, on établit 
immédiatement la comparaison de deux volumes, en pro- 
fitant de la propriété que présentent les masses liquides 
de pouvoir prendre aisément toutes les formes qu'on veut 
leur donner. Mais tous les moyens de cette nature sont 
purement mécaniques, et la géométrie rationnelle les 
rejette nécessairement. 

Pour rendre plus sensible la différence de ces détermi- 
nations avec les véritables mesures géométriques, je citerai 
un seul exemple très-remarquable, la manière dont Galilée 
évalua le rapport de l'aire de la cycloïde ordinaire à celle 
du cercle générateur. La géométrie de son temps étant 
encore trop inférieure à la solution rationnelle d'un tel pro- 



GÉOMÉTRIE. 2C& 

blème, Galilée imagina de chercher ce rapport par une 
expérience directe. Ayant pesé le plus exaclement possible 
deux lames de même matière el d'égale épaisseur, dont 
Tune avait la forme d'un cercle et l'autre celle de la cycloïde 
engendrée, il trouva le poids de celle-ci constamment 
triple de celui de la première, d'où il conclut que Taire de 
la cycloïde est triple de celle du cercle générateur, résultat 
conforme à la véritable solution obtenue plus tard par 
Pascal et Wallis. Un tel succès, sur lequel d'ailleurs Galilée 
n'avait pas pris le change, lient évidemment à l'extrême 
simplicité réelle du rapport cherché ; et on conçoit l'insuf- 
fisance nécessaire de semblables expédients, môme lors- 
qu'ils seraient effectivement praticables. 

On voit clairement, d'après ce qui précède, en quoi con- 
siste proprement la partie de la géométrie relative aux 
surfaces. Mais on ne conçoit pas aussi nettement le caracx 
tère de la géométrie des lignes, puisque nous avons semblé, 
pour simplifier l'exposition, considérer la mesure des lignes 
comme se faisant immédiatement. Il faut donc, par rapport 
à elles, un complément d'explication. 

A cet effet, il suffit de distinguer, entre la ligne droite et 
les lignes courbes; la mesure de la première étant seule 
regardée comme directe, et celle des autres comme con- 
stamment indirecte. Bien que la superposition soit quel- 
quefois rigoureusement praticable pour les lignes courbes, 
il est évident néanmoins que la géométrie vraiment ration- 
nelle doit la rejeter nécessairement, comme ne compor- 
tant, lors même qu'elle est possible, aucune exactitude. La 
géométrie des lignes a donc pour objet général de ramener 
constamment la mesure des lignes courbes à celle des li- 
gnes droites; et par suite, sous un point de vue plus 
étendu, de réduire à de simples questions de lignes droites 
toutes les questions relatives à la. grandeur des courbes 



S6G MATHEMATIQUES. 

quelconques. Pour comprendre la possibilité d'une telle 
transformation, il faut remarquer que, dans toute courbe 
quelconque, il existe constamment certaines droites dont 
la longueur doit suffire pour déterminer celle de là courbe. 
Ainsi, dans un cercle, il est évident que de la longueur du 
rayon on doit pouvoir conclure celle de la circonférence; 
de môme, la longueur d'une ellipse dépend de celle de ses 
deux axes ; la longueur d'une cycloïde, du diamètre do 
cercle générateur, etc. ; et si, au lieu de considérer la tota- 
lité de chaque courbe, on demande plus généralement la lon- 
gueur d'un arc quelconque, il sufOra d'ajouter, aux divers 
paramètres recliligues qui déterminent Tensemble de la 
courbe, la corde de Tare proposé, ou les coordonnées de 
ses extrémités. Découvrir la relation qui existe entre la 
longueur d'une ligne courbe et celle de semblables lignes 
droite's : tel est le problème général qu'on a essentielle- 
ment en vue dans la partie de la géométrie relative à l'étude 
des lignes. 

En combinant cetle considération avec celles précé- 
demment exposées sur les volumes et sur les surfaces, on 
peut se former une idée très- nette de la science géomé- 
trique, conçue dans son ensemble, en lui assignant pour 
destination générale de réduire finalement les comparai- 
sons de toutes les espèces d'étendue, volumes, surfaces, ou 
lignes, à de simples comparaisons de lignes droites, les 
seules regardées comme pouvant être effectuées immédia- 
tement, et qui, en effet, ne sauraient évidemment être ra- 
menées à d'autres plus faciles. En même temps qu'une 
telle conception manifeste clairement le véritable caraC' 
tère de la géométrie, elle me semble propre à en faire 
apercevoir, d'un coup d'œil unique, l'utilité et la perfection. 

Afin de compléter rigoureusement cette explication 
fondamentale, il me reste à indiquer comment il peut y 




GÉOMÉTRIE. S 67 

avoir, en géométrie, une section spéciale relative à la ligne 
droite, ne qui paraît d'abord incompatible avec le principe 
que la mesure de cette classe de lignes doit être toujours 
regardée comme immédiate. 

Elle Test, en effet, par rapport à celle des lignes courbes, 
et de tous les autres objets que la géométrie considère. 
Mais il est évident que l'estimation d'une ligne droite ne 
peut être envisagée comme directe qu'autant qu'on peut 
immédiatement porter sur elle l'unité linéaire. Or, c'est ce 
qui présente le plus souvent des difûcultés insurmon- 
tables, comme j'ai eu occasion de l'exposer spécialement 
pour un autre motif dans la troisième leçon. On doit alors 
faire dépendre la mesure de la droite proposée d'autres 
mesures analogues, susceptibles d'être immédiatement 
effectuées. Il y a donc nécessairement une première étude 
géométrique distincte, exclusivement consacrée à la ligne 
droite; elle a pour objet de déterminer les lignes droites, 
les unes par les autres, d'après les relations propres aux 
figures quelconques résultant de leur assemblage. Cette 
partie préliminaire de la géométrie, qui semble pour ainsi 
dire imperceptible quand on envisage l'ensemble de la 
science, est néanmoins susceptible d'un très-grand déve- 
loppement, lorsqu'on veut la traiter dans toute son éten- 
due. Elle est évidemment d'autant plus importante, que, 
toutes les mesures géométriques devant se ramener, autant 
que possible, à celle des lignes droites, l'impossibilité de 
déterminer ces dernières sufQrait pour rendre incomplète 
la solution de chaque question quelconque. 

Telles sont donc, suivant leur enchaînement naturel, les 
diverses parties fondamentales de la géométrie rationnelle. 
On voit que, pour suivre dans son étude générale un ordre 
vraiment dogmatique, il faut considérer d'abord la géo- 
métrie des lignes, en commençant par la ligne droite, et 



268 MATHÉMATIQUES. 

passer ensuite à la géométrie des surfaces, pour traiter enff ^ 
celle des volumes. Il y a lieu de s'étonner, sans doute» 
qu'une classification méthodique qui dérive aussi simple- 
ment de la nature môme de la science n'ait pas été con- 
stamment suivie. 

Après avoir déterminé avec précision l'objet général el 
définitif des recherches géométriques, il faut maintenant 
considérer la science sous le rapport du champ embrassé 
par chacune de ses trois sections fondamentales. 

Ainsi envisagée, la géométrie est évidemment suscep- 
tible, par sa nature, d'une extension rigoureusement indé- 
finie; car la mesure des lignes, des surfaces ou des 
volumes, présente nécessairement autant de questions dis- 
tinctes que l'on peut concevoir de formes différentes, assu- 
jetties à des définitions exactes, et le nombre en est évi- 
demment infini. 

Les géomètres se sont bornés d'abord à considérer les 
formes les plus simples que la nature leur fournissait im- 
médiatement, ou qui se déduisaient de ces éléments pri- 
mitifs par les combinaisons les moins compliquées. Mais 
ils ont senti, depuis Descartes, que, pour constituer la 
science de la manière la plus philosophique, il fallait né- 
cessairement la faire porter, en générai, sur toutes les 
formes imaginables, lis ont ainsi acquis la certitude rai- 
sonnée que cette géométrie abstraite comprendrait inévi- 
tablement, comme cas particuliers, toutes les diverses 
formes réelles que le monde extérieur pourrait présenter, 
de façon à n'être jamais pris au dépourvu. Si, au contraire, 
on s'était toujours réduit à la seule considération de ces 
formes naturelles, sans s'y être préparé par une étude gé- 
nérale et par l'examen spécial de certaines formes hypo- 
thétiques plus simples, il est clair que les difficultés au- 
raient été le plus souvent insurmontables au moment de 



GÉOMÉTRIE. «69 

l'application elTective. C'est donc un principe fondamental, 
dans la géométrie vraiment rationnelle, que la nécessité de 
considérer, autant que possible, toutes les formes qu'on 
peut concevoir rigoureusement. 

L'examen le moins approfondi suffit pour faire com- 
prendre que ces formes présentent une variété tout à fait 
infinie. Relativement aux lignes courbes, en les regardant 
comme engendrées par le mouvement d'un point assujetti 
h. une certaine loi, il est clair qu'on aura, en général, 
autant de courbes différentes que l'on supposera de lois 
différentes pour ce mouvement, qui peut évidemment s'o- 
pérer suivant une infinité de conditions distinctes, quoi- 
qu'il puisse arriver accidentellement quelquefois que de 
nouvelles générations produisent des courbes déjà obte- 
nues. Ainsi, pour me borner aux seules courbes planes, 
si un point se meut de manière à rester constamment à la 
même distance d'un point fixe, il engendrera un cercle ; 
si c'est la somme ou la différence de ses distances à deux 
points fixes qui demeure constante, la courbe décrite sera 
une ellipse ou une byperbole ; si c'est leur produit, on aura 
une courbe toute différente ; si le point s'écarte toujours 
également d'un point fixe et d'une droite fixe, il décrira 
une parabole ; s'il tourne sur un cercle en môme temps 
que ce cercle roule sur une ligne droite, on aura une 
cycloîde ; s'il s'avance le long d'une droite, tandis que 
cette droite, fixée par une de ses extrémités, tourne d'une 
manière quelconque, il eu résultera ce qu'on appelle, en 
général, des spirales qui, à elles seules, présentent évi- 
demment autant de courbes parfaitement distinctes, qu'on 
peut supposer de relations différentes entre ces deux mou- 
vements de translation et de rotation, etc., etc. Chacune 
de ces diverses courbes peut ensuite en fournir de nou- 
velles, par les différentes constructions générales que les 



«70 MATIIÉMATIQUES. 

géomètres ont imaginées, et qui donnent naissance aux 
développées, aux épicycloïdcs, aux caustiques, etc., etc. 
Enfin il existe évidemment une vanCié encore plus grande 
parmi les courbes à double courbure. 

Relativement aux surfaces, les formes en sont néces- 
sairement bien plus diverses encore, en les regardant 
comme engendrées par le mouvement des lignes. En effietf 
la forme peut alors varier, non-seulement en considérant, 
comme dans les courbes, les dilTérenles lois en nombre 
infini auxquelles peut être assujetti le mouvement de la 
ligne génératrice, mais aussi en supposant que cette ligne 
elle-même vienne à cbangcr de nature, ce qui n*a pas d'a- 
nalogue dans les courbes, les points qui les décrivent ne 
pouvant avoir aucune figure distincte. Deux classes de 
conditions très-diverses peuvent donc faire varier les 
formes des surfaces, tandis qu'il n'en existe qu'une seule 
pour les lignes. 11 est inutile de citer spécialement une 
série d'exemples propres à vériûer celle multiplicité dou- 
blement inOnie qu'on remarque parmi les surfaces. 11 
suffirait, pour s'en faire une idée, de considérer l'extrôme 
variété que présente le seul groupe des surfaces dites 
réglées^ c'est-à-dire engendrées par une ligne droite, et 
qui comprend toute la famille des surfaces cylindriques, 
celle des surfaces coniques, la classe plus générale des 
surfaces développables quelconques, etc. Par rapport aux 
volumes, il n'y a lieu à aucune considération spéciale, 
puisqu'ils ne se distinguent entre eux que par les surfaces 
qui les terminent. 

A6n de compléter cet aperçu géométrique, il faut ajou- 
ter que les surfaces elles-mêmes fournissent un nouveau 
moyen général de concevoir des courbes nouvelles, puisque 
toute courbe peut être envisagée comme produite par 
rintersection de deux surfaces. C'est ainsi, en effet, qu'ont 



GÉOMÉTRIE. «71 

été obtenues les premières lignes qu'on puisse regarder 
comme vraiment inventées parles géomètres, puisque la 
nature donnait immédiatement la ligne droite et le cercle. 
On sait que l'ellipse, la parabole et Thyperbole, les seules 
courbes complètement étudiées par les anciens, avaient 
été seulement conçues, dans l'origine, comme résultant 
de l'intersection d'un cône à base circulaire par un plan 
diversement situé. H est évident que, par ren)ploi combiné 
de ces dilTérenls moyens généraux pour la formalion des 
lignes et des surfaces, on pourrait produire une suile ri- 
goureusement inAnie de formes distinctes, en partant seu- 
lement d'un très-petit nombre de ûgurcs directement four- 
nies par l'observation. 

Du reste, tous les divers moyens immédiats pour l'in- 
vention des formes n'ont presque plus aucune importance, 
depuis que la géométrie rationnelle a pris, entre les mains 
de Descartes, son caractère déOnitif. En effet, comme nous 
le verrons spécialement dans la douzième leçon, l'invention 
des formes se réduit aujourd'hui à l'invention des équa- 
tions, en sorte que rien n*est plus aisé que de concevoir 
de nouvelles lignes et de nouvelles surfaces, en changeant 
à volonté les fonctions introduites dans les équations. Ce 
simple procédé abstrait est, sous ce rapport, infiniment ' 
plus fécond que les ressources géométriques directes, 
développées par l'imagination la plus puissante, qui s'ap- 
pliquera uniquement h cet ordre de conceptions. Il expli- 
que d'ailleurs, de la manière la plus générale et la plus 
sensible, la variété nécessairement infinie des formes 
géométriques, qui correspond ainsi à la diversité des 
fonctions analytiques. Enfin, il montre non .moins claire- 
ment que les différentes formes de surfaces doivent être 
encore plus multipliées que celles des lignes, puisque les 
lignes sont représentées analytiquement par des équations 



^71 MATOÉMATIQUES. 

à deux variables, tandis que les surfaces donnent lieu à des 
équations à trois variables, qui présentent nécessairement 
une plus grande diversité. 

Les considérations précédemment indiquées suffisent 
pour montrer nettement l'extension rigoureusement in- 
finie que comporte, par sa nature, chacune des trois 
sections générales de la géométrie, relativement aux lignes, 
aux surfaces et aux volumes, en résultat de la variété in- 
finie des corps à mesurer. 

Pour achever de nous faire une idée exacte et suffisam- 
ment étendue de la nature des recherches géométriques, 
il est maintenant indispensable de revenir sur la définition 
générale donnée ci-dessus, afin de la présenter sous un 
nouveau point de vue, sans lequel l'ensemble de la science 
ne serait que fort imparfaitement conçu. 

En assignantpour but à la géométrie la mesure de toutes 
les sortes de lignes, de surfaces et de volumes, c'est-à-dire, 
comme je l'ai expliqué, la réduction de toutes les com- 
paraisons géométriques à de simples comparaisons de 
lignes droites, nous avons évidemment l'avantage d'indi- 
quer une destination générale très-précise et très-facile i 
saisir. Mais si, écartant toute définition, on examine la 
composition efi'ective de la science géométrique, on sera 
d'abord porté à regarder la définition précédente comme 
beaucoup trop étroite, car il n'est pas douteux que la ma- 
jeure partie des recherches qui constituent notre géomé- 
trie actuelle ne paraissent nullement avoir pour objet la 
mesure de l'étendue. C'est probablement une telle considé- 
ration qui maintient encore, pour la géométrie, l'usage de 
CCS définitions vagues, qui ne comprennent tout que parce 
qu'elles ne caractérisent rien. Je crois néanmoins, malgré 
celte objection fondamentale, pouvoir persister à indiquer 
la mesure de l'étendue comme le but général et uniforme 



GÉOMÉTRIE. t7t 

de la science géométrique, et en y comprenant cependant 
ioai ce qui entre dans sa composition réelle. En effet, si, 
au lieu de se borner à considérer isolément les diverses 
recherches géométriques, on s'attache à saisir les questions 
principales, par rapport auxquelles toutes les autres, 
quelque importantes qu'elles soient, ne doivent être regar- 
dées que comme secondaires, on finira par reconnaître 
que la mesure des lignes, des surfaces et des volumes, est 
le but invariable, quelquefois direct, et le plus souvent 
miirecty de tous les travaux géométriques. Celte proposi- 
tion générale étant fondamentale, puisqu'elle peut seule 
donner à notre définition toute sa valeur, il est indispen- 
sable d'entrer à ce sujet dans quelques développements. 

En examinant avec attention les recherches géométri- 
ques qui ne paraissent point se rapporter à la mesure de 
rétendue, on trouve qu'elles consistent essentiellement 
dans l'étude des diverses propriétés de chaque ligne ou de 
chaque surface, c'est-à-dire, en termes précis, dans la 
connaissance des différents modes de génération, ou du 
moins de définitions propres à chaque forme que l'on con- 
sidère. Or, on peut aisément établir, de la manière la plus 
générale, la relation nécessaire d'une telle étude avec la 
question de mesure^ pour laquelle la connaissance la plus 
complète possible des propriétés de chaque forme est un 
préliminaire indispensable. C'est ce que concourent à prou- 
ver deux considérations également fondamentales, quoique 
de nature tout à fait distincte. 

La première, purement scientifique, consiste à remar- 
quer que, si l'on ne connaissait, pour chaque ligne ou pour 
chaque surface, d'autre propriété caractéristique que celle 
d'après Inquelle les géomètres l'ont primitivement conçue, 
il serait le plus souvent impossible de parvenir a la solution 
des questions relatives à sa mesure. En efiet, il est facile de 

A. CoHTE. Tome I. 18' 



174 MATHÉMATIQUES. 

sentir que les différentes défînitions dont chaque forme 
esl susceptible ne sont pas toutes également propres à une 
telle destination, et qu'elles présentent même, sous ce 
rapport, les oppositions les plus complètes. Or, d'un autre 
côté, la définition primitive de chaque forme n'ayant pu 
évidemment être choisie d'après cette condition, il est 
clair qu'on ne doit pas s'attendre, en général, à la trouver 
la plus convenable; d'où résulte la nécessité d'en décou- 
vrir d'antres^ c'est-à-dire d'étudier, autant que possible, 
1 es propriétés de la forme proposée. Qu'on suppose, par 
exemple, que le cercle soit défini, la courbe qui, sous le 
môme contour, renferme la plus grande aire^ ce qui est 
certainement une propriété tout à fait caractéristique, od 
éprouverait évidemment des difficultés insurmontables 
pour déduire d'un tel point de départ la solution des ques- 
tions fondamentales relatives à la rectification ou à la 
quadrature de cette courbe. Il est clair, àpn'oriy que la 
propriété d'avoir tous ses points à égale distance d'un 
point fixe doit nécessairement s'adapter bien mieux à des 
recherches de cette nature, sans qu'elle soit précisément 
la plus convenable. De môme^ Archimède eût-il jamais pu 
découvrir la quadrature de la parabole, s^il n'avait connu 
de cette courbe d'aulre propriété que d'être la section d'un 
cône à base circulaire, par un plan parallèle à sa géné- 
ratrice? Les travaux purement spéculatifs des géomètres 
précédents, pour transformer cette première définition^ 
ont évidemment été des préliminaires indispensables à la 
solution directe d'une telle question. 11 en est de même, à 
plus forte raison, relativement aux surfaces. 11 suffirait, 
pour s'en faire une juste idée, de comparer, par exemple» 
quant à la question de la cubature ou de la quadrature, la 
définition ordmaire de la sphère avec celle, non moins 
caractéristique sans doute, qui consisterait à regarder un 



GÉOMÉTRIE. «75 

corps spbériqiie comme celui qui, sous la môme aire, con- 
tient le plus grand volume. 

Je n'ai pas besoin d'indiquer un plus grand nombre 
d'exemples pour faire comprendre, en général, la néces- 
sité de connaître, autant que possible, toutes les propriétés 
de cbaque ligne ou de chaque surface, afin de faciliter la 
recbercbe des rectiflcations, des quadratures et des cu- 
batures, qui constitue Tobjel Gnal de la géométrie. On peut 
même dire que la principale difficulté des questions de ce 
genre consiste à employer, dans chaque cas, la propriété 
qui s'adapte le mieux à la nature du problème proposé. 
Ainsi, en continuant à indiquer, pour plus de précision, la 
mesure de l'étendue comme la destination générale de la 
géométrie, cette première considération, qui touche di- 
rectement au fond du sujet, démontre clairement la né- 
cessité d'y comprendre l'élude, aussi approfondie que pos- 
sible, des diverses générations ou définitions propres à une 
même forme. 

Un second motif, d'une importance au moins égale, con- 
siste en ce qu'une telle étude est indispensable pour orga- 
niser, d'une manière rationnelle, la relation de l'abstrait 
au concret en géométrie. 

La science géométrique devant considérer, ainsi que je 
l'ai indiqué ci-dessus, toutes les formes imaginables qui 
comportent une définition exacte, il en résulte nécessaire- 
ment, comme nous l'avons remarqué, que les questions 
relatives aux forjnes quelconques présentées par la nature 
loot toujours implicitement comprises dans cette géométrie 
abstraite, supposée' parvenue à sa perfection. Mais, quand 
il faut passer eflectivement à la géométrie concrète, on 
reocoDtre constamment une difficulté fondamentale, celle 
de savoir auxquels des différenls types abstraits on doit 
rapporter, avec une approximation suffisante, les lignes ov 



1 7 6 MATH ÉM ATIQUES. 

les surfaces réelles qu'il s'agit d'étudier. Or, c'est pour 
établir une telle relation qu'il est particulièrement indis- 
pensable de connaître le plus grand nombre possible de 
propriétés de chaque forme considérée en géométrie. 

En effet, si l'on se bornait toujours à la seule définition 
primitive d'une ligne ou d'une surface, en supposantmême 
qu'on pût alors la mesurer (ce qui, d'après le premier 
geure déconsidérations, serait le plus souvent impossible), 
ces connaissances resteraient presque nécessairement 
stériles dans l'application, puisqu'on ne saurait point ordi- 
nairement reconnaître cette forme dans la nature, quand 
elle s'y présenterait. Il faudrait, pour cela, que le caractère 
unique d'après lequel les géomètres l'auraient conçue fût 
précisément celui dont les circonstances extérieures com- 
porteraient la vérification, coïncidence purement fortuite, 
sur laquelle évidemment on ne doit pas compter, bien 
qu'elle puisse avoir lieu quelquefois. Ce n^est donc qu'en 
multipliant autant que possible les propriétés caractéristi- 
ques de chaque forme abstraite, que nous pouvons être 
assurés d'avance de la reconnaître à l'état concret, et d'u- 
tiliser ainsi tous nos travaux rationnels, en vérifiant, dans 
chaque cas, la définition qui est susceptible d'être constatée 
directement. Cette définition est presque toujours unique 
dans des circonstances données, et varie, au contraire, pour 
une môme forme, avec des circonstances différentes : dou- 
ble motif de détermination. 

La géométrie céleste nous fournit, à cet égard, l'exemple 
le plus mémorable, bien propre à mettre en évidence la 
nécessité générale d'une telle étude. On sait, en effet, que 
l'ellipse a été reconnue par Kepler comme étant la courbe 
que décrivent les planètes autour du soleil, et les satellites 
autour de leurs planètes. Or cette découverte fondamen- 
tale, qui a renouvelé l'astronomie, eût-elle jamais été pos- 



GÉOMÉTRIE. 177 

sible, si Ton s'était toujours borné à concevoir Tellipse 
comme la section oblique d'un cône circulaire par un 
plan? Aucune telle définition ne pouvait évidemment com- 
porter une semblable vérification. La propriété la plus 
usuelle de l'ellipse, que la somme des distances de tous 
ses points à deux points fixes soit constante, est bien plus 
susceptible sans doute, par sa nature, de faire reconnaître 
la courbe dans ce cas; mais elle n'est point encore direc* 
tement convenable. Le seul caractère qui puisse alors être 
vérifié immédiatement est celui qu'on tire de la relation 
qui existe dans l'ellipse entre la longueur des distances 
focales et leur direction^ l'unique relation qui admette une 
interprétation astronomique, comme exprimant la loi qui 
lie la dislance de la planète au soleil au temps écoulé de- 
puis l'origine de sa révolution. Il a donc fallu que les tra- 
vaux purement spéculatifs des géomètres grecs sur les pro- 
priétés des sections coniques eussent préalablement 
présenté leur génération sous une multitude de points 
de vue différents, pour que Kepler ait pu passer ainsi de 
Tabstrait au concret, en choisissant parmi tous ces divers 
caractères celui qui pouvait le plus facilement être con- 
staté pour les orbites planétaires. 

Je puis citer encore un exemple du môme ordre, relati- 
Temement aux surfaces, en considérant l'importante ques- 
tion de la figure de la terre. Si l'on n'avait jamais connu 
d'autre propriété de la sphère que son caractère primitif 
d'avoir tous ses points également distants d'un point inté- 
rieur, comment aurait-on pu jamais découvrir que la sur- 
face de la terre est sphérique ? Il a été nécessaire pour 
cela de déduire préalablement de cette définition de la 
sphère quelques propriétés susceptibles d'être vérifiées 
par des observations effectuées uniquement à la surface, 
comme, par exemple, le rapport constant qui existe pour 



S78 MATHÉMATIQUES. 

la sphère entre la longueur du chemin parcouru le long 
d'un méridien quelconque en s'avançant vers un pôl?« et la 
hauteur angulaire de ce pôle sur Thorizon en chaque point. 
Il en a été évidemment de même, et avec une bien plus 
longue suite de spéculations préliminaires, pour constater 
plus tard que la terre n*est point rigoureusement sphé- 
rique, mais que sa forme est celle d'un ellipsoïde de révo- 
lution. 

Après de tels exemples, il serait sans doute inutile d'en 
rapporter d'autres, que chacun peut d'ailleurs aisément 
multiplier. On y vérifiera toujours que, sans une connais- 
sance très-étendue des diverses propriétés de chaque 
forme, la relation de l'abstrait au concret en géométrie 
serait purement accidentelle, et que, par conséquent, la 
science manquerait de l'un de ses fondements les plus es- 
sentiels. 

Tils sont donc les deux motifs généraux qui démontrent 
pleinement la nécessité d'introduire en géométrie une foule 
de recherches qui n'ont pas pour objet direct la mesure de 
l'étendue, en continuant cependant à concevoir une telle 
mesure comme la destination finale de toute la science 
géométrique. Ainsi, nous pouvons conserver les avantages 
philosophiques que présentent la netteté et la précision de 
cette définition, et y comprendre néanmoins, d'une ma- 
nière très-rationnelle, quoique indirecte, toutes les re- 
cherches géométrique^' connues, en considérant celles qui 
ne paraissent point se rapporter à la mesure de l'étendue, 
comme destinées soit à préparer la solution des questions 
finales, soit à permettre l'application des solutions ob- 
tenues. 

Après avoir reconnu, en thèse générale, les relations in- 
times et nécessaires de l'étude des propriétés des lignes et 
des surfaces avec les recherches qui constituent l'objet 



GÉOMÉTRIE. S79 

défloitif de la géomélrie, il est d'ailleurs évident que, dans 
la suite de leurs travaux, les géomètres ne doivent nulle- 
ment s'astreindre à ne jannais perdre de vue un tel enchat- 
oement. Sachant, une fois pour toutes, combien il importe 
de Tarier le plus possible les manières de concevoir chaque 
forme, ils doivent poursuivre cette étude sans considérer 
immédiatement de quelle utilité peut être telle ou telle 
propriété spéciale pour les rectifications, les quadratures 
ou les cubalures. Ils entraveraient inutilement leurs re- 
cherches, en attachant une importance puérile à rétablis- 
sement continu de cette coordination. L'esprit humain doit 
procéder, à cet égard, comme il le fait en toute occasion 
semblable, quand, après avoir conçu, en général, la desti- 
nation d'une certaine étude, il s'attache exclusivement à la 
pousser le plus loin possible, en faisant complètement 
abstraction de cette relation, dont la considération perpé- 
tuelle compliquerait tous ses travaux. 

L'explication générale que je viens d'exposer est d'autant 
plus indispensable, que, par la nature môme du sujet, et tte 
élude des diverses propriétés de chaque ligne et de chaque 
surface compose nécessairement la très-majeure partie de 
l'ensemble des recherches géométriques. En effet, les ques- 
tions immédiatement relatives aux rectifications, aux qua- 
dratures et aux cubatures, sont évidemment, par elles-mê- 
mes, en nombre fort limite pour chaque forme considérée 
Au contraire, l'élude des propriétés d'une même forme 
présente à l'activité de l'esprit humain un champ naturel- 
lement indéfini, où l'on peut toujours espérer de faire de 
nOQvelIes découvertes. Ainsi, par exemple, quoique les 
géomètres se soient occupés depuis vingt siècles, avec plus 
ou moins d'activité sans doute, mais sans aucune interrup- 
tion réelle, de l'étude des sections coniques, ils sont loin 
de regarder ce sujet si simple comme épuisé ; et il est cer- 



180 MATHÉMATIQUES. 

tain en effet qu'en continuant à s'y livrer, on ne manque- 
rait pas de trouver encore des propriétés inconnues de ces 
diverses courbes. Si les travaux de ce genre se sont consi- 
dérablement ralentis depuis environ un siècle, ce n'est pas 
qu'ils soient terminés; cela tient seulement, comme je 
l'expliquerai tout à l'heure, à ce que la révolution philoso- 
phique opérée en géométrie par Descartes a dû singulière- 
ment diminuer l'importance de semblables recherches. 

Il résulte des considérations précédentes que non-seule- 
ment le champ de la géométrie est nécessairement infini à 
cause de la variété des formes à considérer, mais aussi en 
vertu de la diversité des points de vue sous lesquels une 
même forme peut être envisagée. Cette dernière conception 
est même celle qui donne l'idée la plus large et la plus 
complète de Tensemble des recherches géométriques. On 
voit que les études de ce genre consistent essentiellement, 
pour chaque ligne ou pour chaque surface, à rattacher 
tous les phénomènes géométriques qu'elle peut présenter 
à un seul phénomène fondamental, regardé comme défini- 
tion primitive. 

Après avoir exposé, d'une manière générale, et pourtant 
précise, l'objet final de la géométrie, et montré comment 
la science, ainsi définie, comprend une classe de recherches 
très-étendue qui ne paraissaient point d'abord s'y rapporter 
nécessairement, il me reste à considérer dans son ensem- 
ble la méthode à suivre pour la formation de cette science. 
Cette dernière explication est indispensable pour compléter 
ce premier aperçu du caractère philosophique de la géo- 
métrie. Je me bornerai en ce moment à indiquer k cet 
égard la considération la plus générale, cette importante 
notion fondamentale devant être développée et précisée 
dans les leçons suivantes. 

L'ensemble des questions géométriques peut être traité 



GÉOMÉTRIE. 28 f 

snivant deux méthodes tellement différentes, qa'il en ré- 
sulte, pour ainsi dire, deux sortes de géométries, dont le 
caractère philosophique ne me semble pas avoir été encore 
convenablement saisi. Les expressions de géométrie syn- 
thétique et géométrie analytique, habituellemeut employées 
pour les désigner, en donnent une très-fausse idée. Je pré- 
férerais de beaucoup les dénominations purement histori- 
ques de géométrie des anciens et géométrie des modernes, qui 
ont, du moins, l'avantage de ne pas faire méconnaître leur 
vrai caractère. Mais je propose d'employer désormais les 
expressions régulières de géométrie spéciale et géométrie gé- 
néraky qui me paraissent propres à caractériser avec pré- 
cision la véritable nature des deux méthodes. 

Ce n'est point, en effet, dans l'emploi du calcul comme 
on le pense communément, que consiste précisément la 
différence fondamentale entre la manière dont nous conce- 
vons la géométrie depuis Descartes^ et la manière dont les 
géomètres de l'antiquité traitaient les questions géométri- 
ques. 11 est certain, d'une part, que l'usage du calcul ne 
leur était point entièrement inconnu, puisqu'ils faisaient, 
dans leur géométrie, des applications continuelles et fort 
étendues de la théorie des proportions^ qui était pour eux, 
comme moyen de déduction, une sorte d'équivalent réel, 
quoique très-imparfait et surtout extrêmement borné, de 
notre algèbre actuelle. On peut môme employer le calcul 
d'une manière beaucoup plus complète qu'ils ne l'ont fait 
pour obtenir certaines solutions géométriques, qui n'en 
auront pas moins le caractère essentiel de la géométrie an- 
cienne ; c'est ce qui arrive très-fréquemment, par rapport 
à ces problèmes de géométrie à deux ou à trois dimensions, 
qu'on désigne vulgairement sous le nom de déterminés. 
D'un autre côté, quelque capitale que soit l'influence du 
calcul dans notre géométrie moderne, plusieurs solutions 



28 1 MATHÉMATIQUES. 

obtenues sans al^èbre^ peuvent manifester quelquefois le 
caractère propre qui la distingue de la géométrie ancienne, 
quoiqu'en thèse générale, l'analyse soit indispensable; 
j'en citerai, comme exemple, la méthode de Roberval pour 
les tangentes, dont la nature est essentiellement moderne, 
et qui cependant conduit, en certains cas, à des solutions 
complètes^ sans aucun secours du calcul. Ce n'est donc 
point par l'instrument de déduction employé qu'on doit 
principalement distinguer les deux marches que l'esprit 
humain peut suivre en géométrie. 

La différence fondamentale, jusqu'ici imparfaitement 
saisie, me paraît consister réellement dans la nature môme 
des questions considérées. En effet, la géométrie, envisagée 
dans son ensemble, et supposée parvenue à son entière 
perfection, doit, comme nous l'avons vu, d'une part, em- 
brasser toutes les formes imaginables, et, d'une autre part, 
découvrir toutes les propriétés de chaque forme. Elle est 
susceptible, d'après cette double considération, d'être trai- 
tée suivant deux plans essentiellement distinctifs : soit en 
groupant ensemble toutes les questions, quelque diverses 
qu'elles soient, qui concernent une même forme, et isolant 
celles relatives à des corps différents, quelque analogie qui 
puisse exister entre elles; soit, au contraire, en réunissant 
sous un môme point de vue toutes les recherches sembla- 
bles, à quelques formes diverses qu'elles se rapportent 
d'ailleurs, et séparant les questions relatives aux propriétés 
réellement différentes d'un môme corps. En un mol, l'en- 
semble de la géométrie peut être essentiellement ordonné 
ou par rapport aux corps étudiés, ou par rapport aux phé- 
nomènes ft considi'Ter. Le premier plan, qui est le plus na- 
turei, a été celui des anciens; le second, inGniment plus 
rationnel, est celui des modernes depuis Descartes. 

Tel est, en effet, le caractère principal de la géométrie 



GÉOMÉTRIE. ISS 

ancienne, qu'on éludiait, une à une, les diverses lignes et 
les diverses surfaces, ne passant à Texamen d'une nouvelle 
forme que lorsqu'on croyait avoir épuisé tout ce que pou- 
vaient offrir d'intéressant les formes connues jusqu'alors. 
Dans cette manière de procéder, quand on entreprenait 
Tétude d'une courbe nouvelle, l'ensemble des travaux exé- 
cutés sur les précédents ne pouvait présenter directement 
aucune ressource essentielle, autrement que par l'exercice 
géométrique auquel il avait dressé l'intelligence. Quelle 
que pût être la similitude réelle des questions proposées 
sur deux formes différentes, les connaissances complètes 
acquises pour Tune ne pouvaient nullement dispenser de 
reprendre pour l'autre l'ensemble de la recherche. Aussi 
la marche de l'esprit n'élait-elle jamais assurée ; en sorte 
qu'on ne pouvait être certain d'avance d'obtenir une solu- 
tion quelconque, quelque analogue que fût le problème 
proposé à des questions déjà résolues. Ainsi, par exemple, 
la détermination des tangentes aux trois sections coniques 
ne fournissait aucun secours rationnel pour mener la tan- 
gente à quelque autre courbe nouvelle, comme la con- 
cholde, la cissoîde, etc. En un mot, la géométrie des 
anciens était, suivant l'expression proposée ci-dessus^ es- 
sentiellement spéciale. 

Dans le système des modernes, la géométrie est, au 
contraire, éminemment générale^ c'est-à-dire relative à des 
formes quelconques. Il est aisé de comprendre d'abord 
que toutes les questions géométriques de quelque intérêt 
peuvent être proposées par rapport à toutes les formes 
imaginables. C'est ce qu'on voit directement pour les pro- 
blèmes fondamentaux, qui constituent, d'après les expli- 
cations données dans celte leçon, l'objet définitif de la 
géométrie, c'est-à-dire les rectifications, les quadratures 
et les cubatures. Mais cette remarque n'est pas moins in- 



à 



284 MATUÉMATIQUES. 

contestable, môme pour les recherches relatives aux di- 
verses propriétés des lignes et des surfaces, et dont les plus 
essentielles, telles que la question des tangentes ou des 
plans tangents, la théorie des courbures, etc., sont évi- 
demment communes à toutes les formes quelconques. Les 
recherches très-peu nombreuses qui sont ^aiment parti- 
culières à telle ou telle forme n'ont qu'une importance 
extrêmement secondaire. Cela posé, la géométrie moderne 
consiste essentiellement à abstraire, pour la traiter à part, 
d'une manière entièrement générale, toute question rela- 
tive à un même phénomène géométrique, dans quelques 
corps qu'il puisse èlre considéré. L'application des théo- 
ries universelles ainsi construites à la détermination spé- 
ciale du phénomène dont il s'agit dans chaque corps parti- 
culier n'est plus regardée que comme un travail subalterne, 
à exécuter suivant des règles invariables et dont le succès 
est certain d'avance. Ce travail est, en un mot, du môme 
ordre que l'évaluation numérique d'une formule analyti- 
que déterminée. Il ne peut y avoir sous ce rapport d'autre 
mérite que celui de présenter, dans chaque cas, la solu- 
tion nécessairement fournie par la méthode générale, avec 
toute la simplicité et l'élégance que peut comporter la 
ligne ou la surface considérée. Mais on n'attache d'im- 
portance réelle qu'à la conception et à la solution com- 
plète d'une nouvelle question propre à une forme quel- 
conque. Les travaux de ce genre sont seuls regardés comme 
faisant faire à la science de véritables pas. L'attention des 
géomètres, ainsi dispensée de l'examen des particularités 
des diverses formes, et dirigée tout entière vers les ques- 
tions générales, a pu s'élever par là à la considération de 
nouvelles notions géométriques, qui, appliquées aux cour- 
bes étudiées par les anciens, en ont fait découvrir des 
propriétés importantes qu'ils n'avaient pas môme soupçon- 



GÉOMÉTRIE. 285 

nées. Telle est la géométrie, depuis la révolution radi- 
cale opérée par DescUrtes dans le système général de la 
science. 

La simple indication du caractère fondamental propre 
à chacune des deux géomélries sufQt sans doute pour 
mettre en évidence Timmense supériorilé nécessaire de la 
géométrie moderne. On peut môme dire qu'avant la 
grande conception de Descaries, la géométrie rationnelle 
n'était pas vraiment constituée sur des bases définitives, 
soit sous le rapport abstrait, soit sous le rapport concret. 
En effet, pour la science considérée spéoulativement, il est 
clair qu'en continuant indéfiniment, comme l'ont fait les 
modernes avant Descartes et môme un peu après, à suivre 
la marche des anciens, en ajoutant quelqnes nouvelles 
courbes au petit nombre de celles qu'ils avaient étudiées, 
les progrès, quelque rapides qu'ils eussent pu être, n'au- 
raient été, après une longue suite de siècles^ que fort peu 
considérables par rapport au syslème général de la géomé- 
trie, vu l'infinie variété des formes qui seraient toujours 
restées à étudier. Au contraire, à chaque question résolue 
suivant la marche des modernes, le nombre des problèmes 
géométriques k résoudre se trouve, une fois pour toutes, 
diminué d'autant, par rapport à tous les corps possibles. 
Sous un second point de vue, du défaut complet de mé- 
thodes générales il résultait que les géomètres anciens, 
dans toutes leurs recherches, étaient entièrement aban- 
donnés à leurs propres forces, sans avoir jamais la certitude 
d'obtenir tôt ou tard une solution quelconque. Si celte 
imperfection de la science était éminemment propre à* 
mettre dans tout son jour leur admirable sagacité, elle 
devait rendre leurs progrès extrêmement lents : on peut 
s'en faire une idée par le temps considérable qu'ils ont 
employé à l'étude des sections coniques. La géométrie 



S86 MATHÉMATIQUES. 

moderne, assurant d'une manière invariable la marche de 
notre esprit, permet, au contraire, d'utiliser au plus haut 
degré possible les forces de Tinlelligence, que les anciens 
devaient consumer fréquemment sur des questions bien 
peu importantes. 

Une différence non moins capitale se manifeste entre les 
deux systèmes, quand on vient à considérer la géométrie 
sous le rapport concret. En effet, nous avons remarqué 
plus haut que la relation de l'abstrait au concret en géomé- 
trie ne peut être solidement fondée sur des bases ration- 
nelles qu'autant qu'on fait directement porter les recher- 
ches sur toutes les formes imaginables. En n'étudiant les 
lignes et les surfaces qu'une à une, quel que soit le nombre, 
toujours nécessairement fort petit, de celles qu'on aura 
considérées, l'apiilication des théories semblables aux 
formes réellement < xistanles dans la nature n'aura jamais 
qu'un caractère essentiellement accidentel, puisque rien 
n'assure que ces formes pourront effectivement rentrer 
dans les types abstraits envisagés par les géomètres. 

Il y a certainement, par exemple, quelque chose de for- 
tuit dans l'heureuse relation qui s'est établie entre les spé- 
culations des géomètres grecs sur les sections coniques et 
la détermination des véritables orbites planétaires. En con- 
tinuant sur le môme plan les travaux géométriques, on 
n'avait point, en général, le droit d'espérer de semblables 
coïncidences; et il eût été possible, dans ces études spé- 
ciales, que les recherches des géomètres se fussent diri- 
gées sur des formes abstraites indéfiniment inapplicables, 
tandis qu'ils en auraient négligé d'autres, susceptibles 
peut-être d'une application importante et prochaine. Il est 
clair, du moins, que rien ne garantissait positivement l'ap- 
plicabilité nécessaire des spéculations géométriques. Il en 
est tout autrement dans la géométrie moderne. Par cela 



GÉOMÉTRIE. S87 

seul qu'on y procède par questions générales relatives à 
des formes quelconques^ on a d'avance la certitude évi- 
dente que les formes réalisées dans le monde exlérieur ne 
sauraient jamais échapper à chaque théorie, si le phéno- 
mène géométrique qu'elle envisage vient à s'y présenter. 

Par ces diverses considérations, on voit que le système 
de géométrie des anciens porte essentiellement le carac- 
tère de Tenfance de la science, qui n'a commencé à de- 
venir complètement rationnelle que par suite de la révo- 
lution philosophique opérée par Descartes. Mais il est 
évident^ d'un autre côté, que la géométrie n'a pu être 
conçue d'abord que de cette manière spéciale. La géomé- 
trie générale n'eût point été possible, et la nécessité n'eût 
pu môme en être sentie, si une longue suite de travaux spé- 
ciaux sur les formes les plus simples n'avait point préalable- 
ment fourni des bases à la conception de Descartes, et 
rendu sensible l'impossibilité de persister indéfiniment 
dans la philosophie géométrique primitive. 

£n précisant autant que possible cette dernière considé- 
ration, il faut môme en conclure que, quoique la géomé- 
trie que j'ai appelée générale doive être aujourd'hui regardée 
comme la seule véritable géométrie dogmatique, celle à 
laquelle nous nous bornerons essentiellement, l'autre 
n'ayant plus principalement qu'un intérêt historique, néan- 
moins il n'est pas possible de faire disparaître entièrement 
la géométrie spéciale dans une exposition rationnelle de 
la science. On peut sans doute se dispenser^ comme on 
l'a fait depuis environ un siècle, d'emprunter directement 
à la géométrie ancienne tous les résultats qu'elle a fournis. 
Les recherches les plus étendues et les plus difficiles dont 
elle était composée ne sont plus môme habituellement 
présentées aujourd'hui que d'après la méthode moderne. 
Mai», par la nature môme du sujet, il est nécessairement 



à 



^S8 MATHÉMATIQUES. 

impossible de se passer absolument de la méthode an- 
cienne, qui, quoi qu'on fasse, servira toujours dogmatique- 
ment de base préliminaire à la science, comme elle l'a fait 
historiquement. Le motif en est facile à comprendre. En 
eifet, la géométrie générale étant essentiellement fondée, 
comme nous l'établirons bientôt, sur l'emploi du calcul, 
sur la transformation des considérations géométriques en 
considérations analytiques, une telle manière de procéder 
ne saurait s'emparer du sujet immédiatement à son ori- 
gine. Nous savons que l'application de l'analyse mathéma- 
tique^ par sa nature, ne peut jamais commencer aucune 
science quelconque, puisqu'elle ne saurait avoir lieu que 
lorsque la science a déjà été assez cultivée pour établir, 
relativement aux phénomènes considérés, quelques équa- 
tions qui puissent servir de point de départ aux travaux 
analytiques. Ces équations fondamentales une fois décou- 
vertes, l'analyse permettra d'en déduire une multitude de 
conséquences, qu'il eût été môme impossible de soup- 
çonner d'abord ; elle perfectionnera la science à un degré 
immense, soit sous le rapport de la généralité des concep- 
tions, soit quant à la coordination complète établie entre 
elles. Mais, pour constituer les bases mômes d'une science 
naturelle quelconque, jamais, évidemment, la simple ana- 
lyse mathématique ne saurait y suffire, pas môme pour les 
démontrer de nouveau lorsqu'elles ont été déjà fondées. 
Rien ne peut dispenser, à cet égard, de l'étude directe du 
sujet, poussée jusqu'au point de la découverte de relations 
précises. Tenter de faire rentrer la science, dès son origine, 
dans le domaine du calcul, ce serait vouloir imposer à des 
théories portant sur des phénomènes effectifs, le caractère 
de simples procédés logiques, et les priver ainsi de tout ce 
qui constitue leur corrélation nécessaire avec le monde 
réel. En un mot, une telle opération philosophique, si par 



GÉOMÉTRIE. S89 

elle-môme elle n'élait pas nécessairement contradictoire, 
ne saurait aboutir évidemment qu'à replonger la science 
dans le domaine de la métaphysique, dont l'esprit humain 
a eu tant de peine h se dégager complètement. 

Ainsi, la géométrie des anciens aura toujours, par sa 
nature, une première part nécessaire et plus ou moins 
étendue dans le système total des connaissances géomé- 
triques. Elle constitue une introduction rigoureusement 
indispensable à ia géométrie générale. Mais c'est à cela 
que nous devons la réduire dans une exposition complète- 
ment dogmatique. Je considérerai donc directement, dans 
la leçon suivante, celte géométrie spéciale ou préliminaire^ 
restreinte exactement à ses limites nécessaires, pour ne 
plus m'occuper ensuite que de Texamen philosophique de 
la géométrie générale ou définitive^ la seule vraiment ra- 
tionnelle^ et qui aujourd'hui compose essentiellement la 
science. 



A. Comte. Tomcl. 19 



ONZIÈME LEÇON 



Sommaire. — Considérations générales sur la géométrie spéciale 

ou préliminaire. 



La méthode géométrique des anciens devant avoir né- 
cessairement, d'après les motifs indiqués à la fin de la 
leçon précédente, une pari préliminaire dans le système 
dogmatique de la géomélrie, pour fournir à la géométrie 
générale des fondements indispensables, il convient main- 
tenant de fixer d*abord en quoi consiste strictement cette 
fonction préalable de la géométrie spéciale^ ainsi réduite 
au moindre développement possible. 

En la considérant sous ce point de vue, il est aisé de re- 
connaître qu'on pourrait la restreindre à la seule étude de 
la ligne droite pour ce qui concerne la géométrie des 
lignes, à la quadrature des aires planes rectilignes, et en- 
fin à la cubature des corps termines par des faces planes. 
Les propositions élémentaires relatives à ces trois questions 
fondamentales constituent, en effet, le point de départ né- 
cessaire de toutes les recherches géométriques; elles seules 
ne peuvent être obtenues que par une étude directe du 
sujet ; tandis qu'au contraire la théorie complète de toutes 
les autres formes quelconques^ môme celle du cercle et 
des surfaces et volumes qui s'y rapportent, peut aujour- 
d'hui rentrer entièrement dans le domaine de la géométrie 
générale ou analytique^ ces éléments primitifs fournissant 
déjà des équations, qui suffisent pour permettre Tapplica- 



GÉOMÉTRIE SPÉCIALE OU PRÉLIMINAIRE. 191 

tioD du calcul aux questions géométriques, qui n'eût pas 
été possible sans cette condition préalable. 

n résulte de cette considération que, dans Tusage ordi- 
naire/ on donne à la géométrie élémentaire plus d'étendue 
qu'il ne serait rigoureusement nécessaire , puisque, outre 
la ligne droite, les polygones et les polyèdres^ on y com- 
prend aussi le cercle et les corps ronds^ dont l'étude pour- 
rait cependant être aussi purement analytique que celle,. 
par exemple, des sections coniques. Une vénération irré- 
fléchie pour l'antiquité contribue, sans doute, à maintenir 
ce défaut de méthode. Mais, comme ce respect n'a point 
empêché de faire rentrer dans le domaine de la géométrie 
moderne la théorie des sections coniques, il faut bien que, 
relativement aux formes circulaires, l'habitude contraire, 
encore universelle, soit fondée sur d'autres motifs. La 
raison la plus sensible qu'on en puisse donner, c'est le 
grave inconvénient qu'il y aurait, pour l'enseignement or- 
dinaire, à ajourner à une époque assez éloignée de l'édu- 
cation mathématique la solution de plusieurs questions 
essentielles, susceptibles d'une application immédiate et 
continuelle à une foule d'usages importants. Pour procé- 
der, en effet, de la manière la plus rationnelle^ ce ne serait 
qu'à l'aide du calcul intégral qu'on pourrait obtenir les 
intéressants résultats relatifs à la mesure de la longueur 
ou de l'aire du cercle, ou à la quadrature de la sphère, etc., 
établis par les anciens d'après des considérations extrême- 
ment simples. Cet inconvénient serait peu important, à 
l'égard des esprits destinés à étudier l'ensemble de la 
science mathém^atique, et l'avantage de procéder avec une 
rationnante parfaite aurait, comparativement, une bien 
plus grande valeur. Mais, le cas contraire étant encore le 
plus fréquent, on a dû s'attacher à conserver dnns la géo- 
métrie élémentaire proprement dite des théories aussi 



892 MATHÉMATIQUES. 

essentielles. En admettant l'influonce d*une telle considé- 
ration, et ne restreignant plus cette géométrie préliminaire 
à ce qui est strictement indispensable, on peut môme con- 
cevoir l'utilité, pour certains cas particuliers, d*y intro- 
duire plusieurs études importantes qui en ont été généra- 
lement exclues, comme celles des sections coniques^ de la 
cycloïde, etc., afin de renfermer, dans un enseignement 
borné, le plus grand nombre possible de connaissances 
usuelles, quoique, même sous le simple rapport du temps, 
il fût préférable de suivre la marche la plus rationnelle. 
Je ne dois point, à ce sujet, tenir compte ici des avan- 
tages que peut présenter cette extension habituelle de la 
méthode géométrique des anciens au delà de la destina- 
tion nécessaire qui lui est propre, par la connaissance plus 
profonde qu'on acquiert ainsi de cette méthode^ et par la 
comparaison instructive qui en résulte avec la méthode 
moderne. Ce sont là des qualités qui, dans l'étude d'une 
science quelconque, appartiennent à la marche que nous 
avons nommée historique^ et auxquelles il faut savoir re- 
noncer franchement, quand on a bien reconnu la nécessité 
de suivre là marche vraiment dogmatique. Après avoir 
conçu toutes les parties d'une science de la manière la plus 
rationnelle, nous savons combien il importe, pour com- 
pléter cette éducation, d'étudier l'A/s/otVe de la science, et, 
par conséquent, de comparer exactement les diverses mé- 
thodes que l'esprit humain a successivement employées; 
mais ces deux séries d'études doivent être, en général, 
comme nous l'avons vu, soigneusement séparées. Cepen- 
dant, dans le cas dont il s'agit ici, la méthode géométrique 
des modes est peut-être encore trop récente pour qu'il 
ne convienne pas, afin de la mieux caractériser par la com- 
paraison, de traiter d'abord, suivant la méthode des 
anciens, certaines questions qui, par leur nature, doi- 



GÉOHÉTRIB 8FÉCIALB OU PRÉLIMINAIRE. i9S 

Teat rentrer ratioanellement dans la géométrie moderne. 

Quoi qu'il en soit, écartant maintenant ces diverses con- 
sidérations accessoires, nous voyons que celte introduction 
à la géométrie, qui ne peut être traitée que suivant la mé- 
thode des anciens, est strictement réductible à Tétude de 
la ligne droite, des aires polygonales et des polyèdres. Il 
est môme vraisemblable qu'on finira par la restreindre 
habituellement à ces limites nécessaires, quand les grandes 
notions analytiques seront devenues plus familières, et 
qu'une étude de l'ensemble des mathématiques sera uni- 
versellement regardée comme la base philosophique de 
réducation générale. 

Si cette portion préliminaire de la géométrie, qui ne 
saurait être fondée sur l'application du calcul, se réduit, 
par sa nature, à une suite de recherches fondamentales 
très-peu étendues, il est certain, d'un autre côté, qu'on ne 
peut la restreindre davantage, quoique, par un véritable 
abus de l'esprit analytique, on ait quelquefois essayé, dans 
ces derniers temps, de présenter sous un point de vue pu- 
rement algébrique l'établissement des théorèmes princi- 
paux de la géométrie élémentaire. C'est ainsi qu'on a pré- 
tendu démontrer par de simples considérations abstraites 
d'analyse mathématique la relation constante qui existe 
entre les trois angles d'un triangle rectiligne, la proposi- 
tion fondamentale de la théorie des triangles semblables, 
la mesure des rectangles, celle des parallélipipèdes, etc., 
en un mot, précisément les seules propositions géométri- 
ques qui ne puissent être obtenues que par une étude di- 
recte du sujet, sans que le calcul soit susceptible d'y avoir 
aucune part. Je ne signalerais point ici de telles aberra- 
tions, si elles n'avaient pas été déterminées par l'intention 
évidente de perfectionner, au plus haut degré possible, le 
caractère philosophique de la science géométrique, en la 





194 MATHÉMATIQUES. 

faisant rentrer immédiatement, dès sa naissance, dans le 
domaine des applications de l'analyse mathématique. Mais 
Terreur capitale commise à cet égard par quelques géo- 
mètres doit être soigneusement remarquée, parce qu^elie 
résulte de l'exagération irréfléchie de cette tendance, au- 
jourd'hui très-naturelle et éminemment philosophique, 
qui porte à étendre de plus en plus Tinfluence de l'analyse 
dans les études mathématiques. La contemplation des ré- 
sultats prodigieux auxquels l'esprit humain est parvenu, en 
suivant une telle direction, a dû involontairement entraîner 
à croire que môme les fondements de la mathématique 
concrète pourraient être établis sur de simples considéra- 
tions analytiques. Ce n'est point, en effet, pour la géométrie 
seulement que nous devons noter de semblables aberra- 
tions; nous aurons bientôt à en constater de parfaitement 
analogues relativement à la mécanique, à l'occasion des pré- 
tendues démonstrations analytiques du parallélogramme 
des forces. Cette confusion logique a môme aujourd'hui 
bien plus de gravité en mécanique, où elle contribue effec- 
tivement à répandre encore un nuage métaphysique sur le 
caractère général de la science; tandis que, du moins en 
géométrie, ces considérations abstraites ont été jusqu'ici 
laissées en dehors, sans s'incorporer à l'exposition normale 
de la science. 

D'après les principes présentés dans cet ouvrage, sur la 
philosophie m.athématique, il n'est pas nécessaire d'insister 
beaucoup pour faire sentir le vice d'une telle manière de 
procéder. Nous avons déjà reconnu, en effet, que le calcul 
n'étant et ne pouvant être qu'un moyen de déduction, c'est 
s'en former une idée radicalement fausse que de vouloir 
l'employer à établir les fondements élémentaires d'une 
science quelconque ; car sur quoi reposeraient, dans une 
telle opération, les argumentations analytiques ? Un travail 



GÉOMÉTRIE SPÉCIALE OU PRÉLIMINAIRE. 295 

de cette nature, bien loin de perfectionner véritablement 
le caractère philosophique d'une science, constituerait un 
retour vers l'état métaphysique, en présentant des con- 
naissances réelles comme de simples abstractions logiques. 
Quand on examine en elles-mêmes ces prétendues dé- 
monstrations analytiques des propositions fondamentales 
de la géométrie élémentaire, on vérifie aisément leur in- 
signiûance nécessaire. Elles sont toutes fondées sur une 
manière vicieuse de concevoir le principe de l'homogénéité, 
dont j'ai exposé, dans la cinquième leçon^ la véritable no* 
lion générale. Ces démonstrations supposent que ce prin- 
cipe ne permet point d'admettre la coexistence dans une 
même équation de nombres obtenus par des comparaisons 
concrètes différentes, ce qui est évidemment faux et visi- 
blement contraire à la marche constante des géomètres. 
Aussi, il est facile de reconnaître qu'en employant la loi 
de l'homogénéité dans cette acception arbitraire et illégi- 
time, on pourrait parvenir à démontrer avec tout autant de 
rigueur apparente des propositions dont l'absurdité est 
manifeste au premier coup d'œil. En examinant avec atten- 
tion, par exemple, le procédé à l'aide duquel on a tenté 
de prouver analytiquement que la somme des trois angles 
d'un triangle rectiligne quelconque est constamment égale 
à deux angles droits, on voit qu'il est fondé sur celte no- 
tion préliminaire, que, si deux triangles ont deux de leurs 
angles respectivement égaux, le troisième angle sera aussi, 
de part et d'autre, nécessairement égal. Ce premier point 
étant accordé, la relation proposée s'en déduit immédia*^ 
tement, d'une manière très-exacte et fort simple. Or, la 
considération analytique^ d'après laquelle on a voulu éta- 
blir cette proposition préalable, est d'une telle nature, que, 
si elle pouvait être juste, on en déduirait rigoureusement, 
en la reproduisant en sens inverse, cette absurdité pal- 




296 MATHÉMATIQUES. 

pable, que deux côtés d'un triangle snfBsent, sans aucun 
angle, à l'entière détermination du troisième côté. On peut 
faire des remarques analogues sur toutes les démonstra- 
tions de ce genre, dont le sophisme sera ainsi vériGé d'une 
manière parfaitement sensible. 

Plus nous devons ici considérer la géométrie comme 
étant aujourd'hui essentiellement analytique, plus il était 
nécessaire de prémunir les esprits contre cette exagéra- 
tion abusive de l'analyse mathématique, suivant laquelle on 
prétendrait se dispenser de toute observation géométrie 
que proprement dite, en établissant sur de pures abstrac- 
tions algébriques les fondements mômes de cette science, 
naturelle. J'ai dû attacher d'autant plus d'importance à 
caractériser des aberrations ainsi liées au développement 
normal de l'esprit humain, qu'elles ont été pour ainsi dire 
consacrées dans ces derniers temps par l'assentiment for- 
mel d'un géomètre fort distingué, dont l'autorité exerce 
sur l'enseignement élémentaire de la géométrie une très- 
grande influence. 

Je crois devoir remarquer à cette occasion que, sous 
plus d'un autre rapport, on a, ce me semble^ trop perdu 
de vue le caractère de science naturelle nécessairement 
inhérent à la géométrie. Il est aisé de le reconnaître, en 
considérant les vains efforts tentés si longtemps par les 
géomètres pour démontrer rigoureusement, non à l'aide du 
calcul, mais d'après certaines constructions, plusieurs 
propositions fondamentales de la géométrie élémentaire. 
Quoi qu'on puisse faire, on ne saurait évidemment évi- 
ter de recourir quelquefois en géométrie à la simple ob- 
servation immédiate, comme moyen d'établir divers ré- 
sultats. Si, dans cette science, les phénomènes que Ton 
considère sont, en vertu de leur extrême simplicité» 
beaucoup plus liés entre eux que ceux relatifs à toute autre 



GÉOMÉTRIE Sl'ÉCIALE OU rUÉLIMTNAIRE. S97 

science physique, il doit néanmoins b'cn. trouver néces- 
sairement quelques-uns qui ne peuvent être déduits, et 
qui servent, au contraire, de point de départ. Qu'il con- 
Tienne^ en thèse générale, pour la plus grande perfection 
rationnelle de la science, de les réduire au plus petit 
nombre possible, cela est sans doute incontestable ; mais 
il serait absurde de prétendre les faire disparaître complè- 
tement. J'avoue d'ailleurs que je trouve moins d'inconvé- 
nients réels à étendre un peu au delà de ce qui serait stric- 
tement nécessaire le nombre de ces notions géométriques 
ainsi établies par Tobservalion immédiate, pourvu qu'elles 
soient d'une simplicité suffisante, qu'à en faire le sujet de 
démonstrations compliquées et indirectes, même quand 
ces démonstrations peuvent être logiquement irrépro- 
chables. 

Après avoir caractérisé aussi exactement que possible 
la véritable destination dogmatique de la géométrie des 
anciens réduite à son moindre développement indispen- 
sable, il convient de considérer sommairement dans son 
ensemble chacune des parties principales dont elle doit se 
composer. Je crois pouvoir me borner ici à envisager la 
première et la plus étendue de ces parties, celle qui a pour 
objet l'étude de la ligne droite ; les deux autres sections, 
savoir : la quadrature des polygones et la cubature des 
polyèdres, ne pouvant donner lieu, vu leur nature trop 
restreinte, à aucune considération philosophique de quel- 
que importance distincte de celles indiquées dans la 
leçon précédente relativement à la mesure des aires et des 
volumes en général. 

La question définitive que Ton a constamment en vue 
dans Télude de la ligne droite consiste proprement à dé- 
terminer les uns par les autres les divers éléments d'une 
figure rectiligne quelconque, ce qui permet de connaître 




298 MATHÉMATIQUES. 

toujours indirectement une ligne droite dans quelques 
circonstances qu'elle puisse être placée. Ce problème fon- 
damental est susceptible de deux solutions générales, dont 
la nature est tout à fait distincte^ Tune graphique, l'autre 
algébrique. La première, quoique fort imparfaite, est celle 
qu'on doit considérer d'abord, parce qu'elle dérive spon- 
tanément de l'étude directe du sujet; la seconde, bien 
plus parfaite sous les rapports les plus importants, ne 
peut être étudiée qu'en dernier lieu, parce qu'elle est 
fondée sur la connaissance préalable de l'autre. 

La solution graphique consiste à rapporter à volonté la 
figure proposée, soit avec les mômes dimensions, soit 
surtout avec des dimensions variées dans une proportion 
quelconque. Le premier mode ne peut guère être men- 
tionné que pour mémoire, comme étant le plus simple, et 
celui que l'esprit doit envisager d'abord, car il est évidem- 
ment, d'ailleurs, presque entièrement inapplicable par sa 
nature. Le second est, au contraire, susceptible de l'appli- 
cation la plus étendue et la plus utile. Nous en faisons 
encore aujourd'hui un usage important et continuel, non- 
seulement pour représenter exactement les formes des 
corps et leurs positions mutuelles, mais môme pour la 
détermination effective des grandeurs géométriques, quand 
nous n'avons pas besoin d'une grande précision. Les 
anciens, vu l'imperfection de leurs connaissances géomé- 
triques, employaient ce procédé d'une manière beaucoup 
plus étendue, puisqu'il a été longtemps le seul qu'ils pus- 
sent appliquer, môme dans les déterminations précises les 
plus importantes. C'est ainsi, par exemple, qu'Aristarque 
de Samos estimait la distance relative du soleil et de la 
lune à la terre, en prenant des mesures sur un triangle 
construit le plus exactement possible.de façon à être 
semblable au triangle rectangle formé par les trois astres, 



GÉOMÉTRIE SPÉCIALE OU PRÉLIMINAIRE. 299 

à rîDstant ofi la lune se trouve en quadrature, et où, en 
conséquence, il sufûrait, pour déflnir le triangle, d'ob- 
server l'angle à la terre. Archimède lui-mômey quoi- 
que ayant, le premier, introduit en géométrie les détermi- 
nations calculées, a plusieurs fois employé de semblables 
moyens. La formation de la trigonométrie n'y a pas fait 
même renoncer entièrement, quoiqu'elle en ait beaucoup 
diminué l'usage ; les Grecs et les Arabes ont continué à 
s'en servir pour une foule de recherches, où nous regar- 
dons aujourd'hui l'emploi du calcul comme indispensable. 
Cette exacte reproduction d'une figure quelconque sui- 
vant une échelle différente ne peut présenter aqcune 
grande difficulté théorique lorsque toutes les parties de la 
flgare proposée sont comprises dans un même plan. Mais, 
tà Ton suppose, comme il arrive le plus souvent, qu'elles 
soient situées dans des plans différents, on voit naître 
alors un nouvel ordre de considérations géométriques. La 
figure artificielle, qui est constamment plane, ne pouvant 
plus, en ce cas, être une image parfaitement fidèle de la 
figure réelle, il faut d'abord fixer avec précision le mode 
de représentation, ce qui donne lieu aux divers systèmes 
de projection. Cela posé , il reste à déterminer suivant 
quelles lois les phénomènes géométriques se correspon- 
dent dans les deux figures. Cette considération engendre 
une nouvelle série de recherches géométriques, dont 
l'objet définitif est proprement de découvrir comment on 
pourra remplacer les constructions en relief par des cons- 
tructions planes. Les anciens ont eu à résoudre plusieurs 
questions élémentaires de ce genre, pour les divers cas où 
nous employons aujourd'hui la trigonométrie sphérique, 
et principalement pour les différents problèmes relatifs à 
la sphère céleste. Telle était la destination de leurs ana- 
lèmes^ et des autres figures planes qui ont suppléé pen- 



800 MATHÉMATIQUES. 

dant si longtemps à Tusage du calcul. On voit par là que 
les anciens connaissaient réellement les éléments de ce que 
nous nommons maintenant la géométrie descriptive^ quoi- 
qu'ils ne les eussent point conçus d'une manière distincte 
et générale. 

Je crois convenable de signaler ici rapidement, à cette 
occasion, le véritable caractère pbilosopbique de cette 
géométrie descriptive, bien que, comme étant une science 
essentiellement d*applicat\on, elle ne doive pas ôlre com- 
prise dans le domaine propre de cet ouvrage^ tel que je l'ai 
circonscrit en commençant. 

Toutes les questions quelconques de géométrie à trois 
dimensions donnent lieu nécessairement, quand on en 
considère la solution graphique, à une difficulté générale 
qui leur est propre, celle de substituer aux diverses cons- 
truclions en relief nécessaires pour les résoudre, et qui 
sont presque toujours d'une exécution impossible, de sim- 
ples constructions planes équivalentes, susceptibles de 
déterminer finalement les mômes résultats. Sans cette in- 
dispensable conversion, chaque solution de ce genre serait 
évidemment incomplète et réellement inapplicable dans la 
pratique, quoique, pour la théorie, les constructions dans 
l'espace soient ordinairement préférables comme plus 
directes. C'est aGn de fournir les moyens généraux d'effec- 
tuer constamment une telle transformation que la géomé- 
trie descriptive a été créée et constituée en un corps de 
doctrine distinct et homogène par une vue de génie de 
notre illustre Monge. 11 a préalablement conçu un mode 
uniforme de représenter les corps par des figures tracées 
sur un seul plan, à l'aide des projections sur deux plans 
différents, ordinairement perpendiculaires entre eux, et 
dont Tun est supposé tourner autour de leur intersection 
commune pour venir se confondre avec le prolongement 



GÉOMÉTRIE SPÉCIALE OU PRÉLIMINAIRE. 801 

de l'antre; il a sufQ, dans ce système, ou dans tout antre 
équivalent, de regarder les points et les lignes comme 
déterminés par leurs projections, et les surfaces par les 
projections de leurs génératrice'^. Cela posé, Mong«>, ana- 
lysant avec une profonde sagacité les divers travaux par- 
tiels de ce genre exécnlés avant lui d'après une foule de 
procédés incohérents, et considérant môme, d'une manière 
générale et directe, en quoi devaient consister constamment 
les questions quelconques de cette nature, a recormu qu'elles 
étaient toujours réductibles à un très-petit nombre de 
problèmes abstraits invariables, susceptibles d'être résolus 
séparément une fois pour toutes par des opérations uni- 
formes, et qui se rapportent essentiellement les uns aux 
contacts et les autres aux intersections des surfaces. Ayant 
formé des méthodes simples et entièrement générales pour 
la solution graphique de ces deux ordres de problèmes, 
toutes les questions géométriques auxquelles peuvent 
donner lieu les divers arts quelconques de construction, 
la coupe des pierres, la charpente, la perspective, la gno- 
monique, la fortification, etc., ont pu Ctre traitées dé- 
sormais comme de simples cas particuliers d'une théorie 
unique, dont l'application invariable conduira toujours 
nécessairement à une solution exacte, susceptible d'être 
facilitée dans la pratique eu profitant des circonstances 
propres à chaque cas. 

Cette importante création mérite singulièrement de 
fixer l'attention de tous les philosophes qui considèrent 
l'ensemble des opérations de l'espèce humaine, comme 
étant un premier pas, et jusqu'ici le seul rée lement com- 
plet, vers cette rénovation générale des travaux humains, 
qui doit imprimer à tous nos arts un caractère de préci- 
sion et de rationnalité, si nécessaire à leurs progrès futurs. 
Une telle révolution devait, en elTet, commencer inévita- 



802 MATHÉMATIQUES. 

blement par cette classe de travaux industriels qui se rap- 
porte essei^tiellement à la science la plus simple, la plus 
parfaite et la plus ancienne. Elle ne peut manquer de s'é- 
tendre successivement dans la suite, quoique avec moins 
de facilité, à toutes les autres opérations pratiques. Nous 
aurons môme bientôt occasion de remarquer que Monge, 
qui a conçu plus profondément que personne la véritable 
philosophie des arts, avait essayé d'ébaucher pour l'in- 
dustrie mécanique une doctrine correspondante à celle 
qu'il avait si heureusement formée pour l'industrie géo- 
métrique, mais sans obtenir, pour ce cas, dont la difficulté 
est bien supérieure, aucun autre succès que celui d'indi- 
quer assez nettement la direction que doivent prendre les 
recherches de cette nature. 

Quelque essentielle que soit réellement la conception de 
la géométrie descriptive, il importe beaucoup de ne pas 
se méprendre sur la véritable destination qui lui est si 
expressément propre, comme l'ont fait, surtout dans les 
premiers temps de cette découverte, ceux qui y ont vu un 
moyen d'agrandir le domaine général et abstrait de la 
géométrie rationnelle. L'événement n'a nullement répondu 
depuis à ces espérances mal conçues. Et, en effet, n'est-il 
pas évident que la géométrie descriptive n'a de valeur 
spéciale que comme science d'application, comme consti- 
tuant la véritable théorie propre des arts géométriques? 
Considérée sous le rapport abstrait, elle ne saurait intro- 
duire aucun ordre vraiment distinct de spéculations 
géométriques. Il ne faut point perdre de vue que, pour 
qu'une question géométrique tombe dans le domaine 
propre de la géométrie descriptive, elle doit nécessaire- 
nient avoir toujours été résolue préalablement par la 
géométrie spéculative, dont ensuite, comme nous l'avons 
vu, les solutions ont constamment besoin d'être préparées 



GÉOMÉTRIE SPÉCIALE OU PRÉLIMINAIRE. iSOS 

pour la pratique de manière à suppléer aux constructions 
en relief par des constructions planes, substitution qui 
constitue réellement la seule fonction caractéristique de la 
géométrie descriptive. 

11 convient néanmoins de remarquer ici que, sous le 
rappport de Téducation intellectuelle, Tétude de la géomé- 
trie descriptive présente une importante propriété philoso- 
pbique> tout à fait indépendante de sa haute utilité indus- 
trielle. C'est l'avantage qu'elle offre si éminemment, eu 
habituant à considérer dans l'espace des systèmes géomé- 
triques quelquefois très-composés, et à suivre exactement 
leur correspondance continuelle avec les figures effective- 
ment tracées,d'exercerainsiauplus haut degré delà manière 
la plus sûre et la plus précise cette importante faculté de 
l'esprit humain qu'on appelle Vimagination proprement dite^ 
et qui consiste, dans son acception élémentaire et positive, 
à se représenter nettement, avec facilité, un vaste ensemble 
variable d'objets fictifs, comme s'ils étaient sous nos yeux. 

Enfin, pour achever d'indiquer la nature générale de la 
géométrie descriptive en déterminant son caractère logi- 
que^ nous devons observer que si, par le genre de ses solu- 
tions, elle appartient à la géométrie des anciens, d'un autre 
côté elle se rapproche de la géométrie des modernes par 
l'espèce des questions qui la composent. Ces questions 
sont, en effet, éminemment remarquables par cette géné- 
ralité que nous avons vue, dans la dernière leçon, consti- 
tuer le vrai caractère fondamental de la géométrie moderne ; 
les méthodes y sont toujours conçues comme applicables 
à des formes quelconques, les particularités propres à 
chaque forme n'y pouvant avoir qu'une influence purement 
secondaire. Les solutions y sont donc graphiques comme 
la plupart de celles des anciens, et générales comme celles 
desinodernes. 



804 MATHÉMATIQUES. 

Après celle imporlanle digression, dont le lecteur aura 
sans doute reconnu la nécessité, poursuivons l'examen 
philosophique de la géomélrie spéciale^ considérée tou- 
jours comme réduite à son moindre développement pos- 
sible, pour servir d'introduction indispensable à la géomé- 
lrie générale. Ayant sufflsamment envisagé la solution 
graphique du problème fondamental relatif à la ligne 
droite, c'est-à-dire de la détermination les uns par les 
autres des divers éléments d'une figure rectiligne quel- 
conque, nous devons maintenant en examiner d'une ma- 
nière générale la solution algébrique. 

Cette seconde solution, dont il est inutile ici d'apprécier 
expressément la supériorité évidente, appartient nécessai- 
rement, par la nature môme de la question, au système 
de la géométrie ancienne, quoique le procédé logique 
employé l'en fasse ordinairement séparer mal à propos. 
Nous avons lieu de vérifier ainsi, sous un rapport très- 
important, ce qui a été établi en général dans la leçon pré- 
cédente, que ce n'estpoint par l'emploi du calcul qu'on doit 
distinguer essentiellement la géométrie moderne de celle 
des anciens. Les anciens sont, en efi'et, les vrais inventeurs de 
la trigonomélrie actuelle, tant sphérique que rectiligne, qui 
seulement était beaucoup moins parfaite entre leurs mains, 
vu l'extrôme infériorité de leurs connaissances algébriques. 
C'est donc réellement dans cette leçon, et non, comme on 
pourrait le croire d'abord, dans celles que nous consacre- 
rons ensuite à l'examen philosophique de la géométrie 
générale, qu'il convient d'apprécier le caractère de cette 
importante théorie préliminaire, habituellement comprise 
à tort dans ce qu'on appelle la géométrie analytique, et qui 
n'est effectivement qu'un complément de la géométrie 
élémentaire proprement dite. 

Toutes les figures reclilignes pouvant être décomposées 



GÉOMÉTRIE SPÉCIALE OU PRÉLIMINAIRE. 805 

en triangles, il suffit évidemment de savoir déterminer les 
uns parles autres les divers éléments d'un triangle, ce qui 
réduit Ibl polygonométrie k la simple trigonométrie. 

Pour qu'une telle question puisse ôlre résolue algébri- 
quement, la difticulté consiste essentiellement à former 
entre les angles et les côtés d'un triangle trois équations 
distinctes, qui, une fois obtenues, réduiront évidemment 
tous les problèmes Irigonométriques à de pures recherches 
de calcul. En considérant de la manière la plus générale 
rétablissement de ces équations, on voit naître immédiate- 
ment une distinction fondamentale relativement au mode 
d'introduction des angles dans le calcul, suivant qu'on les 
y fera entrer directement par eux-mêmes ou par les arcs 
circulaires qui leur sont proportionnels, ou qu'au con- 
traire, on leur substituera certaines droites, comme, par 
exemple, les cordes de ces arcs qui leur sont inhérentes, 
et que, par cette raison, on appelle ordinairement leurs 
lignes trigonomélriqnes. De ces deux systèmes de trigono- 
métrie, le second a dû être, à l'origine, le seul adopté, 
comme étant le seul praticable^ puisque l'état de la géo- 
métrie permettait alurs de trouver assez aisément des rela- 
tions exactes entre les côtés des triangles et les lignes tri- 
gononnéiriques des angles, tandis qu'il eût été absolument 
impossible, à cette époque, d'établir des équations entre les 
côtés et les angles eux-mêmes. La solution pouvant aujour- 
d'hui être obtenue indifféremment dans l'un et dans l'autre 
système, ce motif de préférence ne subsiste plus. Mais les 
géomètres n'en ontpas moins dû persister à suivre parcboix 
le système primitivement admis par nécessité ; car, la même 
raison qui a permis ainsi d'obtenir les équations trigono- 
métriques avec beaucoup plus de facilité doit également, 
comme il est encore plus aisé de le concevoir d prion\ 
rendre ces équations bien plus simples, puisqu'elles existent 
A. Comte. Tome 1. tO 



^ • 



806 MATHÉMATIQUES. 

alors seulement entre des lignes droites, au lieu d'être 
établies entre des lignes droites et des arcs de cercle. Une 
telle considération a d'autant plus d'importance qu'il s'agit 
là de formules éminemment élémentaires, destinées à être 
continuellement employées dans toutes les parties de la 
science mathématique aussi bien que dans toutes ses di- 
verses applications. 

On peut objecter, il est vrai, que, lorsqu'un angle est 
donné, c'est toujours en effet par lui-môme et non par sa 
ligne trigonométrique ; et que, lorsqu'il est inconnu, c'est 
sa valeur angulaire qu'il s'agit proprement de déterminer, 
et non celle d'aucune de ses lignes trigonométriques. Il 
semble, d'après cela, que de telles lignes ne sont entre les 
côtés et les angles qu'un intermédiaire inutile, qui doit 
être finalement éliminé, et dont l'introduction ne parait 
point susceptible de simplifier la recherche qu'on se pro- 
pose. Il importe, en effet, d'expliquer avec plus de généra- 
lité et de précision qu'on ne le fait d'ordinaire l'immense 
utilité réelle de cette manière de procéder. Elle consiste 
en ce que l'introduction de ces grandeurs auxiliaires par- 
tage la question totale de la trigonométrie en deux autres 
essentiellement distinctes, dont l'une a pour objet de pas- 
ser des angles à leurs lignes trigonométriques ou récipro- 
quement, et dont l'autre se propose de déterminer les côtés 
des triangles parles lignes trigonométriques de leurs angles 
ou réciproquement. Or la première de ces deux questions 
fondamentales est évidemment susceptible, par sa nature» 
d'être entièrement traitée et réduite en tables numériques 
une fois pour toutes, en considérant tous les angles pos- 
sibles, puisqu'elle ne dépend que de ces angles, et nulle- 
ment des triangles particuliers où ils peuvent entrer dans 
chaque cas; tandis que la solution de la seconde question 
doit nécessairement être renouvelée, du moins sous le rap- 



• 



GÉOMÉTRIE SPÉCIALE OU PRÉLIMINAIRE. $07 

pori arithmétique, à chaque nouveau triangle qu'il faut ré- 
soudre. C'est pourquoi la première portion du travail total, 
qui serait précisément la plus pénible, n'est plus comptée 
ordinairement, étant toujours faite d'avance; tandis que, si 
ane telle décomposition n'avait point été instituée, on se 
serait trouvé évidemment dans l'obligation de recommen- 
cer dans chaque cas particulier le calcul tout entier. Telle 
est la propriété essentielle du système trigonomélrique 
adoptée, qui, en effet, ne présenterait réellement aucun 
avantage effectif si, pour chaque angle à considérer, il 
fallait calculer continuellement sa ligne trigonomélrique 
ou réciproquement : l'intermédiaire serait alors plus gê- 
nant que commode. 

Afin de comprendre nettement la vraie nature de cette 
conception, il sera utile de la comparer à une conception 
encore plus importante, destinée à produire un effet analo- 
gue, soit sous le rapport algébrique, soit surtout sous le rap- 
port arithmétique, l'admirable théorie des logarithmes. En 
examinant d'une manière philosophique l'influence de cette 
théorie, on voit, en effet, que son résultat général est d'a- 
voir décomposé toutes les opérations arithmétiques ima- 
ginables en deux parties distinctes, dont la première, qui 
est la plus compliquée, est susceptible d'être exécutée à 
J'avance une fois pour toutes, comme ne dépendant que 
des nombres à considérer et nullement des diverses com- 
binaisons quelconques dans lesquelles ils peuvent entrer, et 
qui consiste à se représenter tous les nombres comme des 
puissances assignables d'un nombre constant; la seconde 
partie du calcul, qui doit nécessairement être recommencée 
pour chaque formule nouvelle à évaluer, étant dès lors ré- 
duite à exécuter sur ces exposants des opérations corréla- 
tives infiniment plus simples. Je me borne à indiquer ce 
rapprochement, que chacun peut aisément développer. 



808 MATH ÉM ATIQUES . 

Nous devons de plus observer comme une propriété, 
secondaire aujourd'hui, mais capitale à Porigine, du sys- 
tème trigonométrique adopté, la circonstance très-remar- 
quable que la détermination des angles par leurs lignes 
trigonométriques ou réciproquement est susceptible d'une 
solution arithmétique, la seule qui soil directement indis- 
pensable pour la destination propre de la trigonométrie, 
sans avoir préalablement résolu la question algébrique 
correspondante. C'est sans doute è une telle particularité 
que les anciens ont dû de pouvoir connaître la trigono- 
métrie. La recherche ainsi conçue a été d'autant plus 
facile que, les anciens ayant pris naturellement la corde 
pour ligne trigonométrique, les tables se trouvaient avoir 
été d'avance construites en partie pour un tout autre motif, 
en vertu du travail d'Archimède sur la recliûcntion da 
cercle, d'où résultait la détermination eflective d'une cer- 
taine suite de cordes, en sorte que, lorsque plus tard Hip- 
parque eut invente la trigonométrie, il put se bornera com- 
pléter celte opération par des intercalations convenables, 
ce qui marque nettement la filiation des idées à cet égard. 

Afin d'esquisser entièrement cet aperçu philoso|/hique 
de la trigonométrie, il convient d'observer maintenant que 
l'extension du même motif qui conduit à remplacer les 
angles ou les arcs de cercle par des lignes droites, dans la 
vue de simplifier les équations, doit aussi porter à em- 
ployer concurremment plusieurs lignes trigonométriques, 
au lieu de se borner à une seule, comme le faisaient les 
anciens, pour perfectionner ce système en choisissant celle 
qui sera algébriquement la plus convenable en telle ou 
telle occasion. Sous ce rapport, il est clair que le nombre 
de ces lignes n'e^t par lui-même nullement limité ; pourvu 
qu'elles soient déterminées d'après l'arc, et que récipro- 
quement elles le déterminent, suivant quelque loi qu'elles 



GBOMkiTRIE SPÉCIALE OU PHjLl1311NAIRË. 809 

en dérivent d'ailleurs, elles sont aptes à lui être substituées 
dans les équations. En se bornant aux conslniclions les 
plus simples, les Arabes et les modernes ensuite ont suc- 
cessivement porté à quatre ou à cinq le nombre des lignes 
trigonométriques directes^ qui pourrait être étendu bien 
davantage. Mais, au lieu de recourir à des formations géo- 
métriques qui finiraient par devenir très-compliquées, on 
conçoit avec une extrême facilité autant de nouvelles lignes 
trigonométriques que peuvent l'exiger les transformations 
analytiques, au moyen d'un artifice remarquable, qui n'est 
pas ordinairement saisi d'une manière assez générale. Il 
consiste, sans multiplier immédiatement les lignes trigo- 
nométriques propres à chaque arc considéré, à en intro- 
duire de nouvelles en regardant cet arc comme déterminé 
indirectement par toutes les lignes relatives à un arc qui 
soit une fonction très-simple du premier. C'est ainsi, par 
exemple, que souvent, pour calculer un angle avec plus de 
facilité, on déterminera, au lieu de son sinus, le sinus de 
sa moitié ou de son double, etc. Une telle création de 
lignes trigonométriques indirectes est évidemment bien plus 
féconde que tous les procédés géométriques immédiats 
pour en obtenir de nouvelles. On peut dire^ d'après cela, 
que le nombre des lignes trigonométriques effectivement 
employées aujourd'hui par les géomètres est réellement 
indéfini, puisqu'à chaque instant, pour ainsi dire, les 
transformations analytiques peuvent conduire à Taugmen- 
ler par le procédé que je viens d'indiquer. Seulement, on 
n'a donné jusqu'ici de noms spéciaux qu'à celles de ces 
lignes indirectes qui se rapportent au complément de l'arc 
primitif, les autres ne revenant pas assez fréquemment 
pour nécessiter de semblables dénominations, ce qui a 
fait communément méconnaître la véritable étendue du 
système trigonométrique. 



310 MATHÉMATIQUES. 

Cette muUipIicité des lignes irigonométriques fait naître 
évidemment, dans la trigonométrie^ une troisième ques- 
tion fondamentale, l'étude des relations qui existent entre 
ces diverses lignes; puisque, sans une telle connaissance, 
on ne pourrait point utiliser, pour les besoins analytiques, 
cette variété de grandeurs auxiliaires, qui n'a pourtant 
pas d'autre destination. Il est clair, en outre, d'après la 
considération indiquée tout à Theure, que cette partie es- 
sentielle de la trigonométrie, quoique simplement prépa- 
ratoire, est, par sa nature, susceptible d'une extension 
indéûnie quand on l'envisage dans son entière généralité, 
tandis que les deux autres sont nécessairement circon- 
scrites dans un cadre rigoureusement défini. 

Je n'ai pas besoin d'ajouter expressément que ces trois 
parties principales de la trigonométrie doivent être étu- 
diées dans un ordre précisément inverse de celui suivant 
lequel nous les avons vues dériver nécessairement de la 
nature générale du sujet, car la troisième est visiblement 
indépendante des deux autres, et la seconde de celle qui 
s'est présentée la première, la résolution des triangles pro- 
prement dite, qui doit, pour cette raison, être traitée en 
dernier lieu, ce qui rendait d'autant plus importante la 
considération de la filiation naturelle. 

Il était inutile d'envisager ici distinctement la trigono- 
métrie sphérique, qui ne peut donner lieu à aucune consi- 
dération philosophique spéciale, puisque, quelque essen- 
tielle qu'elle soit par Timportance et la multiplicité de ses 
usages, on ne peut plus la traiter aujourd'hui, dans son 
ensemble, que comme une simple application de la trigo- 
nométrie rectiligne, qui fournit immédiatement ses équa- 
tions fondamentales, en substituant au triangle sphérique 
Tangle trièdre correspondant. 

J^ai cru devoir indiquer cette exposition sommaire de la 



GÉOMÉTRIE SPÉCIALE OU PRÉLIMINAIRE. SU 

philosophie trigonométrique, qui pourrait d'ailleurs don- 
ner lieu à beaucoup d'autres considérations intéressantes, 
afin de rendre sensibles, par un exemple important, cet 
enchaînement rigoureux et cette ramification successive 
que présentent les questions les plus simples en apparence 
de la géométrie élémentaire. 

Ayant ainsi suffisamment considéré pour le but de cet 
ooTrage le caractère propre de la géométrie spéciale^ réduite 
à sa seule destination dogmatique, de fournir à la géomé- 
trie générale une base préliminaire indispensable, nous de- 
vons désormais porter toute notre attention sur la véritable 
science géométrique, envisagée dans son ensemble de la 
manière la plus rationnelle. Il faut d'abord, à cet effet, 
soigneusement examiner la grande idée mère de Descartes, 
sar laquelle elle est entièrement fondée, ce qui fera l'objet 
de la leçon suivante. 




DOUZIÈME LEÇON 

Sommaire. — Conception fondamentale de la géométrie générale 

ou analytique. 



La géométrie générale étant entièrement fondée sur la 
transformation des considérations géométriques en consi- 
dérations analytiques équivalentes, nous devons d'abord 
examiner directement et d'une manière approfondie la 
belle conception d'après laquelle Descartes a établi uni- 
formément la possibilité constante d'une telle corrélation. 
Outre son extrême importance propre, comme moyen de 
perfectionner éminemment la science géométrique, ou 
plutôt de la constituer dans son ensemble sur des bases 
rationnelles, Tétude philosophique de cette admirable 
conception doit avoir à nos yeux un intérêt d'autant plus 
élevé, qu'elle caractérise avec une parfaite évidence l.i 
méthode générale à employer pour organiser les relations 
de Tabstrait au concret en mathématique, par la repré- 
sentation analytique des phénomènes naturels. Il n'y a 
point, dans la philosophie mathématique, de pensée qui 
mérite davantage de ûxer toute notre attention. 

Afin de parvenir à exprimer par de simples relations 
analytiques tous les divers phénomènes géométriques que 
l'on peut imaginer, il faut évidemment établir d'abord un 
mode général pour représenter analyliquement les sujets 
mêmes dans lesquels ces phénomènes résident, c'est-à-dire 
les lignes ou les surfaces à considérer. Le sujet étant ainsi 



GÉOMÉTRIE GENERALE OU ANALYTIQUE. SIS 

habituellement envisagé sous un point de vue purement 
analytique, on comprend que dès lors il a été possible de 
concevoir de la môme manière les accidents quelconques 
dont il est susceptible. 

Pour organiser la représentation des formes géométri- 
ques par des équations analytiques, on doit surmonter 
préalablement une difliculté fondamentale, celle de réduire 
i des idées simplement numériques les éléments généraux 
des diverses notions géométriques; en un mot, de substi- 
tuer, en géométrie, de pures considérations de quantité à 
toutes les considérations de qualité, 

A cet effet, remarquons d'abord que toutes les idées 
géométriques se rapportent nécessairement à ces trois 
catégories universelles : la grandeur, la forme et la posi- 
tion des étendues à considérer. Quant à la première, il n'y a 
éfidemment aucune difficulté ; elle rentre immédiatement 
dans les idées de nombres. Pour la seconde, il faut remar- 
quer qu'elle est toujours réductible par sa nature à la 
troisième. Car la forme d'un corps résuite évidemment de 
la position mutuelle des diCTérenls points dont il est com- 
posé, en sorte que l'idée de position comprend nécessai- 
rement celle de forme, et que toute circonstance de forme 
peut être traduite par une circonstance de position. C'est 
ainsi, en effet, que l'esprit humain a procédé pour parvenir 
à la représentation analytique des formes géométriques, 
la conception n'étant directement relative qu'aux posi- 
tions. Toute la dilGculté élémentaire se réduit donc pro- 
prement à ramener les idées quelconques de situation à 
des idées de grandeur. Telle est la destination immédiate 
de la conception préliminaire sur laquelle Descaries a 
établi le système général de la géométrie analytique. 

Son travail philosophique a simplement consisté, sous 
ce rapport, dans l'entière généralisation d'un procédé 



Zih MATHÉMATIQUES. 

élémentaire qu'on peut regarder comme naturel à l'esprit 
humain, puisqu'il se forme pour ainsi dire spontanément 
chez toutes les intelligences, môme les plus vulgaires. En 
effet, quand il s'agit d'indiquer la situation d'un objet sans 
le montrer immédiatement, le moyen que nous adoptons 
toujours, et le seul évidemment qui puisse être employé, 
consiste à rapporter cet objet à d'autres qui soient con- 
nus, en assignant la grandeur des éléments géométriques 
quelconques, par lesquels on le conçoit lié à ceux-ci (1). 
Ces éléments constituent ce que Descartes, et d'après lui 
tous les géomètres, ont appelé les coordonnées de chaque 
point considéré; qui sont nécessairement au nombre de 
deux si Ton sait d'avance dans quel plan le point est situé, 
et au nombre de trois s'il peut se trouver indifféremment 
dans une région quelconque de l'espace. Autant de con- 
strurtions différentes on peut imaginer pour déterminer la 
position d'un point, soit sur un plan, soit dans l'espace, 
autant on conçoit de systèmes de coordonnées distincts, 
qui sont susceptibles, par conséquent, d'être multipliés 
à l'infini. Mais, quel que soit le système adopté, on aura 
toujours ramené les idées de situation à de simples idées 
de grandeur, en sorte que l'on se représentera le déplace- 
ment d'un point comme produit par de pures variations 
numériques dans les valeurs de ses coordonnées. Pour ne 
considérer d'abord que le cas le moins compliqué, celui 
de la géométrie plane, c'est ainsi qu'on détermine le plus 
souvent la position d'un point sur un plan, par ses dis- 
tances plus ou moins grandes à deuï droites fixes sup- 
posées connues, qu'on nomme axes, et qu'on suppose ordi- 
nairement perpendiculaires entre elles. Ce système est le 

(I) C'est ainsi, par exemple, que nous déterminons habituellement la 
position des lieux sur la terre par leurs distances plus ou moins grandes 
à Téquateur et à un premier méridien. 



GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE OU ANALYTIQUE. 315 

« 

plas adopté, à cause de sa simplicité ; mais les géomètres 
en emploient quelquefois encore une infinité d'autres. 
Ainsi, la position d'un point sur un plan peut être déter- 
minée par ses distances à deux points fixes, ou par sa 
distance à un seul point fixe, et la direction de cette dis- 
tance, estimée par l'angle plus ou moins grand qu'elle fait 
avec une droite fixe, ce qui constitue le système des coor- 
données dites polaires, le plus usité après celui dont nous 
afons parlé d'abord ; ou par les angles que forment les 
droites allant du point variable à deux points fixes avec la 
droite qui joint ces derniers; ou par les distances de ce 
point à une droite fixe et à un point fixe, etc. En un mot, 
il n'y a pns de figure géométrique quelconque d'où l'on ne 
poisse déduire un certain système de coordonnées, plus ou 
moins susceptible d'être employé. 

Une observation générale qu'il importe de faire à cet 
^rd, c'est que tout système de coordonnées revient à 
déterminer un point, dans la géométrie plane, par Tinter- 
section de deux lignes, dont chacune est assujettie à cer- 
taines conditions fixes de détermination ; une seule de ces 
conditions restant variable, et tantôt Tune, tantôt une au- 
tre, selon le système considéré. On ne saurait, en effet, 
concevoir d'autre moyen de construire un point que de le 
marquer par la rencontre de deux lignes quelconques. 
Ainsi, dans le système le plus fréquent, celui des coordon- 
nêe$ rectUignes proprement dites, le point est déterminé 
par l'intersection de deux droites, dont chacune reste 
constamment parallèle à un axe fixe, en s'en éloignant plus 
on moins ; dans le système polaire^ c'est la rencontre d'un 
cercle de rayon variable et dont le centre est fixe, avec 
ane droite mobile assujettie à tourner autour de ce centre, 
qoi marque la position du point; en choisissant d'autres 
systèmes, le point pourrait être désigné par l'intersection 



816 MATaKMATlQOES. 

é 

de deux cercles, ou de deux autres lignes queIcoD(iaes, etc. 
Eq uq mot, assigne» la valeur d'une des coordonnées d'un 
point dans quelque systènr)e que ce puisse être, c'est tou- 
jours nécessairenaent déterminer une certaine ligne sur 
laquelle ce point doit être situé. Les géomètres de l'anti- 
quité avaient déjà fait celte remarque essentielle, qui ser- 
vait de base à leur méthode des lieux géométriques^ dont 
ils faisaient un si heureux usage pour diriger leurs recher- 
ches dans la résolution des problèmes de géométrie déter- 
minés^ en appréciant isolément l'influence de chacune des 
deux conditions par lesquelles était déflni chaque point 
constituant l'objet, direct ou indirect, de la question pro- 
posée : c'est précisément cette méthode dont la systéma- 
tisation générale a été pour Descartes le motif immédiat 
des travaux qui l'ont conduit à fonder la géométrie analy- 
tique. 

Après avoir nettement établi cette conception prélimi- 
naire, en vertu de laquelle les idées de position, et, par 
suite implicitement, toutes les notions géométriques élé- 
mentaires, sont réductibles à de simples considérations 
numériques, il est aisé de concevoir directement, dans son 
entière généralité, la grande idée mère de Descartes, re- 
lative à la représentation analytique des formes géométri- 
ques, ce qui constitue l'objet propre de cette leçon. Je 
continuerai à ne considérer d'abord, pour plus de facilité, 
que la géométrie à deux dimensions, la seule que Des- 
cartes ait traitée, devant ensuite examiner séparément sous 
le même point de vue ce qui est propre à la théorie des 
surfaces ou des courbes à double courbure. 

D'après la manière d'exprimer analytiquement la posi- 
tion d'un point sur un plan, on peut aisément établir que, 
par quelque propriété qu'une ligne quelconque puisse être 
définie, cette définition est toujours susceptible d'être 



GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE 00 ANALYTIQUE. 817 

remplacée par une équalion correspoE^lànte entre les deux 
coordonnées variables du point qui décrit celle ligne, 
équation qui sera dès lors la représentation analytique de 
la ligne proposée, dont tout phénomène devra se tniduire 
par une cerlaine niodincation algébrique de son équalion. 
Si l'on suppose, en effet, qu'un poinl se meuve sur un plan 
sans que son cours soit déterminé en aucune manière, on 
devra évidemment regarder ses deux coordonnées, dans 
quelque système que ce soit, comme deux variables en- 
tièrement indépendantes Tune de l'autre. Mais si, au con- 
traire, ce poinl est assujetti à décrire une certaine ligne 
quelconque, il faudra nécessairement concevoir que ses 
coordonnées conservent entre elles, dans toutes les posi- 
tions qu'il peut prendre, une certaine relation permanente 
et précise, susceptible, par conséquent, d'ôtre exprimée 
par une équation convenable, qui* deviendra la définition 
analytique très-nette et très-rigoureuse de la ligne consi- 
dérée, puisqu'elle exprimera une propriété algébrique 
exclusivement relative aux coordonnées de tous les points 
de cette ligne. 11 est clair, en effet, que, lorsqu'un point 
n'est soumis à aucune condition, sa biluation n'est déter- 
minée qu'autant qu'on donne à la fois ses deux coordon- 
nées, distinctement l'une de l'autre; tandis que, quand le 
point doit se trouver sur une ligne déûnie, une seule coor- 
donnée suffit pour fixer entièrement sa position. La se- 
conde coordonnée est donc alors une fonction déterminée 
de la première, ou, en d'autres termes, il doit exister entre 
elles une certaine équalion^ d'une nature correspondante 
à celle de la ligne sur laquelle le point est assujetti à res- 
ter. En un mol, chacune des coordonnées d'un point l'o- 
bligeant à être situé sur une certaine ligne, on conçoit ré- 
ciproquement que lu condition, de la pari d'un point, de 
devoir appartenir à une ligne définie d'une manière quel- 




tl8 MATHEMATIQUES. 

conque, équivaut à assigner la valeur de l'une des deux 
coordonnées, qui se trouve^ dans ce cas, ôlre enlièrement 
dépendante de l'autre. La relation analytique qui exprime 
cette dépendance peut être plus ou moins difficile à dé- 
couvrir; mais on doit évidemment en concevoir toujours 
l'existence, même dans les cas oix nos moyens actuels se- 
raient insuffisants pour la faire connaître. C'est par celte 
simple considération que, indépendamment des vérifica- 
tions particulières sur lesquelles est ordinairement établie 
cette conception foudamenlaie à l'occasion de telle ou 
telle définition de ligne, on peut démontrer, d'une ma- 
nière entièrement générale, la nécessité de la représenta- 
tion analytique des lignes par les équations. 

En reprenant en sens inverse les mômes réflexions, on 
mettrait aussi facilement en évidence la nécessité géomé- 
trique de la représentation de toute équation à deux va- 
riables, dans un système déterminé de coordonnées, par 
une certaine ligne, dont une telle relation serait, à défaut 
d'aucune autre propriété connue, une définition très-ca- 
ractéristique, et qui aura pour destination scientifique de 
fixer immédiatement l'attention sur la marche générale 
des solutions de l'équation, qui se trouvera ainsi notée de 
la manière la plus sensible et la plus simple. Cette pein- 
ture des équations est un des avantages fondamentaux les 
plus importants de la géométrie analytique, qui a par là 
réagi nu plus haut degré sur le perfectionnement général 
de l'analyse elle-même, non-seulement en assignant aux 
recherches purement abstraites un but nettement déter- 
miné et une carrière inépuisable, mais, sous un rapport 
encore plus direct, en fournissant un nouveau moyen phi- 
losophique de méditation analytique, qui ne pourrait être 
remplacé par aucun autre. En efi^et, la discussion purement 
algébrique d'une équation en fait sans doute connaître les 



GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE OU ANALYTIOLR. 819 

solutions de la manière la plus précise, mais en les consi- 
dérant seulement une à une, de telle sorte que; par cette 
voie, leur marche générale ne saurait être conçue qu'en 
résultat définitif d'une longue et pénible suite de compa- 
raisons numériques, après laquelle l'activité intellectuelle 
doit ordinairement se trouver émoussée. Au contraire, le 
lieu géométrique de l'équation, étant uniquement destiné 
à représenter distinctement et avec une netteté parfaite le 
résumé de cet ensemble de comparaisons, permet de le 
considérer directement en faisant complètement abstrac- 
tion des détails qui l'ont fourni, et par là peut indiquer à 
notre esprit des vues analytiques générales auxquelles nous 
serions difficilement parvenus de toute autre manière, 
Êiute d'un moyen de caractériser clairement leur objet. Il 
est évident, par exemple, que la simple inspection de la 
courbe logarithmique ou de la courbe ^ = sin o^ fait con- 
naître d'une manière bien plus distincte le mode général 
de variations des logarithmes par rapport aux nombres 
ou des sinus par rapport aux arcs, que ne pourrait le 
permettre l'étude la plus attentive d'une table de loga- 
rithmes ou d'une table trigonométrique. On sait que ce 
procédé est devenu aujourd'hui entièrement élémentaire. 
et qu'on l'emploie toutes les fois qu'il s'agit de saisir nette- 
ment le caractère général de la loi qui règne dans une suite 
d'observations précises d'un genre quelconque. 

Revenant à la représentation des lignes par les équa- 
tions, qui est notre objet principal, nous voyons que celte 
représentation est, par sa nature, tellement iidèle, que la 
ligne ne saurait éprouver aucune modification, quelque 
légère qu'elle soit, sans déterminer dans l'équation un 
changement correspondant. Cette comi)lète exactitude 
donne même lieu souvent à des difficultés spéciales, en ce 
que, dans notre système de géométrie analytique^ les 




8S0 MATUEMATIQUES. 

simples déplacemenls des lignes se faisant aussi bien res- 
sentir dan^ les équations que les variations réelles de 
grandeur ou de forme, on pourrait être exposé à confondre 
analytiquement les uns avec les autres, si les géomètres 
n'avaient pas découvert une méthode ingénieuse expressé- 
ment destinée à les distinguer constamment. Cette mé- 
thode est fondée sur ce que, bien qu'il soit impossible de 
changer analytiquement à volonté la position d'une ligne 
par rapport aux axes des coordonnées, on peut changer 
d'une manière quelconque la situation des axes eux- 
mêmes, ce qui est évidemment équivalent ; dès lors, à 
l'aide des formules générales très-simples par lesquelles 
on opère cette transformation d'axes, il devient aisé de re- 
connaître si deux équations différenles ne sont que l'expres- 
sion analytique d'une môme ligne diversement située, ou 
se rapportent à des lieux géométriques vraiment dibtincts, 
puisque, dans le premier cas, l'une d'elles doit rentrer 
dans l'autre en changeant convenablement les axes ou les 
autres constantes du système de coordonnées considéré. 
Du reste, il faut remarquer à ce sujet que les inconvénients 
généraux de cette naiure paraissent, en géométrie ana- 
lytique, devoir être strictement inévitables; puisque les 
idées de position étant, comme nous l'avons vu^ les seules 
idées géométriques immédiatement réductibles à des con- 
sidérations numériques, et les notions de forme ne pou- 
vant y être ramenées qu'en voyant en elles des rapports de 
situation, il est impossible que l'analyse ne confonde point 
d'aliord les phénomènes de forme avec de simples phéno- 
mènes de position, les seuls que les équations expriment 
directement. 

Pour compléter l'explication philosophique de la con- 
ception fondamentale qui sert de base à la géométrie ana- 
lytique, je crois devoir indiquer ici une nouvelle considé- 



GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE OU ANALYTIQUE. Sti 

ration générale, qui me semble particulièrement propre à 
mettre dans tout son jour celte représentation nécessaire 
des lignes par des équations à deux variables. Elle consiste 
en ce que non-seulement, ainsi que nous l'avons établi, 
toute ligne définie doit nécessairement donner lieu à une 
certaine équation entre les deux coordonnées de l'un quel- 
conque de ses points ; mais, de plus, toute définition de 
ligne peut être envisagée comme étant déjà elle-même une 
6quation de cette ligne dans un système de coordonnées 
convenable. 

Il est aisé d'établir ce principe, en faisant d'abord une 
distinction logique préliminaire relativement aux diverses 
sortes de définition. La condition rigoureusement indis- 
pensable de toute définition, c'est de distinguer l'objet 
défini d'avec tout autre, en assignant une propriété qui lui 
appartienne exclusivement. Mais ce but peut être atteint, 
en général, de deux manières très-difi'érentes : ou par une 
définition simplement caractéristique y c'est-à-dire indi- 
quant une propriété qui, quoique vraiment exclusive, ne 
bit pas connaître la génération de l'objet; ou par une dé- 
finition réellement explicative, c'est-à-dire caractérisant 
l'objet par une propriété qui exprime un de ses modes de 
génération. Par exemple, en considérant le cercle comme 
la ligne qui, sous le même contour, renferme la plus 
grande aire, on a évidemment une définition du premier 
genre; tandis qu'en choisissant la propriété d'avoir tous 
ses points à égale distance d'un point fixe, ou toute autre 
semblable, on a une définition du second genre. 11 est, du 
reste, évident, en thèse générale, que, quand même un 
objet quelconque ne serait d'abord connu que par une dé- 
finition caractéristique^ on ne devrait pas moins l'envisager 
comme susceptible de définitions explicatives^ que ferait 
nécessairement découvrir l'étude ultérieure de cet objet 

A. GoHTi. Tome L ti 



322 MATHÉMATIQUES. 

Cela posé, il est clair que ce n'est point aux déOnitions 
simplennent caractéristiques que peut s'appliquer Tobserra- 
(ion générale annoncée ci-dessus, qui représente toute dé- 
finition de ligne comme étant nécessairement une équation 
de celte ligne dans un certain système de coordonnées. On 
ne peut l'entendre que des définitions vraiment explicatives. 
Mais, en ne considérant que celle-ci, le principe est aisé à 
constater. En effet, il est évidemment impossible de définir 
la génération d'une ligne, sans spécifier une certaine re- 
lation entre les deux mouvements simples, de translation 
ou de rotation, dans lesquels se décomposera à chaque 
instant le mouvement du point qui la décrit. Or, en se for- 
mant la notion la plus générale de ce que c'est qu'un 
système des coordonnées, et admettant tous les systèmes pos- 
sibles, il est clair qu'une telle relation ne sera autre chose 
que Véquation de la ligne proposée, dans un système de 
coordonnées d'une nature correspondante à celle du mode 
de génération considérée. Ainsi, par exemple, la définition 
vulgaire du cercle peut évidemment être envisagée comme 
étant immédiatement Véqtiation polaire de cette courbe, en 
prenant pour pôle le centre du cercler de môme, la défi- 
nition élémentaire de l'ellipse ou de l'hyperbole, comme 
étant la courbe engendrée par un point qui se meut dételle 
manière, que la somme ou la différence de ses distances à 
deux points fixes demeure constante, donne sur-le-champ, 
pour l'une ou l'autre courbe, Téquation y-{-x=^c,en pre- 
nant pour système de coordonnées celui dans lequel on 
déterminerait la position d'un point par ses distances à 
deux points fixes, et choisissant pour ces pôles les deux 
foyers donnés ; pareillement encore, la définition ordinaire 
de la cyclolde quelconque fournirait directement, pour 
cette courbe, l'équation y = mx, en adoptant comme coor- 
données de chaque point l'arc plus ou moins grand qu'il 



GÉOKÉTRIB GÉNÉRAU OU ANALYTIQUE. 81 1 

marque sur un cercle de rayon inTariable à partir du point 
de contact de ce cercle avec une droite fixe, et la dislance 
rectiligne de ce point de contact à une certaine origine 
prise sur cette droite. On peut faire des vérificalions ana- 
logues et aussi faciles relativement aux déûnitions habi- 
tuelles des spirales, des épicycloîdes, etc. On trouvera 
constamment qu'il existe un certain système de coor- 
données, dans lequel on obtient immédiatement une équa- 
tion très-simple de la ligne proposée, en se bornant à 
écrire algébriquement la condition imposée par le mode 
de génération que l'on considère. 

Outre son importance directe, comme moyen de rendre 
parfaitement sensible la rpprésentation nécessaire de toute 
ligne par une équation, la considération précédente me 
parait pouvoir offrir une véritable utilité scienliflque, en 
caractérisant avec exactitude la principale difficulté géné- 
rale qu'on rencontre dans l'établissement effectif de ces 
équations, et, par conséquent, en fournissant une indica- 
tion intéressante relativement à la marche à suivre dans les 
recherches de ce genre, qui, par leur nature, ne sauraient 
comporter des règles complètes et invariables. En effet, si 
une définition quelconque de ligne, du moins parmi celles 
qui indiquent un mode de génération, fournit directement 
l'équation de cette ligne dans un certain système de coor- 
données, ou, pour mieuxdire, constitue par elle-même cette 
équation, il s'ensuit que la difficulté qu'on éprouve sou- 
vent à découvrir l'équation d'une courbe, d'après telle ou 
telle de ses propriétés caractéristiques, difficulté, qui quel- 
quefois est très-grande, ne doit provenir essentiellement 
que de la condition qu'on s'impose ordinairement d'expri- 
mer analytiquement cette courbe à l'aide d'un système de 
coordonnées désigné, au lieu d'admettre indifféremment 
tous les systèmes possibles. Ces divers systèmes ne peuvent 



8S4 MATHÉMATIQUES. 

pas être regardés, en géométrie analytique, comme étant 
tous également convenables; pour différents motifs, dont 
les plus importants vont être discutés ci-dessous, les géo- 
mètres croient devoir presque toujours rapporter, autant 
que possible, les courbes à des coordonnées rectilignes 
proprement dites. Or on conçoit, d'après ce qui précède, 
que souvent ces coordonnées uniques ne seront pas celles 
relativement auxquelles Téquation de la courbe se trouve- 
rait immédiatement établie par la définition proposée. La 
principale difficulté que présente la formation de l'équa- 
tion d'une ligne consiste donc réellement, en général, dans 
une certaine transformation de coordonnées. Sans doute, 
cette considération n'assujettit point l'établissement de ces 
équations à une véritable méthode générale complète, dont 
le succès soit toujours assuré nécessairement^ ce qui, par 
la nature môme du sujet, est évidemment chimérique; 
mais une telle vue peut nous éclairer utilement à cet égard 
sur la marche qu'il convient d'adopter pour parvenir au but 
proposé. Ainsi, après avoir d'abord formé l'équation pré- 
paratoire qui dérive spontanément de la définition que Ton 
considère, il faudra, pour obtenir l'équation relative au 
système de coordonnées qui doit être admis définitivement, 
chercher à exprimer en fonction de ces dernières coor- 
données celles qui correspondent naturellement au mode 
de génération dont il s'agit. C'est sur ce dernier travail 
qu'il est évidemment impossible de donner des préceptes 
invariables et précis. On peut dire seulement qu'on aura 
d'autant plus de ressources à cet égard, qu'on saura plus 
de véritable géométrie analytique, c'est-à-dire qu'on con- 
naîtra l'expression algébrique d'un plus grand noaihre 
de phénomènes géométriques différents. 

Pour compléter l'exposition philosophique de la concep- 
tion qui sert de base à la géométrie analytique, il me reste 



GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE OU ANALYTIQUE. tl5 

à indiquer les considérations relatives au choix du système 
de coordonnées qui est, en général, le plus convenable, ce 
qui fournira l'explication rationnelle de la préférence una- 
nimement accordée au système rectiligne ordinaire, préfé- 
rence qui a été plutôt jusqu'ici TeiTet d'un sentiment empi- 
rique de la supériorité de ce système que le résultat exact 
d'une analyse directe et approfondie.' 

Afin de décider nettement entre tous les divers systèmes 
de coordonnées, il est indispensable de distinguer avec 
soin les deux points de vue généraux, inverses l'un de l'au- 
tre, propres à la géométrie analytique, savoir : la relation 
de l'algèbre à la géométrie, fondée sur la représentation des 
lignes par les équations; et réciproquement la relation delà 
géométrie à l'algèbre fondée sur la peinture des équations 
par les lignes. 

Il est évident que, dans toute recherche quelconque de 
géomélrfe générale, ces deux points de vue fondamentaux 
se trouvent nécessairement combinés sans cesse, puisqu'il 
s'agit toujours de passer alternativement, et à' des inter- 
valles pour ainsi dire insensibles, des considérations géo- 
métriques aux considérations analytiques, et des considé- 
rations analytiques aux considérations géométriques. Mais 
la nécessité de les séparer ici momentanément n'en est pas 
moins réelle ; car la réponse à la question de méthode que 
nous examinons est, en effet, comme nous allons le voir, 
fort loin de pouvoir être la môme sous l'un et sous l'autre 
de ces deux rapports, en sorte que sans cette distinction 
on ne saurait s'en former aucune idée nette. 

Sous le premier point de vue, rigoureusement isolé, le 
seul motif qui puisse faire préférer un système de coordon- 
nées à un autre ne peut être que la plus grande simplicité 
de l'équation de chaque ligne, et la facilité plus grande d'y 
parvenir. Or il est aisé de voir qu'il n'existe et n^ doit 




8f6 MATHÉMATIQUES. 

exister aucun système de coordonnées méritant à cet égard 
une préférence constante sur tous les autres. En effet, 
nous avons remarqué ci-dessus que, pour chaque définition 
géométrique proposée^ on peut concevoir un système de 
coordonnées dans lequel l'équation de la ligne s'obtient im- 
médiatement et se trouve nécessairement être en même 
temps fort simple : de plus, ce système varie inévitablement 
avec la nature de la propriété cnractérislique que l'on con- 
sidère. Ainsi, le système rectiligne ne saurait être, en ce 
sens, constamment le plus avantageux, quoiqu'il soit sou- 
vent très-favorable ; il n'en est probablement pas un seul 
qui, dans certains cas particuliers, ne doive à cet égard lui 
être préféré, aussi bien qu'à tout autre système. 

H n'en est, au contraire, nullement de même sous le 
second point de vue. On peut, en effet, facilement établir, 
en thèse générale, que le système recliligne ordinaire doit 
s'adapter nécessairement mieux que tout autre à la pein- 
ture des équations par les lieux géométriques correspon- 
dants, c'est-à-dire que cette peinture y est constamment 
plus simple et plus fidèle. 

Considérons, pour cela, que, tout système de coordon- 
nées consistant à déterminer un point par l'intersection de 
deux lignes, le système propre à fournir les lieux géomé- 
triques les plus convenables doit être celui dans lequel ces 
deux lignes sont le plus simples possible, ce qui restreint 
d'abord le choix à ne pouvoir porter que sur des systèmes 
recdiignes, A la vérité, il y a évidemment une infinité de 
systèmes qui méritent ce nom, c'est-à-dire qui n'emploient 
que des lignes droites pour déterminer les points, outre le 
système ordinaire qui assigne pour coordonnées les dis- 
tances à deux droites fixes ; tel serait, par exemple, celui 
dans lequel les coordonnées de chaque point se trouve- 
raien^étre les deux angles que font les droites qui abou* 



GÉOMÉTBIE GÉNÉRALE OU ANALYTIQUE. Si7 

tissent de ce point à deux points fixes avec la droite de 
jonclion de ces derniers; en sorte que cette première con- 
sidération n'est pas rigoureusement suffisante pour expli- 
quer la pr(!^férence accordée unanimement au système 
ordinaire. Mais, en examinant d'une manière plus approfon- 
die la nature de tout système de coordonnées, nous avons 
reconnu, en outre, que chacune des deux lignes dont la 
rencontre détermine le point considéré, doit nécessaire- 
ment offrir à chaque instant, parmi ses diverses conditions 
quelconques de détermination, une seule condition varia- 
ble, qui donne lieu à l'ordonnée correspondante, et toutes 
les autres Gxes, qui constituent les axes du système, en 
prenant ce terme dans son acception mathématique la plus 
étendue : la variation est indispensable pour que toutes les 
positions puissent être considérées, et la ûxité ne Test pas 
moins pour qu'il existe des moyens de comparaison. Ainsi, 
dans tous les systèmes rectilignes, chacune des deux droi- 
tes sera assujettie h une condition fixe, et l'ordonnée ré- 
sultera de la condition variable. Sous ce rapport, il est évi- 
dent, en thèse générale, que le système le plus favorable à 
la construction des lieux géométriques sera nécessaire- 
ment celui d'après lequel la condition variable de chaque 
droite sera le plus simple possible, sauf à compliquer pour 
cela, s'il le faut, la condition fixe. Or, de toutes les manières 
possibles de déterminer deux droites mobiles, la plus 
aisée à suivre géométriquement est certainement celle 
dans laquelle, la direction de chaque droite restant inva- 
riable, elle ne fait que se rapprocher ou s'éloigner plus ou 
moins d'un axe constant. II serait, par exemple, évidem- 
ment plus difficile de se figurer nettement le déplacement 
d'an point produit par Tintersection de deux droites, qui 
tourneraient chacune autour d'un point fixe en faisant avec 
un certain axe un angle plus ou moins grand, comme dans 



828 MATHÉMATIQUES. 

le système de coordonnées précédemment indiqué. Telle 
est la véritable explication générale de la propriété fonda- 
mentale que présente, par sa nature, le système rectiligne 
ordinaire, d'être plus apte qu'aucun autre à la représenta- 
tion géométrique des équations, comme étant celui dans 
lequel il est le plus aisé de concevoir le déplacement d'uD 
point en résultat du changement de valeur de ses coor- 
données. Pour sentir nettement toute la force de cette 
considération, il sufGrait, par exemple, de comparer soi- 
gneusement ce système avec le système polaire, dans 
lequel cette image géométrique si simple et si aisée à 
suivre, de deux droites se mouvant chacune parallèlement 
à Taxe correspondant, se trouve remplacée par le tableau 
compliqué d'une série infinie de cercles concentriques 
coupée par une droite assujettie à tourner autour d'un 
point fixe. Il est d'ailleurs facile de concevoir à priori 
quelle doit être, pour la géométrie analytique, l'extrême 
importance d'une propriété aussi profondément élémen- 
taire, qui, par cette raison, doit se reproduire à chaque 
instant et prendre une valeur progressivement croissante 
dans tous les travaux quelconques de celte nature (i). 

En précisant davantage la considération qui démontre 
la supériorité du système de coordonnées ordinaire sur 
tout autre quant à la peinture des équations^ on peut 
même se rendre compte de l'utilité que présente sous ce 

(I ) Devant me borner ici à la comparaison la plus générale, Je n'ai point 
considéré plusieurs autres inconvénients élémentaires de moindre impor- 
tance, mais cependant fort graves, que présente le système des coordon- 
nées polaires, comme de ne point admettre d'interprétation géométrique 
pour le signe du rayon recteur, et même d'assigner quelquefois un point 
unique pour diverses solutions distinctes, d'où il résulte que la peinture 
des équations y est nécessairement imparfaite. Quels que soient ces incon- 
vénients, comme plusieurs systèmes autres que le système rectiligne ordi- 
naire pourraient aussi en être exempts, il ne fallait point en tenir compte 
pour établir la supériorité générale de ce dernier. 



GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE OU ANALYTIQUE. 819 

rapport l'usage habituel de prendre, autant que possible, les 
deux axes perpendiculaires entre eux plutôt qu'avec aucune 
autre inclinaison. Sous le rapport de la représentation des 
lignes par les équations, cette circonstance secondaire n'est 
pas plus universellement convenable que nous n'avons vu 
l'être la nature même du système ; puisque, suivant les 
occasions, toute autre inclinaison des axes peut mériter à 
cet égard la préférence. Mais, sous le point de vue inverse, 
il est aisé de voir que les axes rectangulaires permettent 
constamment de peindre les équations d'une manière plus 
simple et même plus fidèle. Car, avec des axes obliques, 
l'espace se trouvant partagé par eux en régions dont 
lldentité n'est plus parfaite, il en résulte que, si le lieu 
géométrique de l'équation s'étend à la fois dans toutes ces 
régions, il y présentera, à raison de la seule inégalité des 
angles, des différences de figure qui, ne correspondant à 
aucune diversité analytique, altéreront nécessairement 
Tezactitude rigoureuse du tableau, en se mêlant aux ré- 
sultats propres des comparaisons algébriques. Par exemple, 
une équation comme x" -^y^ = c, qui, par sa symétrie 
parfaite, devrait donner évidemment une courbe composée 
de quatre quarts identiques, sera représentée, au con- 
traire, en prenant des axes non rectangulaires, par un 
lieu géométrique dont les quatre parties seront inégales. 
On voit que le seul moyen d'éviter toute disconvenance de 
ce genre est de supposer droit l'angle des deux axes. 

La discussion précédente établit clairement que, si, sous 
Tnn des deux points de vue fondamentaux continuellement 
combinés en géométrie analytique, le système de coor- 
données rectilignes proprement dit n'a aucune supériorité 
constante sur tout autre ; comme il n'est pas non plus à 
cet égard constamment inférieur, sa plus grande aptitude 
nécessaire et absolue à la peinture des équations doit lui 




330 MATHÉMATIQUES. 

faire généralement accorder la préférence, quoiqu'il 
puisse évidemment arriver^ dans quelques cas parliculiers, 
que le besoin de simpliOer les équations et de les obtenir 
plus aisément détermine les géomètres à adopter un 
système moins parfait. C'est, en effet, d'après le système 
rectiligne^ que sont ordinairement construites les théories 
les plus essentielles de géométrie générale, destinées à 
exprimer analytiquement les phénomènes géométriques 
les plus importants. Quand on juge nécessaire d'en choisir 
un autre, c'est presque toujours le système polaire auquel 
on s'arrête, ce système étant d'une nature assez opposée 
à celle du système rectilignc pour que les équations trop 
compliquées relativement à celui-ci deviennent, en gé- 
néral^ suffisamment simples par rapport à l'autre. Les 
coordonnées polaires ont d'ailleurs souvent l'avantage de 
comporter une signiûcation concrète plus directe et plus 
naturelle, comme il arrive en mécanique pour les ques- 
tions géométriques auxquelles donne lieu la théorie des 
mouvements de rotation, et dans presque tous les cas de 
géométrie céleste. 

Afin de simplifier l'exposition, nous n'avons jusqu'ici 
considéré la conception fondamentale delà géométrie ana- 
lytique que relativement aux seules courbes planes, dont 
l'étude générale avait été l'objet unique delà grande réno- 
vation philosophique opérée par Descartes. Il s'agit main- 
tenant, pour compléter cette importante explication, de 
montrer sommairement de quelle manière cette pensée 
élémentaire a été étendue, environ un siècle après, par 
notre illustre Clairauly à l'étude générale des surfaces et 
des courbes à double courbure. Les considérations indi- 
quées ci-dessus me permettront de me borner à ce sujet è 
l'examen rapide de ce qui est strictement propre à ce nou- 
veau cas. 



GÉOMÉTRIE GENERALE OU ANALYTIQUE. Stl 

L'entière détermination analytique d'un point dans l'es- 
pace exige évidemment qu'on assigne les valeurs de trois 
coordonnées; par exemple, d'après le système le plus fré- 
quemment adopté et qui correspond au système rectiligne 
de la géométrie plane, des distances de ce point à trois 
plans fixes, ordinairement perpendiculaires entre eux, ce 
qui présente le point comme l'intersection de trois plans 
dont la direction est invariable. On pourrait également 
employer les distances du point mobile à trois points fixes, 
ce qui le déterminerait par la rencontre de trois sphères 
à centre constant. De môme, la position d'un point serait 
définie en donnant sa distance plus ou moins grande à un 
point fixe, et la direction de cette distance, au moyen des 
deux angles que fait cette droite avec deux axes invaria- 
bles ; c'est le système polaire propre à la géométrie à trois 
dimensions; le point est alors construit par l'intersection 
d'une sphère à centre constant avec deux cônes droits à 
base circulaire dont les axes et le sommet commun ne 
changent pas. En un mot, il y a évidemment, dans ce cas, 
au moins la môme variété infinie entre les divers systèmes 
possibles de coordonnées que nous avons déjà observée 
pour la géométrie à deux dimensions. En général, il faut 
concevoir un point comme toujours déterminé par l'inter- 
section de trois surfaces quelconques, ainsi qu'il l'était au- 
paravant par celle de deux lignes; chacune de ces trois 
surfaces a pareillement toutes ses conditions de détermi- 
nations constantes^ excepté une, qui donne lieu à la coor- 
donnée correspondante, dont l'infiuence géométrique pro- 
pre est ainsi d'astreindre le point à ôtre situé sur cette 
surface. 

Cela posé, il est clair que, si les trois coordonnées d'un 
point sont entièrement indépendantes entre elles, ce point 
pourra prendre successivement dans l'espace toutes les 



tSt MATHÉMATIQUES. 

positions possibles. Mais^ si le point est assajeiti à rester 
sur une certaine surface définie d'une manière quelcon- 
que, alors deux coordonnées suffisent évidemment pour 
en déterminer à chaque instant la situation, puisque la sur- 
face proposée tiendra lieu de la condition imposée par la 
troisième coordonnée. On doit donc concevoir nécessaire- 
ment dans ce cas, sous le point de vue analytique, cette 
dernière coordonnée comme une fonction déterminée des 
deux autres, celles-ci demeurant entre elles complètement 
indépendantes. Ainsi, il y aura entre les trois coordonnées 
variables une certaine équation permanente, et qui sera 
unique afin de correspondre au degré précis d'indétermi- 
nation de la position du point. Cette équation, plus ou 
moins facile à découvrir, mais toujours possible, sera la 
définition analytique de la surface proposée, puisqu'elle 
devra se vérifier pour tous les points de cette surface, et 
seulement pour eux. Si la surface vient à éprouver un 
changement quelconque, même un simple déplacement, 
l'équation devra subir une modification correspondante 
plus ou moins profonde. En un root, tous les phénomènes 
géométriques quelconques relatifs aux surfaces seront sus- 
ceptibles d'être traduits par certaines conditions analyti- 
ques équivalentes propres aux équations à trois variables, 
et c'est dans l'établissement et l'interprétation de cette 
harmonie générale et nécessaire que consistera essentielle- 
ment la science de la géométrie analytique à trois dimen- 
sions. 

Considérant ensuite cette conception fondamentale 
sous le point de vue inverse, on voit de la môme manière 
que toute équation à trois variables peut être, en général, 
représentée géométriquement par une surface déterminée, 
primitivement définie d'après la propriété très-caractéris- 
tique, que les coordonnées de tous ses points conservent 



GÉOMÉTBIE GÉNÉRALE OU ANALYTIQUE. tit 

toujours entre elles la relation énoncée dans celte équa- 
tion. Ce lieu géométrique changera évidemment, pour la 
môme équation, suivant le système de coordonnées qui 
servira à la construction de ce tableau. En adoptant, par 
exemple, le système recliligne, il est clair que^ dans Téqua- 
tion entre les trois variables x, y^ z, chaque valeur parti- 
culière attribuée à z donnera^ une équation entre x et y^ 
dont le lieu géométrique sera une certaine ligne située 
dans un plan parallèle au plan des;r, y^ et à une distance de 
ce dernier égale à la valeur de z, de telle sorte que le lieu 
géométrique total se présentera comme composé d'unesuite 
inOnie de lignes superposées dans une série de plans pa« 
rallèles^ sauf les interruptions qui pourront exister, et for- 
mera, par conséquent, une véritable surface. Il en serait de 
même en considérant tout autre système de coordonnées, 
quoique la construction géométrique de Téquation devint 
plus difOcile à suivre. 

Telle est la conception élémentaire, complément de 
l'idée mère de Descaries, sur laquelle est fondée la géomé- 
trie générale relativement aux surfaces. Il serait inutile de 
reprendre directement ici les autres considérations indi- 
quées ci-dessus par rapport aux lignes, et que chacun peut 
aisément étendre aux surfaces, soit pour montrer que 
toute définition d'une surface par un mode quelconque de 
génération est réellement une équation directe de celte 
surface dans un certain système de coordonnées, soit 
pour déterminer entre tous les divers systèmes de coor- 
données possibles quel est généralement le plus conve- 
nable. J'ajouterai seulement^ sons ce dernier rapport, que 
la supériorité nécessaire du système rectiligne ordinaire, 
quant à la peinture des équations, est évidemment encore 
plus prononcée dans la géométrie analytique à troL< dimen- 
sions que dans celle à deux, à cuuse de la complication 



8t4 MATHÉMATIQUES. 

géométrique incomparablement plus grande qu\ résulte- 
rait alors du choix de tout autre système, ainsi qu'on peut 
le vérifier de la manière la plus sensible en considérant, 
par opposition, le système polaire en particulier, qui est, 
pour les surfaces comme pour les courbes, et en vertu des 
mêmes motifs, le plus usité après le système rectiligne pro- 
prement dit. 

AGn de compléter l'exposition générale de la concep- 
tion fondamentale relative à l'étude analytique des surfaces, 
nous aurons encore à examiner philosophiquement, dans 
la quatorzième leçon, un dernier perfectionnement de la 
plus haute importance, que Monge a récemment indroduit 
dans les éléments mômes de cette théorie, pour la classi- 
fication des surfaces en familles naturelles, établies d'après 
le mode de génération, et exprimées algébriquement par 
des équations différentielles communes, ou par des équa- 
tions finies contenant des fonctions arbitraires. 

Considérons maintenant le dernier point de vue élémen- 
taire de la géométrie analytique à trois dimensions, celui 
qui se rapporte à la représentation algébrique des courbes, 
envisagées dans l'espace de la manière la plus générale. En 
continuante suivre le principe constamment employé Si- 
dessus, celui du degré d'indétermination du lieu géomé- 
trique, correspondant au degré d'indépendance des va- 
riables, il est évident, en thèse générale, que, lorsqu'un 
point doit être situé sur une certaine courbe quelconque, 
une seule coordonnée suffit pour achever de déterminer 
entièrement sa position, par l'intersection de cette courbe 
avec la surface qui résulte de cette coordonnée. Ainsi, 
dans ce cas, les deux autres coordonnées du point doivent 
être conçues comme des fonctions nécessairement déter- 
minées et distinctes de la première. Par conséquent, toute 
ligne, considérée dans l'espace, est donc représentée ana- 




GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE OU ANALTTTOUE. 885 

Ijtiquement, non plus par une seule équation, mais par 
le système de deux équations entre les trois coordonnées 
de l'uD quelconque de ses points. 11 est clair, en effet, d'un 
autre côté, que chacune de ces équations envisagée sé- 
parément^ exprimant une certaine surface, leur ensemble 
présente la ligne proposée comme l'intersection de deux 
surfaces déterminées. Telle est la manière la plus géné- 
rale de concevoir la représentation algébrique d'une ligne 
dans la géon^étrie analytique à trois dimensions. Cette 
conception est ordinairement envisagée d'une manière 
trop étroite, lorsqu'on se borne à considérer une ligne 
comme déterminée par le système de ses deux projections 
sur deux des plans coordonnés, système caractérisé ana- 
lytiquement par celte particularité que chacune des deux 
équations de la ligne ne contient alors que deux des trois 
coordonnées, au lieu de renfermer simultanément les trois 
Tariables. Cette considération, qui consiste à regarder la 
ligne comme l'intersection de deux surfaces cylindriques 
parallèles à deux des trois axes des coordonnées, outre l'in- 
convénient d'être bornée au système rectiligne ordinaire, 
a le défaut, lorsqu'on croit devoir s'y réduire strictement, 
d'introduire des difGcuités inutiles dans la représentation 
analytique des lignes, puisque la combinaison de ces deux 
cylindres ne saurait être évidemment toujours la plus con- 
venable pour former les équations d'une ligne. Ainsi, en- 
visageant cette notion fondamentale dans son entière gé- 
néralité, il faudra, dans chaque cas, parmi l'infinité de 
couples de surfaces dont l'intersection pourrait produire 
la courbe proposée, choisir celui qui se prêtera le mieux 
à l'établissement des équations, comme se composant des 
surfaces les plus connues. Par exemple, s'agit-il d'exprimer 
analytiquement un cercle dans l'espace, il sera évidem- 
ment préférable de le considérer comme l'intersection 



lie MATHÉMATIQUES. 

d'une sphère et d'un plan, plutôt que suivant toute autre 
combinaison de surfaces qui pourrait également le pro- 
duire. 

A la vérité, cette manière de concevoir la représentation 
des lignes par des équations dans la géométrie analytique 
à trois dimensions engendre, par sa nature, un incon- 
vénient nécessaire, celui d'une certaine confusion ana- 
lytique, consistant en ce que la môme ligne peut se trouver 
ainsi exprimée, avec un môme système de coordonnées, 
par une infinité de couples d'équations différents, vu l'in- 
finité de couples de surfaces qui peuvent la former, ce qui 
peut présenter quelques difficultés pour reconnaître cette 
ligne à travers tous les déguisements algébriques dont elle 
est susceptible. Mais il existe un procédé général fort 
simple pour faire disparaître cet inconvénient, se priver 
des facilités qui résultent de celte variété de constructions 
géométriques. Il suffit, en effet, quel que soit le système 
analytique établi primitivement pour une certaine ligne, 
de pouvoir en déduire le système correspondant à un 
couple unique de surfaces uniformément engendrées, par 
exemple, à celui des deux surfaces cylindriques qui pro- 
jettent la ligne proposée sur deux des plans coordonnés, 
surfaces qui évidemment seront toujours identiques, de 
quelque manière que la ligne ait été obtenue, et ne varie- 
ront que lorsque cette ligne elle-même changera. Or, en 
choisissant ce système fixe, qui est effectivement le plus 
simple, on pourra généralement déduire des équations 
primitives celles qui leur correspondent dans cette con- 
struction spéciale en les transformant, par deux élinxina- 
tions successives, en deux équations ne contenant chacune 
que deux des coordonnées variables, et qui conviendront 
par cela seul aux deux surfaces de projections. Telle est 
réellement la principale destination de cette sorte de 



GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE OU ANALYTIQUE. 887 

combinaison géométrique, qui nous offre ainsi un moyen 
invariable et certain de reconnaître Tidenlilé des lignes 
malgré la diversité quelquefois très-grande de leurs équa- 
tions. 

Après avoir considéré dans son ensemble la conception 
foodamentale de la géométrie analytique sous les princi- 
paux aspects élémentaires qu'elle peut présenter, il con- 
vient, pour compléter, sous le rapport philosophique, une 
telle esquisse, de signaler ici les imperfections générales 
que présente encore cette conception, soit relativement à 
la géométrie, soit relativement à l'analyse. 

Relativement à la géométrie, il faut remarquer que les 
équations ne sont propres jusqu'ici qu'à représenter des 
lieux géométriques entiers, et nullement des portions dé- 
terminées de ces lieux géométriques. H serait cependant 
nécessaire, dans plusieurs circonstances, de pouvoir expri- 
mer analytiquement une partie de ligne ou de surface, 
et même une ligne ou surface discontinue composée d'une 
suite de sections appartenant à des figures géométriques 
distinctes, par exemple le contour d'un polygone ou la sur- 
face d'un polyèdre. La thermologie surtout donne lieu 
fréquemment à d^ semblables considérations, auxquelles 
notre géométrie analytique actuelle se trouve nécessaire- 
ment inapplicable. Néanmoins il importe d'observer que, 
dans ces derniers temps, les travaux de Fourier sur les 
fonctions discontinues ont commencé à remplir cette 
grande lacune, et ont par là directement introduit un 
nouveau perfectionnement essentiel dans la conception 
fondamentale de Descartes. Mais cette manière de repré- 
senter des formes hétérogènes ou partielles, étant fondée 
sur l'emploi des séries trigonométriques procédant selon 
les sinus d'une suite infinie d'arcs multiples, ou sur l'usage 
de certaines intégrales définies équivalentes à ces séries 
A. Comte. Tomel. Î8 




3IS MATHÉMATIQUES* 

et dont l'intégrale générale est ignorée, présente encore 
trop de complication pour pouvoir être immédiatement 
introduite dans le système propre de la géométrie analy- 
tique. 

Relativement à l'analyse^ il faut commencer par recon- 
naître que l'impossibilité où nous sommes de concevoir 
géométriquement pour des équations contenant quatre, 
cinq variables ou un plus grand nombre, une représenta- 
tion analogue à celles que comportent toutes les équations 
à deux ou à trois variables, ne doit pas être envisagée comme 
une imperfection de notre système de géométrie analy- 
tique, car elle tient évidemment à la nature même du sujet. 
L'analyse étant nécessairement plus générale que la géo- 
métrie, puisqu'elle est relative à tous les phénomènes pos- 
sibles, il serait peu philosophique de vouloir constamment 
trouver parmi les seuls phénomènes géométriques une re- 
présentation concrète de toutes les lois que l'analyse peut 
exprimer. Mais il existe une autre imperfection de moin- 
dre importance qu'on doit réellement envisager comme 
provenant de la manière même dont nous concevons la 
géométrie analytique. Elle consiste en ce que notre repré- 
sentation actuelle des équations à deux ou à trois variables 
par des lignes ou des surfaces est évidemment toujours 
plus ou moins incomplète, puisque, dans la construction 
du lieu géométrique, nous n'avons égard qu'aux solutions 
réelles des équations, sans tenir aucun compte des solutions 
imaginaires. La marche générale de ces dernières serait 
cependant, par sa nature, tout aussi susceptible que celle 
des autres d'une peinture géométrique. 11 résuite de cette 
omission que le tableau graphique de l'équation est cons* 
tamment imparfait, et quelquefois même au point qu'il n'y 
a plus de représentation géométrique, lorsque l'équation 
n'admet que des solutions imaginaires. Cependant, même 



GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE OU ANALYTIQUE. |f39 

dans ce dernier cas^ il y aurait évidemment lieu de distin- 
,guer sous le rapport géométrique des équations aussi dif- 
férentes en elles-mêmes que celles-ci, par exemple : 

On sait de plus que celte imperfection principale entraîne 
souvent, dans la géométrie analytique à deux ou à trois 
dimensions, une foule d'inconvénients secondaires, tenant 
à ce que plusieurs modifications analytiques se trouvent 
ne correspondre à aucun phénomène géométrique. 

Un de nos plus grands géomètres acluels, Poinsot, a 
présenté une considération très-ingénieuse et fort simple, 
à laquelle on n'a pas fail communément assez d'attention, 
et qui permet, lorsque les équations sont peu compliquées, 
de concevoir la représentation graphique des solutions 
imaginaires, en se bornant à peindre leurs rapports quand 
ils sont réels (1). Mais cette considération, qu'il serait aisé 
degénéraliser abstraitement, est jusqu'ici trop peu suscep- 
tible d'être effectivement employée, à cause de l'état 
extrême d'imperfection où se trouve encore la résolution 
algébrique des équations, et d'où il résulte ou que la forme 
des racines imaginaires est le plus souvent ignorée, ou 
qu'elle présente une trop grande complication ; en sorte 
que de nouveaux travaux sont indispensables à cet égard, 
avant qu'on puisse regarder comme comblée cette lacune 
essentielle de notre géométrie analytique. 

L'exposition philosophique essayée dans cette leçon de 

(1) Poinsot a montré, par exemple, dans son excellent Mémoire sur Va- 
nalyse des sections anqulaires^ que l'équation x'-Hv'+û* =ro, ordi- 
nairement écartée comme n*ayant pas de lieu géométrique, peut être 
représentée, de la manière la plus simple et la plus nette, par une hy- 
perbole équilatère, qui remplit à son égard le même ofUce que le cercle 
pour réquatioo x*4- y* — a* = o. 



1 4 • MATHÉMATIQUES. 

la conception fondamentale de la géométrie analytique 
nous montre clairement que cette science consiste esseu; 
tieilement à déterminer quelle est, en général, l'expression 
analytique de tel ou tel phénomène géométrique propre 
aux lignes ou aux surfaces, et réciproquement, à découvrir 
l'interprétation géométrique de telle ou telle considération 
analytique. Nous avons maintenant à examiner, en nous 
bornant aux questions générales les plus importantes, 
comment les géomètres sont parvenus h établir effective- 
ment cette belle harmonie, et à imprimer ainsi à la science 
géométrique, envisagée dans son ensemble total, le carac- 
tère parfait de rationnalité et de simplicité qu'elle présente 
aujourd'hui si éminemment. Tel sera l'objet essentiel des 
deux leçons suivantes, l'une consacrée a l'étude générale 
des ligues, et l'autre, à Tétude générale des surfaces. 




TREIZIÈME LEÇON 



Sommiire. — De la géométrie générale à deux dimoDiions. 



D'après la marche habiluellement adoptée jusqu'à ce 
jour pour rexposition de la science géomélrique, la desti- 
nation vraiment essentielle de la géométrie analytique 
n'est encore sentie que d'une manière fort imparfaite, qui 
ne correspond nullement à l'opinion que s'en forment les 
Téritables géomètres, depuis que l'extension des concep- 
tions analytiques à la mécanique rationnelle a permis de 
s'élever à quelques idées générales sur la philosophie ma- 
thématique. La révolution fondamentale opérée par la 
grande pensée de Descartes n'est point encore dignement 
appréciée dans notre éducation mathématique, môme la 
plus haute. A la manière dont elle est ordinairement pré- 
sentée et surtout employée, cette admirable méthode ne 
semblerait d'abord avoir d'autre but réel que de simplifier 
l'étude des sections coniques, ou de quelques autres 
courbes, considérées toujours une à une, suivant l'esprit de 
la géométrie ancienne, ce qui serait sans doute de fort peu 
d'importance. On n'a point encore convenablement senti 
que le véritable caractère distinctif de notre géométrie 
moderne, ce qui constitue son incontestable supériorité, 
consiste à étudier, d'une manière entièrement générale, 
les diverses questions relatives à des lignes ou à des sur- 
filées quelconques, en transformant les considérations et 
les recherches géométriques en considérations et en re- 




8 42 MATHÉMATIQUES. 

cherches analytiques. II est remarquable que, dans les 
établissements, môme les plus justement célèbres, consa- 
crés à la haute instruction mathématique, on n'ait point 
institué de cours vraiment dogmatique de géométrie géné- 
rale, conçu d'une manière à la fois distincte et complète (1). 
Cependant une telle étude est la plus propre à manifester 
clairement le vrai caractère philosophique de la science 
mathématique, en démontrant avec une netteté parfaite 
l'organisation générale de la relation de l'abstrait au con- 
cret dans la théorie mathématique d'un ordre quelconque 
de phénomènes naturels. 

Ces considérations indiquent assez quelle peut être, 
outre son extrême importance philosophique, l'utilité 
spéciale et directe de l'exposition à laquelle nous conduit 
maintenant le plan de cet ouvrage. Il s'agit donc, en par- 
tant delà conception fondamentale expliquée dans la leçon 
précédente, relativement à la représentation analytique des 
formes géométriques, d'examiner comment les géomètres 
sont parvenus à réduire toutes les questions de géométrie 
générale à de pures questions d'analyse, en déterminant les 
lois analytiques de tous les phénomènes géométriques, 
c'est-à-dire les modiflcations algébriques qui leur corres- 
pondent dans les équations des lignes et des surfaces. Je 
ne m'occuperai d'abord que des courbes, et même des 
courbes planes, réservant pour la leçon suivante l'élude 

(l) La profonde médiocrité qu'on observe généralement à cet égard, sur- 
tout dans renseignement de la partie élémentaire des mathématiques, 
quoique deux siècles se soient écoulés déjà depuis la publication de la 
Géométrie de Descartes, montre combien notre éducation mathématique 
ordinaire est encore loin de correspondre au véritable état de la science; 
ce qui tient sans doute, en grande partie, on ne doit pas se le dissimuler, 
à l'extrême infériorité de la plupart des personnes auxquelles on confie 
un enseignement aussi important, sur la haute direction duquel les vé- 
ritables chefs de la science ne sont d'ailleurs admis à exercer aucune in- 
fluence régulière et permanente. 



6Ê0MÉTRIB A DEUX DIMENSIONS. SIt 

générale des surfaces et des courbes à double courbure. 
L'esprit de cet ouvrage 'prescrit d'ailleurs de se borner à 
rezamen philosophique des questions générales les plus 
importantes, et surtout d'écarter toute application à des 
former particulières. Le but essentiel que nous devons avoir 
en vue ici est seulement de constater avec précision com- 
ment la conception fondamentale de Descartes a établi le 
tjrstème général de la science géométrique sur des bases 
rationnelles et déûnitives. Toute autre élude rentrerait 
dans un traité spécial de géométrie; mais, quant à celle-ci, 
elle est indispensable pour l'objet que nous nous propo- 
sons. On peut sans doute concevoir à priori, comme je l'ai 
indiqué dans la leçon précédente, qu'une fois le sujet des 
recherches géométriques représenté analytiquement^ tous 
les accidents ou phénomènes quelconques dont il est sus- 
ceptible doivent comporter nécessairement une interpréta- 
tion semblable. Mais il est clair qu'une telle considération 
ne dispense nullement, même sous le simple rapport phi- 
losophique, d'étudier l'organisation effective de cette har- 
monie générale entre la géométrie et l'aualyse, dont on ne 
se formerait sans cela qu'une idée vague et confuse, entiè- 
rement insuffisante. 

La première et la plus simple question qu'on puisse se 
proposer relativement à une courbe quelconque, c'est de 
connaître, d'après son équation (1), le nombre de points 
nécessaire à sa détermination. Outre l'importance propre 
d'une telle notion, qui n'est pas établie jusqu'ici d'une 
manière assez rationnelle, je crois devoir exposer avec 
quelque développement la solution générale de ce pro- 
blème élémentaire, parce qu'elle me semble éminemment 

(i) Je considérerai toujours, pour fixer les idées, à moins d'avertisse- 
ment formol, le système de coordonnées rectilignes ordinaire, soit dans 
Otttte leçon, soit dans la suivante. 




844 MATHÉMATIQUES. 

apte, SOUS le rapport de la méthode, vu I*extrôrae simpli- 
cité des considérations analytiques correspondantes, à 
faire saisir le véritable esprit de la géométrie analytique, 
c'est-à-dire la corrélation nécessaire et continue entre le 
point de vue concret et le point de vue abstrait. 

Pour résoudre complètement cette question, il faut dis- 
tinguer deux cas, suivant que la courbe proposée est dé- 
finie analytiquement par son équation la plus générale, 
c'est-à-dire convenant à toutes les positions de la courbe 
relativement aux axes, ou par une équation particulière et 
plus simple, qui n'a lieu que dans une certaine situation 
de la courbe à l'égard des axes. 

Dans le premier cas, il est évident que la condition, de la 
part de la courbe, de devoir passer par un point donné, 
équivaut analytiquement à ce que les constantes arbitraires 
que renferme son équation générale conservent entre elles 
la relation marquée par la substitution des coordonnées 
particulières de ce point dans cette équation. Chaque point 
donné imposant ainsi à ces constantes une certaine condi- 
tion algébrique, pour que la courbe soit enlièrement dé- 
terminée, il faudra donc assigner un nombre de points égal 
au nombre des constantes arbitraires contenues dans son 
équation. Telle est la règle générale. Il convient cependant 
d'observer qu'elle pourrait induire en erreur, et indi- 
quer un nombre de points trop considérable, si, dans 
l'équation proposée, le nombre des termes distincts ren- 
fermant les constantes arbitraires était moindre que celui 
de ces constantes, auquel cas il faudrait évidemment juger 
du nombre de points nécessaire à l'entière détermination 
de la courbe, seulement par celui de ces termes, ce qui 
signifierait géométriquement que les constantes considé- 
rées pourraient alors éprouver certains changements sans 
qu'il en résultât aucun pour la courbe. Tel serait, par 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. t45 

exemple, le cas du cercle, si on le déûnissait comme la 
courbe décrite par le sommet d'un angle de grandeur in- 
yariable qui se meut de manière à ce que chacun de ses 
côtés passe toujours par un certain point ûxe. Il faut donc, 
pour plus de généralité, compter séparément le nombre 
des constantes entrant dans l'équation de la courbe pro- 
posée et le nombre des termes qui les contiennent, et dé* 
terminer combien de points exige Tentière spéciQcatioa 
de la courbe par le plus petit de ces deux nombres, à moins 
qu'ils ne soient égaux. 

Quand une courbe n'est primitivement déOnie que par 
une équation du genre de celles que nous avons nommées 
plus haut particulières^ on pout, à Taide d'une transforma- 
tion invariable et fort simple, faire rentrer ce cas dans le 
précédent, en généralisant convenablement l'équation pro* 
posée. Il suffit, pour cela, de rapporter la courbe, d'après 
les formules connues, à un nouveau système d'axes, dont 
la situation par rapport aux premiers soit regardée comme 
indéterminée. Si celte transformation ne change pas essen- 
Uellement la composition analytique de l'équation primi- 
tive, ce sera la preuve que celle-ci était déjà sufQsamment 
générale ; dans le cas contraire, elle le sera devenue, et 
dès lors la question se résoudra facilemeiU par l'applica- 
tion de la règle précédemment établie. On peut môme re- 
marquer, pour simpliûer encore davantage cette solution, 
que celte généralisation de l'équation introduira toujours, 
quelle que soit l'équalion primitive, trois nouvelles con- 
stantes arbitraires, savoir : les deux coordonnées de la nou« 
▼elle origine et l'inclinaison des nouveaux axes sur les 
anciens; en sorte que, sans eifectuer le calcul, on pourra 
connaître le nombre des constantes arbitraires qui entre- 
raient dans réquation la plus générale, et par suite en dé- 
duire directement le nombre de points nécessaire à la 



846 MATHÉMATIQUES. 

détermination de la courbe proposée, toutes les fois du 
moins qu'on pourra être certain d'avance, ce qui a lieu 
très-fréquemment, que le nombre des termes qui contien- 
draient ces constantes ne serait pas moindre que celui des 
constantes elles-mêmes. 

Afin de montrer à quel degré de facilité peut parvenir la 
solution générale de cette question, il importe de remar- 
quer que, l'opération analytique prescrite pour la résoudre 
se réduisant à une simple énumération, cette énumération 
peut être faite avant môme que l'équation de la courbe soit 
obtenue, et d'après sa seule définition géométrique. Il 
suffit, en effet, d'analyser cette définition sous ce point de 
vue, en estimant combien de points donnés, ou de droites 
données soit en longueur, soit en direction, ou de cercles 
donnés^ etc., elle exige pour l'entière détermination delà 
courbe proposée. Cela posé, on saura aussi d'avance com- 
bien il devra entrer de constantes arbitraires dans l'équa- 
tion la plus générale de cette courbe, en considérant que 
cbaque point i\xe donné par la définition en introduira 
deux, chaque droite donnée également deux, chaque lon- 
gueur donnée une, chaque cercle entièrement donné 
trois, etc. On pourra donc juger immédiatement par là du 
nombre de points qu'exige la détermination de la courbe, 
avec autant d'exactitude que si l'on avait sous les yeux son 
équation générale ; à cela près néanmoins de la restriction 
indiquée ci-dessus pour le cas où le nombre des termes 
renfermantles constantes arbitraires serait inférieurà celui 
des constantes ; restriction qu'on pourra souvent recon- 
nailre comme inapplicable, si l'analyse de la définition 
proposée a montré clairement que les données qu'elle 
prescrit ne pourraient nullement varier, soit isolément, 
soit ensemble, sans qu'il en résultât pour la courbe un 
changement quelconque. Mais, lorsque cette restriction 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. 847 

devra être réellement appliquée, celle considération ne 
fournira d'abord qu'une limite supérieure du nombre cher- 
chéy qui ne pourra être alors entièrement connu qu'en 
consultant effectivement l'équation générale. 

J'ai supposé jusqu'ici que les points par lesquels on veut 
déterminer le cours d'une ligne fussent absolument quel- 
conques ; mais, pour compléter la méthode, il faut exa- 
miner le cas où l'on introduirait parmi eux des points sin- 
guliers, c'est-à-dire distincts de tous les autres par une 
propriété caractéristique quelconque, comme ce que l'on 
nomme les foyers dans les sections coniques, les sommets, 
les centres, les points d'inflexion ou de rehroussement, etc. 
Ces points ayant tous pour caractère d'être uniques, ou du 
moins déterminés, dans une même courbe, leurs deux 
coordonnées sont donc chacune une fonction déterminée, 
connue ou inconnue, des constantes qui spécifient exacte- 
ment la courbe proposée. Ainsi, donner un seul de ces 
points, c'est imposer à ces constantes arbitraires deux con- 
ditions algébriques, ce qui, par conséquent, équivaut ana- 
lytiquement à donner deux points ordinaires. La règle 
générale et fort simple se réduit donc, à cet égard, à 
compter toujours pour deux chaque point singulier, par 
quelque propriété qu'il puisse être défini : à cela près, on 
rentrera dans la loi établie ci-dessus. 

Toute application spéciale de la théorie générale que je 
viens d'indiquer serait ici déplacée. Je crois cependant 
utile de remarquer, au sujet de cette application, que le 
nombre de points nécessaires à l'entière détermination de 
chaque courbe, quoique constituant une circonstance fort 
importante, n'est point aussi intimement lié qu'on le croi- 
rait d'abord, soit à la nature analytique de l'équation, soit 
à la forme géométrique de la ligne. Ainsi, par exemple, on 
trouve, d'après la méthode précédente que la parabole 



I 

K ■. . I 




848 HATHÉMATTQUBS. 

ordinaire, et môme les paraboles de tous les degrés, la lo- 
garithmique, la cycIo!de, la spirale d'Archimôde, etc., 
exigeui égafement quatre points pour leur détermination, 
quoiqu'on n'ait pu découvrir jusqu'ici aucune autre pro- 
priété commune entre des courbes aussi différentes sous 
le rapport analytique que sous le rapport géométrique. 11 
est néanmoins vraisemblable que cette analogie ne doit 
pas être entièrement isolée. 

Je choisirai, comme second exemple intéressant piirmi 
les questions élémentaires relatives à l'étude générale des 
lignes, la détermination des centres dans une courbe plane 
quelconque. Le caractère géométrique du centre d'une 
figure étant, en général, d*ôtre le milieu de toutes les 
cordes qui y passent, il en résulte évidemment que, si l'on 
y place l'origine du système des coordonnées rectîlignes, 
les points de la figure auront, deux à deux, par rapport à 
une telle origine, des coordonnées égales et de signe con- 
traire. On peut donc reconnaître immédiatement, d'après 
l'équation d'une courbe quelconque, si elle a pour centre 
l'origine actuelle des coordonnées, puisqu'il suffit d'exa- 
miner si cette équation n'est point altérée, en y changeant 
à la fois les signes des deux coordonnées variables, ce qui 
exige, dans le cas où il n'y entre que des fonctions algé- 
briques, rationnelles et entières, que les termes soient 
tous de degré pair ou tous de degré impair, suivant le 
degré de l'équation. Cela posé, quand un tel changement 
trouble l'équation, il faut déplacer l'origine d'une manière 
indéterminée, et chercher à disposer des deux constantes 
arbitraires que celte transformation introduit dans l'équa- 
tion pour les coordonnées de la nouvelle origine, de façon à 
ce que l'équation puisse jouir, relativement aux nouveaux 
axes, de la propriété précédente. Si, par des valeurs 
réelles convenables des coordonnées de la nouvelle ori- 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. 94» 

gine» on peut faire disparaître tous les termes qui empo- 
chaient l'équation de présenter ce caractère analytique» 
la courbe aura un centre dont ces valeurs feront connaître 
la position : dans le cas contraire, il sera constaté que la 
courbe n'a point de centre. 

Parmi les questions de géométrie générale à deux di^ 
mensions dont la solution complète ne dépend que de 
l'analyse ordinaire, je crois devoir encore indiquer ici 
celle qui se rapporte à la détermination des conditions de 
la similitude entre des courbes quelconques d'un même 
genre^ c'est-à-dire susceptibles d'une môme déûnition ou 
équation^ qui ne les distingue les unes des autres que par 
les diverses valeurs de certaines constantes arbitraires re- 
latives à la grandeur de chacune d'elles. Cetle question, 
importante en elle-même, a d'autant plus d'intérêt sous 
le rapport de la méthode, que le phénomène géométrique 
qu'il s'agit alors de caractériser analytiquement est évi- 
demment purement relatif à la forme, et nullement un 
phénomène de situation, ce qui, comme nous l'avons re- 
marqué dans la leçon précédente, donne toujours lieu à 
des difflcultés spéciales par rapport à notre système de 
géométrie analytique, où les idées de position sont seules 
directement considérées. 

L'emploi de l'analyse diiférentielle fournirait immédia- 
tement la solution de ce problème général, en étendant 
aux courbes,- comme il convient, la définition élémentaire 
de la similitude pour les figures rectilignes. Il surfirait, en 
effet, 1* de calculer, d'après l'équation de chacune des 
deux courbes, l'angle de contingence en un point quelcon- 
que, et d'exprimer que cet angle a la même valeur dans 
les deux courbes pour des points correspondants; â* d'a- 
près l'expression différentielle générale de la longueur 
d'un élément infiniment petit de chaque courbe, d'espri- 



3 50 MATHÉMATIQUES. 

mer que les éléments homologues des deux courbes soot 
entre eux dans un rapport constant. Les conditions analyti- 
ques de la similitude se trouveraient ainsi dépendre des 
deux premières fonctions dérivées de l'ordonnée rapportée 
à l'abcisse; mais le problème peut être résolu d'une ma- 
nière beaucoup plus simple, et néanmoins tout aussi 
générale, quoique moins directe, par le simple usage de 
l'analyse ordinaire. 

Pour cela, il faut d'abord remarquer une propriété élé- 
mentaire que peuvent toujours présenter deux figures 
semblables de forme quelconque, quand elles sont placées 
dans une situation parallèlcj c'est-à-dire de telle façon 
que tous les éléments de chacune soient respectivement 
parallèles aux éléments homologues de l'autre, ce que 
la similitude permet évidemment de faire constamment. 
Dans cette situation, il est aisé de voir que, si on joint 
deux à deux par des droites les points homologues des 
deux figures, toutes ces lignes de jonction concourront 
nécessairement en un point unique, à partir duquel leurs 
longueurs, comptées jusqu'à l'une et à l'autre des deux 
figures semblables, auront entre elles un rapport cons- 
tant, égal à celui des deux figures. 11 résulte immédiate- 
ment de cette propriété, considérée sous le point de vue 
analytique, que, si l'origine des coordonnées rectilignes 
est supposée placée au point particulier dont nous venons 
de parler, les points homologues des deux courbes sem- 
blables auront des coordonnées constamment proportion- 
nelles, en sorte que l'équation de la première courbe de- 
vra rentrer dans celle de la seconde, en y changeant x en 
mx, et y en my, m étant une constante arbitraire égale au 
rapport linéaire des deux figures. Avec des coordonnées 
polaires z etcp, dont le pôle serait placé au môme point, les 
deux équations deviendraient identiques en changeant 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. 351 

seulement z en mz dans l'une d'elles, sans changer 9. La 
Térification d'un tel caractère algébrique suffira donc évi- 
demment pour constater la similitude. Mais, de sa non- 
vérification, il est clair qu'on ne devra point conclure 
immédiatement la dissimilitude des deux courbes compa- 
rées, puisque l'origine ou le pôle pourraient n'être pas 
placés au point unique pour lequel cette relation a lieu, 
ou môme que les deux courbes pourraient n'être pas po- 
sées actuellement dans la situation parallèle. Il est néan- 
moins facile de généraliser et de compléter» la méthode 
sous l'un et l'autre de ces deux rapports, quoiqu'il sem- 
ble d'abord impossible analyliquement de modiûer la si- 
tuation relative de deux courbes. 11 suffira pour cela de 
changer, à l'aide des formules connues, à la fois l'origine 
et la direction des axes si les coordonnées sont rectilignes, 
ou le pôle et la direction de l'axe si elles sont polaires, 
mais en effectuant cette transformation seulement dans 
Tune des deux équations. On cherchera alors à disposer 
des trois constantes arbitraires introduites parla, pour que 
cette équation ainsi modifiée présente, relativement à l'au- 
tre, la propriété analytique indiquée. Si cette relation peut 
ayoîr lieu d'après certaines valeurs réelles des constantes 
arbitraires, les deux courbes seront semblables ; sinon, 
leur dissimilitude sera constatée. 

Quoiqu'il ne convienne point de considérer ici aucune 
application spéciale de la théorie précédente, je crois ce- 
pendant utile d'indiquer à ce sujet une remarque générale. 
Elle consiste en ce que, toutes les fois que l'équation d'une 
courbe, simplifiée le plus possible par la disposition des 
axes, ne renfermera qu'une seule constante arbitraire, 
toutes les courbes de ce genre seront nécessairement sem- 
blables entre elles. On peut augmenter l'utilité de cette 
observation, en ce que, sans considérer même l'équation 




1 51 HATUÉMATTQUES. 

de la courbe, il suffira d'examiner, dans ce cas^ si sa défi- 
nition géométrique primitive ne fait dépendre que d*une 
seule donnée Tenlière détermination de sa grandeur (I). 
Quand, au contraire, l'équation la plus simple de la courbe 
proposée contiendra deux constantes arbitraires ou davan- 
tage, ou, ce qui est exactement équivalent, lorsque la dé- 
finition fera dépendre sa grandeur de plusieurs données 
distinctes, les courbes de ce genre ne pourront être sem- 
blables qu'à l'aide de certaines relations entre ces cons- 
tantes ou ces données^ qui consisteront ordinairement dans 
leur proportionnalité. C'est ainsi que toutes les paraboles 
d'un môme degré, d'ailleurs quelconque, sont semblables 
entre elles, aussi bien que toutes les logarithmiques, toutes 
les cyclo!des ordinaires, tous les cercles, etc. ; tandis que 
deux ellipses ou deux hyperboles, par exemple, ne sont 
semblables qu'autant que leurs axes sont proportionnels. 

Je me borne à ce petit nombre de questions générales 
relatives aux lignes, parmi celles dont la solution complète 
dépend seulement de l'analyse ordinaire. On n'y doit pas 
comprendre la détermination de ce qu'on appelle les 
foyers, la recherche des diamètresj etc., et plusieurs autres 
problèmes de ce genre, qui, bien que susceptibles d'être 
proposés et résolus pour des courbes quelconques, n'ont 
de véritable intérôt qu'à l'égard des sections coniques. 
Relativement aux diamètres^ par exemple, c'est-à-dire aux 
lieux géométriques des milieux d'un système quelconque 
de cordes parallèles, il est aisé de former une méthode gé- 
nérale pour déduire de l'équation d'une courbe l'équation 

(1) Cette propriété, qui est une conséquence évidente de Ifttliéorie indi- 
quée ci-d(S8U8, pourrait d'nllleurs être établie directement par une consi- 
dération fort f-impie. H sufiirait de remarquer que, dans ce cas, les di- 
verses courtjes de ce genre pourraient coïncider en les construisant sur 
une échelle difTèrente, d*où n'sulte clairement leur similitude nécessaire. 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIOlfS. S5t 

commune de tous ses diamètres. Mais une telle considéra- 
tion ne peut faciliter Tétude d'une courbe qu'autant que les 
diamètres se trouvent être des lignes plus simples et plus 
connues que la courbe primitive; et môme cette recherche 
n'a Traiment une grande utilité que lorsque tous les dia» 
mètres sont des lignes droites. Or c'est ce qui n'a lieu que 
dans les courbes du second degré. Pour toutes les autres, 
les diamètres sont, en général, des courbes aussi peu con- 
nues et souvent môme d'une étude plus dimciie que la 
courbe proposée. C'est pourquoi je ne dois point ici consi- 
dérer une telle question, ni aucune autre semblable, quoi- 
que, dans les traités spéciaux de géométrie analytique, il 
con\int d'ailleurs de les présenter d'abord, autant que pos- 
sible, sous un point de vue entièrement générai. 

Je passe donc immédiatement à l'examen des théories de 
géométrie générale à deux dimensions qui ne peuvent être 
complètement établies qu'à l'aide de l'analyse transcen- 
dante. 

La première et la plus simple d'entre elles consiste dans 
la détermination des tangentes aux courbes planes. Ayant 
eu occasion, dans la sixième leçon, d'indiquer la solution 
générale de cet important problème, d'après chacun des 
divers points de vue fondamentaux propres à l'analyse 
transcendante, il est inutile d'y revenir ici. Je ferai seule- 
ment observer à ce sujet que la question fondamentale ainsi 
considérée suppose connu le point de contact de la droite 
avec la courbe, tandis que la tangente peut être déterminée 
par plusieurs autres conditions, qu'il faut alors faire ren- 
trer dans la précédente, en déterminant préalablement les 
coordonnées du point de contact, ce qui est ordinairement 
très-facile. Ainsi, par exemple, si la tangente e^t assujettie à 
passer par un point donné extérieur à la courbe, les coor- 
données de ce point devant satisfaire à la formule générale 

A. Comte. Tome I. 23 



854 MATHÉMATIQUES. 

de réquation de la tangenie à celle courbe, formule qui 
contient les coordonnées inconnues du point de contacti 
ce dernier point sera dét^erminé par une telle relation com- 
binée avec l'équation de la courbe proposée. De nnéme, 
si la tangente cherchée doit être parallèle à une droite don- 
née, il faudra égaler le coefUcienl général qui marque sa 
direction en fonctions des coordonnées du point de contact 
à celui qui détermine celle de la droite donnée, et la com- 
binaison de cette condition avec l'équation de la courbe 
fera encore connaître ces coordonnées. 

AOn de considérer sous un point de vue plus étendu les 
problèmes relatifs aux tangentes, il peut être utile d'expri- 
mer distinctement la relation qui doit exister entre les 
deux constantes arbitraires contenues dans l'équation gé- 
nérale d'une ligne droite et les diverses constantes propres 
à une courbe quelconque donnée, pour que la droite soit 
tangente à la courbe. A cet effet, il suffit de remarquer que 
les deux constantes par lesquelles se trouve fixée à chaque 
instant la position de la tangente étant des fonctions con- 
nuesdes coordonnées du point de contact, l'élimination de 
ces deux coordonnées entre ces deux formules et l'équa- 
tion de la courbe proposée fournira une relation indépen- 
dante du point de contact et contenant seulement les con- 
stantes des deux lignes, qui sera le caractère analytique 
cherché du phénomène d'un contact indéterminé. On se 
servirait, par exemple, de telles expressions pour déter- 
miner une tangente commune à deux courbes données, en 
calculant les deux constantes propres à cette droite d'après 
les deux relations qu'entraînerait ainsi son contact avec 
l'une et l'autre courbe. 

La question fondamentale des tangentes est le point de 
départ de plusieurs autres recherches générales plus ou 
moins importantes relativement aux courbes, qu'il est aisé 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. S55 

d'en faire dépendre. La plus directe et la plus simple de ces 
questions secondaires consiste dans la détermination des 
asymptotes^ ou du moins des asymptotes rectilignes, les 
seules, en général, qu'il soit intéressant de connaître, parce 
qu'elles seules contribuent réellement à faciliter l'étude 
d'une courbe. On sait que Vasymptote est une droite qui 
s'approche indéfiniment et d'aussi près qu'on veut d*une 
courbe, sans cependant pouvoir jamais l'atteindre rigou- 
reusement. Elle peut donc être envisagée comme une tan- 
gente dont le point de contact s'éloigne à l'infini. Ainsi, 
pour la déterminer, il suffit de supposer inûnies les coor- 
données du point de contact dans les deux formules géné- 
rales qui expriment, d'après l'équation de la courbe, en 
fonction de ces coordonnées, les deux constantes par les- 
quelles est flxée la position de la tangente. Si ces deux 
constantes prennent alors des valeurs réelles et compati- 
bles entre elles, la courbe donnée aura des asymptotes dont 
un tel calcul fera connaître le nombre et la situation; si 
ces valeurs sont imaginaires ou incompatibles, ce sera la 
preuve que la courbe proposée n'a point d'asymptotes, du 
moins rcctilignes. On voit que cette détermination est exac- 
tement analogue à celle d'une tangente menée par un point 
de la courbe dont les coordonnées seraient unies. Il arri- 
vera seulement, dans un assez grand nombre de cas, que 
les deux valeurs cherchées se présenteront sous une forme 
indéterminée, ce qui est un inconvénient général des for- 
mules algébriques, quoiqu'il doive sans doute avoir lieu 
plus fréquemment en attribuant aux variables des valeurs 
infinies. Mais on sait qu'il existe une méthode analytique 
générale pour estimer la vraie valeur de toute expression 
semblable; il suffira donc alors d'y recourir. 

On peut rattacher aussi, quoique d'une manière beau- 
coup moins directe, à la théorie des tangentes^ la théorie 




8S6 MATHEMATIQUES. 

tout entière des divers points singuliers, dont la détermi- 
nation contribue éminemment à la connaissance de toute 
courbe qui en présente, comme les points d'inflexion, les 
points multiples, les points de rebroussement, etc. Relative- 
ment aux points d'inflexion, par exemple, c'est-à-dire à 
ceux où une courbe de concave devient convexe^ ou de 
convexe concave, il faut d'abord examiner le caractère 
analytique immédiatement propre à la concavité ou à la 
convexité, ce qui dépend de la manière dont varie la direc- 
tion de la tangente. Quand la courbe est concave vers l'axe 
des abcisses, elle fait avec lui un angle de plus en plus petit 
à mesure qu'elle s'en éloigne ; au contraire, lorsqu'elle est 
convexe, l'angle qu'elle fait avec l'axe devient de plus en 
plus grand en s'en écartant davantage. On peut donc 
directement reconnaître, d'après l'équation d'une courbe, 
le sens de sa courbure à chaque instant : il sufQt d'exami- 
ner si le coefficient qui marque l'inclinaison de la tangente, 
c'est-à-dire la fonction dérivée de l'ordonnée, prend des 
valeurs croissantes ou des valeurs décroissantes à mesure 
que l'ordonnée augmente ; dans le premier cas, la courbe 
tourne sa convexité vers Taxe des abcisses; dans le second, 
sa concavité. Gela posé, s'il y a inflexion en quelque point, 
c'est-à-dire si la courbure change de sens, il est clair 
qu^en ce point l'inclinaison de la tangente sera devenue 
un maximum ou un minimum, suivant qu'il s'agira du pas- 
sage de la convexité à la concavité, ou du passage inverse. 
On trouvera donc en quels points ce phénomène peut avoir 
lieu, à r<iide de la théorie ordinaire des maxima et minimà, 
dont l'application à cette recherche apprendra évidem- 
ment que, pour l'abcisse du point d'inflexion, la seconde 
fonction dérivée de l'ordonnée proposée doit être nulle, 
ce qui suffira pour déterminer l'existence et la position de 
ce point. Cette recherche peut ainsi être rattachée à la 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. 357 

théorie des tangentes, quoiqu'elle soit ordinairement pré- 
sentée d'après la théorie du cercle osculateur. Il en serait 
de même, avec plus ou moins de difficulté, relativement 
à tous les autres points singuliers. 

Un second problème fondamental que présente l'étude 
générale des courbes, et dont la solution complète exige 
UD emploi plus étendu de l'analyse transcendante, est 
l'importante question de la mesure de la courbure des 
courbes au moyen du cercle osculateur en chaque point, 
dont la découverte sufQrait seule pour immortaliser le 
nom du grand Huyghens. 

Le cercle étant la seule courbe qui présente en tous ses 
points une courbure uniforme, d'autant plus grande d'ail- 
leurs que le rayon est plus petit, quand les géomètres se 
sont proposé de soumettre à une estimation précise la cour- 
bure de toute autre courbe quelconque, ils ont dû naturel- 
lement la comparer en chaque point au cercle qui pouvait 
avoir avec elle le plus intime contact possible, et qu'ils 
ont nommé, pour cette raison, cercle osculateur , afin de le 
distinguer des cercles simplement tangents^ qui sont en 
nombre inûni au même point de courbe, tandis que le 
cercle osculateur est évidemment unique. En considérant 
cette question sous un autre aspect, ou conçoit que la 
courbure d'une courbe en chaque point pourrait aussi être 
estimée par l'angle plus ou moins grand de deux éléments 
consécutifs, qu'on appelle angle de contingence. Mais il est 
aisé de reconnaître que ces deux mesures sont nécessaire- 
ment équivalentes, puisque le centre du cercle osculateur 
sera d'autant plus éloigné, que cet angle de contingence 
sera plus obtus : on voit même, sous le point de vue ana- 
lytique, que l'expression du rayon de ce cercle fournit im- 
médiatement la valeur de cet angle. D'après cette confort 
mité évidente des deux points de vue, les géomètres ont 




858 MATHÉMATIQUES . 

dû préférer babituellement la considération du cercle 
osculateur, comme plus étendue et se prêtant mieux à la 
déduction des autres théories géométriques qui se ratta- 
chent à cette conception fondamentale. 

Gela posé, la manière la plus simple et la plus directe 
de déterminer le cercle osculateur consiste à Tenvisager, 
d'après la méthode inûuitésimale proprement dite, comme 
p<issant par trois points inûniment voisins de la courbe pro- 
posée, ou, en d'autres termes, comme ayant avec elle deux 
éléments consécutifs communs, ce qui le distingue nette- 
ment de tous les cercles simplement tangents, avec les- 
quels la courbe n'a qu'un seul élément commun. Il résulte 
de cette notion, en ayant égard à la construction néce:<saire 
pour décrire un cercle passant par trois points donnés, 
que le centre du cercle osculateur^ ou ce qu'on appelle le 
centre de courbure de la courbe en chaque point, peut être 
regardé comme le point d'intersection de deux normales 
inûniment voisines, en sorte que la question se réduit à 
trouver ce dernier point. Or cette recherche est facile, en 
formant, d'après l'équation générale de la tangente à une 
courbe quelconque, celle de la normale qui lui est perpen- 
diculaire, et faisant ensuite varier d'une quantité infiniment 
petite, dans cette dernière équation^ les coordonnées du 
point de contact, afin de passer à la normale infiniment 
voisine : la détermination de la solution commune à ces 
deux équations, qui sont du premier degré par rapport 
aux deux coordonnées du point d'intersection, suffit pour 
faire trouver les deux formules générales qui expriment 
les coordonnées du centre de courbure d'une courbe en un 
point quelconque. Ces formules une fois obtenues, la re- 
cherche du nnyon de courbure n'ofi*re plus aucune diffi- 
culté, puisqu'elle se réduit à calculer la distance de ce 
centre de courbure au point correspondant de la courbe. 



GÉOMÉTRIE A DEUX DI1|BNSI0NS. S 69 

En appelant a, 6, les coordonnées reclilignes du centre de 
courbure d'une courbe quelconque en un point dont les 
coordonnées sont Xy y, et nommant r le rayon de courbe, 
on trouve par celte méthode les formules connues : 

On conçoit de quelle importance est la détermination du 
rayon de courbure, et combien lu discussion de la manière 
générale dont il varie aux différents points d'une courbe 
doit contribuer à la connaissance approfondie de cette 
courbe. Cet élément a surtout ceci de très-remarquable, 
entre tous les autres sujets ordinaires de recherches dans 
la géométrie analytique, qu'il se rapporte directement, par 
sa nature, à la forme môme de la courbe, sans dépendre 
aucunement de sa position. On voit que, sous le rapport 
analytique, il exige la considération simultanée des deux 
premières fonctions dérivées de l'ordonnée. 

La théorie des centres de courbure conduit naturelle- 
ment à l'importante notion des développées, qui sont main- 
tenant déQnies comme étant les lieux géométriques de tous 
les centres de courbure de chaque courbe en ses différents 
points, quoiqu'au contraire, dans la conception primi- 
tive de cette branche de la géométrie, Tluyghens eût dé- 
duit l'idée du cercle osculateur de celle de la développée, 
directement envisagée comme engendrant par son déve- 
loppenfient la courbe primitive ou la développante. Il est 
aisé de reconnaître que ces deux manières de voir rentrent 
l'une dans l'autre. Cette développée présente évidemment, 




860 M ATD ÉM ATIQUES . 

par quelque mode qu'on Toblienne, deux propriétés géné- 
rales et nécessaires reiativemenl à la courbe quelconque 
dont elle dérive : la première, d'avoir pour tangentes les 
normales à celle-ci ; et la seconde, que la longueur de ses 
arcs soit égale à celle des rayons de courbure correspon- 
dants de la développante. Quant au moyen d'obtenir l'é- 
qualion de la développée d'une courbe donnée, il est clair 
qu'entre les deux formules citées ci-dessus pour exprimer 
les coordonnées du centre de courbure, il suffit d'éliminer, 
dans chaque cas, les coordonnées x, y, du point corres- 
pondant de la courbe proposée, à l'aide de l'équation de 
cette courbe : l'équation en a, ê qui résultera de l'élimina- 
tion sera celle de la développée demandée. On pourrait 
également entreprendre de résoudre la question inverse, 
c'est-à-dire de trouver la développante d'après la dévelop- 
pée. Mais il faut remarquer qu'une élimination analogue à 
la précédente ne fournirait alors, pour la courbe cherchée, 
qu'une équation contenant, outre a: et y, les deux fonctions 
dérivées 5j» ^- en sorte qu'après cette analyse prépara- 
toire, la solution complète du problème exigerait encore 
l'inlégration de cette équation différentielle du second or- 
dre, ce qui, vu l'extrême imperfection du calcul intégral, 
serait le plus souvent impossible, si, par la nature propre 
d'une telle recherche, la courbe demandée ne devait point, 
comme j'ai eu occasion de Tindiquer dans la septième le- 
çon, être représentée par la solution singulièrey que la sim- 
ple difi'érenliation peut toujours faire obtenir, l'intégrale 
générale ne désignant ici que le système des cercles oscu- 
lateurs, dont la connaissance n'est point l'objet de la ques- 
tion proposée. 11 en serait de même toutes les fois qu'on 
aurait à déterminer une courbe d'après une propriété quel- 
conque de son rayon de courbure. Cet ordre de questions 
est exactement analogue aux problèmes plus simples qui 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. S61 

constituent ce que, dans rorigine de Tanalyse transcen- 
dante, on appelait la Méthode inverse des tangentes, où l'on 
se proposait de déternainer une courbe par une propriété 
donnée de sa tangente en un point quelconque. 

Par des considérations géométriques plus ou moins com- 
pliquées, analogues à celle qui fournit les développées, les 
géomètres ont déduit d'une même courbe primitive quel- 
conque diverses autres courbes secondaires, dont les équa- 
tions peuvent être obtenues d'après des procédés sem- 
blables. Les plus remarquables d'entre elles sont les 
caustiques par réflexion ou par réfraction^ dont la première 
idée est due à Tschirnaûs, quoique Jacques Bernouilli en 
ait seul établi la véritable théorie générale. Ce sont, comme 
OD sait, des courbes formées par l'intersection continuelle 
des rayons de lumière infiniment voisins qu'on supposerait 
réfléchis ou réfractés par la courbe primitive. En partant 
de la loi géométrique de la réflexion ou de la réfraction de 
la lumière, consistant en ce que Tangle de réflexion est égal 
à l'angle d'incidence, ou en ce que le sinus de l'angle de 
réfraction est un multiple constant et connu du sinus de 
l'angle d'incidence, il est évident que la recherche de ces 
caustiques se réduit à une pure question de géométrie, par- 
faitement semblable à celle des développées, conçues 
comme formées par l'intersection continuelle des normales 
infiniment voisines. Le problème se résoudra donc analy- 
tiquement en suivant une marche analogue, au sujet de 
laquelle toute autre indication serait ici superflue. Le cal- 
cul sera seulement plus laborieux, surtout si les rayons 
incidents ne sont pas supposés parallèles entre eux ou éma- 
nés d'un môme point. 

Les développées, les caustiques et toutes les autres li- 
gnes déduites d'une même courbe principale à l'aide de 
constructions analogues, sont formées par les intersections 



862 MATHÉMATIQUES. 

continuelles de droites infiniment voisines soumises à une 
certaine loi. Mais on peut aussi, en généralisant le plus 
possible cette considération géométrique, concevoir des 
courbes produites par Tintersection continuelle de cer- 
taines courbes infiniment voisines, assujetties à une môme 
loi quelconque. Cette loi consiste ordinairement en ce que 
toutes ces courbes sont représentées par une équation 
commune, d'ailleurs quelconque, d'où elles dérivent suc- 
cessivement en donnant diverses valeurs à une certaine 
constante arbitraire. On peut alors se proposer de trouver le 
lieu géométrique des points d'intersection de ces courbes 
consécutives, qui correspondent à des valeurs infini- 
ment rapprochées de cette constante arbitraire conçue 
comme variant d'une manière continue. Leibnitz a imaginé 
le premier les recherches de cette nature, qui ont ensuite 
été fort étendues par Clairaut et surtout par Lagrange. 
Pour traiter le cas le plus simple, celui que je viens de ca- 
ractériser exactement, il suffit évidemment de différentier 
l'équation générale proposée par rapport à la constante ar- 
bitraire que l'on considère, et d'éliminer ensuite cette con- 
stante entre cette équation difTérenlielIe et l'équation pri- 
mitive; on obtiendra ainsi, entre les deux coordonnées 
variables, une équation indépendante de cette constante, 
qui sera celle de la courbe cherchée, dont la forme diffé- 
rera souvent beaucoup de celle des courbes génératrices. 
Lagrange a établi, au sujet de celte relation géométrique, 
un important théorème général, en montrant que, sous le 
point de vue analytique, la courbe ainsi obtenue et les cour- 
bes génératrices ont nécessairement une môme équation 
différentielle, dont l'intégrale complète représente le sys- 
tème des courbes génératrices, tandis que sa solution sm- 
gulière correspond à la courbe des intersections. 
J'ai considéré jusqu'ici la théorie de la courbure des 




GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. S6S 

courbes suivant Tesprit de la mélhode inûnitésimale pro- 
prement dite, qui s'adapte en effet bien plus simplement 
qu'aucune autre à toute recherche de ce genre. La concep- 
tion de Lngrange, relativement à l'analyse transcendante, 
présentait surtout^ par sa nature, de grandes difûcultés 
spéciales pour la solution directe d'une telle question, 
comme je l'ai déjà remarqué dans la sixième leçon. Mais 
ces difDcultés ont si heureusement excité le génie de La- 
grange, qu'elles l'ont conduit à la formation de la théorie 
générale des contacts, dont l'ancienne théorie du cercle 
osculateur se trouve n'être plus qu'un cas particulier fort 
simple. 11 importe au but de cet ouvrage de considérer 
maintenant cette belle conception, qui est peut-être, sous 
le rapport philosophique, l'objet le plus profondément inté- 
ressant que puisse ofl'rir jusqu'ici la géométrie analytique. 
Comparons une courbe quelconque donnée y = f{x) k 
une autre courbe variable z = çp(x), et cherchons à nous 
former une idée précise des divers degrés d'intimité qui 
pourront exister entre ces deux courbes, en un point com- 
mun, suivant les relations qu'on supposera entre la fonc- 
tion f et la fonction /. Il suffira pour cela de considérer la 
distance verticale des deux courbes en unautre point de plus 
en plus rapproché du premier, afin de la rendre successive- 
ment la moindre possible, eu égard à la corrélation des deux 
fonctions. Si h désigne Taccroissement qu'éprouve l'abcisse 
en passant à ce nouveau point, cette distance, qui est égale 
à la difTérencedes deux ordonnées correspondantes, pourra 
être développée, d'après la formule de Taylor, suivant les 
puissances ascendantes de k, et aura pour expression la 
série : 

D= ^/-(x) ~ ç'(x)) A -h {f" W - 9" W) ^ 
+ (/^''(«)-rw)f^-hetc. 




S64 MATHÉMATIQUES. 

En concevant, ce qui esl évidemment toujours possible, 
h tellement petit, que le premier terme de cette série soit 
supérieur à la somme de tous les autres, il est clair que la 
courbe z aura avec la courbe y un rapprochement d'autant 
plus intime, que la nature de la fonction variable 9 per- 
mettra de supprimer un plus grand nombre de termes dans 
ce développement, à partir du premier. Le degré d'inti- 
mité des deux courbes sera donc exactement apprécié, 
sous le point de vue analytique, par le nombre plus ou 
moins grand de fonctions dérivées successives de leurs 
ordonnées qui auront la même valeur au point que ron 
considère. De là, l'importante conception générale des 
divers ordres de contacts plus ou moins parfaits, dont la 
notion du cercle osculateur comparé aux cercles simple- 
ment tangents n'avait présenté jusqu'alors qu'un seul 
exemple particulier. Ainsi, après la simple intersection, le 
premier degré de rapprochement entre deux courbes 
a lieu quand les premières dérivées de leurs ordonnées 
sont égales; c'est le contact du premier ordre^ ou ce qu'on 
appelle ordinairement le simple contact, parce qu'il a été 
longtemps le seul connu. Le contact du second ordre exige 
de plus que les secondes dérivées des fonctions /* et f 
soient égales : en y joignant encore l'agilité de leurs troi- 
sièmes dérivées, on constitue un contact du troisième ordre^ 
et ainsi de suite à l'infini. Au delà du premier ordre, les 
contacts portent souvent le nom d'osculations du premier 
ordre, du second ordre, etc. 

Les contacts du premier et du second ordre peuvent être 
caractérisés géométriquement par une observation fort 
simple, en ce qu'il en résulte évidemment que les deux 
courbes comparées ont au point commun, dans un cas, la 
même tangente, et, dans l'autre, le même cercle de cour- 
bure, puisque la tangente à chaque courbe dépend de la 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. S65 

première dérivée de son ordonnée, et le cercle de cour- 
bure, des deux premières dérivées successives. Mais cette 
considération ne conviendrait plus au delà du second ordre 
pour déterminer l'idée^géomélrique du contact. L'igrange 
8*est borné, sous ce rapport, à assigner le caractère gé- 
néral qui résulte immédiatement de l'analyse ci-dessus 
indiquée, et qui consiste en ce que, lorsque la courbe z est 

• 

déterminée de manière à avoir avec la courbe y un contact 
de l'ordre n, produit analytiquemenl par IV'gaiilé de toutes 
les fonctions dérivées jusqu'à celle de l'ordre n, aucune 
autre courbez, de môme nature que la précédente, mais 
qui ne satisferait qu'à un moindre nombre de conditions 
analytiques, et qui, par conséquent, n'aurait avec la courbe 
y qu'un contact moins intime, ne pourrait passer entre les 
deux courbes, puisque l'intervalle de celles-ci a reçu la 
plus petite valeur dont il était susceptible d'après une telle 
relation des deux équations. 

Lorsqu'on a particularisé la nature de la courbe z ainsi 
comparée à une courbe quelconque donnée y, l'ordre du 
contact le plus intime qu'elle peut avoir avec celle-ci dé- 
pend évidemment du nombre plus ou moins grand de 
constantes arbitraires que renferme son équation la plus 
générale, un contact de l'ordre n exigeant n-f- i» conditions 
analytiques qui ne sauraient être remplies qu'avec un pa- 
reil nombre de constantes disponibles. Par conséquent, 
une ligne droite, dont l'équation la plus générale contient 
seulement deux constantes arbitraires, ne peut avoir avec 
une courbe quelconque qu'un contact du premier ordre ; 
d'où découle la théorie ordinaire des tangentes. L'équa- 
tion du cercle renfermant, en général, trois constantes ar- 
bitraires, le cercle peut avoir avec une courbe quelconque 
un contact du second ordre, et de là résulte, comme cas 
particulier, l'ancienne théorie du cercle osculaleur. En con- 



866 MATHÉMATIQUES. 

sidérant une parabole, comnfie il y a quatre constantes 
arbitraires dans son équation la plus cooiplète et la plus 
simple, elle eat susceptible, comparée à toute autre courbe, 
d'une intimité plus proFonde, qui peut aller jusqu'au con- 
tact du troisième ordre : de même une ellipse comporte- 
rait un contact du quatrième ordre, etc. 

La considération précédente est propre à suggérer une 
interprétation géométrique de cette théorie générale des 
contacts, qui me semble destinée à compléter le travail de 
Lagrange, en assignant, pour défînir directement les divers 
ordres de contacts, un caractère concret plus simple et 
plus clair que celui indiqué par Lagrange. En effet, ce 
nombre plus ou moins grand de constantes arbitraires 
contenues dans une équation a pour signification géomé- 
trique, comme nous l'avons établi en commençant cette 
leçon, le nombre des points nécessaires à l'entière déter- 
mination de la courbe correspondante, lequel se trouve 
ainsi marquer le degré d'intimité dont cette courbe est 
susceptible relativement à toute autre. Or, d'un autre côté, 
la loi analytique qui exprime ce contact par l'égalité d'ua 
pareil nombre de dérivées successives des deux ordonnées, 
indique évidemment que les deux courbes ont alors autant 
de points infiniment voisins communs; puisque, d'après la 
nature des différentielles, il est clair que la différentielle 
de l'ordre n dépend de la comparaison de n -f- i i ordonnées 
consécutives. On peut donc se faire directement une idée 
nette des divers ordres de contacts, en disant qu'ils con- 
sistent dans la communauté d'un nombre plus ou moins 
grand de points infiniment voisins entre les deux courbes. 
En termes plus rigoureux, on définirait, par exemple^ Tel- 
lipse osculatrice au troisième ordre, en la regardant comme 
la limite vers laquelle tendraient les ellipses passant par 
cinq points de la courbe proposée, à mesure que quatre 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. 867 

de ces points supposés mobiles se rapprocheraient indé- 
flnimenl du cinquième supposé flxe. 

Cette théorie générale des contacts est évidemment pro- 
pre, par sa nature, à fournir une connaissance de plus en 
plus profonde de la courbure d'une courbe quelconque, en 
lui comparant successivement diverses courbes connues, 
susceplibles d'un contact de plus en plus intime; ce qui 
permettrait de rendre aussi exacte qu'on voudrait la me- 
sure de la courbure, en changeant convenablement le 
terme de comparaison. Ainsi, il est clair, d'après les con- 
sidérations précédentes, que l'assimilation de tout arc de 
courbe inûniment petit à un arc de parabole en ferait con- 
naître la courbure avec plus de précision que par l'emploi 
du cercle osculateur; et la comparaison avec l'ellipse pro- 
curerait encore plus d'exactitude, etc. ; en sorte qu'en 
destinant chaque type primitif à approfondir l'étude du 
type suivant, on pourrait perfectionner à Tinûni la théorie 
des courbes. Mais la nécessité d'avoir une connaissance 
nette et familière de la courbe ainsi adoptée comme unité 
de courbure détermine les géomètres à renoncer à cette 
haute perfection spéculative, pour se contenter, en réalité, 
de comparer toutes les courbes au cercle seulement, en 
vertu de l'uniformité de courbure, propriété caractéris- 
tique du cercle. Aucune autre courbe, en effet, ne peut être 
regardée, sous ce rapport, comme assez simple et assez 
connue pour pouvoir être utilement employée, quoique 
l'on n'ignore plus que le cercle n'est pas l'unité de cour- 
bure la plus convenable abstraitement. Lagrange s'est donc 
borné déGnitivement à déduire de sa conception générale 
la théorie du cercle osculateur, ainsi présentée sous un 
point de vue purement analytique. Il est môme remar- 
quable que de cette seule considération il ait pu conclure 
avec facilité les deux propriétés fondamentales ci-dessus 



368 MATHÉMATIQUES. 

indiquées pour les développées, que la simple analyse pa- 
raissait d'abord si peu propre à établir. 

J'ai cru devoir considérer la théorie des contacts des 
courbes dans sa plus grande extension spéculative, afin 
d'en faire saisir convenablement le véritable caractère. 
Quoiqu'on doive la réduire finalement à la seule détermi- 
nation effective du cercle osculateur, il y a sans doute, sous 
le rapport philosophique, une profonde différence entre 
concevoir cette dernière considération, pour ainsi dire, 
comme le dernier terme des efforts de l'esprit humain 
dans l'étude des courbes, ainsi qu'on le faisait avant La- 
grange, et n'y voir, au contraire, qu'un simple cas parti- 
culier d'une théorie générale très-étendue, à l'examen 
duquel on doit habituellement se borner, ensachant néan- 
moins que d'autres comparaisons pourraient perfectionner 
davantage la doctrine géométrique. 

Après avoir envisagé les principales questions de géomé- 
trie générale relatives aux propriétés des courbes, il me 
reste à signaler celles qui se rapportent aux rectifications 
et aux quadratures, dans lesquelles consiste proprement, 
suivant l'explication donnée dans la dixième leçon, le but 
définitif de la science géométrique. Mais, ayant eu occasion 
précédemment {voyez la sixième leçon) d'établir les fo^ 
mules générales qui expriment, à l'aide de certaines inté- 
grales, la longueur et l'aire d'une courbe plane quelconque 
dont l'équation rcctiligne est donnée, et devant d'ailleurs 
m'interdire ici toute application à aucune courbe parti- 
culière, cette partie importante du sujet se trouve suffi- 
samment traitée. Je me bornerai seulement à indiquer les 
formules propres à déterminer l'aire et le volume des corps 
produits par la révolution des courbes planes autour de 
leurs axes. 

Supposons, comme on peut évidemment toujours le 



GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS. 869 

faire, que l'axe de rotation soit pris pour axe des abcisses ; 
et, suivant l'esprit de la méthode inOnitésimale propre- 
ment dite, la seule bien convenable jusqu'ici aux recher- 
ches de cette nature , concevons que Tabcisse augmente 
d'une quantité infiniment petite : cet accroissement déter- 
minera dans l'arc et dans l'aire de la courbe des augmen- 
tations dilTérentielles analogues qui , par la révolution au- 
tour de l'axe, engendreront les éléments de la surface et du 
volume cherchés. Il est aisé de voir que, en négligeant 
seulement un infiniment petit du second ordre tout au 
plus, on pourra regarder ces éléments comme égaux à la 
surface et au volume du tronc de cône ou du cylindre cor- 
respondant, ayant pour hauteur la différentielle de l'abcisse, 
et pour rayon de sa base l'ordonnée du point considéré. 
D'après cela, en appelant «S et 7 la surface et le volume 
demandé, les plus simples propositions de la géométrie 
élémentaire fourniront immédiatement les équations dif- 
férentielles générales 

Ainsi, lorsque la relation entre y ti x sera donnée dans 
chaque cas parlPculier, les valeurs de 5 et de V seront 
exprimées par les deux intégrales 



S = 'i'KJyd8, V=7r/y«rfx, 



prises entre les limites convenables. Telles sont les for- 
mules invariables d'après lesquelles, depuis Leibnitz, les 
géomètres ont résolu un grand nombre de questions de 
ce genre^ quand les progrès du calcul intégral l'ont 
permis. 

On pourrait aussi comprendre au nombre des recherches 
de géométrie générale à deux dimensions, l'importante 
▲. GoMTR. Tome I. *4 




S7 MATHÉMATIQUES. 

détermiDation des <;eDtres de gravité des arcs ou des aires 
appartenant à des courbes quelconques, quoique celte 
considération ait son origine dans la mécanique ration- 
nelle. Car, en définissant le centre de gravité comme étant 
le centre des moyennes distances^ c'est-à-dire un point dont 
la distance à un plan ou à un axe quelconque est la moyenne 
arithmétique entre les distances de tous les points du corps 
à ce plan ou à cet axe, il est clair que cette question de- 
vient purement géométrique, et peut être traitée sans 
aucun recours à la mécanique. Mais, malgré une telle con- 
sidération, dont nous reconnaîtrons plus tard l'importance 
pour généraliser suffisamment et avec facilité la notion da 
centre de gravité, il est certain, d'un autre côté, que la 
destination essentielle de cette recherche doit continuer i 
la faire classer plus convenablement parmi les questions 
de mécanique ; quoique, par sa nature propre, et aussi par 
le caractère analytique de la méthode correspondante, 
elle appartienne réellement à la géométrie, ce qui m'a en- 
gagé à l'indiquer ici par anticipation. 

Telles sont les principales questions fondamentales dont 
se compose le système actuel de notre géométrie générale 
à deux dimensions. On voit que, sous le rapport analytique, 
elles peuvent être nettement distinguées en trois classes : 
la première, comprenant les recherches géométriques qui 
dépendent seulement de l'analyse ordinaire; la seconde, 
celles dont la solution exige l'emploi du calcul difiéren- 
tiel ; la troisième, enfin, celles qui ne peuvent être résolues 
qu'à l'aide du calcul intégral. 

Il nous reste maintenant à considérer sous le même 
aspect, dans la leçon suivante, l'ensemble de la géométrie 
générale à trois dimensions. 



QUATORZIÈME LEÇON 

Sommaire. — De la géométrie gêné? aie k trois dimensioDs. 



L'étude des surfaces se compose d'une suite de questions 
générales exactement analogues à celles indiquées dans la 
leçon précédente par rapport aux lignes. Il est inutile de 
considérer ici distinctement celles qui ne dépendent que 
de l'analyse ordinaire, car elles se résolvent par des mé- 
thodes essentiellement semblables; soit qu'il s'agisse de 
connaître le nombre des points nécessaires à l'entière dé- 
termination d'une surface, soit qu'on s'occupe de la re-* 
cherche des centres, soit qu'on demande les conditions 
précises de la similitude entre deux surfaces du môme 
genre, etc. Il n'y a d'autre différence analytique que d'en- 
visager les équations à trois variables au lieu d'équations 
à deux variables. Je passe donc immédiatement aux ques- 
tions qui exigent l'emploi de l'analyse transcendante, en 
insistant seulement sur les considérations nouvelles qu'elles 
représentent relativement aux surfaces. 

La première théorie générale est celle des plans tan- 
gents. En se servant de la méthode infinitésimale propre- 
ment dite, on peut aisément trouver l'équation du plan 
qui touche une surface quelconque en un point donné, et 
qui est alors défini comme coïncidant avec la surface dans 
une étendue infiniment petite tout autour du point de 
contact. 11 suffit, en effet, de considérer que, afin de rem- 
plir une telle condition, l'accroissement infiniment petit 




87i MATHÉMATIQUES. 

reçu par l'ordonnée verticale en résultat des accroisse- 
ments infiniment petits des deux coordonnées horizon- 
tales, doit être le même pour le plan que pour la surface, 
et cela indépendamment d'aucune relation déterminée 
entre ces deux derniers accroissements, sans quoi la coïn- 
cidence n'aurait pas lieu en tout sens. D'après cette idée, 
l'analyse donne immédiatement l'équation générale : 

pour celle du plan tangent, af,y\z\ désignant les coor- 
données du point de contact. La détermination de ce plan, 
dans chaque cas particulier, se trouve ainsi réduite à une 
simple diflérentiation de l'équation de la surface proposée. 
- On peut aussi obtenir cette équation générale du plan 
tangent, en faisant dépendre sa recherche de la seule 
théorie des tangentes aux courbes planes. Il faut, pour 
cela, considérer ce plan, ainsi qu'on le fait habituellement 
en géométrie descriptive, comme déterminé par les tan- 
gentes à deux sections planes quelconques de la surface 
passant au point donné. En choisissant les plans de ses 
sections parallèles à deux des plans coordonnés, on par- 
vient sur-le-champ à l'équation précédente. Cette manière 
de concevoir le plan tangent donne lieu d'établir facile- 
ment un important théorème de géométrie générale, que 
Monge a démontré le premier, et qui consiste en ce que 
les tangentes à toutes les courbes qu'on peut tracer en un 
même point sur une surface quelconque sont toujours 
comprises dans un môme plan. 

Enfin, il est encore possible de parvenir à l'équation gé- 
nérale du pian tangent en le considérant coinme perpen- 
diculaire à la normale correspondante, et définissant celle- 
ci par sa propriété géométrique directe d'être le chemin 



GÉOMÉTRIE A TROIS DIMENSIONS. 378 

maximum ou minimum pour aller d'un point extérieur à la 
surface. La mélhode ordinaire des maxima et minima sufût 
pour former, d'après cette notion, les deux équations de la 
normale, en appliquant cette méthode à l'expression de la 
distance entre deux points, l'un situé sur la surface, l'autre 
extérieur, dont le premier, conçu comme variable, est en- 
suite supposé fixe quand les conditions analytiques ont été 
exprimées, tandis que le second, primitivement constant, 
est alors envisagé comme mobile, et décrit la droite cher- 
chée. Les équations de la normale une fois obtenues, on 
en déduit aisément celle du plan tangent. Cette ingénieuse 
manière de l'établir est également due à Monge. 

La question fondamentale que nous venons d'examiner 
devient, comme dans le cas des courbes, la base d'un 
grand nombre de recherches relatives à la détermination 
du plan tangent, lorsqu'on remplace le point de contact 
donné par d'autres conditions équivalentes. Le plan tan- 
gent ne peut point évidemment être déterminé par un 
seul point donné extérieur, comme Test la tangente : il 
faut l'assujettir à contenir une droite donnée; à cela près, 
l'analogie est parfaite, et les deux questions se résolvent de 
la môme manière. Il en est de môme si le plan tangent doit 
ôtre parallèle à un plan donné, ce qui fixe la valeur des 
deux constantes qui assignent sa direction, et par suite dé- 
termine les coordonnées du point de contact, dont ces 
constantes sont, pour chaque surface désignée, des fonc- 
tions connues. Enfin on peut aussi trouver, comme dans les 
courbes, la relation analytique qui exprime généralement 
le simple phénomène du contact entre un plan et une sur- 
faeCy sans spécifier le lieu de ce contact; d'où résulte pa- 
reillement la solution de plusieurs questions relatives aux 
plans tangents, entre autres celle qui consiste à déterminer 
un plan qui touche à la fois trois surfaces quelconques 




174 MATHEMATIQUES. 

données, recherche analogue à celle de la tangente com- 
mune à deux courbes. 

La théorie générale des contacts plus ou moins intimes 
qui peuvent exister entre deux surfaces quelconques par 
suite des relations plus ou moins nombreuses de leurs 
équations, se forme d'après une méthode exactement sem- 
blable à celle indiquée dans la leçon précédente relative- 
ment aux courbes, en exprimant, à l'aide de la série de 
Taylor pour les fonctions de deux variables, la distance 
verticale des deux surfaces en un second point voisin de 
leur point d'intersection, et dont les coordonnées hori- 
zontales auraient reçu deux accroissements h et k entière- 
ment indépendants l'un de Tautre. La considération de 
cette distance, développée selon les puissances croissantes 
de h et A:, et dans l'expression de laquelle on supprimera 
successivement les termes du premier degré en h et Ar, en- 
suite ceux du second^ etc., déterminera les conditions ana- 
lytiques des contacts de différents ordres que peuvent avoir 
les deux surfaces suivant le plus ou moins grand nombre 
de constantes arbitraires contenues dans l'équation gé- 
nérale de celle qu'on regarde comme variable. Mais, 
malgré la conformité de méthode, cette théorie présentera 
avec celle des courbes une différence fondamentale relati- 
vement au nombre de ces conditions, par suite de la né- 
cessité où l'on se trouve dans ce cas de considérer deux 
accroissements indépendants au lieu d'un seul. Il en ré- 
sulte, en efl'et, que, afin que chaque contact ait lieu dans 
tous les sens possibles autour du point commun, on doit 
annuler séparément tous les différents termes du môme 
degré correspondant, et dont le nombre augmentera d'au- 
tant plus que ce degré ou l'ordre du contact sera plus 
élevé. Ainsi, après la condition de l'égalité des deux or- 
données verticales z, nécessaire pour la simple intersec- 



GÉOMÉTRIE A TROIS DIMENSIONS. 87 S 

tien, on trouvera que le contact du premier ordre exige, 
en outre» deux relations distinctes, consistant dans l'éga- 
lité respective des deux fonctions dérivées partielles du 
premier ordre propres à chaque ordonnée verticale. En 
passant au contact du second ordre, il faudra ajouter encore 
trois nouvelles conditions, à cause des trois termes dis- 
tincts du second degré en A et k dans l'expression de la 
distance, et dont la suppression complète exigera l'égalité 
respective des trois fonctions dérivées partielles du second 
ordre relatives au z de chaque surface. On trouvera de la 
même manière que le contact du troisième ordre donne 
lieu en outre à quatre autres relations, et ainsi de suite, 
le nombre des dërivées^ partielles de chaque ordre restant 
constamment égal au nombre de termes en A et /: du degré 
correspondant. Il est aisé d'en conclure, en général, que 
le nombre total des conditions distinctes nécessaires au 

contact de l'ordre n, a pour valeur (îLliy^Jtiî^ tandis 

que, dans les courbes, il était simplement égal à n -^ 1. 

Par suite de cetle seule différence essentielle^ la théorie 
des surfaces est loin d'offrir à cet égard la môme facilité 
et de comporter la môme perfection que celle des courbes. 
Quand on se borne au contact du premier ordre, il y a 
parité complète, puisque ce contact n'exige que trois con- 
ditions, auxquelles on peut toujours satisfaire à l'aide des 
trois constantes arbitraires que renferme l'équation géné- 
rale d'un plan; de là résulte, comme cas particulier, fa 
théorie des plans tangents, exactement analogue à celle 
des tangentes aux courbes, et présentant la môme utilité 
pour étudier la forme d'une surface quelconque. Mais il 
n'en est plus ainsi lorsqu'on considère le contact du second 
ordre, afin de mesurer la courbure des surfaces. 11 serait 
naturel alors de comparer toutes les surfaces à la sphère, 




176 MATUÉMATIQUES. 

la seule qui présente une courbure uniforme, comme on 
compare toutes les courbes au cercle. Or, le contact da 
second ordre entre deux surfaces exigeant six conditions, 
tandis que l'équation la plus générale d'une sphère con- 
tient seulement quatre constantes arbitraires, il n'est pas 
possible de trouver, en chaque point d'une surface quel- 
conque, une sphère qui soit complètement osculalrice en 
tout sens, au lieu que nous avons vu un arc de courbe in- 
finiment petit pouvoir toujours être assimilé'à un certain 
arc de cercle. D'après celte impossibilité de mesurer la 
courbure d'une surface en chaque point à l'aide d'une 
seule sphère, les géomètres ont déterminé les coordonnées 
du centre et le rayon d'une sphère qui, au lieu d'être oscu- 
lalrice en tout sens indistinctement, le serait seulement 
dans une certaine direction particulière, correspondante 
à un rapport donné entre les deux accroissements heik. 
Il suffit alors, en effet, pour établir ce contact du second 
ordre relatifs d'ajouter, aux trois conditions ordinaires du 
contact du premier ordre^ la condition unique qui résulte 
de la suppression totale des termes du second degré en 
h eik envisagés collectivement, sans qu'il soit nécessaire 
de les annuler chacun séparément ; le nombre des rela- 
tions se trouve par là seulement égal à celui des constantes 
disponibles renfermées dans l'équation générale de la 
sphère, qui est ainsi déterminée. Ce procédé se réduit 
proprement à étudier la courbure d'une surface en chaque 
point par celle des différentes courbes que tracerait sur 
cette surface une suite de plans menés par la normale cor- 
respondante. 

D'après la formule générale qui exprime le rayon de 
courbure de chacune de ces sections normales en fonction 
de sa direction, Euler, auquel est essentiellement due toute 
cette théorie, a découvert plusieurs théorèmes importants 



GÉOMÉTRIE A TROIS DIMENSIONS. 177 

relatifs à ane surface quelconque. Il a d'abord aisément 
établi que, parmi toutes les sections normales d'une sur* 
face en un môme point, on en pouvait distinguer deux prin- 
cipales, dont la courbure, comparée à celle de toutes les 
autres, était un minimum pour la première, et un maximum 
pour la seconde, et dont les plans présentent cette cir- 
constance remarquable d'être constamment perpendicu- 
laires entre eux. 11 a fait voir ensuite que, quelle que pût 
être la surface proposée, et sans qu'il fût môme nécessaire 
de la définir, la courbure de ces deux sections principales 
suffisait seule pour déterminer complètement celle d'une 
autre section normale quelconque, à Taide d'une formule 
invariable et très-simple, d'après l'inclinaison du plan de 
cette section sur celui de le section de plus grande ou de 
plus petite courbure. En considérant cette formule comme 
l'équation polaire d'une certaine courbe plane, il en a dé- 
duit une ingénieuse construction, éminemment remarqua- 
ble par sa généralité et par sa simplicité. Elle consiste en 
ce que, si l'on construit une ellipse telle que les distances 
d'un de ses foyers aux deux extrémités du grand axe soient 
égales aux deux rayons de courbure maximum et minimum^ 
le rayon de courbure de toute autre section normale sera 
égal à celui des rayons vecteurs de l'ellipse qui fera avec 
l'axe un angle double de Tinclinaison du plan de cette sec- 
tion sur celui d'une des sections principales. Cette ellipse 
86 change en une hyperbole construite de la môme manière, 
quand les deux sections principales ne tournent pas leur 
concavité dans le môme sens ; enfin elle devient une para- 
bole, lorsque la surface est du genre de celles qui peuvent 
être engendrées par une ligne droite, ou qu'elle présente 
une inflexion au point que l'on considère. De cette belle 
propriété fondamentale, on a conclu plus tard un grand 
nombre de théorèmes secondaires plus ou moins intéres- 



M 



878 MATHÉMATIQUES. 

sants, que ce n'est pas ici le lieu d'indiquer. Je dois seule- 
ment signaler le théorème essentiel par lequel Meunier a 
complété le travail d'Ëuler, en rattachant la courbure de 
toutes les courbes quelconques qui peuvent être tracées 
sur une surface en un même point, à celle des sections 
normales, les seules qu'Euler eût considérées. Ce théo- 
rème consiste en ce que le centre de courbure de toute 
section oblique peut être envisagé comme la projection sur 
le plan de cette section, du centre de courbure correspon- 
dant à la section normale qui passerait par la même tan- 
gente : d'où Meunier a déduit une construction fort simple, 
d'après laquelle, par l'emploi d'un cercle analogue à l'el- 
lipse d'Ëuler, on détermine la courbure des sections obli- 
ques, connaissant celle des sections normales; en sorte que, 
par la combinaison des deux théorèmes, la seule courbure 
des deux sections normales princtijales suffit pour obtenir 
celle de toutes les autres courbes qu'on peut tracer sur 
une surface d'une manière quelconque en ehaque point 
considérée. 

La théorie précédente permet d'étudier complètement, 
point par point, la courbure d'une surface quelconque. 
Afin de lier plus aisément entre elles les considérations 
relatives aux divers points d'une môme surface, les géo- 
mètres ont cherché à déterminer ce qu'ils appellent les 
lignes de courbure d'une surface, c'est-à-dire celles qui 
jouissent de la propriété que les normales consécutives à 
la surface peuvent y être regardées comme comprises dans 
un même plan. En chaque point d'une surface quelconque, 
il existe deux de ces lignes, qui se trouvent être constam- 
ment perpendiculaires entre elles, et dont les directions 
coïncident à leur origine avec celles des deux sections 
normales /}rmcî]pa/^s considérées ci-dessus, ce qui peut dis- 
penser d'envisager distinctement ces dernières. La déter- 



GÉOMÉTRIE A TROIS DIMENSIONS. 379 

mination de ces lignes de courbures s'effectue très-simpie- 
ment sur les surfaces les plus usuelles, telles que les 
surfaces cylindriques, coniques et de révolution. Cette 
nouvelle considération fondamentale est d'ailleurs devenue 
le point de départ de plusieurs autres recherches générales 
moins importantes, comme celle des surfaces de courbure^ 
qui sont les lieux géométriques des centres de courbure 
des diverses sections principales; celle des surfaces déve- 
loppables formées parles normales à la surface menées aux 
diff'érents points de chaque ligne de courbure, etc. 

Pour terminer l'examen de la théorie de la courbure, il 
me reste à indiquer sommairement ce qui se rapporte aux 
courbes à doubk courbure y c'est-à-dire à celles qui ne peu- 
vent être contenues dans un plan. 

Quant à la détermination de leurs tangentes, elle n'offre 
évidemment aucune difûculté. Si la courbe est donnée ana- 
lytiquement par les équations de ses projections sur deux 
des plans coordonnées, les équations de sa tangente seront 
simplement celles des tangentes à ces deux projections, ce 
qui fait rentrer la question dans le cas des courbes planes. 
Si, sous un point de vue plus général, la déflnition analy- 
tique delà courbe consiste, ainsi que l'indique la douzième 
leçon, dans le système des équations des deux surfaces 
quelconques dont elle serait Tintersection, on regardera 
la tangente comme étant Tinterseclion des plans tangents 
à ces deux surfaces, et le problème sera ramené à celui du 
plan tangent, résolu ci-dessus. 

La courbure des courbes de cetle nature donne lieu à 
l'établissement d'une notion nouvelle fort importante. En 
effet, dans une courbe plane, la courbure se trouve être 
suffisamment appréciée en mesurant l'inflexion plus ou 
moins grande des éléments consécutifs les uns sur les au- 
tres^ qui est estimée indirectement par le rayon du cercle 




880 MATHÉMATIQUES. 

osculaleur. Mais il n'en est nullement ainsi dans une 
courbe qui n'est point plane. Les éléments consécutifs n'é- 
tant plus alors contenus dans un même plan, on ne peut 
avoir une idée exacte de la courbure qu'en considérant 
distinctement les angles qu'ils forment entre eux et aussi 
les inclinaisons mutuelles des plans qui les comprennent. 
Il faut donc, avant tout, commencer par flxer ce qu'on doit 
entendre à chaque instant par le plan de la courbe, c'est- 
à-dire celui que déterminent trois points inûnîment voi- 
sins, et qu'on appelle, pour cette raison, le plan oscillateur^ 
qui change conlinuellement d'un point à un autre. La po- 
sition de ce plan une fois obtenue, la mesure de la cour- 
bure ordinaire, à l'aide du cercle osculateur, ne présente 
plus évidemment aucune dilUculté nouvelle. Quant à la 
seconde courbure, elle est estimée par l'angle plus ou 
moins grand que forment entre eux deux plans osculateurs 
consécutifs, et dont il est aisé de trouver généralement 
l'expression analytique. Pour établir plus d'analogie entre 
la théorie de cette courbure et celle de la première, on 
pourrait également la regarder comme mesurée indirecte- 
ment d'après le rayon de la sphère osculatrice qui passerait 
par quatre points inûniment voisins de la courbe proposée, 
et dont l'équation se formerait de la môme manière que 
celle du plan osculateur. On l'apprécie ordinairement par 
la courbure maximum que présente, au point considéré, 
la surface développable qui est le lieu géométrique de 
toutes les tangentes à la courbe proposée. 

Nous devons passer maintenant à l'indication des ques- 
tions de géométrie générale à trois dimensions qui dépen- 
dent du calcul intégral; elles comprennent la quadrature 
des surfaces courbes, et la cubature des volumes corres- 
pondants. 

Relativement à la quadrature des surfaces courbes, il 



GÉOMiTBIE A TROIS DIMENSIONS. «SI 

faut, pour établir l'équalîon différentielle générale, con- 
cevoir la surface partagée en éléments plans inûniment 
petits dans tous les sens, par quatre plans perpendiculaires 
deux à deux aux axes des coordonnées x et y. Chacun de 
ces éléments, situé dans Je pian tangent correspondant, 
aurait évidemment, pour projection horizontale, le rectan- 
gle formé par les différentielles des deux coordonnées ho- 
rizontales, et dont Taire serait dxdy. Cette aire donnera 
celle de l'élément lui-môme d'après un théorème élémen- 
taire fort simple, en la divisant par le cosinus de l'angle 
que fait le plan tangent avec le plan des x^ y. On trouvera 
ainsi que l'expression de cet élément est généralement : 



d^S=dxdysJ'^,^-. + ^ 



C'est donc par la double intégration de cette formule diffé- 
rentielle à deux variables qu'on connaîtra, dans chaque cas 
particulier, l'aire de la surface proposée autant que pourra 
le permettre l'imperfection actuelle du calcul intégral. Les 
limites de chaque intégrale successive seront déterminées 
par la nature des surfaces dont l'intersection avec celle que 
l'on considère devra circonscrire l'étendue à mesurer, en 
sorte que, dans l'application de cette méthode générale, il 
faudra apporter un soin particulier à la manière de fixer 
les constantes arbitraires ou les fonctions arbitraires in- 
troduites par l'intégration. 

Relativement à la cubature des volumes terminés par les 
surfaces courbes, le système de plans à l'aide duquel nous 
venons de différenlier l'aire peut aussi servir immédiate- 
ment à décomposer le volume en éléments polyèdres. Il 
est clair, en effet, que l'espace infiniment petit du second 
ordre compris entre ces quatre plans doit être envisagé, 
suivant l'esprit de la méthode infinitésimale, comme égal 



88i MATHÉMATIQUES. 

au paraiiélipipède rectangle ayant pour hauteur l'ordonnée 
verticale z du point que Ton considère et pour base le rec- 
tangle dxdy^ puisque leur différence est évidemment un 
infiniment petit du troisième ordre, moindre que dzdydz. 
D'après cela, un des plus simples théorèmes de la géomé- 
trie élémentaire fournira directement, pour rezpression 
différentielle du volume cherché, l'équation générale 

â} V=zzdxdy ; 

d'où l'on déduira, par une double intégration, dans chaque 
cas particulier, la valeur effective de ce volume, en ayant 
le môme égard que précédemment à la détermination des 
limites de chaque intégrale, conformément à la nature des 
surfaces qui devront circonscrire latéralement le volume 
proposé. 

Sans entrer ici dans aucun détail relatif à la solution dé- 
finitive de l'une ou de l'autre de ces deux questions fonda- 
mentales, il peut être utile de remarquer, d'après les équa^ 
tions différentielles précédentes, une analogie générale et 
singulière qui existe nécessairement entre elles, et qui per- 
mettrait de transformer toute recherche relative à la quadra- 
ture en une recherche correspondante relative à la cubature. 
On voit, en effet, que les deux équations différentielles ne 

diffèrent que par le changement de z en i/ ^{ 4"^ + * ^"^ 

passant de la seconde à la première. Ainsi l'aire d'une sur- 
face courbe quelconque peut être regardée comme numé- 
riquement égale au volume d'un corps terminé par une 
surface dont l'ordonnée verticale aurait à chaque instant 
pour valeur la sécante de l'angle que fait avec le plan ho- 
rizontal le plan langent correspondant à la surface primi- 
tive, les limites étant d'ailleurs supposées respectivement 
les mêmes. 



GÉOMÉTRIE A TROIS DIMENSIONS. III 

Pour terminer l'examen philosophique de la géométrie 
, générale à trois dimensions, il me reste à considérer som- 
mairement la belle conception fondamentale établie par 
Monge relativement à la classification analytique des sur- 
faces en familles naturelles, qui doit être regardée comme 
le perfectionnement le plus important qu'ait reçu la science 
géométrique depuis Descartes etLeibnitz. 

Quand on se propose d'étudier, sous un point de vue gé- 
néral, les propriétés spéciales des diverses surfaces, la 
première difficulté qui se présente consiste dans l'absence 
d'une bonne classiûcation, déterminée par les caractères 
géométriques les plus essentiels, et d'ailleurs suffisamment 
simple. Dès la fondation de la géométrie analytique, les 
géomètres ont été involontairement conduits à classer les 
surfaces, comme les courbes, par la forme et le degré de 
leurs équations, seule considération qui s'offrit d'elle- 
même à l'esprit pour servir de base à une distinction dont 
l'importance n'avait d'abord été nullement sentie. Mais il 
est aisé de voir que ce principe de classification, convena- 
blement applicable aux équations du premier et du second 
dçgré, ne remplit aucune des conditions principales aux- 
quelles doitsatisfaire un tel travail. Ën'effetfOnsaitqueNew- 
ton, en discutant l'équation générale du troisième degré à 
deux variables, pour se borner à la simple énumération 
des diverses courbes planes qu'elle peut représenter, a re- 
connu que, bien qu'elles fussent toutes nécessairement in- 
définies en tous sens, on devait en distinguer soixante- 
quatorze espèces particulières, aussi différentes les unes 
des autres que le sont entre elles les trois courbes du se- 
cond degré. Quoique personne n'ait analysé sous le même 
point de vue l'équation générale du quatrième degré à 
deux variables, il n'est pas douteux qu'elle ne dût faire 
naître un nombre beaucoup plus considérable encore de 




184 MATHÉMATIQUES. 

courbes distinctes ; et ce nombre devrait uniformément aug- 
menter avec une prodigieuse rapidité d'après le degré de 
l'équalion. Si maintenant l'on passe aux équations à trois 
variables, qui, vu leur plus grande complication, présen- 
tent nécessairement bien plus de variété, il est incontes- 
table que le nombre des surfaces vraiment distinctes 
qu'elles peuvent exprimer doit être encore plus multiplié, 
et croître beaucoup plus rapidement d'après le degré. Cette 
multiplicité devient telle, qu'on s'est toujours borné à ana- 
lyser ainsi les équations des deux premiers degrés, aucun 
géomètre n*ayant tenté pour les surfaces du troisième de- 
gré ce qu'a exécuté Newton pour les courbes correspon- 
dantes. 11 suit donc de cette considération évidente que, 
quand même l'imperfection de l'algèbre ne s'opposerait 
pas à l'emploi indéûni d'un procédé semblable, la classifi- 
cation générale des surfaces par le degré et la forme de 
leurs équations serait entièrement impraticable. Mais ce 
motif n'est pas le seul qui doive faire rejeter une telle 
classification; il n'est point même le plus important. En 
efi'et, cette manière de disposer les surfaces, outre l'impos- 
sibilité de la suivre, se trouve directement contraire à, la 
principale destination de toute bonne classification quel- 
conque, consistant à rapprocher le plus les uns des autres 
les objets qui oflrent les relations les plus importantes, et à 
éloigner ceux dont les analogies ont peu de valeur. L'iden- 
tité du degré de leurs équations est, pour les surfaces, uq 
caractère d'une valeur géométrique très-médiocre, qui 
n'indique pas même exactement le nombre des points né- 
cessaires à rentière détermination de chacune. La propriété 
commune la plus importante à considérer entre des surfa- 
ces consiste évidemment dans leur mode de génération ; 
toutes celles qui sont engendrées de la même manière 
devant offrir nécessairement une grande analogie géomé- 



GÉOMÉTRIE A THOIS DIMENSIONS. 885 

triqae» tandis qu'elles ne sauraient avoir que de très-faibles 
resseoiblances si elles sont engendrées d'après des modes 
essentiellement différents. Ainsi, par exemple, toutes les 
surfaces cylindriques, quelle que soit la forme de leur 
base^ constituent une môme famille naturelle, dont les di- 
Tcrses espèces présentent un grand nombre de propriétés 
communes de première importance : il en est de môme 
pour toutes les surfaces coniques, et aussi pour toutes les 
surfaces de révolution, etc. Or cet ordre naturel se trouve 
complètement détruit par la classiBcation fondée sur le 
degré des équations. Car des surfaces assujetties à un môme 
mode de génération, les surfaces cylindriques, par exem- 
ple, peuvent fournir des équations de tous les degrés ima- 
ginables, à raison de la seule différence secondaire de leurs 
bases; tandis que, d'un autre côté, des équations d'un môme 
degré quelconque expriment souvent des surfaces de na- 
ture géométrique opposée, les unes cylindriques, les au- 
tres coniques, ou de révolution, etc. Une telle classification 
analytique est donc radicalement vicieuse, comme sépa- 
rant ce qui doit ôtre réduit, et rapprochant ce qui doit 
être distingué. Cependant, la géométrie générale étant en- 
tièrement fondée sur l'emploi des considérations et des 
méthodes analytiques, il est indispensable que la classifi- 
cation puisse prendre aussi un caractère analytique. 

Tel était donc Tétat précis de la difficulté fondamentale, 
si heureusement vaincue par Monge : les familles natu- 
relles entre les surfaces étant clairement établies sous le 
point de vue géométrique d'après le mode de génération, il 
fallait découvrir un genre de relations analytiques destiné 
à présenter constamment une interprétation abstraite de 
ce caractère concret. Cette découverte capitale était rigou- 
reusement indispensable pour achever de constituer la 
théorie générale des surfaces. 

A. CoMTB. Tome I. ^ B 







886 HATHÉMATIQUBS. 

La considération que Monge a employée pour y parve* 
nir^ consiste dans cette observation générale, aussi simple 
que directe : les surfaces assujetties à un môme mode de 
génération sont nécessairement caractérisées par une cer* 
taine propriété commune de leur plan tangent en un point 
quelconque; en sorte qu'en exprimant analytiquement 
cette propriété d'après l'équation générale du plan tangent 
à une surface quelconque, on formera une équation diffé* 
rentielle représentant à la fois toutes les surfaces de cette 
famille. 

Ainsi, par exemple, toute surface cylindrique présente 
ce caractère exclusif : que le plan tangent en un point quel' 
conque de la surface est constamment parallèle à la droite 
fixe qui indique la direction des génératrices. D'après cela, 
il est aisé de voir que les équations de cette droite étant 
supposées être 

x=zaz, y '^ bZj 

l'équation générale du plan tangent établie ci-dessus don- 
nera, pour l'équation différentielle commune à toutes les 
surfaces cylindriques, 

dx dy 

De môme, relativement aux surfaces coniques, elles sont 
toutes caractérisées sous ce point de vue par la propriété 
nécessaire que leur plan tangent en un point quelconque 
passe constamment par le sommet du cône. Si donc, a, 6,7, 
désignent les coordonnées de ce sommet, on trouvera im- 
médiatement 

(*-«)5j+(y-6),- = 2-t. 

pour l'équation différentielle représentant la famille en- 
tière des surfaces coniques. 



, GÉOMÉTRIE A TROIS DIMENSIONS. t%l 

Dans les surfaces de révolution, le plan tangent en un 
point quelconque est toujours perpendiculaire au plan mi- 
ridierij c'esl-à-dire à celui qui passe par ce point et par 
l'axe de la surface. Afin d'exprimer analytiquement cette 
propriété d'une manière plus simple, supposons que l'axe 
de révolution soit pris pour celui des z : l'équation diffé- 
rentielle commune à toute cette famille de surface sera 

dz d% 

y-, X T- := 0. 

^ dx dy • 

Il serait superflu de citer ici un plus grand nombre 
d'exemples pour établir clairement, en général, que, quel 
que soit le «mode de génération, toutes les surfaces d'une 
môme famille naturelle sont susceptibles d'être repré- 
sentées analytiquement par une môme équation aux diffé" 
rences partielles contenant des constantes arbitraires, d'a- 
près une propriété commune de leur plan tangent. 

Afin de compléter cette correspondance fondamentale 
et nécessaire entre le point de vue géométrique et le point 
de vue analytique, Monge a considéré en outre les équa« 
lions finies qui sont les intégrales de ces équations diffé- 
rentielles, et qu'on peut d'ailleurs presque toujours facile- 
ment obtenir aussi par des recherches directes. Chacune 
de ces équations finies doit, comme on le sait par la théorie 
générale de l'intégration, contenir une fonction arbitraire, 
si l'équation différentielle est seulement du premier ordre; 
ce qui n'empôche pas que de telles équations, quoique 
beaucoup plus générales que celles dont on s'occupe or- 
dinairement, ne présentent un sens nettement déterminé, 
soit sous le rapport géométrique, soit sous le simple rap- 
port analytique. Cette fonction arbitraire correspond à ce 
qu'il y a d'indéterminé dans la génération des surfaces pro- 
posées, à la base, par exemple, si les surfaces sont cylin-. 



888 MATUÉMÂTIQUES. « 

driques ou coniques, à la courbe méridienne, si elles sont 
de révolution, etc. (1). Dans certains cas môme^ l'équation 
finie d'une famille de surfaces contient à la fois deux fonc» 
tions arbitraires, affectées à des combinaisons distinctes 
des coordonnées variables ; c'est ce qui a lieu lorsque l'é- 
quation différentielle correspondante doit être du second 
ordre ; sous le point de vue géométrique, cette indétermi- 
nation plus grande indique une famille plus générale, et 
néanmoins caractérisée. Tel est, par exemple, la famille 
des surfaces développables, qui comprend, comme subdi- 
visions, toutes les surfaces cylindriques, toutes les surfaces 
coniques, et une infinité d'autres familles analogues, et 
qui peut cependant être nettement définie, dans sa plus 
grande généralité, comme étant Venveloppe de l'espace par- 
couru par un plan qui se meut en restant toujours tangent 
à deux surfaces fixes quelconques, ou comme le lieu géo- 
métrique de toutes les tangentes à une même courbe quel- 
conque à double courbure. Ce groupe naturel de surfaces a, 
pour équation différentielle invariable, cette équation très- 
simple, découverte par Ëuler, entre les trois dérivées par- 
tielles du second ordre 



\ax dyj 



dx*dy^' 



L'équation finie contient donc nécessairement deux 
fonctions arbitraires distinctes, qui correspondent géomé- 
triquement aux deux surfaces indéterminées sur lesquelles 

(1) On trouve^ par exemple, soit d*aprës les considérations directes de 
géométrie analytique, soit en résultat des méthodes d'intégration, que les 
surfaces cylindriques et les surls£c«« coniques ont pour équations finies 

a; — a: = 9 (y — Az), ^~ ^ =ç ( ^^^^ I 

z — y ^ \z — Y/ 

|j. désignant une fonction entièrement arbitraire. 



GÉOMÉTRIE A TROIS DIMENSIONS. 889 

doit glisser le plan générateur, ou aux deux équations 
quelconques de la courbe directrice. 

Quoiqu'il soit utile de considérer les équations finies des 
familles naturelles de surfaces, on conçoit néanmoins que 
l'indétermination des fonctions arbitraires qu'elles renfer- 
ment inévitablement, doit les rendre peu propres à des 
travaux analytiques soutenus, pour lesquels il est bien pré- 
férable d'employer les équations différentielles, où i 
n^entre que de simples constantes arbitraires, malgré leur 
nature indirecte. C'est parla que l'étude générale et régu- 
lière des propriétés des diverses surfaces est réellement 
devenue possible, le point de vue commun ayant pu ainsi 
être saisi et séparé par l'analyse. On conçoit qu'une telle 
conception ait permis de découvrir des résultats d'un degré 
de généralité et d'intérêt infiniment supérieurs à ceux 
qu'on pouvait obtenir auparavant. Pour ne citer qu^un 
seul exemple très-simple, qui est fort loin d'être le plus 
remarquable, c'est par une semblable méthode de géomé- 
trie analytique qu'on a pu reconnaître cette singulière pro- 
priété de toute équation homogène à trois variables, de re- 
présenter nécessairement une surface conique dont le 
sommet est situé à l'origine des coordonnées ; de môme, 
parmi les recherches plus difficiles, il a été possible de dé- 
terminer, à l'aide du calcul des variations, le plus court 
chemin d'un point à un autre sur une surface dévelop- 
pable quelconque^ sans qu'il fût nécessaire de la particula- 
riser, etc. 

J'ai cru devoir ici accorder quelque développement à 
l'exposition philosophique de cette belle conception de 
Honge, qui constitue, sans contredit, son premier titre 
à la gloire, et dont la haute importance ne me semble point 
avoir encore été dignement sentie, excepté par Lagrange, 
si juste appréciateur de tous ses émules. Je regrette même 



»90 MATHÉMATIOVES. 

d'être réduit, par les limites naturelles de cet ouvrage, à 
une indication aussi imparfaite, où je n'ai pu seulement si- 
gnaler l'heureuse réaction nécessaire de cette nouvelle 
géométrie sur le perfectionnement de l'analyse, quant à la 
théorie générale des équations différentielles à plusieurs 
variables. 

En méditant sur cette classification philosophique des 
surfaces, essentiellement analogue aux méthodes natu- 
relles que les physiologistes ont tenté d'établir en zoologie 
et en botanique, on est conduit à se demander si les courbes 
elles-mêmes ne comportent pas une opération semblable. 
Vu la variété infiniment moindre qui existe entre elles, un 
tel travail est à la fois moins important et plus difficile, 
les caractères qui pourraient servir de base n'étant point 
alors à beaucoup près aussi tranchés. Il a donc été naturel 
que l'esprit humain s'occupftt d'abord de classer les sur- 
faces. Mais on doit sans doute espérer que cet ordre de 
considérations s'étendra plus tard jusqu'aux courbes. On 
peut môme apercevoir déjà entre elles quelques familles 
vraiment naturelles, comnie celles des paraboles quel- 
conques, et celles des hyperboles quelconques, etc. Néan- 
moins, il n'a été encore produit aucune conception 
générale directement propre à déterminer une telle classi- 
fication . 

Ayant ainsi exposé aussi nettement qu'il m'a été possible, 
dans cette leçon et dans l'ensemble des quatre précédentes, 
le véritable caractère philosophique de la section la plus 
générale et la plus simple de la mathématique concrète, 
je dois maintenant entreprendre le même travail relative- 
ment à la science immense et plus compliquée de la mé- 
canique rationnelle. Ce sera l'objet des quatre leçons sui- 
vantes. 



QUINZIÈME LEÇON 

Sommaire. — Considérations philosophiques sur les principes 
fondaraentaux de la mécanique rationnelle. 



Les phénomènes mécaniques sont, par leur nature, 
comme nous l'avons déjà remarqué, à la fois plus parti- 
culiers, plus compliqués et plus concrets que les phéno- 
mènes géométriques. Aussi^ conformément à Tordre en- 
cyclopédique établi dans cet ouvrage, plaçons-nous la 
mécanique rationnelle après la géométrie dans cette expo- 
sition philosophique de la mathématique concrète, comme 
étant nécessairement d'une étude plus difficile, et par 
suite moins perfectionnée. Les questions géométriques 
sont toujours complètement indépendantes de toute con- 
sidération mécanique, tandis que les ques